易明武老师:经典牛吃草问题新解答

郝消息

易明武老师:经典牛吃草问题新解答

      牛吃草问题又称为消长问题或牛顿牧场，是17世纪英国伟大的科学家牛顿提出来的。典型牛吃草问题的条件是假设草的生长速度固定不变，不同头数的牛吃光同一片草地所需的天数各不相同，求若干头牛吃这片草地可以吃多少天。
      由于吃的天数不同，草又是天天在生长的，所以草的存量随牛吃的天数不断地变化。解决牛吃草问题重点是要想办法从变化中找到不变量。牧场上原有的草是不变的，新长的草虽然在变化，但由于是匀速生长，所以每天新长出的草量应该是不变的。这类问题常用到四个基本公式，分别是：
　　（1）草的生长速度＝（对应的牛头数×吃的较多天数－相应的牛头数×吃的较少天数）÷（吃的较多天数－吃的较少天数）；
　　（2）原有草量＝牛头数×吃的天数－草的生长速度×吃的天数；
　　（3）吃的天数＝原有草量÷（牛头数－草的生长速度）；
　　（4）牛头数＝原有草量÷吃的天数＋草的生长速度。
　　这四个公式是解决牛吃草问题的基础。一般设每头牛每天吃草量不变，设为"1"，解题关键是弄清楚已知条件，进行对比分析，从而求出每日新长草的数量，再求出草地里原有草的数量，进而解答题总所求的问题。
　　例1一个牧场长满青草，牛在吃草而草又在不断生长，已知牛27头，6天把草吃尽，同样一片牧场，牛23头，9天把草吃尽。如果有牛21头，几天能把草吃尽？
　　摘录条件：
　　27头    6天    原有草+6天生长草
　　23头    9天    原有草+9天生长草
　　21头    ？天   原有草+？天生长草
　　解答这类问题关键是要抓住牧场青草总量的变化。设1头牛1天吃的草为"1"，由条件可知，前后两次青草的问题相差为23×9-27×6=45。为什么会多出这45呢？这是第二次比第一次多的那（9-6）＝3天生长出来的，所以每天生长的青草为45÷3=15
　　现从另一个角度去理解，这个牧场每天生长的青草正好可以满足15头牛吃。由此，我们可以把每次来吃草的牛分为两组，一组是抽出的15头牛来吃当天长出的青草，另一组来吃是原来牧场上的青草，那么在这批牛开始吃草之前，牧场上有多少青草呢？
　　（27-15）×6=72
　　那么：第一次吃草量27×6=162第二次吃草量23×9=207
　　每天生长草量45÷3=15
　　原有草量（27-15）×6=72或162-15×6=72
　　21头牛分两组，15头去吃生长的草，其余6头去吃原有的草那么72÷6=12（天）
　　例2一水库原有存水量一定，河水每天入库。5台抽水机连续20天抽干，6台同样的抽水机连续15天可抽干，若要6天抽干，要多少台同样的抽水机？
　　摘录条件：
　　5台    20天    原有水+20天入库量
　　6台    15天    原有水+15天入库量
　　？台   6天     原有水+6天入库量
　　设1台1天抽水量为"1"，第一次总量为5×20=100，第二次总量为6×15=90
　　每天入库量(100-90)÷(20-15)=2
　　20天入库2×20=40，原有水100-40=60
　　60+2×6=7272÷6=12（台）