谈谈二元一次方程组中的消元方法

窗下听雨

四川广安市广安区前锋中学 刘华



二元一次方程组中的数学思想，主要是指数学的“消元”思想，即：二元一次方程组中有两个未知数，如果消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为一元一次方程，这样就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一个未知数。这种将未知数的个数由多化少，逐一解决的方法，叫做消元。

具体转化方法是运用“代入消元法”或“加减消元法”，达到把二元一次方程组中的二个未知数消去一个未知数的目的，得到一元一次方程，从而实现消元，进而解决问题。下面举例说明：

窗下听雨

一、利用代入法快速求值：

新人教版7年级下册105页有这样的描述：在二元一次方程组的一个方程中，把一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。

借此消元思想，我们可以快速地解决许多求定值的问题。

例1.若3x-4y=0，且xy≠0，则的值等于     。

　　解. 由3x-4y=0得：3x=4y，把3x=4y代入 得

　　    =  =

     点评：此题巧妙借助代入法解决求定值问题。

例2. 已知x2-2x-5=0,将下列式子先化简再求值：

（x-1）2+(x+3)(x-3)+(x-3)(x-1)

解：原式=x2-2x+1+x2-9+x2-x-3x+3

=3x2-6x-5

=3(x2-2x)-5

∵ x2-2x-5=0

∴ x2-2x=5

∴ 原式=3×5-5=10

点评：利用“整体思想”将所给条件x2-2x-5=0变形为x2-2x=5，然后整体代入化简后的式子3(x2-2x)-5中，可收到“事半功倍”的效果。若先解方程x2-2x-5=0，得x=1±√6，再分别代入3x2-6x-5中求值，则没有抓住题目特征进行简便运算。

二、利用加减法快速求值：

新人教版7年级下册108页有这样的描述：两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法。

合理利用此思想，在求值题中同样可以收到事半功倍的效果。

例3. 若4x+5y=10，且5x+4y=8，则      。

解：由题意得：

由 ① + ② 得：9x+9y=18    即：x + y= 2

由 ② － ①得：x － y=-2

所以  -1

点评：若直接把4x+5y=10和5x+4y=8组成方程组，求出方程组的解，再把解代入求值。这样运算量不仅大，而且容易出错。

如果认真分析所求值式，可考虑利用加减法很快求得x+y和x-y的值，于是此题迎刃而解。

三、化“未知”为“已知”

例4.已知 ，则x：y：z=          ；

解：将方程组 中

由② － ① 得：y－3z=0

               ∴ y=3z    ③

把 ③ 代入 ② 中得： x = 2z

       ∴ x：y：z=2z:3z:z= 2：3：1

点评：此方程组中含有三个未知数，要解决该问题，就需要大胆创新，我们初一学生只学习了解二元一次方程组，根据化“未知”为“已知”的“消元”思想，就创造性地把它看作是关于x、y的二元一次方程组，从而找到解决问题的突破口。

总之，教师若能在平时教学中合理展示数学思想和具有代表性的数学方法，既可以让学生明晰数学知识之间的脉络和联系，同时还有利于提高学生的解决问题的能力。