打造永不消逝的数学童年

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童年是一本美好而令人向往无字之书。打开她，你将走进一个充满无限魅力的广博天地：那神奇的想象空间、另类的思维视角、忘我的游戏精神、独特的精神哲学……无不向我们昭示着她的独特性与自立性。都说，能和孩子打交道是何待美好和纯洁，而我却常常深感一种责任、一份期待。因为我需要思考：作为童年的见证者和引路人，身为数学教育工作的我们，究竟能为孩子们当下的童年生活留下些什么？

欣喜的是，我们曾经发现过那片属于儿童自己的天地——

在童年的“书架”上，我们发现了儿童文学、儿童诗歌、童话、童年的歌谣，一个个为孩子们喜闻乐见的熟悉世界正透过文字向孩子们亲切地走来。

在童年的“画夹”中，我们发现了儿童画，那离奇的构图、拙朴的线条、大胆的色彩、奇特的想象，向我们展示着童年眼中那方神奇的世界。

在童年的“歌声”里，我们没有听到成人歌曲中的那份浑浊、缠绵和无病呻吟，飘扬的只是童年那纯真的思绪、激昂的情感、优美的旋律和对美好生活的向往。

……

如果说，童年的生活需要有儿童文学、儿童画和儿童歌曲等作为支持，那么，一个必然的命题便从容地摆在了我们的面前：我们的数学教育，是否也已真正烙上了童年的印痕？今天的数学教育，是否已经开始为孩子们打造一个适合他们自身发展的“数学童年”？难道，我们的孩子们就不能拥有一片属于他们自己的数学天空，“童年数学”对于他们来说，难道真是这样可望而不可及？

就这样，一个大胆而浅陋的构想时时在我心头激荡、盘旋，至今不能化去。那就是：我们的数学教育，如何才能让亲近童年、回归童年！



一

童年的数学应该五彩斑斓，充满想象的色彩。它瑰丽、神奇，富于想象力，常常能带领孩子走进一个充满无限遐想空间的数学世界。

［案例］“黑板上的巨人手印”

第一课正好上数学，探讨“用比例知识解决实际问题”。一走进教室，同学们很快被黑板上那个长达一米的巨大手印（这是我事先用白粉笔勾勒的）吸引了。“这是谁的手印？”一向调皮的马明宇首先发问。问题一出，同学们哄堂大笑。因为谁都知道，没有谁会有这么大的手印，教室里顿时炸开了锅。不想，马明宇又突发奇想：“不会是巨人的手印吧？或许，昨晚有个巨人走进我们的教室，不小心留下了这个大手印。”说真的，当时我还真为他出奇的想象力所深深折服，但同时也暗暗觉得好笑，心想，这么小儿科的事，谁都知道是不可能的。然而出乎意料的是，同学们并没有对此表示多少异议，他们反而更加投入地参与到关于“巨人手印”的交流中来。“手印都这么大，那这个巨人该有多高呀？”“教室门这么小，他能走进我们的教室吗？”“如果真是巨人的手印，那么他的脚印该有多长呢？”……孩子们的探讨问题显然已经接近本课的学习。于是我决定就着他们的思路展开教学，并不失时机将自己的手按在巨人的手印上。也许是缘于一种情境的启发，学生们的议论再度升级：“老师，他的手印大约是你的五倍，他的身高会不会也是你的五倍？”“我知道怎么测量他的脚印了，因为手印的长度比应该和脚印的长度比是一致的，我们可以利用比例的知识来解答。”“现在，我甚至能测算出这个巨人身体的每一部位的长度，比如嘴巴的长度，鼻梁的高度。”……于是，一场如何“用比例知识解决实际问题”的大探讨在孩子们的想象中拉开帷幕。

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［思考］

数学从其源头看，本应是生动活泼、富有生机的。任何数学知识、数学思想、数学方法的背后，总是凝结并积淀着人类漫长的数学探索进程中一个又一个坚韧的步伐、一次又一次前进的脚步。与此同时，我们也应认识到，作为儿童，他们本身又是如此生机勃勃，充满思考与想象的激情。我们的数学教育，尤其是儿童数学教育，不能只是“数学”（科学意义上的）与“教育”的简单结合，从某种意义上，她应该和童话、诗歌一样，善于点燃孩子想象的火花、善于激活孩子思维的萌芽。

我们的数学教育不应只给孩子们展示那一片灰色的天空。一个充满色彩、充满无限想象空间的数学世界理应透过我们的数学课堂一步步向孩子们走来。在这样的数学课堂里，孩子们感受着“1001”与《一千零一夜》的美妙联系；在这样的数学课堂里，“7”不再只是一个普通的自然数，它会因为“北斗七星”的存在而给孩子们带来无穷的遐想空间；在这样的数学课堂里，我们常常能听到类似的表达：“老师，我发现自然数中质数的分布就象绘画中色彩的渐变，或者象音乐中声音的渐弱，因为自然数越往后，质数的个数会越来越少。”（黄晨涛同学在学习《质数与合数》一课时的一个美妙比方。）。在这样的课堂里，孩子会如此深刻地铭记住：那个走进教室的巨人手印，那次因为巨人手印而引发的关于比和比例知识的探讨和争辩……

真正适合儿童的数学，应该是一种“活的数学”，一种能从内心深处唤醒儿童沉睡的想象力和激情的数学。我们期待着，如同童话、诗歌和绘画一样，在儿童丰富的精神世界里，数学也能找到它的一席之地。从而，在童年的蓝天下，一种真正适合于童年发展的数学教育，一个真正体现童年价值的数学教育境界向我们走来！



二

童年的数学有它与众不同的逻辑和视角，她鼓励自我、张扬个性，充盈着对儿童独特数学思考的激励和肯定。

［案例］“我剪出了圆的周长”

课堂上，我和孩子们正在探讨“如何测量圆的周长”这一问题。孩子们各抒己见：有的说可以用绳子围，有的说可以在直尺上滚，也有的说可以将圆多次对折，然后量出小扇形的弧长再通过计算得出圆的周长……显然，孩子们的方法都在我的预料之中。于是，稍作小结后，我决定进入下一板块的教学。不想，平时一向不善言谈的的刘可飞同学站了起来：“老师，我还能用剪刀剪出圆的周长。”“什么，用剪刀剪出圆的周长？”几乎在同一时间，我和孩子们都将猜疑的目光投向了他。然而，他却不慌不忙地拿起一把略作加工的剪刀，从容地走上了讲台。“这是一把特制的剪刀，我在剪刀的刀刃上贴了一张标有刻度的小纸条，用这把带刻度的剪刀剪圆时，只要每剪一次，记下剪刀剪过的距离，最后再相加，就可以大约求出整个圆的周长了。这样，‘圆的周长’不就剪出来了吗？”……

课后，我找刘可飞谈起这一想法的由来。他笑着告诉我：“还记得那天你要上公开课，让我帮你剪圆片吗？剪着剪着，便就突然联想到这上面来了。要说，那还真得谢谢那天的剪圆活动呢。”送走他后，我深深地陷入沉思。

［思考］

每个儿童都是一个独特、完整的生命个体。他们与众不同的个性特征、生活阅历、文化背景，尤其是在日常生活、游戏等活动中所积淀下的“前数学经验”，使得他们每个人的数学背景都是如此丰富而独特。我们可以称之为“街头数学”，或者是“民间数学”，但它们的存在至少对我们的数学教育提出一种崭新的要求与表达方式，那就是：唯有走进儿童的数学世界，才能真正和孩子们一起并肩看风景！

走进儿童，首先就意味着一种宽容、一种理解和欣赏。当孩子与众不同的想法、思想以及思考问题的视角展现在你面前时，你是否首先能保持一种审慎的态度，是否善于从孩子们的角度去换位思考，是否能排除自我经验的干扰和成人的“文化优越感”，而以一种“平等中的首席”之身份介入对问题的思考，进而与他们一起交流、沟通、协商？其次，作为教师，我们是否具有自我批判的勇气与气度。一个不善于进行自我批判和深刻反思的教师是很难真正看清孩子眼中那片美丽的风景的。当孩子们的想法与你发生冲突时，你首先考虑的是什么？是否定、改造他们的想法，还是更愿意相信他们思维的合理性，更愿意从肯定、理解、揣摩的角度去对待？事实上，这当中面对的恰恰是一种教育的抉择，而抉择的背后映射的正是为师者思想和人格的魅力。

生活本身就是开放的，我们无法预设儿童的生活，也就势必无法看透和把握每个儿童的前数学世界。试想，如果没有“帮我剪圆”的经历，“剪出圆的周长”这一怪诞的想法又将从何而来？是生活丰富了儿童的世界，而儿童世界的丰富又拓展了我们的数学和教育。充分认识到这一点之后，我们的数学教育必将走向一个更为开阔的高原，数学课堂亦将走向一个更加开放、更加流动不居、更富理智挑战的崭新历程。



三

童年的数学可以是直觉的、模糊的，它强调准确性和科学性，但同时也能包容错误与偏颇。它用一个宽阔的胸怀包涵着孩子们并不完整、科学、精确的数学思考，唯独怕自己的苛求磨灭了孩子们探索的激情与冲动。

［案例］“五角星究竟有几个角”

那是一年级的一次“观察与发现”数学探究活动，孩子们正围绕生活中的角展开交流。“张老师——”上课刚几分钟，芮明昊就兴冲冲地找了过来。“我发现五角星上共有五个角，而且这五个角大小都一样。”“是共有五个角吗？”我在“共”字上加了重音。见我非但没有表扬，反而提出了反驳，他顿时来了劲儿：“怎么不是五个，你看，一、二、三、四、五。”边说还边数起来了。“再好好看看，别轻易下结论。”见我如此固执已见，他也没再作什么争辩，只是很不情愿地回到了自己的位置。那节课，他那迷茫的眼神至今还清晰地留在我的脑海里。

两年后，当正式学到“角的认识”这一内容时，芮明昊跑来告诉我：“张老师，我现在才明白，五角星上其实不止有五个角，应该有十个才对，因为那里边还有五个向外张开的钝角呢，对吗？”我朝他笑了笑，“或许吧。”

转眼又到了六年级，或许是接触了更多有关平面图形方面的知识，他又一次找到了我。“张老师，这回我终于明白了，科学地讲，五角星上共有无数个角。因为，在它里面还有许多大于180度或360度的角，而这些角我们以前并没有去关注过。”

说真的，我当时只有一种强烈的感触，那就是：为何在当初，面对一年级孩子这样一个虽不准确、但很了不起的发现，我连肯定的勇气都没有。仅仅是为了捍卫数学学科准确、科学的尊严吗？

［思考］

当数学在人们的认识中逐渐从静态走向动态、从确定走向变化、从精确走向易谬时，数学科学的神圣光环已逐渐褪去。数学与其说像一个神坛上走下的圣人，毋宁说更象一个平易近人的凡夫俗子。数学从某种意义上讲，她已不再是一成不变的真理的集合和化身，相反，她更像是一个不断发展、不断进化、不断更新着的运动体。既是如此，那我们又有什么理由要求那些刚刚接触数学的儿童，能一步到位地完成对于数学知识的精确建构？我们又有什么理由拒绝数学的模糊性和直觉性？

“五角星共有五个角”，这对于一个一年级的孩子而言，它究竟何错之有？换言之，就算是这一表述不够科学，但那只是我们从成人数学的视角所作出的判断，对于一年级的孩子，尚没有对钝角、周角等有更多的了解，作出这一判断恰恰反映了他的认识水平。对他们而言，或许这才是一种真正的“准确”。如果说这是一种对孩子的迁就，那千万别以为这样的迁就会误了我们的孩子。恰恰相反，孩子的数学发展本身就是一个螺旋上升的渐进过程。从模糊走向清晰、从混沌走向有序理应成为儿童数学发展的必由之路。上述案例中孩子对于角的认识恰恰充分说明了这一点。

其实，又何止“认识角”如此，数学教育中这样的现象无处不在。只有当我们能真正从发展、变化的眼光来看待数学、看待数学教育、看待孩子们的数学成长，我们的数学教育也才能真正促进学生健康、持续地发展。

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四

童年的数学应该充盈着一种游戏化的精神。孩子们沉浸其中而留连忘返，忘我地体验着、感悟着、创造着。而数学正如春风化雨般悄悄地滋润着孩子们精神的家园。

［案例］“由布丰投针实验想到的”

数学活动课上，我正引导孩子们以小组为单位一起进行着数学史上著名的“布丰投针实验”：画一组间距均为1厘米的平行线；准备一些长度为1/2厘米的小棒；将这些小棒自然地扔在平行线上；数一数多少根小棒与平行线相交、多少根小棒没有和平行线相交；算出这两个数据的比值。当结果出来的那一刹那，或许他们怎么也不能相信，摆在每一组孩子面前的实验结果竟是如此惊人地相似：比3大一些，有些甚至接近于3.14。“这不正是π的近似值吗？”“难道这只是一种巧合？”孩子们纷纷议论开去。“大家是不是觉得这里面大有文章可作？如果再给你们一些时间，大家最想做的事情是什么？”就这样，讨论声、交流声再度此起彼伏。有人说，“如果小棒数再多一些，情况又会怎样？”有人说，“是不是小棒的数目越多，最后的比值也越接近于圆周率π？”也有人说，“如果小棒的长度不是平行线间距的一半，而是和间距等长，最后的结果又会如何，会不会是2π？”更有人说，“如果我们将等间距的平行线改为等距的同心圆，其他条件不变，最后又将出现怎样的结果呢？”

不难想见，在这样一种蓄势以待的求知状态下，孩子们的眼神中闪烁着怎样的一份渴望探索的目光。于是，接下来的整整两节课时间，孩子们沉浸其中，全然忘却了一次次响起的铃声、忘却了窗外孩子们嬉戏追逐的身影……

［思考］

一项工作完成的效率之高低或质量之好坏，很大程度上取决于当事人对于这项工作的投入程度。游离于其外，自然就事倍而功半；沉浸于其中，无疑是事半而功倍。工作如此，教育同样也不例外。令人遗憾的是，我们的数学教育缺少的恰恰是这样一种令人“沉迷”其中的教育魅力。

于是，想起了孩子们游戏时的那份忘我和投入，想起了孩子们面对喜闻乐见的活动时那份兴致勃勃和目中无人，突然醒悟：教育，缺少的不正是这样一种游戏化的精神吗？什么时候，我们的数学教育也能让孩子们沉浸其中，而全然忘却身外的一切，这将是一种何等理想的教育境界呵。

回想上述案例，孩子们如何会这般投入与痴迷？不正是因为“布丰投针实验”的结论让孩子们倍感惊异，进而深深地为它所吸引，欲罢不能？与其说，孩子们正在完成一项学习任务，毋宁说，他们正从事着一项极具探秘色彩的游戏活动。正是从这样的角度看，整个探究活动已不仅仅是一次简单意义上的学习，至少它已经浸染上了一种游戏的精神，一种足以让孩子投入其中而不能自拔的游戏精神。试想，一旦这样的游戏精神能萦绕在我们的数学课堂上，学习还会是一种负担，教育还会走进“教师厌教、学习厌学”的窘境吗？



小学数学教育是基础教育的重要组成部分之一，如何让我们的数学教育真正走进孩子们的世界，为孩子们所关注、喜爱、认同和向往，我想，走出数学金字塔的神秘殿堂，摒弃数学古板、枯燥、令人敬而远之的严肃面孔，让数学真正回归生活、回归自然、回归儿童，和“儿童文学”、“童谣”、“儿童画”、“儿童音乐”一样，在回归童年中寻求小学数学教育的真谛，这应该是一个耐人寻味的选择。