北师大版八年级上册数学第七章解二元一次方程组教案导学案

admin

=4
x=48
将x=48代入①，得y=11
答：绳长48尺，井深11尺.
解法二：设绳子长x尺，井深y尺，则

由③－④，得y=11
把y=11代入④，得x=48
答：绳长48尺，井深11尺.
［师生共析］我们在列方程组解决实际问题时，应先分析题目中的已知量、未知量是什么，各个量之间的关系是什么，找出它们之间的相等关系，列出方程(组)，建模过程就可完成，因此我们说解决实际问题的建模过程非常重要.
Ⅲ.随堂练习
课本P199.
1.解：设每头牛值“金”x两，每只羊值“金”y两，则
由①×2－②×5，得y= .
把y= 代入②，得x= .
所以，每头牛值“金” 两，每头羊值“金” 两.
2.解：设甲带钱x，乙带钱y，
则
由①×2－②，得x=37
把x=37 代入①，得y=25
所以甲带钱37 ，乙带钱25.
Ⅳ.课时小结
本节课我们经历和体验了列方程组解决实际问题的过程，体会到方程组是刻画现实世界的有效模型，从而更进一步提高了我们应用数学的意识及解方程组的技能.
Ⅴ.课后作业
1.课本P199习题7.4.
2.收集资料：算经+书(网址：www.CBE21.com)的数学史料，以一组为单位办1份数学史料手抄报.
Ⅵ.活动与探究
如图，在一个正方体的顶点处填上1~9的数码中的8个，每一个顶点只填一个数码.使得正方体每个面上的四个顶点所填数码之和均为18，那么未被填上的数码是什么？
过程：如果用1~9中的每一个数去试，过程会很繁.根据题意，我们可以利用方程这个数学模型，使问题简单化.

结果：设未被填上的数为x，根据题意，可得：
(1+2+…+9－x)÷2=18
得45－x=36
x=9
所以未被填上的数是9.
板书设计
§7.3  鸡兔同笼
一、鸡兔同笼
解：设鸡兔各有x只、y只，
根据题意，得：

(由学生板演解方程组的过程)
二、例题讲解
例1(课本P198)
三、随堂练习
(由学生板演)






§7.4  增收节支

知识与技能目标：
1.会用列表的方式分析题中已知量与未知量的关系，列出相应的二元一次方程组.
2.继续熟练二元一次方程组的解法和基本思路.
过程与方法目标：
1.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生数学的应用能力.
2.加强学生列方程组的技能训练，形成解决实际问题的一般性策略.
情感态度与价值观目标：
1.通过列方程组解决实际问题培养应用数学意识，提高学习数学的趣味性、现实性、科学性.
2.培养学生的创新、开拓、克服学习中困难的科学精神.
教学重点
用列表的方式分析题目中的各个量的关系.加强学生列方程组的技能训练.
教学难点
借助列表分析问题中所蕴涵的数量关系.
教学方法
学生自主活动探究的方法.
学生在列一元一次方程解决实际问题经验的基础上，根据基本量关系，由学生自主探索，列表分析问题中所蕴涵的数量关系.从而列出二元一次方程组，解决实际问题.
教具准备
投影片两张：
第一张：问题串(记作§7.4 A)；
第二张：例1(记作§7.4 B).
教学过程
Ⅰ.创设情境，引入新课
［师］我们来看一组填空题.(出示投影片§7.4 A)填空：
(1)某工厂去年的总产值是x万元，今年的总产值比去年增加了20%，今年的总产值为_________.
(2)某工厂去年的总支出为y万元，今年的总支出比去年减少了10%，则今年的总支出为_________.
(3)某工厂今年的利润为780万元，根据(1)、(2)可得_________=780万元(利润=总产值－总支出).
下面我们就一起分析上面的三个填空.
［师生共析］(1)今年的总产值比去年增加了20%，即今年的总产值=去年的总产值×(1+20%)=(1+20%)x万元.
(2)今年的总支出比去年减少了10%，即今年的总支出=去年的总支出×(1－10%)=(1－10%)y万元.
(3)今年的利润为780万元，由(1)、(2)可得今年的利润又可表示为［(1+20%)x－(1－10%)y］万元，所以(1+20%)x－(1－10%)y=780
这节课我们就来研究一下增收节支的问题.
Ⅱ.讲授新课
［师］我们来看一个生活中实例：我校校办工厂去年的总收入比总支出多50万元，今年的总收入比去年增加了10%，总支出节约了20%，因而总收入比总支出多100万元.求去年我校校办工厂的总收入和总支出各多少万元？
［师生共析］我们可以注意到这个例子中蕴涵的数量关系比较复杂，我们是否可以用列表的形式将今年和去年的总支出和总收入列表进行对比，从而使他们的关系一目了解.
［议一议，试一试］如果设去年的总产值是x万元，总支出是y万元，根据题意，填充下面表格：
        总收入/万元        总支出/万元
去年        x        y
今年        (1+10%)x        (1－20%)y

admin

所以根据题意可填入表格，今年的总产值为(1+10%)x万元，总支出为(1－20%)万元，由条件就可得到方程组

［师］下面我们就来解上面这个方程组，分组来完成，看哪一个组做得快.
［生］老师，我们组解出来了.解法如下：
解：化简方程组，得

由①得x=50+y                         ④
把④代入③，得
1.1(50+y)－0.8y=100,
0.3y=45
y=150
把y=150代入④，得x=200
所以方程组的解为
即去年的总产值是200万元，总支出为150万元.
［生］我们组也解出来了.我觉得刚才的一组在处理方程组中的方程②处理得不彻底，因此，系数是小数，给解方程带来了不必要的麻烦.我们组的解法如下：
解：由②，得1.1x－0.8y=100
方程两边再同时乘以10，得
11x－8y=1000                                        ③
由①，得x=50+y                                ④
把④代入③，得3y=450
y=150
把y=150代入④，得x=200.
［师］不错.能够恰当地利用等式的性质，使问题简化，值得提倡.
［生］我们组用的不是代入消元法，我们组是在第二组解法的基础上，用的加减消元法.
［师］我们已能用多种方法解方程组，看来我们最关键的一步应是如何根据题意，列出方程组，下面我们再来看一个例子.
出示投影片§7.4 B
［例1］医院用甲、乙两种原料为手术后的病人配制营养品.每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位蛋白质.若病人每餐需要35单位蛋白质和40单位蛋白质，那么每餐甲、乙两种原料各多少克恰好满足病人的需要？

［师生共析］我们可以设每餐甲、乙两种原料各x、y克恰好满足病人的需要.根据题意可知每克甲原料含0.5单位蛋白质和1单位铁质，所以x克甲原料含0.5x单位蛋白质和x单位铁质.每克乙原料含0.7单位蛋白质和0.4单位铁质，所以y克乙原料含0.7x单位蛋白质和0.4x单位铁质，因此，我们可列出下列表格：
        甲原料x克        乙原料y克        所配制的营养品
其中所含的蛋白质        0.5x单位        0.7y单位        35单位
其中所含的铁质        x单位        0.4y单位        40单位

根据题意，得
化简，得
①－②，得5y=150
y=30
将y=30代入①，得
x=28
所以每餐需甲原料28克，乙原料30克.
Ⅲ.随堂练习
课本P201.
1.解：设一、二两班学生数分别为x名、y名，填写下表：
        一班        二班        两班总数
学生数/名        x        y        100
达标学生数/名        87.5%x        75%y        81%(x+y)

根据题意，得
化简，得
③+①×60，得125x=6000
x=48
把x=48代入①，得y=52
所以一班有48人，二班有52人.
2.解：设甲、乙两人每时分别行走x千米，y千米，填写下表并求x、y的值.
        甲行走的路程        乙行走的路程        两人行走的路程和
第一种情况(甲先走2小时)        (2+2.5)x        2.5y        (2+2.5)x+2.5y
第二种情况(乙先走2小时)        3x        (2+3)y        3x+(2+3)y

根据题意可得：

化简，得
③×2－④得6x=36
x=6
把x=6代入④，得y=3.6
所以，甲乙两人每小时各走6千米，3.6千米.
Ⅳ.课时小结
这节课我们借助于列表分析具体问题中蕴涵的数量关系，使题目中的相等关系随之而清晰地浮现出来.同时，我们通过解二元一次方程组使问题得以解决，提高了列方程组的技能.
Ⅴ.课后作业
1.课本P202习题7.5.
2.总结列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.
Ⅵ.活动与探究
现有两种溶液，甲种溶液由酒精1升，水3升配制而成，乙种溶液由酒精3升，水2升配制而成，要配制成50%的酒精溶液7升，问两种溶液各需多少升？
过程：题目中的数据较多，我们可以将它们统一列在表格中，从而使它们之间的关系一目了然，便于寻找等量关系.
首先有：
        酒精(升)        水(升)        溶液(升)        浓度
甲        1        3        4        25%
乙        3        2        5        60%

设甲、乙两种溶液分别需要x,y升，则：

        溶液(升)        浓度        酒精(升)
甲        x(x≤4)        25%        x•25%
乙        y(y≤5)        60%        y•60%
合计        7        50%        3.5

admin

有等量关系：
结果：解：设甲、乙两种溶液x升、y升，根据题意，可得：

解得
所以需甲种溶液2升，乙种溶液5升(全部溶液)，可配制成50%的酒精溶液7升.
板书设计
§7.4  增收节支
一、例1(P200)增收节支
分析：用表格分析题意：
解：(学生板演)
二、随堂练习
(由学生板演)
三、课时小结
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§7.5  里程碑上的数

知识与技能目标：
1.用二元一次方程组解决“里程碑上的数”这一有趣场景中的数字问题和行程问题.
2.归纳出用二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.
过程与方法目标：
1.让学生进一步经历和体验列方程组解决实际问题的过程，体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型.
2.初步体会列方程组解决实际问题的一般步骤.
情感态度与价值观目标：
1.“里程碑上的数”这一场景既是一个数字问题，又和行程有关.相对而言有一定难度，让学生体验把复杂问题化为简单问题策略的同时，培养学生克服困难的意志和勇气.
2.鼓励学生合作交流，培养学生的团队精神.
教学重点
1.用二元一次方程组刻画数学问题和行程问题.
2.初步体会列方程组解决实际问题的步骤.
教学难点
将实际问题转化成二元一次方程组的数学模型.
教学方法
引导——讨论——发现法.
“里程碑上的数”既是一个数字问题，又是一个行程问题，相对较难，学生在教师的引导下化解成几个简单问题，通过学生讨论解决关键问题，从而使问题迎刃而解.同时通过学生自己讨论发现数学问题不同情况下的字母表示方法.
教具准备
投影片两张：
第一张：问题串(记作§7.5 A)；
第一张：例1(记作§7.5 B).
教学过程
Ⅰ.创设情境，引入新课
出示投影片(§7.5 A)
［问题1］(1)一个两位数，个位数字是a，十位数字是b，那么这个数可表示为_________；如果交换个位和十位上的数字，得到一个新的两位数可表示为_________.
(2)有两个两位数x和y,如果将x放在y的左边，就得到一个四位数，那么这个四位数就可以表示为_________；如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数，那么这个新的四位数又可表示为_________.
(3)一个两位数，个位上的数为m，十位上的数为n，如果在它们之间添上一个零，就得到一个三位数，用代数式表示这个三位数为_________.
［师生共析］(1)个位上的数字是a，即有a个1，十位数字是b个10,所以这个两位数是b个10和a个1的和即10b+a；如果交换它们的位置，得到一个新的两位数，即a个10与b个1的和即10a+b.
(2)两位数x放在两位数y的左边，组成一个四位数，这时，x的个位数就变成了百位，十位数就变成了千位，因此这个四位数里含有x个100，而两位数y在四位数中数位没有变化，因此这个四位数中还含有y个1.因此用x、y表示这个四位数为100x+y.同理，如果将x放在y的右边，得到一个新的四位数为100y+x.
(3)一个两位数，个位上的数是m，十位上的数是n，如果在它们之间添上零，十位上的几便成了百位上的数.因此这个三位数是由n个100，0个10，m个1组成的，用代数式表示这个三位数即为100n+m.
［师］下面我们就用上面几个小知识解决下面的综合性问题.
Ⅱ.讲援新课
［师］翻开课本P203，我们来研究“里程碑上的数”.同学们先阅读课本上的第一段文字及文字下的三幅图片，然后我请一位同学陈述一下问题的内容.
［生］这个问题讲的是：小明的爸爸骑着摩托车带着小明在公路上匀速行驶.小明在12∶00时看到的里程碑上的数是一个两位数，它的两个数字之和是7；在13∶00时看到的里程碑上的数十位与个位数字与12∶00时看到的正好颠倒了；在14∶00时小明看到的里程碑上的数比12∶00时看到的两位数中间多个0.试确定小明12∶00时看到里程碑上的数.
［师］我们可以注意到“里程碑上的数”这一场景是非常有趣的，它既是一个数字问题，又和行程有关,同时，相对而言又有一定的难度.但我们知道一个复杂的问题往往是由几个简单的问题组合而成的,要想求出12∶00时小明看到的里程碑上的数，就得确定这个两位数个位和十位上的数字.我们不妨设小明在12∶00时看到的数十位数字是x，个位数字是y，根据题意，你能将12∶00、13∶00、14∶00时小明看到的里程碑上的数表示出来吗？
［生］小明12∶00时看到的里程碑上的数可以表示为10x+y；13∶00时看到的里程碑上的数可表示为10y+x;14∶00时看到的里程碑上的数可表示为100x+y.
［师］我们要想求出x、y的值，就得建立关于x、y的二元一次方程组这样的数学模型，为此，我们必须找出题目中的等量关系.
［生］12∶00时小明看到的里程碑上的数，它的两个数字之和是7，于是我们可得到一个等量关系，用x，y表示即为x+y=7.
［生］从题目中，我们还可以注意到小明的爸爸骑摩托车带着小明在公路上是匀速行驶的.说明12∶00~13∶00与13∶00~14∶00两段时间内所行驶的路程相等.现在我们最关键的是用x、y表示出12∶00~13∶00时间段所行驶的路程，13∶00~14∶00时间段所行驶的路程.
［生］根据12∶00、13∶00、14∶00时小明看到的里程碑上的数可得：12∶00~13∶00间摩托车行驶的路程为(10y+x)－(10x+y);13:00~14:00间摩托车行驶的路程为(100x+y)－(10y+x).因此可列出相应的方程为(10y+x)－(10x+y)=(100x+y)－(10y+x).
［师］根据以上分析，同学们在练习本上列出方程组，解出方程组的解.
(由两位同学黑板上板演)
解：设小明在12∶00时看到的十位数字是x,个位数字是y，根据题意，得方程组

admin

化简，得
把②代入①，得x=1
把x=1代入②，得y=6
所以，这个方程组的解为
因此，小明在12：00时看到的里程碑上的数是16.
［师］从对上述问题的求解过程，我们可以得到一点启示：遇到较复杂的问题，我们通过把它化解为几个简单问题去分析，可以使思路清晰，使复杂问题在化解的过程中迎刃而解，下面我们再来看一下例题.
出示投影片(§7.5 B)
［例1］两个两位数的和是68，在较大的两位数的右边接着写较小的两位数，得到一个四位数；在较大的两位数的左边写上较小的两位数，也得到一个四位数.已知前一个四位数比后一个四位数大2718，求这两个两位数.
分析：(1)本题目中的两个等量关系为：较大的两位数+较小的两位数=68；前一个四位数－后一个四位数=2178.
(2)设较大的两位数为x，较小的两位数为y，在较大的数的右边接着写较小的数，所写的数可表示为100x+y；在较大的数左边写上较小的数，所写的数可表示为100y+x.
解：设较大的两位数为x,较小的两位数为y，则

化简，得

即
解该方程组，得

所以这两个两位数分别是45和23.
Ⅲ.随堂练习
课本P202.
1.解：设十位数字是x,个位数字是y，则有方程组
解得
所以，这个两位数是56.
Ⅳ.课时小结
［议一议］列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤是怎样的？
(引导学生回顾本章各个问题的解决过程，归纳出列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.不一定要明晰一个十分具体的步骤.只要学生了解这个过程即可，不必要求学生回答规范化、统一化)
［师生共同分析］
列二元一次方程组解应用题的主要步骤：
(1)弄清题意和题目中的等量关系.用字母表示题目中的两个未知数.
(2)找出能够表示应用题全部含义的两个相等关系.
(3)根据这两个相等关系列出需要的代数式，从而列出方程并组成方程组.
(4)解这个方程组并求出未知数的值.
(5)根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否合理?
(6)写出符合题意的解释.
Ⅴ.课后作业
1.课本P202、习题7.6.
2.复习一次函数的图象，预习下一节《二元一次方程与一次函数》.
Ⅵ.活动与探究
北京和上海能制造同型号电子计算机，除本地使用外，北京支援外地10台，上海可支援外地4台，现在决定给重庆8台，武汉6台，每台运费如表所示.现在有一种调运方案的总运费为7600元.问：这种调运方案中北京、上海分别应调给武汉、重庆各多少台？

武汉        重庆
北京        4        8
上海        3        5

过程：如果设这种调运方案中北京应调x台到武汉，y台到重庆；上海则应调(6－x)台到武汉，(8－y)台到重庆.由每台运费的表格可知：
北京—→武汉  费用需4x百元.
北京—→重庆  费用需8y百元.
上海—→武汉  费用需3(6－x)百元.
上海—→重庆  费用需5(8－y)百元.
合计7600元即76百元.
结果：解：设这种调运方案中北京应调x台到武汉，y台到重庆；上海应调(6－x)台到武汉，(8－y)台到重庆，根据题意，得

化简得
解得
所以从北京调6台到武汉，4台到重庆；上海不用给武汉调，只需给重庆调4台.
板书设计
§7.5  里程碑上的数
一、里程碑上的数
(1)相等关系：
12∶00~13∶00摩托车行驶的路程=13∶00~14∶00摩托车行驶的路程；12∶00时小明看到的十位上的数字+个位上的数字=7.
(2)学生板演解答过程.
二、例题讲解
例：(医院为病人配制营养品)
三、随堂练习
(学生板演)
四、列二元一次方程组解决实际问题的一般步骤.

admin

§7.6  二元一次方程和一次函数

知识与技能目标：
1.二元一次方程和一次函数的关系.
2.二元一次方程组的图象解法.
过程与方法目标：
1.使学生初步理解二元一次方程与一次函数的关系.
2.通过学生的思考和操作，在力图提示出方程与图象之间的关系，引入二元一次方程组的图象解法.同时培养了学生初步的数形结合的意识和能力.
情感态度与价值观目标：
通过学生的自主探索，提示出方程和图象之间的对应关系，加强了新旧知识的联系，培养了学生的创新意识，激发了学生学习数学的兴趣.
教学重点
1.二元一次方程和一次函数的关系.
2.能根据一次函数的图象求二元一次方程组的近似解.
教学难点
方程和函数之间的对应关系即数形结合的意识和能力.
教学方法
学生操作——自主探索的方法.
学生通过自己操作和思考，结合新旧知识的联系，自主探索出方程与图象之间的对应关系，以引入二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”——二元一次方程组与“形”——函数的图象(直线)之间的对应关系，培养了学生数形结合的意识和能力.
教具准备
投影片两张：
第一张：问题串(记作§7.6 A)；
第二张：补充练习(记作§7.6 B).
教学过程
Ⅰ.回忆旧知识，引入新课
［师］举例说明什么是二元一次方程？什么是二元一次方程的解？二元一次方程的解的个数如何？为什么？
［生］例如x+y=8含有两个未知数x,y且未知数的项的次数是一次，所以x+y=8是二元一次方程.
是适合方程x+y=8的一组未知数的值，所以 是二元一次方程x+y=8的一个解.
我们不难发现适合x+y=8的一组未知数的值不只 再例如 ; ; ……都适合方程x+y=8，所以说它们都是x+y=8的解.x+y=8有无数多个解，只要给出一个x的值，代入x+y=8中，就可得到一个y的值.这样一组一组的未知数的值都是x+y=8的解.
［师］如果将方程x+y=8利用等式的性质变形，就可得到y=8－x，同学们能联想到什么？
［生］y=8－x是一个一次函数，x、y在一次函数中不是未知数，而是两个变量，x是自变量，y是因变量.
［师］这位同学回答得很好，他能够把所学的知识联系起来，这正是我们学习数学最可贵的地方之一.我们说到函数，不得不想到函数的图象，因为函数的图象可直观地反映出y随x变化的情况.那么函数的图象如何画出来的呢？
［生］我们知道在函数中，给出自变量x的值，就对应着一个y的值.我们把x的值作为点的横坐标，对应的y的值作为这个点的纵坐标.在直角坐标系中描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象.
［师］下面就请同学们画出一次函数y=8－x的图象.

我们观察y=8－x的图象可知：
(1)满足关系式y=8－x的x、y所对应的点(x,y)都在一次函数y=8－x的图象上.
(2)一次函数y=8－x的图象上的点(x,y)都满足关系式y=8－x.
(3)满足关系式y=8－x的x、y的值恰好就是二元一次方程x+y=8的解.
因此我们猜想二元一次方程的解与相应的一次函数图象上的点有无对应关系呢？
这节课我们主要就来研究二元一次方程与一次函数的关系.
Ⅱ.讲授讲课
出示投影片(§7.6 A)
(1)方程x+y=5的解有多少个？写出其中几个？
(2)在直角坐标系中分别描出以这些解为坐标的点，它们在一次函数y=5－x的图象上吗？
(3)在一次函数y=5－x的图象上任取一点，它的坐标适合方程x+y=5吗？
(4)以方程x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5－x的图象相同吗？

［师］对于以上几个问题分组讨论，并归纳出二元一次方程和一次函数的关系.
［生］(1)方程x+y=5的解有无数个.例如 ……
(2)我们不妨先画出y=5－x的图象.

在上面直角坐标系中描出以x+y=5的解为坐标的点，我们很容易发现这些点都在一次函数y=5－x的图象上.
(3)在函数y=5－x的图象上任取一点，它的坐标一定适合方程x+y=5.
(4)由(2)、(3)可知以x+y=5的解为坐标的所有点组成的图象与一次函数y=5－x的图象是相同的.
综上所述，二元一次方程和一次函数的图象有如下关系：
(1)以二元一次方程的解为坐标的点都在相应的函数图象上.
(2)反过来，一次函数图象上的点的坐标都适合相应的二元一次方程.
［做一做］在同一坐标系内分别画出一次函数y=5－x和y=2x－1的图象，这两个图象有交点吗？交点的坐标与方程组 的解有何关系？
［师］
同学们以同桌为单位，一个同学在同一坐标系中画出一次函数y=5－x和y=2x－1的图象，并观察得出两个函数图象交点的坐标.另一位同学解方程组 ，并比较你们的结果.
［生］一次函数y=5－x和y=2x－1的图象如图所示：

所以一次函数y=5－x与y=2x－1的图象的交点是P(2，3).
［生］根据二元一次方程和一次函数图象的关系可知：P(2,3)在一次函数y=5－x的图象上，所以 是二元一次方程x+y=5的一个解；同时P(2,3)也是一次函数y=2x－1的图象上的点，所以 也是二元一次方程2x－y=1的一个解.根据二元一次方程组的解的定义可知 是 的解.
［生］老师，用消元法解二元一次方程组 得到的解也是 .
［师］因此，我们又有了解二元一次方程组的新的方法——图象法.下面我们来看一个例题.
［例1］用作图象的方法解方程得
分析：在同一坐标中作出相应的两个一次函数的图象.观察图象的交点便可得出方程的解.
解：由x－2y=－2可得y= x+1,
同理，由2x－y=2可得y=2x－2,
在同一坐标系内作出一次函数y= x+1的图象l1和y=2x－2的图象l2.如下图.

admin

观察图象，得l1,l2的交点为P(2，2).
所以方程组 的解是
Ⅲ.随堂练习
1.课本P208.
(1)用作图解的方法解方程组 .
解：由2x+y=4得y=4－2x
同理，由2x－3y=12得y= x－4,
在同一坐标系中作函数y=4－2x的图象l1和函数y= x－4的图象l2,如下图所示：

观察图象，得l1,l2的交点P(3，－2)
所以方程组 的解为
(2)下图中的两直线l1,l2的交点坐标可以看作方程组_________的解.

解：由图象可知l1过点(1，3)、(0，1).设l1是函数y=k1x+b1的图象，根据题意，得
解得k1=2,b1=1.
所以l1是函数y=2x+1的图象.
l1同理可得l2是函数y=4－x的图象.所以l1、l2交点的坐标可看做二元一次方程组 的解.
2.补充练习(出示投影片§7.6 B)
如图，l甲，l乙分别表示甲走路与乙骑自行车(在同一条路上)行走的路程s与时间t的关系观察图象并回答下列问题：



(1)乙出发时，与甲相距_________千米；
(2)走了一段路程后，乙的自行车发生故障，停下来修理，修车的时间为[CD#2]时；
(3)乙从出发起，经过_________时与甲相遇；
(4)甲行走的路程s(千米)与时间t(时)之间的函数关系式是_________.
(5)如果乙的自行车不出现故障，那么乙出发后经过_________时与甲相遇，相遇处离乙的出发点_________千米，并在图中标出其相遇点.
解：由图示得：
(1)10千米  (2)1小时  (3)3小时
(4)设甲行走的路程s与时间t之间的函数关系为S=kt+b(t≥0).由于此函数的图象过(0，10)和(3，22.5)，根据题意可得b=10，k= .所以甲行走的路程s与时间t之间的函数关系为s= t+10(t≥0)
(5)如果乙不出现故障，乙行走的路程s与t之间的函数关系式为s=15t(t≥0).在同一坐标系中画出甲走路和乙骑自行车行走的路程s与时间t的关系，如下图：

由图可知乙出发后经过 小时与甲相遇，相遇时离乙的出发点为 ≈13.9千米.相遇点为图中P( ， )点.
Ⅳ.课时小结
本节课我们通过操作和思考，揭示了二元一次方程和函数图象之间的对应关系，从而引出了二元一次方程组的图象解法，同时也建立了“数”——二元一次方程组与“形”——函数图象之间的对应关系，培养了学生初步的数形结合的意识和能力.其实，在我们平时解二元一次方程组时，大多还用的消元法.但对于我们将来要学习的高次方程、无理方程等的求解，画图象的方法更具一般性.无疑这节的学习为我们的后继学习打下了基础.因此这节课用图象法求二元一次方程组的解必须理解和掌握.
Ⅴ.课后作业
1.课本P208、习题7.7.
2.收集有关科学家和方程的故事.
Ⅵ.活动与挖究
有一组数同时适合方程x+y=2和x+y=5吗？一次函数y=2－x，y=5－x的图象之间有何关系？你能从中“悟”出些什么？
过程：学生经过尝试是很容易发现x+y=2和x+y=5时没有一组数同时适合这两个二元一次方程的.即 这个二元一次方程组无解.
对于一次函数y=2－x，y=5－x的图象可以让学生作出它们的图象(下图)观察可以发现它们的图象(直线)是互相平行的，即它们无公共点.

结果：我们从中可以“悟”出：方程组的解与函数图象交点之间的关系：当函数的图象有交点时，说明相应的二元一次方程组有解；当函数的图象(直线)平行即无交点时，说明相应的二元一次方程组无解.反之也成立.
板书设计
§7.6  二元一次方程和一次函数
一、二元一次方程和一次函数的关系
(1)以二元一次方程的解为坐标的点在相应的一次函数图象上.
(2)一次函数图象上的点的坐标是相应的二元一次方程的解.
二、用图象法解二元一次方程组
［做一做］
［例题］
三、随堂练习
(学生板演)
四、课时小结


§7.7  回顾与思考

admin

知识与技能目标：
1.通过举例使学生准确理解二元一次方程、二元一次方程组解的概念，并熟练地运用代入消元法、加减消元法、图象法解二元一次方程组.
2.举出生活中用二元一次方程组解决问题的实例，抓住列二元一次方程组解决实际问题中的关键，找到相等关系，熟练地建模.
3.进一步通过举例说明二元一次方程和一次函数的关系.
过程与方法目标：
1.复习巩固解二元一次方程组的基本思想——消元，以及所体现出来的化归思想方法.
2.通过列方程组解实际问题，提高分析和综合的能力.
3.在理解二元一次方程和一次函数关系的同时，建立数学中的数形结合的思想.
情感态度与价值观目标：
本章是初中数学中对于培养价值观要求极为理想的教学内容——既有知识、技能，又可培养学生分析问题、解决问题的能力；既有传授数学思想、数学方法，又可对学生进行思想教育，提高学习积极性，培养学生合作交流的意识，在交流和反思的过程中建立知识体系，体验学习数学的成就感.
教学重点
1.二元一次方程组的三种解法——代入消元法、加减消元法、图象法.
2.列二元一次方程组解决实际生活中的问题.
3.二元一次方程和一次函数的关系.
教学难点
1.列二元一次方程组解决实际生活中的问题.
2.几种重要的数学思想——化归思想、方程思想和数形结合的思想等.
教学方法
交流——讨论——反思的师生互动法.
教学时，鼓励学生独立思考，自己回顾所学内容，并尝试回答教科书中提出的问题，对学生的回答，教师关注学生用自己语言解答的过程，关注学生运用例子说明自己对有关知识的理解.然后全班、小组交流、讨论，使学生在反思与交流的过程中建立本章的知识体系.
教具准备
投影片两张：
第一张：问题串(记作§7.7 A)；
第二张：随堂练习(记作§7.7 B).
教学过程
Ⅰ.回顾与思考
出示投影片(§7.7 A)


(1)举出生活中运用二元一次方程组解决问题的两个例子.
(2)在列二元一次方程组解决实际问题的过程中，你认为最关键的是什么？
(3)解二元一次方程组的基本思路是什么？有哪些方法？举例说明在什么情况下采用哪一种方法更为简便，并简要阐述解二元一次方程组的过程.
(4)举例说明二元一次方程与一次函数有何关系.
［师］同学们可根据以上四个问题，先思考，然后用自己的语言解答.
［生］我举一个生活中运用二元一次方程组解决实际问题的例子：
某商店购进一批衬衫，甲顾客以7折的优惠价格买了20件，而乙顾客以8折的优惠价格买了5件，结果商店都获得利润200元，求这批衬衫的进价是多少元？标价是多少元？
［师］我们要用二元一次方程组来解决这个问题，首先我们要根据题意把这个实际问题转化成数学模型——二元一次方程组.同学们可先作思考，然后回答是如何解答的.
［生］我认为在这个问题中首先要明白：利润=售价－进价.由此我们可找到两个相等关系：
①当商店把20件衬衫买给甲顾客时的相等关系是(标价×70%－进价)×20=200；
②当商店把5件衬衫买给乙顾客时的相等关系是(标价×80%－进价)×5=200.
因此，我们可以设这批衬衫的进价为x元，标价为y元，根据题意，得

化简方程组，得

解得
所以，这批衬衫进价是200元，标价是300元.
［生］老师，我也有生活中的一个实例：
某商店出售的某种茶壶每只定价20元，茶杯每只定价3元，该商店在营销淡季特规定一项优惠方法，即买一只茶壶赠送一只茶杯.我爸爸的单位里花了170元，买回茶壶和茶杯一共38只，问我爸的单位里买回茶壶和茶杯各多少只？
［生］这道题是紧密结合实际问题，即买一送一.所以这个问题的解决首先要联系实际，结合生活经历去审题；其次要弄清数量关系，防止出现“脱离实际”“自以为是”的想法.下面针对这个实例同学们可展开讨论.
［生］我认为在这个问题中，必须明白：在买回的茶杯中，有一些是商场赠送的，不需要花钱，而这个数目恰好是买回茶壶的数目.因此，可以设该单位买回茶壶x只，茶杯y只，根据题意，可找到两个相等关系：
①茶壶只数+茶杯只数=38只
②买茶壶的钱+买茶杯的钱=170元
列方程组，得

解得
所以该单位买回茶壶4只，茶杯34只.
［生］老师，我还有一种想法，可以间接设未知数，可设该单位买回茶壶x只,茶杯y只(不包括赠送的)，可得

解得
x+y=34
所以该单位总共买回茶壶4只，茶杯34只.
［师］看来在我们的生活中有形形色色的用二元一次方程组解决的实际问题.在这里就不一一列举，同学们有兴趣的话可以到课下继续交流生活中运用二元一次方程组解决问题的例子.
我们已经举了两个用二元一次方程组解决实际问题中的例子.在此过程中，你认为最关键的是什么？
［生］应用方程组解决实际问题的关键在于正确找出问题中的两个等量关系，列出方程组成方程组，并注意检验解的合理性.
［师］我们接下来看回顾与思考中的第(3)个问题.
［生］解二元一次方程组的基本思路是消元——二元化为一元.例如
解方程组
由①得y=2x－5,            ③
把③代入②，得
7x－3(2x－5)=20，
x=5,
把x=5代入③得y=5,
所以方程组的解为