北师大版八年级上册数学第七章解二元一次方程组教案导学案

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第七章   解二元一次方程组


§7.2.1  解二元一次方程组(一)

知识与技能目标：
1.代入消元法解二元一次方程组.
2.解二元一次方程组时的“消元”思想，“化未知为已知”的化归思想.
过程与方法目标：
1.会用代入消元法解二元一次方程组.
2.了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体会数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
情感态度与价值观目标：  
1.在学生了解二元一次方程组的“消元”思想，从而初步理解化“未知”为“已知”和化复杂问题为简单问题的化归思想中，享受学习数学的乐趣，提高学习数学的信心.
2.培养学生合作交流，自主探索的良好习惯.
教学重点
1.会用代入消元法解二元一次方程组.
2.了解解二元一次方程组的“消元”思想，初步体现数学研究中“化未知为已知”的化归思想.
教学难点
1.“消元”的思想.
2.“化未知为已知”的化归思想.
教学方法
启发——自主探索相结合.
教师引导学生回忆一元一次方程解决实际问题的方法并从中启发学生如果能将二元一次方程组转化为一元一次方程.二元一次方程便可获解，从而通过学生自主探索总结用代入消元法解二元一次方程组的步骤.
教具准备
投影片两张：
第一张：例题(记作§7.2.1 A)；
第二张：问题串(记作§7.2.1 B).
教学过程
Ⅰ.提出疑问，引入新课
［师生共忆］上节课我们讨论过一个“希望工程”义演的问题；没去观看义演的成人有x个，儿童有y个，我们得到了方程组 成人和儿童到底去了多少人呢？
［生］在上一节课的“做一做”中，我们通过检验 是不是方程x+y=8和方程5x+3y=34，得知这个解既是x+y=8的解，也是5x+3y=34的解，根据二元一次方程组解的定义得出 是方程组 的解.所以成人和儿童分别去了5个人和3个人.
［师］但是，这个解是试出来的.我们知道二元一次方程的解有无数个.难道我们每个方程组的解都去这样试？
［生］太麻烦啦.
［生］不可能.
［师］这就需要我们学习二元一次方程组的解法.
Ⅱ.讲授新课
［师］在七年级第一学期我们学过一元一次方程，也曾碰到过“希望工程”义演问题，当时是如何解的呢？
［生］解：设成人去了x个，儿童去了(8－x)个，根据题意，得：
5x+3(8－x)=34
解得x=5
将x=5代入8－x=8－5=3
答：成人去了5个，儿童去了3个.
［师］同学们可以比较一下：列二元一次方程组和列一元一次方程设未知数有何不同？列出的方程和方程组又有何联系？对你解二元一次方程组有何启示？
［生］列二元一次方程组设出有两个未知数成人去了x个，儿童去了y个.列一元一次方程设成人去了x个，儿童去了(8－x)个.y应该等于(8－x).而由二元一次方程组的一个方程x+y=8根据等式的性质可以推出y=8－x.
［生］我还发现一元一次方程中5x+3(8－x)=34与方程组中的第二个方程5x+3y=34相比较，把5x+3y=34中的“y”用“8－x”代替就转化成了一元一次方程.
［师］太好了.我们发现了新旧知识之间的联系，便可寻求到解决新问题的方法——即将新知识转化为旧知识便可.如何转化呢？
［生］上一节课我们就已知道方程组的两个未知数所包含的意义是相同的.所以将         中的①变形，得y=8－x  ③我们把y=8－x代入方程②，即将②中的y用8－x代替，这样就有5x+3(8－x)=34.“二元”化成“一元”.
［师］这位同学很善于思考.他用了我们在数学研究中“化未知为已知”的化归思想，从而使问题得到解决.下面我们完整地解一下这个二元一次方程组.
解：
由①得  y=8－x  ③
将③代入②得
5x+3(8－x)=34
解得x=5
把x=5代入③得y=3.
所以原方程组的解为
下面我们试着用这种方法来解答上一节的“谁的包裹多”的问题.
［师生共析］解二元一次方程组：

分析：我们解二元一次方程组的第一步需将其中的一个方程变形用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，把表示了的未知数代入未变形的方程中，从而将二元一次方程组转化为一元一次方程.
解：由①得x=2+y  ③
将③代入②得(2+y)+1=2(y－1)
解得y=5
把y=5代入③，得
x=7.
所以原方程组的解为 即老牛驮了7个包裹，小马驮了5个包裹.
［师］在解上面两个二元一次方程组时，我们都是将其中的一个方程变形，即用其中一个未知数的代数式表示另一个未知数，然后代入第二个未变形的方程，从而由“二元”转化为“一元”而得到消元的目的.我们将这种方法叫代入消元法.这种解二元一次方程组的思想为消元思想.我们再来看两个例子.
出示投影片(§7.2.1 A)
［例题］解方程组
(1)
(2)

(由学生自己完成，两个同学板演).
解：(1)将②代入①，得
3× +2y=8
3y+9+4y=16
7y=7
y=1
将y=1代入②，得
x=2
所以原方程组的解是
(2)由②，得x=13－4y  ③
将③代入①，得
2(13－4y)+3y=16
－5y=－10
y=2
将y=2代入③，得
x=5
所以原方程组的解是
［师］下面我们来讨论几个问题：
出示投影片(§7.2.1 B)
(1)上面解方程组的基本思路是什么？
(2)主要步骤有哪些？
(3)我们观察例1和例2的解法会发现，我们在解方程组之前，首先要观察方程组中未知数的特点，尽可能地选择变形后的方程较简单和代入后化简比较容易的方程变形，这是关键的一步.你认为选择未知数有何特点的方程变形好呢？

admin

(由学生分组讨论，教师深入参与到学生讨论中，发现学生在自主探索、讨论过程中的独特想法)
［生］我来回答第一问：解二元一次方程组的基本思路是消元，把“二元”变为“一元”.
［生］我们组总结了一下解上述方程组的步骤：第一步：在已知方程组的两个方程中选择一个适当的方程，把它变形为用一个未知数的代数式表示另一个未知数.
第二步：把表示另一个未知数的代数式代入没有变形的另一个方程，可得一个一元一次方程.
第三步：解这个一元一次方程，得到一个未知数的值.
第四步：把求得的未知数的值代回到原方程组中的任意一个方程或变形后的方程(一般代入变形后的方程)，求得另一个未知数的值.
第五步：用“{”把原方程组的解表示出来.
第六步：检验(口算或笔算在草稿纸上进行)把求得的解代入每一个方程看是否成立.
［师］这个组的同学总结的步骤真棒，甚至连我们平时容易忽略的检验问题也提了出来，很值得提倡.在我们数学学习的过程中，应该养成反思自己解答过程，检验自己答案正确与否的习惯.
［生］老师，我代表我们组来回答第三个问题.我们认为用代入消元法解二元一次方程组时，尽量选取一个未知数的分数是1的方程进行变形；若未知数的系数都不是1，则选取系数的绝对值较小的方程变形.但我们也有一个问题要问：在例2中，我们选择②变形这是无可厚非的，把②变形后代入①中消元得到的是一元一次方程系数都为整数也较简便.可例1中，虽然可直接把②代入①中消去x，可得到的是含有分母的一元一次方程，并不简便，有没有更简捷的方法呢？
［师］这个问题提的太好了.下面同学们分组讨论一下.如果你发现了更好的解法，请把你的解答过程写到黑板上来.
［生］解：由②得2x=y+3  ③
③两边同时乘以2，得
4x=2y+6  ④
由④得2y=4x－6
把⑤代入①得
3x+(4x－6)=8
解得7x=14,x=2
把x=2代入③得y=1.
所以原方程组的解为
［师］真了不起，能把我们所学的知识灵活应用，而且不拘一格，将“2y”整体上看作一个未知数代入方程①，这是一个“科学的发明”.
Ⅲ.随堂练习
课本P192
1.用代入消元法解下列方程组
解：(1)  
将①代入②，得
x+2x=12
x=4.
把x=4代入①，得
y=8
所以原方程组的解为
(2)
将①代入②，得
4x+3(2x+5)=65
解得x=5
把x=5代入①得
y=15
所以原方程组的解为
(3)
由①，得x=11－y  ③
把③代入②，得
11－y－y=7
y=2
把y=2代入③，得
x=9
所以原方程组的解为
(4)
由②，得x=3－2y  ③
把③代入①，得
3(3－2y)－2y=9
得y=0
把y=0代入③，得x=3
所以原方程组的解为
注：在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，各个学生消元的具体方法可能不同，不必强调解答过程统一.
Ⅳ.课时小结
这节课我们介绍了二元一次方程组的第一种解法——代入消元法.了解到了解二元一次方程组的基本思路是“消元”即把“二元”变为“一元”.主要步骤是：将其中的一个方程中的某个未知数用含有另一个未知数的代数式表示出来，并代入另一个方程中，从而消去一个未知数，化二元一次方程组为一元一次方程.解这个一元一次方程，便可得到一个未知数的值，再将所求未知数的值代入变形后的方程，便求出了一对未知数的值.即求得了方程的解.
Ⅴ.课后作业
1.课本P192习题7.2
2.解答习题7.1第3题
3.预习课本P193~P194
Ⅵ.活动与探究
已知代数式x2+px+q,当x=－1时，它的值是－5；当x=－2时，它的值是4,求p、q的值.
过程：根据代数式值的意义，可得两个未知数都是p、q的方程，即
当x=－1时，代数式的值是－5，得
(－1)2+(－1)p+q=－5                  ①
当x=－2时，代数式的值是4，得
(－2)2+(－2)p+q=4                  ②
将①、②两个方程整理，并组成方程组

admin

解方程组，便可解决.
结果：由④得q=2p
把q=2p代入③，得
－p+2p=－6
解得p=－6
把p=－6代入q=2p=－12
所以p、q的值分别为－6、－12.
板书设计

§7.2.1  解二元一次方程组(一)
一、“希望工程”义演

二、“谁的包裹多”问题

三、例题
四、解方程组的基本思路：消元即二元—→一元
五、解二元一次方程组的基本步骤

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§7.2.2  解二元一次方程组(二)

知识与技能目标：
1.用加减消元法解二元一次方程组.
2.进一步了解解二元一次方程组时的“消元”思想，“化未知为已知”化归思路.
过程与方法目标：
1.会用加减消元法解二元一次方程组.
2.根据不同方程的特点，进一步体会解二元一次方程组的基本思路——消元.
情感态度与价值观目标：
1.进一步体会解二元一次方程组的消元思想，在化“未知为已知”的过程中，体验学习的快乐.
2.根据方程组的特点，培养学生学习教学的创新、开拓的意识.
教学重点
1.掌握加减消元法解二元一次方程组的原理及一般步骤.
2.能熟练地运用加减消元法解二元一次方程组.
教学难点
1.解二元一次方程组的基本思路消元即化“二元”为“一元”的思想.
2.数学研究的“化未知为已知”的化归思想.
教学方法
启发——比较——自主探索相结合.
由一个引例启发学生除可以利用代入消元法可以消去一个未知数，获得问题的解答.通过观察比较可以发现如果某个未知数的系数相反或相同，这时我们就可以依据等式的性质将方程两边相加或相减，从而消去一个未知数，从而更进一步引导学生自主探索解二元一次方程组的加减消元法直至熟练掌握.
教具准备
投影片一张：问题串(记作§7.2.2 A).
教学过程
Ⅰ.提出疑问，创设问题情景，引入新课
［师］怎样解下面的二元一次方程组呢？

［生1］解：把②变形，得x=   ③
把③代入①，得
3× +5y=21,
解得y=－3.
把y=3代入②，得
x=2.
所以方程组的解为
［生2］解：由②得5y=2x+11  ③
把5y当做整体将③代入①，得
3x+(2x+11)=21
解得x=2
把x=2代入③，得
5y=2×2+11
y=3
所以原方程的解为
［师］我们可以发现第二种解法比第一种解法简单.有没有更好的解法呢？也就是说，我们上一节课学习了用代入的方法可以消元，从而使“二元”变为“一元”.那么有没有别的消元办法也可以使“二元”变为“一元”.
［生］我发现了方程①和②中的5y和－5y互为相反数，根据互为相反数的和为零，如果能将方程①和②的左右两边相加，根据等式的性质我们可以得到一个含有x的等式，即一元一次方程，而5y+(－5y)=0消去了y.
［师］很好.这正是我们这节课要学习的二元一次方程组的解法中的第二种方法——加减消元法.
Ⅱ.讲授新课
［师］下面我们就用刚才这位同学的方法解上面的二元一次方程组.
解：
由①+②，得
(3x+5y)+(2x－5y)=21+(－11),
即3x+2x=10,
x=2,
把x=2代入②中，得
y=3.

admin

所以原方程组的解为
［师生共析］一个方程组我们用了三种方法，从中可以发现，恰当地选择解法可以起到事半功倍的效果.回忆上一节的练习和习题，看哪些题用代入消元法解起来比较简单？哪些题我们用加减消元法简单？我们分组讨论，并派一个代表阐述自己的意见.
［生］我们组认为课本P192的随堂练习的(3)(4)小题用加减消元法简单.
［师］你们组能派两位同学有加减消元法把这两个方程组解一下吗？
［生］可以.
(学生黑板板演，接着听其他组讨论的结果)
［生］我们组认为习题7.2.1(2)也可以用加减消元法，我可以到黑板上做.
［生］老师，习题7.2.1(4)把方程组变形后，得 也可以用加减消元法.我在黑板上做.
［师］下面，我们讲评一下刚才这几位同学解方程组的方程.(1)  (2) 这两个方程组中，y的系数都是互为相反数，因此这两位同学都用了用方程组中的两个方程相加，从而把y消去，将二元转化为一元，最后解出了方程的解，很好.(3)          我们观察此方程y的系数都是1，因此这位同学想到了用②－①,得x=3，代入①就解出y=2.(4)         这位同学将方程组整理，得          由②－③得8n=－16，n=－2，把n=－2代入②便得m=5.这几位同学的解法很好，同学们已经发现了方程组中如果一个未知数的系数相反或相同，我们就可以用加减消元法来解方程组.
［生］老师，我有一个问题：习题7.2的(3)小题，用代入消元法解，较麻烦.用加减消元法解，x、y的系数不相同也不相反，没有办法用加减消元法.是不是还有别的方法.
［师］这个同学提的问题太好了.能发现问题是我们学习很重要的一个方面，同学们应该向他学习.接下来，同学们分组讨论，方程组          不用代入消元法如何解？
［生］老师，我们组想出了一个办法，能不能用等式的性质将这个方程组中的x或y的系数化成相等(或相反)呢？
［生］可以.我只要在方程①和方程②的两边分别除以3和4，x的系数不就变成“1”了吗？这样就可以用加减消元法了.
［生］我不同意.这样做，y的系数和常数项都变成了分数，比代入消元法还麻烦.我觉得应该找到y的系数－2的绝对值和3的最小公倍数6，在方程①两边同乘以3，得9x－6y=－12③,在方程②两边同乘以2，得8x+6y=－22④,然后③+④，就可以将y消去，得17x=     －34,x=－2.把x=－2代入①得，y=－1.所以方程组的解为
［师］同学们为他鼓掌，他的想法太精彩了，我们祝贺他.其实在我们学习数学的过程中，不一定二元一次方程组中未知数的系数刚好是1，或同一个未知数的系数刚好相同或相反.我们遇到的往往就是象习题7.2.1.(3)题这样的方程组，我们要想比较简捷地把它解出来，就需要转化为同一个未知数系数相同或相反的情形，从而用加减消元法，达到消元的目的.下面我们看一个例子.
解方程组
分析：未知数的系数没有绝对值是1的，也没有哪一个未知数的系数相同或相反.我们观察可以发现，x的系数绝对值较小，因此我们找到2和3的最小公倍数6，然后①×3，②×2，便可将①②的x的系数化为相同.
解：①×3得6x+9y=36  ③
②×2,得6x+8y=34  ④
③－④，得y=2.
将y=2代入①，得x=3.
所以原方程组的解是
［师］我们根据上面几个方程组的解法，接下来讨论下面两个问题：
出示投影片(§7.2.2 A)
(1)加减消元法解二元一次方程组的基本思路是什么？
(2)用加减消元法解二元一次方程组的主要步骤有哪些？
(由学生分组讨论、总结)
［师生共析］(1)用加减消元法解二元一次方程组的基本思路仍然是“消元”.
(2)用加减法解二元一次方程组的一般步骤.
第一步：在所解的方程组中的两个方程，如果某个未知数的系数互为相反数，可以把这两个方程的两边分别相加，消去这个未知数；如果未知数的系数相等，可以直接把两个方程的两边分别相减，消去这个未知数.
第二步：如果方程组中不存在某个未知数的系数的绝对值相等，那么应选出一组系数(选最小公倍数较小的一组系数)，求出它们的最小公倍数(如果一个系数是另一个系数的整数倍，该系数即为最小公倍数)，然后将原方程组变形，使新方程组的这组系数的绝对值相等(都等于原系数的最小公倍数)，再加减消元.
第三步：对于较复杂的二元一次方程组，应先化简(去分母，去括号，合并同类项等).通常要把每个方程整理成含未知数的项在方程的左边，常数项在方程右边的形式，再作如上加减消元的考虑.
Ⅲ.随堂练习
课本P195.用加减消元法解下列方程组：
1.解：(1)
①+②，得16x=－16
x=－1
把x=－1代入①，得
y=－5
所以原方程的解为
(2)
②－①，得6y=－18
y=－3
把y=－3代入①，得
x=－2
所以原方程组的解为
(3)
①－②×2得5t=15
t=3
把t=3代入②，得
s=－1
所以原方程组的解为
(4)
①×2－②×3,得－11x=33
x=－3
把x=－3代入①得y=－4
所以原方程组的解为

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注：在随堂练习中，可以鼓励学生通过自主探索与交流，不必强调解答过程统一.
Ⅳ.课时小结
关于二元一次方程组的解法：代入消元法和加减消元法我们全部学完了.比较这两种解法我们会发现其实质都是消元，即通过消去一个未知数，化“二元”为“一元”.
Ⅴ.课后作业
1.课本P197、习题7.3
2.阅读P195读一读•你知道计算机是如何解方程组吗.
Ⅵ.活动与探究
解三元一次方程组：

过程：解二元一次方程组的实质是消元，即通过消去一个未知数，由“二元”变为“一元”，于是我们联想，能否借助解二元一次方程组消元的思路，将三元一次方程组消元，由“三元”消为“二元”，不就是我们刚学过的二元一次方程组吗.我们观察这个方程组②中不含未知数z，如果能利用①和②消去z，不就又得到一个和②一样只含x,y的二元一次方程④，将②和④联立成二元一次方程组.也就将三元一次方程组消元，由“三元”变为“二元”.
结果：解：由①－③得
－x+2y=8  ④
联立②、④得
由②+④得y=9
把y=9代入②，得x=10
把x=10、y=9代入①得z=7
所以三元一次方程组的解为：
板书设计
§7.2.2  解二元一次方程组(二)
一、学生板演

解法一：代入消元法
解法二：(加减消元法)
解法三：(整体代入法)
二、加减消元法的思路和步骤
三、例题(用加减消元法求解)
四、课时小结




§7.3  鸡兔同笼

知识与技能目标：
1.会用二元一次方程组解决实际问题.
2.在解决实际问题的过程中，用方程组这样的数学模型刻画现实世界.
过程与方法目标：
1.在列方程组的建模过程中，强化方程的模型思想，培养学生列方程解决现实问题的意识和应用能力.
2.将解方程组的技能训练与实际问题的解决融为一体，进一步提高解方程组的技能.
情感态度与价值观目标：
1.体会方程组是刻画现实世界的有效数学模型，培养应用数学的意识.
2.在用方程组解决实际问题的过程中，体验数学的实用性，提高学习数学的兴趣.
教学重点
1.让学生经历和体验到方程组解决实际问题的过程.
2.进一步体会方程(组)是刻画现实世界的有效数学模型，培养学生的数学应用能力.
教学难点
用方程(组)这样的数学模型刻画和解决实际问题，即数学建模的过程.
教学方法
自主发现法.
学生在教师的启发引导下通过对具体实际的问题分解，组织学生自主交流，探索去发现列方程建模的过程，从而激发学生学习数学的兴趣，培养学生应用数学的意识.
教具准备
投影片一张：鸡兔同笼(记作§7.3 A).
教学过程
Ⅰ.提出问题，激发兴趣
［师］我们本章的开头就介绍过“鸡兔同笼”的问题，这节课我们接着用方程来解决此问题，看结果如何？
Ⅱ.讲授新课
出示投影片(§7.3 A)
1.今有鸡兔同笼，上有三十五头，下有九十四足，问鸡兔各几何？
(1)“上有三十五头”“下有九十四足”如何解释？
(2)你能根据(1)中的数量关系列出方程组吗？
(3)你能解决这样的问题吗？
2.有2元，5元，10元人民币共50张，合计305元，其中2元的张数与5元的张数相同，三种人民币各有多少张？
(1)这个问题和上面的“鸡兔同笼”问题有联系吗？
(2)你准备设几个未知数？
(3)你能根据题目中的已知量、未知量及它们之间的关系列出方程组吗？
(4)你能解决这样的问题吗？
［师］就上面的问题，我们先分组讨论.
(学生在讨论时，教师可参与到学生的讨论，听学生的想法，以便能及时了解学生的思路)
［师生共析］1.(1)“上有三十五头”是指“鸡和兔共有35只.即“鸡的只数+兔的只数=35只”.“下有九十四足”是指鸡的腿与兔子的腿的和为94条.即“鸡的腿+兔子的腿=94”.
(2)根据(1)中的数量关系，我们可以设鸡有x只，兔有y只，可得x+y=35  ①，2x+4y=94  ②,把①和②联立方程组，得

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(3)解法一：由①得y=35－x       ③
把③代入②中，得2x+4(35－x)=94
解得x=23
把x=23代入①，得y=12.
所以原方程组的解为
解法二：②－①×2，得
2y=24
y=12
把y=12代入①，得x=23
所以原方程组的解为
答：鸡有23只，兔子有12只.
和这一章最开始引言中用算术方法和一元一次方程的方法来解“鸡免同笼”的问题来比较，用列二元一次方程组来解决此题会更直观，更容易理解.
2.(1)这个问题类似于“鸡兔同笼”的问题.因为它也是将“2元，5元，10元”的人民币混合在了一起，只知道总共有多少张，合起来共多少元，求2元，5元，10元的人民币各有多少张？
(2)在这个题目中，设两个未知数也可以；设三个未知数也可以.我们先来看设两个未知数的情况.由于2元和5元的张数相同，我们可以各设有x张，10元的张数有y张.
(3)根据题目中的已知条件可找到两个等量关系即：2元的张数+5元的张数+10元的张数=50张，2元的总面值+5元的总面值+10元的总面值=305元，于是我们根据(1)中的未知数列出二元一次方程组：

(4)用代入消元法和加减消元法都可解决.可由同学们板演完成.
解法一：由①得y=50－2x          ③
把③代入②，得x=15
把x=15代入③，得y=20
所以原方程组的解为
解法二：①×10－②，得
x=15
把x=15代入①，得y=20
所以原方程组的解为
答：2元和5元的人民币各有15张，10元的人民币有20张.
［议一议］如果2、(2)中设有三个未知数，即如果设2元的人民币有x张，5元的人民币y张，10元的人民币z张，如何列出方程组，解上述问题呢？
［生］我们在设未知数时，没有利用2元的人民币和5元的人民币张数相等这个条件，因此列出的方程就多出一个，再加上我们刚才的两个相等关系，列出的是一个三元一次方程组即由x=y  ①，x+y+z=50  ②，2x+5y+10z=305  ③，组成的三元一次方程组.
［师］我们没有详细地讲过三元一次方程组的解法，但我们借鉴二元一次方程组的基本思路——消元，可以解答这个三元一次方程组.下面我们一同来解方程组

我们可以将①代入②和③，得二元一次方程组

解这个二元一次方程组，得

把y=15代入①得x=15
所以方程组的解为
［生］老师，看来解方程组未知数出了并不可怕，关键是掌握解方程组的基本思路——消元.
［师］的确如此.我们学会了解方程组可以解决许多问题.下面我们再来看一下例子.估计大家小学的时候见过.
［例1］以绳测井.若将绳三折测之，绳多五尺；若将绳四折测之，绳多一尺.绳长、井深各几何？
谁来给大家解释一下题意.
［生］老师，我试一下.这个题目的大意是：用绳子测量水井的深度，如果将绳子三折即折成三等份，则一份绳子的长度比井多五尺；如果将绳子四折即折成四等份，则一份绳子的长度比井深多一尺.绳长、井深各是多少尺？
［师］这位同学解释得很棒.接下来我们就将此问题转化成数学模型方程组来解决它.首先我们可以从题目中找到相等关系.你知道相等关系蕴含在哪两句话里?你能用含文字的等式表示出来吗?
［生］可以.我认为相等关系蕴含在“将绳三折测之，绳多五尺”和“若将绳四折测之，绳多一尺”.这两句话中，用等式表示出来为：
绳长÷3－井深=5                ①
绳长÷4－井深=1                ②
［生］老师，我认为相等关系也在这两句话中，但我用下面的等式表示：
绳长－3×井深=5×3             ③
绳长－4×井深=1×4             ④
［师］很好.我们现在设出未知数，设绳长为x尺，井深为y尺，根据①、②得方程组为：

根据③、④得方程组：

我们观察这两个方程组虽然形式上不同，但我们将第一个方程组中的方程化简，整理便可得出第二个方程组.因此这两个方程组是“同工异曲”的效果.下面我们在练习本上解出方程组的解，你可以任意选其中之一.
(然后让两位学生黑板上板演，教师讲评)
解法一：设绳长x尺，井深y尺，则

①－②，得 =4,