初中数学升学探究型模拟试题

wangluo

探究性问题涉及的基础知识非常广泛，题目没有固定的形式，因此没有固定的解题方法。它既能充分地考查学生的基础知识掌握的熟悉程度，又能较好的考查学生的观察、分析、比较、概括的能力，发散思维能力等，因此复习中既要重视基础知识的复习，又要加强变式训练和数学思想方法的研究，切实提高分析问题、解决问题的能力。


例1（宜昌课改）如图1，已知△ABC的高AE=5，BC=，∠ABC＝45°，F是AE上的点，G是点E关于F的对称点，过点G作BC的平行线与AB交于H、与AC交于I，连接IF并延长交BC于J，连接HF并延长交BC于K．


（1）请你探索并判断四边形HIKJ是怎样的四边形？并对你得到的结论予以证明；


（2）当点F在AE上运动并使点H、I、K、J都在△ABC的三条边上时，求线段AF长的取值范围．


（图2供思考用）























　　　　　解：(1)∵点G与点E关于点F对称，


　　　　　　∴GF=FE



　　　　　　∵HI∥BC，


　　　　　　∴∠GIF=∠EJF，


　　　　　　又∵∠GFI=∠EFJ，


　　　　　　∴△GFI≌△EFJ，


　　　　　　∴GI=JE



　　　　　同理可得HG=EK ，


　　　　　∴HI=JK,



　　　　　∴四边形HIKJ是平行四边形



　　(注：说明四边形HIJK是平行四边形评1分,利用三角形全等说明结论的正确性评2分)


　　　（2）当F是AE的中点时，A、G重合，所以AF=2.5



　　　　　如图1，∵AE过平行四边形HIJK的中心F,


　　　　　∴HG=EK, GI=JE.∴HG/BE=GI/EC.


　　　　　∵CE＞BE,∴GI＞ HG, ∴CK＞BJ.


　　　　　∴当点F在AE上运动时, 点K、J 随之在BC上运动,



　　如图2，当点F的位置使得B、J重合时，这时点K仍为CE上的某一点（不与C、E重合），而且点H、I也分别在AB、AC上


（这里为独立评分点，以上过程只要叙述大体清楚，说理较为明确即可评2分，不说明者不评分，知道要说理但部分不正确者评1分）



　　　　　设EF＝x，∵∠AHG＝∠ABC＝45°，AE＝5，


　　　　　∴BE＝5＝GI，AG＝HG＝5-2x ,CE＝-5


　　　　　∵△AGI∽△AEC，



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图3


　　　　　∴AG∶AE＝GI∶CE.



　　　　　∴(5-2x)∶5＝5∶(
-5)



　　　　　∴AF＝5-x＝4



　　　　　∴＜AF≤4





说明:本题考查知识较多，主要考查了全等三角形、平行四边形、相似形的判定及应用。

wangluo

　练习一

　　1、(2005年盐城)在探讨圆周角与圆心角的大小关系时，小亮首先考虑了一种特殊情况（圆心在圆周角的一边上）如图(1)所示：





















　　　　　∵∠AOC是⊿ABO的外角


　　　　　∴∠AOC=∠ABO+∠BAO


　　　　　又∵OA=OB


　　　　　∴∠OAB=∠OBA
∴∠AOC=2∠ABO


　　　　　即∠ABC=∠AOC


　　　　　如果∠ABC的两边都不经过圆心，如图(2)、（3）,那么结论会怎样?请你说明理由.


　　2、课题研究：现有边长为120厘米的正方形铁皮，准备将它设计并制成一个开口的水槽，使水槽能通过的水的流量最大．


初三（1）班数学兴趣小组经讨论得出结论：在水流速度一定的情况下，水槽的横截面面积越大，则通过水槽的水的流量越大．为此，他们对水槽的横截面进行了如下探索：


⑴方案①：把它折成横截面为直角三角形的水槽（如图1）．




若∠ACB=90°，设AC=x厘米，该水槽的横截面面积为y厘米2，请你写出y关于x的函数关系式（不必写出x的取值范围），并求出当x取何值时，y的值最大，最大值又是多少？




方案②：把它折成横截面为等腰梯形的水槽（如图2）．


若∠ABC=120°，请你求出该水槽的横截面面积的最大值，并与方案①中的y的最大值比较大小．


　　　　　　　　　　






　⑵假如你是该兴趣小组中的成员，请你再提供两种方案，使你所设计的水槽的横截面面积更大．画出你设计的草图，标上必要的数据（不要求写出解答过程）．




　　3（绵阳）如图①，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .


　　(1) 如图②，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)


　　(2) 如图③，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；


　　(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个一般三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，为使S1、S2、S3之间仍具有与(2)相同的关系，所作三角形应满足什么条件？证明你的结论；


　　(4) 类比(1)、(2)、(3)的结论，请你总结出一个更具一般意义的结论 .
　　　　

　　4.（江苏）取一张矩形的纸片进行折叠，具体操作过程如下：


　　第一步：先把矩形ABCD对折，折痕为MN，如图（1）；


　　　　第二步：再把B点叠在折痕线MN上，折痕为AE，点B在MN上的对应点为，得Rt△AE，如图（2）；


　　第三步：沿EB`线折叠得折痕EF，如图（3）。

　　　利用展开图（4）探究：


　　（1）△AEF是什么三角形？


　　　（2）对于任一矩形，按照上述方法是否都能折出这种三角形？请说明理由。

wangluo

　　5、如图1，操作：把正方形CGEF的对角线CE放在正方形ABCD的边BC的延长线上（CG＞BC），取线段AE的中点M。


　　　　　探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。


　　　　　说明：（1）如果你经历反复探索，没有找到解决问题的方法，请你把探索过程中的某种思路写出来（要求至少写3步）；（2）在你经历说明（1）的过程之后，可以从下列①　、　②　、③中选取一个补充或更换已知条件，完成你的证明。


　　　　　注意：选取①完成证明得10分；选取②完成证明得7分；选取③完成证明得5分。


　　①
DM的延长线交CE于点N，且AD＝NE；



　　  ② 将正方形CGEF绕点C逆时针旋转45°（如图2），



　　其他条件不变；③在②的条件下且CF＝2AD。


　　附加题：将正方形CGEF绕点C旋转任意角度后（如图3），其他条件不变。探究：线段MD、MF的关系，并加以证明。






















　例2（连云港）如图，将一块直角三角形纸板的直角顶点放在处，两直角边分别与轴平行，纸板的另两个顶点恰好是直线与双曲线的交点．


　　（1）求和的值；


　　（2）设双曲线在之间的部分为，让一把三角尺的直角顶点在上


　　　　滑动，两直角边始终与坐标轴平行，且与线段交于两点，请探究是否存在点使得，写出你的探究过程和结论．


　　　　　　　　　　
　　　　　　知识点：




　　　解：（1）∵在双曲线上，∥轴，∥轴，


　　　　　　∴A，B的坐标分别
，．



　　　　　　　又点A，B在直线上，∴



  　　　　　　　　 解得或



　　　　　　　　当且时，点A，B的坐标都是
，不合题意，应舍去；


　　　　　　　　当且时，点A，B的坐标分别为,,符合题意．


　　　　　　　　　∴且.


　　　　　　　　（2）假设存在点使得．


　　　　　　∵ ∥轴，∥
轴，∴
∥
，


　　　　　　　∴，∴Rt
∽Rt,∴,


　　　　　　　　设点P坐标为（1＜x＜8），则M点坐标为，


　　　　　　　∴.又，


　　　　　　　　∴，即　　　（※）



　　　　　　　　∵．∴方程（※）无实数根．


　　　　　　　所以不存在点使得．

wangluo

　　练习二


　　1、（包头）已知一次函数y1=x，二次函数y2=x2+
。


　　(1)
根据表中给出的x的值，填写表中空白处的值；(2分)

x	―3	―2	―1	0	1	2	3
y1=x	―3	―2	―1	0	1	2	3
y2= x2+			1		1

　　　(2)观察上述表格中的数据，对于x的同一个值，判断yl和y2的大小关系。并证明：在实数范围内，对于x的同一个值，这两个函数所对应的函数值y1和y2的大小关系仍然成立；


　　  (3)若把y1=x换成与它平行的直线y=x+k(k为任意非零实数)，请进一步探究：当k满足什么条件时，(2)中的结论仍然成立；当k满足什么条件时，(2)中的结论不能对任意的实数x都成立，并确定使(2)中的结论不成立的x的范围。






　　　　　　　　　　




　　2、（北京丰台）在直角坐标系中，⊙经过坐标原点O，分别与x轴正半轴、y轴正半轴交于点A、B。



（1）如图，过点A作⊙
的切线与y轴交于点C，点O到直线AB的距离为，求直线AC的解析式；



（2）若⊙
经过点M（2，2），设的内切圆的直径为d，试判断d+AB的值是否会发生变化，如果不变，求出其值，如果变化，求其变化的范围。


　　　　　　　　　　


　　3、（2005年内江）教师提出：如图A（1,0），AB＝OA，过点A、B作ｘ轴的垂线交二次函数的图象于C、D两点，直线OC交BD于点M，直线CD交ｙ轴于点H，记点C、D的横坐标分别为，点H的纵坐标为。


　　同学讨论发现：①2：3 ②


　　⑴请你验证①②结论成立；


　　⑵请你研究：如将上述条件“A(1，0)”改为“A”，其他条件不娈，结论①是否仍成立？


　　⑶进一步研究：在⑵的条件下，又将条件“”改为“，其他条件不娈，那么和有怎样的数值关系？(写出结果并说明理由)


　　　　　　　　　　　




　　4、（2005深圳南山区）．如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCO的面积为15，边OA比OC大2．E为BC的中点，以OE为直径的⊙O′交轴于D点，过点D作DF⊥AE于点F．


（1）
求OA、OC的长；




（2）求证：DF为⊙O′的切线；


（3）小明在解答本题时，发现△AOE是等腰三角形．由此，他断定：“直线BC上一定存在除点E以外的点P，使△AOP也是等腰三角形，且点P一定在⊙O′外”．你同意他的看法吗？请充分说明理由．






                           

wangluo

　能力训练

　　1、已知：直线a∥b，P、Q是直线a上的两点，M、N是直线b上两点。


　　（1）如图①，线段PM、QN夹在平行直线a和b之间，四边形PMNQ为等腰梯形，其两腰PM＝QN。

请你参照图①，在图②中画出异于图①的一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条线段相等。

　　（2）我们继续探究，发现用两条平行直线a、b去截一些我们学过的图形，会有两条“曲线段相等”（曲线上两点和它们之间的部分叫做“曲线段”。把经过全等变换后能重合的两条曲线段叫做“曲线段相等”）。

　请你在图③中画出一种图形，使夹在平行直线a和b之间的两条曲线段相等。



















　　（3）如图④，若梯形PMNQ是一块绿化地，梯形的上底PQ＝m，下底MN＝n，且m＜n。现计划把价格不同的两种花草种植在S1、S2、S3、S4四块地里，使得价格相同的花草不相邻。为了节省费用，园艺师应选择哪两块地种植价格较便宜的花草？请说明理由。

　　　　　　　　　　　　

　　2、（2005年河北）操作示例:


对于边长为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图1所示的方式摆放，在沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图1中的四边形BNED。


从拼接的过程容易得到结论：


①四边形BNED是正方形；


②S正方形ABCD＋S正方形EFGH＝S正方形BNED。


　实践与探究


（1）对于边长分别为a，b（a＞b）的两个正方形ABCD和EFGH，按图2所示的方式摆放，连接DE，过点D作DM⊥DE，交AB于点M，过点M作MN⊥DM，过点E作EN⊥DE，MN与EN相交于点N。


①证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积；


②在图11－2中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED，请简略说明你的拼接方法（类比图1，用数字表示对应的图形）。


　　　　　　　　　　　　　

（2）对于n（n是大于2的自然数）个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接成为一个正方形？请简要说明你的理由。


　　　3、（2005年潜江、仙桃、江汉油田）我们做一个拼图游戏：用等腰直角三角形拼正方形。请按下面规则与程序操作：


　　第一次：将两个全等的等腰直角三角形拼成一个正方形；


　　第二次：在前一个正方形的四条边上再拼上四个全等的等腰直角三角形（等腰直角三角形的斜边与正方形的边长相等），形成一个新的正方形；









　　以后每次都重复第二次的操作-------


(1)请你在第一次拼成的正方形的基础上，画出第二次和第三次拼成的正方形图形；


(2)若第一次拼成的正方形的边长为a，请你根据操作过程中的观察与思考填写下表：

操作次数（n）	1	2	3	4	---	n
每次拼成的正方形面积（s）	a2				---

　　4、（2005年枣庄）如图甲，四边形ABCD是等腰梯形，AB∥DC．由4个这样的等腰梯形可以拼出图乙所示的平行四边形.

　　(1)求四边形ABCD四个内角的度数；

　　(2)试探究四边形ABCD四条边之间存在的等量关系，并说明理由；

　　  (3)现有图甲中的等腰梯形若干个，利用它们你能拼出一个菱形吗?若能，请你画出大致的示意图．





















　　5、（2005年泰州）图1是边长分别为4和3的两个等边三角形纸片ABC和C′D′E′叠放在一起（C与C′重合）.


　　（1）操作：固定△ABC，将△C′D′E′绕点C顺时针旋转30°得到△CDE，连结AD、BE，CE的延长线交AB于F（图2）；


　　　　探究：在图2中，线段BE与AD之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（4分）


　　（2）操作：将图2中的△CDE，在线段CF上沿着CF方向以每秒1个单位的速度平移，平移后的△CDE设为△PQR（图3）；


　　　　探究：设△PQR移动的时间为x秒，△PQR与△ABC重叠部分的面积为y，求y与x之间的函数解析式，并写出函数自变量x的取值范围.

　　（3）操作：图1中△C′D′E′固定，将△ABC移动，使顶点C落在C′E′的中点，边BC交D′E′于点M，边AC交D′C′于点N，设∠AC C′=α（30°＜α＜90°＝（图4）；

探究：在图4中，线段C′N·E′M的值是否随α的变化而变化？如果没有变化，请你求出C′N·E′M的值，如果有变化，请你说明理由.