初中数学教材培训

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一、教科书内容和课程学习目标
（一）本章知识结构框图



（二）教科书内容
本章共分三节。首先介绍二次函数及其图象，并从图象得出二次函数的有关性质。然后探讨二次函数与一元二次方程的联系。最后通过设置探究栏目展现二次函数的应用。
在第一节中，首先从实例中引出二次函数，进而给出二次函数的定义。关于二次函数的图象和性质的讨论分为以下几部分。
（1）从最简单的二次函数函数y=x出发，通过描点画出它的图象，从而引出抛物线的有关概念。
（2）讲述二次函数y=ax的图象的画法，并归纳出这类抛物线的特征。
（3）讨论形如y=ax＋k和y=a（x－h）的函数的图象，然后讨论形如y=a（x－h）＋k的函数的图象。
（4）讨论函数y=ax＋bx＋c的图象。
　　上述讨论过程如下图所示：

         

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在第二节中，首先通过小球飞行高度问题展示二次函数与一元二次方程的联系。然后进一步举例说明，从而得出二次函数与一元二次方程的关系。最后通过例题介绍用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。

在第三节中，通过最大利润、磁盘存储量、水位变化等三个探究问题，展示二次函数与实际的联系，并运用二次函数的图象和性质加以解决，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。关于这三个问题进一步说明如下。

在探究1中，某商品价格调整，销量会随之变化。调整价格包括涨价与降价两种情况。一般来讲，商品价格上涨，销量会随之下降；商品价格下降，销量会随之增加。这两种情况都会导致利润的变化。教科书首先分析涨价的情况。在本题中，设涨价元，则可以确定销量随变化的函数式。由此得到销售额、成本随变化的函数式。进而得出利润随变化的函数式。由这个函数求出最大利润则由学生自己完成。有了上述讨论，降价的情况就让学生自己去研究了。最后，让学生综合涨价与降价两种情况，得出本题的答案。

在探究2中，磁盘的存储量与每磁道的存储单元数与磁道数有关。在本题中设磁盘最内磁道的半径为r㎜，则可以确定每磁道的存储单元数、磁道数随r变化的函数式。由此得到磁盘的存储量随r变化的函数式。由这个函数求出最大利润则由学生自己完成。

在探究3中，首先要建立适当的坐标系。在本题中，以抛物线的顶点为原点，以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系。这样便于求出这条抛物线表示的二次函数。当水面下降1m时，就可以根据上面的函数表达式求出下降后的水面宽度。

这样，学生通过探究并解决上述三个问题，对用二次函数解决实际问题会有更深的体会。

（三）课程学习目标

本章的学习目标如下：

1． 通过对实际问题情境的分析确定二次函数的表达式，并体会二次函数的意义；

2． 会用描点法画出二次函数的图象，能从图象上认识二次函数的性质；

3．会根据公式确定图象的顶点、开口方向和对称轴（公式不要求记忆和推导），并能解决简单的实际问题；

4．会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。

二、本章编写特点

（一）   注重探索结论

在本章中，一般二次函数的图象和性质是从最简单的二次函数出发逐步深入地探讨的。教科书通过设置观察、思考、讨论等栏目，引导学生探索相关的结论。

例如，让学生观察函数的图象与函数的图象的共同点与不同点，探究函数，的图象的共同点与不同点，从而得出抛物线的特征。

又如，让学生讨论抛物线与抛物线的关系，探究二次函数y= y=的开口方向、对称轴和顶点，从而得出把抛物线向上（下）向左（右）平移，可以得抛物线结论。

再如，让学生思考二次函数y=ax＋bx＋c与函数y=a(x－h)＋k 的关系，从而通过配方法加以转化。

这样循序渐进的安排，力图使学生不仅学到二次函数的有关知识，而且在知识的学习过程中不断提高学习的能力。

（二）   注重知识之间的联系

学生在“一次函数”一章已经了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式（组）、二元一次方程组的联系。本章专设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的关系，再次展示函数与方程的联系。这样安排一方面可以深化学生对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用一元二次方程解决二次函数的有关问题。

此外，还在以下各处注意联系已学知识。例如，在第一节开头，用函数的概念对正方体表面积、多边形对角线数、产量增长等问题中变量之间的关系进行说明。又如，用关于y轴对称的点的坐标的关系说明y轴是抛物线的对称轴。再如，用平移描述函数y=ax与函数y=a(x－h)＋k 的图象之间的关系。这样处理有利于学生认识新内容，也使已学内容得到复习巩固。

（三）   注重联系实际

二次函数与实际生活联系紧密。本章引言选取正方体表面积、物体自由下落、喷水等问题展示这种联系。在介绍二次函数的图象和性质时也穿插安排了一些实际问题。例如，在函数y=a(x－h)＋k的讨论之后，安排了一个修建喷水池时确定水管长度的问题。又如，在函数y=ax＋bx＋c的讨论之后，让学生探究用总长一定的篱笆围成最大矩形场地的问题。这样做进一步加强了二次函数与实际生活的联系，使所学知识得到应用。

二次函数与一元二次方程的关系也是通过小球飞行这样的实际问题引出的。在这个问题中，以40m/s的速度将高尔夫球沿与地面成30°角的方向击出时，球的飞行路线将是一条抛物线。如果不考虑空气阻力，球的飞行高度h（m）与飞行时间t（s）之间具有关系

.

让学生考虑以下问题：

   （1）球的飞行高度能否达到15 m? 如能，需要多少飞行时间？

   （2）球的飞行高度能否达到20 m? 如能，需要多少飞行时间？

   （3）球的飞行高度能否达到20.5m? 为什么？

将问题中h的值代入函数解析式，就得到关于t的一元二次方程。这三个问题对应了一元二次方程有两个不等的实数根、有两个相等的实数根、没有实数根的三种情况；从图象上看，则对应了直线y＝h与上述抛物线有两个公共点、一个公共点、没有公共点的三种情况。这样学生结合问题的实际意义就能对二次函数与一元二次方程的关系有很好的体会。

    为了加强二次函数与实际生活的联系，本章在第三节进一步讨论用二次函数解决实际问题。此外，本章中的选学栏目“实验与探究 推测植物的生长与温度的关系”也是从实际问题出发，探讨二次函数的应用的。

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三、几个值得关注的问题

（一）   注意复习相关内容

二次函数的学习是以已学函数内容为基础的。从八年级上册“一次函数”、八年级下册“反比例函数”的学习到九年级下册“二次函数”的学习，中间相隔了一段时间。函数的概念 ,描点法画函数的图象等在本章中都要用到。因此，要注意复习已学函数内容，帮助学生学好二次函数。

二次函数的图象关于y轴对称，函数y=ax的图象与函数y=－ax的图象关于y轴对称，函数的图象可以由函数y=ax的图象平移得到，这些内容都涉及到已学的图形变换的内容。复习对称的坐标表示等内容，有助于学生学习本章中的上述内容。

讨论函数，关键是用配方法把它化为函数y=a(x－h)＋k。配方法曾用来解一元二次方程，学生已经有所了解。在本章相关内容的学习中，学生通过运用配方法，进一步熟悉这种方法。

总之，在本章的学习过程中，注意复习相关内容，是顺利完成本章学习的基础。

（二）关于计算机的使用

用某些计算机画图软件（如《几何画板》），可以方便地画出二次函数的图象，进而从图象探索二次函数的性质。例如，用计算机软件画出函数的图象，拖动图象上的一点P, 让这点沿抛物线移动，观察动点坐标的变化，可以发现：图象最低点或最高点的坐标，也就是说，当x取这点的横坐标时，有最小值或最大值；当小于这点的横坐标时，随的增大而减小（增大），当大于这点的横坐标时，随的增大而增大（减小）。

利用计算机软件的画图功能，很容易利用二次函数的图象解一元二次方程。要解方程，只要用计算机软件画出相应抛物线，再让计算机软件显示抛物线与x轴的公共点的坐标，就能得出要求的方程的根。  

上述内容安排在本章的选学栏目中，有条件的话，可以让学生加以尝试。

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初中数学培训手册之三十五

第27章“相似”简介

课程教材研究所　李海东



　　在教科书前面，已经研究图形的全等，也研究了一些图形的变换，如平移、轴对称、旋转等，本章将在前面的基础上进一步研究一种变换——相似。研究相似变换的性质，相似三角形的判定等，并进一步研究一种特殊的相似变换——位似。结合一些图形性质的探索、证明等，进一步发展学生的探究能力，培养学生的逻辑思维能力等。

本章教学时间大约需要13课时，具体安排如下（仅供参考）：

27.1  图形的相似                                         2课时

27.2  相似三角形                                         6课时

27.3  位似                                               3课时

数学活动

小结                                                     2课时

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一、教科书内容和课程学习目标

（一）本章知识结构框图

本章知识结构如下图所示：

　　

　

   （二）教科书内容

在前面，我们已经学过了图形的全等和全等三角形的有关知识，也研究了几种图形的全等变换，“全等”是图形间的一种关系，具有这种关系的两个图形叠合在一起，能够完全重合，也就是它们的形状、大小完全相同。“相似”也是指图形间的一种相互关系，但它与“全等”不同，这两个图形仅仅形状相同，大小不一定相同，其中一个图形可以看成是另一个图形按一定比例放大或缩小而成的，这种变换是相似变换。当放大或缩小的比例为1时，这两个图形就是全等的，全等是相似的一种特殊情况。从这个意义上讲，研究相似比研究全等更具有一般性，所以这一章所研究的问题实际上是前面研究图形的全等和一些全等变换基础上的拓广和发展。

在后面，我们还要学习“锐角三角函数”和“投影与视图”的知识，学习这些内容，都要用到相似的知识。在物理中，学习力学、光学等，也都要用到相似的知识。因此这一章的内容也是今后学习所必须的基础知识。另外，在实际生活中，在建筑设计、测量、绘图等许多方面，也都要用到相似的有关知识。因此这一章内容对于学生今后从事各种实际工作也具有重要作用。

在这套教科书中，“相似”的内容安排在“圆”之后，主要是出于以下几点考虑：首先，在课程标准中，相似是作为图形的一种变换提出来的，而它又是在全等变换基础上的拓展，所以教科书是先安排的的平移、轴对称、旋转等变换，后安排相似变换，而研究圆的一些性质，又与旋转变换关系密切，因此把圆紧接着安排在了旋转之后。其次，学习圆的相关知识，相应于课程标准中对于圆的要求，用不到相似的知识储备。我们把相似的内容安排在圆之后，还可以把圆中的一些问题作为研究相似的应用来处理。例如作为相似三角形判定和性质的应用，教科书安排了相交线定理的例题，简单圆幂定理的习题等。这样也能复习有关圆的知识，加深学生对与圆的理解。

本章共有三小节内容。第1小节“图形的相似”主要介绍相似图形、相似多边形的概念，并探索出相似多边形的性质；第2小节“相似三角形”主要研究相似三角形的判定方法、相似三角形在测量中的应用以及相似三角形的周长与面积；第3小节“位似”研究了一种特殊的相似——位似，研究了位似图形的画法以及平面直角坐标系中的位似变换。

在“27.1 图形的相似”中，教科书首先结合生活中常见的相似图形的形象，给出了相似图形的概念。接下来，教科书证明了相似的正三角形、正六边形、以至正多边形的对应边成比例、对应角相等，从而给出相似多边形对应边成比例、对应角相等的性质。

教科书接下来在第2小节进一步深入的研究了相似三角形，它分为相似三角形的判定和相似三角形的应用举例以及相似三角形的周长与面积三部分。在相似三角形的判定中，教科书介绍了四种判定方法，这些方法都是先通过学生探究，再进行证明得到，这四种方法的地位作用以及证明方法也有区别和联系。对于第一个判定方法，也就是“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似”，根据学生当前的知识储备，学生还不能证明，因此教科书仅就它的一种特殊情况进行了证明，并直接把这个定理告诉学生，它可以作为后三个判定定理的预备定理。后三个判定方法，则要通过构造全等三角形，利用前面的预备定理来证明。相似三角形的判定和性质在实际生活中应用很多，主要在测量方面，教科书接下来的第2小节安排了几个例子，举例说明了它的应用。在第3小节中，教科书则重点研究了相似多边形的周长和面积的问题。教科书首先证明了相似三角形周长比等于相似比、面积比等于相似比的平方，进而利用分割的方法，得到相似多边形周长比等于相似比、面积也等于相似比的平方。

位似变换是一种特殊的相似变换，此时对应顶点的连线交于一点，对应边也是互相平行的。教科书在第3节重点研究了这种变换，教科书在给出位似变换概念的基础上，重点研究了如何利用位似变换将一个图形放大或缩小，以及在平面直角坐标系下位似图形的对应点坐标的变化。最后教科书简单对学生学过的四种变换进行了总结，要求学生在一个图形中辨析这些变换，并能综合利用这些变换进行一些图案设计。

这一章主要研究相似多边形，因此相似多边形的有关性质以及相似三角形的判定是本章的重点内容。对于相似三角形的判定方法，定理的证明涉及到要构造一个全等的三角形作为中介，再应用前面的定理进行证明，学生不太习惯，这也是本章教学的难点。教学中要注意引导学生分析证明思路，引导学生进行转化，帮助学生克服难点。

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（三）课程学习目标

1．了解比例的基本性质，了解线段的比、成比例线段；

2. 通过具体实例认识图形的相似，探索相似图形的性质，理解相似多边形对应角相等、对应边成比例、周长的比等于相似比、面积的比等于相似比的平方，探索并掌握相似三角形的判定方法，并能利用这些性质和判定方法解决生活中的一些实际问题；

3. 了解图形的位似，能够利用位似将一个图形放大或缩小，在同一直角坐标系中，感受位似变换后点的坐标的变化；

4.　结合相似图形性质和判定方法的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的教学，进一步培养学生综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力，同时对学生进行辩证唯物主义世界观的教育。

二、本章编写特点

1．突出图形性质的探索过程，重视实验操作和逻辑推理的有机结合

相似也是生活中常见的一种现象，也是数学中一种基本的变换。本章重点研究了相似图形的一些性质以及相似三角形的判定方法。在教科书编写时，注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质。

例如教科书通过测量长度和角度，发现相似多边形对应角相等，对应边的比相等的性质；通过度量，发现利用三个对应边的比相等、两组对应边的比及其夹角相等、两个角相等等相似三角形的判定方法等。在学生通过观察、操作探究出图形的性质后，还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。

2．注意联系实际

相似是生活中常见的现象，日常生活中到处存在着相似的例子，相似图形的性质在实际中应用也很多，能直接应用相似三角形判定和性质的例子也很多。在教科书编写时，也注意到这一点。例如通过生活中大量的实例引入相似图形、位似图形的概念，例习题中也有许多应用相似图形知识的实例。教科书在第2小节，还专门安排了“相似三角形应用举例”的内容，给出了一些利用相似三角形的性质和判定方法，来解决生活中不能直接测量物体长度的问题（测量金字塔高度问题、测量河宽问题、盲区问题）。在教学中，要通过这些知识的教学，帮助学生从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题。另外，还可以根据本地区的实际，选择一些实际问题，引导学生加以解决，提高他们应用知识解决问题的能力。

3．重视渗透数学思想方法

教学中不仅要教知识，更重要的是教方法，教科书在编写时，也充分注意数学思想方法的渗透。本章主要涉及的数学思想方法有类比的方法，矛盾转化的方法等。

相似内容是全等内容的拓展与延伸，教科书在编写时，也充分注意相似与全等之间的一般与特殊的关系，在讨论相似的相关内容时，注意和全等的知识作类比。例如类比研究全等图形的性质得到相似多边形对应角相等、对应边的比相等的性质；类比研究全等三角形的SSS、SAS方法，发现相似三角形的判定方法；通过把多边形分割为三角形，类比研究多边形内角和的方法，利用相似三角形的面积关系得到相似多边形面积比等于相似比的平方等等。在证明相似三角形的判定定理时，通过作全等三角形，把要证明的问题转化为我们已经解决的问题，从而把问题从未知转化为已知，从复杂转化为简单，等等。

另外，在本章，通过理论联系实际，对学生进行唯物论认识论的教育；通过相似形与全等形的许多性质之间的内在联系，一般与特殊之间的关系等，图形之间运动变化的关系等等，还可以对学生进行辩证唯物主义观点的教育。

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三、几个值得关注的问题

1．进一步培养推理论证能力

从培养学生的逻辑思维能力来说，“相似”这一章处于学生对于掌握的推理论证方法的进一步巩固和提高的阶段，要求学生能熟练地用综合证明命题，熟悉探索法的推理过程。教学中要重视推理论证的教学，进一步提高学生的思维能力。尽管课程标准对于这一章相关内容在推理论证方面没有明确的要求，但根据全套教科书推力证明的安排，教科书对于这一章相关内容的推理论证的要求还是很重视的。首先，对于相似三角形的相关判定定理，有些教科书进行了规范的证明，有些要求学生自己进行证明；对于一些相关的性质，例如相似多边形的周长与面积等，教科书也是通过推理得出的。另外，为了巩固并提高学生的推理论证能力，本章的定理证明中，除了采用了规范的证明方法外，还有一些采用了探索式的证明方法。这种方法不是先有了定理再去证明它，而是根据题设和已有知识，经过推理，得出结论。这些对激发学生的学习兴趣，活跃学生的思维，发展学生的思维能力有好处。教学中要注意启发和引导，使学生在熟悉“规范证明”的基础上，推理论证能力有所提高和发展。

另外，这部分内容实际上也是到了初中阶段推力证明要求的最后一章，所涉及的问题不仅是相似的问题，也有很多是和全等的问题结合在一起，也有一些是圆中的相似的问题，题目也相对以前比较复杂，要综合应用学生以前学过的知识。教学时应注意多帮助学生复习已有的知识，做到以新带旧、新旧结合。要加强解题思路的分析，帮助学生树立已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在一定条件下可以转化的思想，使学生学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题化为特殊问题的思考方法。通过这一章对于学生推理证明的训练，进一步提高学生逻辑思维能力和分析解决实际问题的能力。

2．重视知识间的联系  

学生学习相似的知识，是在前面学习的全等的知识基础上的发展。从全等到相似，是一个从特殊到一般的过程，也是学生认识上的一个飞跃。在教学时，应注意充分利用学生在前面学到的有关知识以及研究问题的方法，注意加强相似和全等之间的区别和联系，加强类比和对比，把相似和全等的有关问题对照讲解。例如在介绍相似多边形的性质时，注意它和全等图形性质的区别和联系：他们的对应角都相等；全等图形对应边也相等，周长也相等，面积也相等；相似多边形对应边的比相等，周长的比等于相似比，面积的比等于相似比的平方。

研究相似三角形的判定的问题时，也可以和研究全等三角形的问题作类比：判定两个三角形全等，不一定要六个条件一一验证，有简便方法（SSS、SAS、ASA、AAS），类似的，研究两个三角形相似时，也不是要对所有的对应角和对应边一一验证，也有简单方法，从而类比全等三角形的判定方法一一进行探究。研究相似多边形的面积时，教科书也是和研究多边形的内角和问题进行了类比：我们已经通过推理论证得到了相似三角形的面积比等于相似比的平方，类似于研究多边形内角和的方法，可以把多边形划分成若干个三角形，从而也能得到相似多边形面积的比等于相似比的平方。在教学时，要充分注意这些新旧知识联系的内容，注意从学生学习的规律出发，加强新旧知识的联系，发挥知识的迁移作用，这样也有助于学生对于新知识的理解。

3．注意把握好教学要求  

从课程标准上看，本章内容与原来大纲不仅在知识内容上有所删减，在教学要求上也有很大的降低。从教材内容上看，与以往教材内容相比，从篇幅上，从课时上，从教材编排方式上，都有很大的变化。目前只是突出最基本、最重要的基础知识和最基本的技能。教学时要注意把握好教学要求。教学内容应当限制在课程标准和教材所出现的范围，按照课程标准要求删减的内容，教学中不要再拣回，以免影响学生对于基础知识的学习。例如，为了突出对于相似多边形以及相似三角形这个全章的重点内容，教科书对于比例和成比例线段的相关内容，只是在小学的基础上，给出了成比例线段的基本概念，学生能够理解它的基本含义即可。对于平行线分线段成比例定理，教科书没有介绍，而是直接给出了它的应用“平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形和原三角形相似”（教科书对其过中点的特殊情况进行了证明）。在此基础上，证明了相似三角形的三个判定定理。

对于推理论证的要求，课程标准中在本章没有明确规定。教科书中是按照整套教科书对于推理证明的要求来处理的。在本章，要求学生对于一些相似图形的性质以及相似三角形的判定方法进行证明，为了巩固学生对于这些基础知识的理解，掌握好这些重点内容，教科书安排了一些直接利用这些判定和性质的计算题和证明题。这些题中，直接应用定理的较多，变式的题目很少，也比较简单，这样可使学生在有限的时间学好必须的基础知识。教学时对于本章的证明问题也要注意控制难度，对于一般学生，控制在教科书“综合应用”的题目难度内，对于学有余力的学生，可以要求他们完成“拓广探索”栏目的习题。