正比例函数优秀教案及教学反思

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教材分析

函数是中学教学中非常重要的内容，是学生第一次学习数形式结合，正比例函数是一次函数特例，也是初中数学中的一种简单最基本的函数，努力上好正比例函数才能为后面学习一次函数打下基础，为此在教学中通过设置问题，引导学生观察探索，让学生在学习过程中感悟函数思想，从而激发学生学习函数的信心和兴趣。

学情分析

正比例数是学生第第一次涉及到一个具体的函数的学习和研究，也是初中数学中的一种简单最基本的函数，为后面学习一次函数打下基础，根据学生基础和知识层次制定不同的要求，提倡同伴间互相合作，共同进步注重因材施教，充分遵循学生的认知规律，教学中注意由易到难、 由浅入深、小步子、多循环、循序渐进，让每个学生获得成功的喜悦。





教学目标

1   掌握正比例函数的定义及解析式特点，知道正比例函数的图象是一条直线，并能根据图象分析理解正比例函数的性质。

2       培养学生画图的能力，并能通过由函数图象揭示函数性质的这一研究活动，培养学生观察比较概括的能力及抽象思维能力。

3     使学生经历由“问题情境——自主探索——猜想验证——得出结论——练习巩固”的数学思维活动过程，使学生感受数学学习的兴趣，增强学生学习的兴趣。



教学重点和难点

     本节内容的教学重点是正比例函数的图象和性质。因为图象是研究性质的前提，而研究性质又是进一步研究函数的基础所以要从图象入手观察分析函数的性质，最终得出结论。

     难点是由函数的图象归纳得出函数的性质及对性质的理解。

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教学过程

（一）、提出问题，创设情境

    一九九六年，鸟类研究者在芬兰给一只燕鸥（候鸟）套上标志环。4个月零1周后人们在2．56万千米外的澳大利亚发现了它。

    1、这只百余克重的小鸟大约平均每天飞行多少千米（精确到10千米）？

    2、这只燕鸥的行程y（千米）与飞行时间x（天）之间有什么关系？

    3、这只燕鸥飞行１个半月的行程大约是多少千米？

    我们来共同分析：

    一个月按30天计算，这只燕鸥平均每天飞行的路程不少于：

    25600÷（30×4+7）≈200（km）

    若设这只燕鸥每天飞行的路程为200km，那么它的行程y（千米）就是飞行时间x（天）的函数．函数解析式为：

    y=200x（0≤x≤127）

    这只燕鸥飞行１个半月的行程，大约是x=45时函数y=200x的值。即

    y=200×45=9000（km）

    以上我们用y=200x对燕鸥在４个月零１周的飞行路程问题进行了刻画。尽管这只是近似的，但它可以作为反映燕鸥的行程与时间的对应规律的一个模型。

    类似于y=200x这种形式的函数在现实世界中还有很多。它们都具备什么样的特征呢？我们这节课就来学习。

    （二）、导入新课

    首先我们来思考这样一些问题，看看变量之间的对应规律可用怎样的函数来表示？这些函数有什么共同特点？

    1、圆的周长L随半径r的大小变化而变化。   （L=2 r）

    2、铁的密度为7．8g/cm3。铁块的质量m（g）随它的体积V（cm3）的大小变化而变化。：    （m=7．8V）

    3、每个练习本的厚度为0．5cm。一些练习本摞在一些的总厚度h（cm）随这些练习本的本数n的变化而变化。    （h=0．5n）

    4、冷冻一个0℃的物体，使它每分钟下降2℃．物体的温度Ｔ（℃）随冷冻时间t（分）的变化而变化。     （T=-2t）

    我们观察这些函数关系式，不难发现这些函数都是常数与自变量乘积的形式，和y=200x的形式一样。

   一般地，形如y=kx（k是常数，k≠0）的函数，叫做正比例函数，其中k叫做比例系数。

    我们现在已经知道了正比例函数关系式的特点，那么它的图象有什么特征呢？

    （三）、[活动一

    活动内容设计：

    画出下列正比例函数的图象，并进行比较，寻找两个函数图象的相同点与不同点，考虑两个函数的变化规律。

    1、y=2x     2、y=-2x

    教师活动：引导学生正确画图、积极探索、总结规律、准确表述。

    学生活动：利用描点法正确地画出两个函数图象，在教师的引导下完成函数变化规律的探究过程，并能准确地表达出，从而加深对规律的理解与认识。

    活动过程与结论：

1、函数y=2x中自变量x可以是任意实数．列表表示几组对应值：

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	-6	-4	-2	0	2	4	6

   画出图象如图（1）。

2、y=-2x的自变量取值范围可以是全体实数，列表表示几组对应值：

x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y	6	4	2	0	-2	-4	-6

   画出图象如图（2）。

    3、两个图象的共同点：都是经过原点的直线。

    不同点：函数y=2x的图象从左向右呈上升状态，即随着x的增大y也增大；经过第一、三象限。函数y=-2x的图象从左向右呈下降状态，即随x增大y反而减小；经过第二、四象限。

    尝试练习：

    在同一坐标系中，画出下列函数的图象，并对它们进行比较。

1、y= x      2、y=- x

x	-6	-4	-2	0	2	4	6
y= x	-3	-2	-1	0	1	2	3
y=- x	3	2	1	0	-1	-2	-3

比较两个函数图象可以看出：两个图象都是经过原点的直线。函数y= x的图象从左向右上升，经过三、一象限，即随x增大y也增大；函数y=- x的图象从左向右下降，经过二、四象限，即随x增大y反而减小。

    [师就以上活动及练习的结果，大家可否总结归纳出正比例函数解析式与图象特征之间的规律呢？

    [生正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条经过原点的直线。当x>0时，图象经过三、一象限，从左向右上升，即随x的增大y也增大；当k<0时，图象经过二、四象限，从左向右下降，即随x增大y反而减小。

    [师很好！正是由于正比例函数y=kx（k是常数，k≠0）的图象是一条直线，我们可以称它为直线y=kx。

  （四）、[活动二

    活动内容设计：

    经过原点与点（1，k）的直线是哪个函数的图象？画正比例函数的图象时，怎样画最简单？为什么？

    教师活动：引导学生从正比例函数图象特征及关系式的联系入手，寻求转化的方法。从几何意义上理解分析正比例函数图象的简单画法。

    学生活动：在教师引导启发下完成由图象特征到解析式的转化，进一步理解数形结合思想，找出正比例函数图象的简单画法，并知道原由。

    活动过程及结论：

    经过原点与点（1，k）的直线是函数y=kx的图象。

    画正比例函数图象时，只需在原点外再确定一个点，即找出一组满足函数关系式的对应数值即可，如（1，k）。因为两点可以确定一条直线。

  （五）、随堂练习

    用你认为最简单的方法画出下列函数图象：

    1、y= x        2、y=-3x

    解：除原点外，分别找出适合两个函数关系式的一个点来：

    1、y= x  （2，3）

2、y=-3x   （1，-3）

布置作业：

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教学反思

正比例函数是学生第一次涉及到一个具体的函数的学习和研究，要把研究函数的方法及步骤和知识结构让学生体会到是相对比较难，因此，本课的教与学的活动，要学生有比较清醒的方案意识。研究函数的方法就是结合和利用函数的图象，这就需要引导学生画出具体的一些正比例函数的图象，从众多函数图象进行提升，得出图象的形状特征、位置情况、变化趋势，做到真正是学生自己探究得到了图象和性质，这就是数形结合的基础。但本课的时间安排上较紧张。下节课一定要注意。总的来说这堂课要重点突出，突破难点，在这些方面需要根据学生的实际情况适时把握，灵活处理各个环节，这样才能达到更好的教学效果。