初中数学教材培训

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初中数学培训手册之三十二  

第24章“圆”简介

课程教材研究所　　李海东





与三角形、四边形等一样，圆也是基本的平面图形，也是“空间与图形”的主要研究对象，是人们生活中常见的图形。本章将在学生前面学习了一些基本的直线形——三角形、四边形等的基础上，进一步研究一个基本的曲线形——圆，探索圆的有关性质，了解与圆有关的位置关系等，并结合一些图形性质的证明，进一步发展学生的逻辑思维能力。本章共安排四个小节和两个选学内容，教学时间大约需要17课时，具体安排如下（仅供参考）：

24.1  圆                                                 5课时

24.2  与圆有关的位置关系                                 6课时

24.3  正多边形和圆                                       2课时

24.4  弧长和扇形的面积                                   2课时

数学活动

小结                                                     2课时

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一、教科书内容和课程学习目标

（一）本章知识结构框图

本章知识结构如下图所示：

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（二）教科书内容


本章是在学习了直线图形的有关性质的基础上，来研究一种特殊的曲线图形——圆的有关性质。圆也是常见的几何图形之一，不仅日常生活中的许多物体是圆形的，而且在工农业生产、交通运输、土木建筑等方面都可以看到圆。圆的有关性质，也被广泛的应用。圆也是平面几何中最基本的图形之一，它不仅在几何中有重要地位，而且是进一步学习数学以及其他科学的重要的基础。圆的许多性质，比较集中地反映了事物内部量变与质变的关系、一般与特殊的关系、矛盾的对立统一关系等等。结合圆的有关知识，可以对学生进行辩证唯物主义世界观的教育。所以这一章的教学，在初中的学习中也占有重要地位。

本章是在小学学过的一些圆的知识的基础上，系统的研究圆的概念、性质、圆中有关的角、点与圆、直线与圆、圆与圆、圆与正多边形之间的位置、数量关系。本章共分为四个小节，第1小节是“圆”，主要是圆的有关概念和性质，圆的概念和性质是进一步研究圆与其他图形位置、数量关系的主要依据，是全章的基础。这一节包括“圆”“垂直于弦的直径”“弧、弦、圆心角”“圆周角”四个部分。“24.1.1 圆”的主要内容是圆的定义和圆中的一些相关概念。圆的定义是研究圆的有关性质的基础。在小学，学生接触过圆，对它有一定的认识。教科书首先结合生活中一些圆的实际例子，在学生小学学过的画圆的基础上，通过设置一个观察栏目，用“发生法”给出了圆的定义。进一步的教科书又分析了圆上每一个点与圆心的距离都等于定长，同时到定点的距离等于定长的点都在圆上，这样实际上从点和集合的角度进一步认识圆，这样再认识之后，学生对圆的认识就加深了。接下来，是与圆有关的一些概念，如半径、直径、弦、弧等，对于这些概念要让学生结合图形进行认识，并多进行比较，以搞清他们的异同。

在接下来的几部分，教科书探究并证明了垂径定理、弧、弦、圆心角的关系定理、圆周角定理。垂径定理及其推论反映了圆的重要性质，是圆的轴对称性的具体化，也是证明线段相等、角相等、垂直关系的重要依据，同时也为进行圆的计算和作图提供了方法和依据；圆周角定理及其推论对于角的计算、证明角相等、弧、弦相等等问题提供了十分简便的方法。所以垂径定理及其推论、圆周角定理及其推论是本小节的重点，也是本章的重点内容。而垂径定理及其推论的条件和结论比较复杂，容易混淆，圆周角定理的证明要用到完全归纳法，学生对与分类证明的必要性不易理解，所以这两部分内容也是本节的难点。

“24.2 与圆有关的位置关系”包括三部分内容，点与圆的位置关系、直线与圆的位置关系、圆与圆的位置关系。在“点与圆的位置关系”中，教科书首先结合射击问题，给出了点与圆的三种不同位置关系，接下来讨论了过三点的圆，并结合“过同一直线上的三点不能作圆”介绍了反证法。在“直线与圆的位置关系”中，教科书首先讨论了直线与圆的三种位置关系，然后重点研究了直线与圆相切的情况，给出了直线与圆相切的判定定理、性质定理、切线长定理，在此基础上介绍了三角形的内切圆。在“圆与圆的位置关系”中，重点是讨论圆与圆的不同位置关系。本小节中，直线与圆的位置关系是中心内容，切线的判定定理、性质定理、切线长定理等则是研究直线与圆的有关问题时常用的定理，是本节的重点内容。反证法的思想在前面章节有所渗透，在这一小节正式提出，它是一种间接证法，学生接受还是有一定的困难，所以对于反证法的教学是本节的一个难点；另外切线的判定定理和性质定理的题设和结论容易混淆，证明性质定理又要用到反证法，因此这两个定理的教学也是本节的难点，这些也同时是本章的难点。

正多边形是一种特殊的多边形，它有一些类似于圆的性质。例如，圆有独特的对称性，它不仅是轴对称图形、中心对称图形，而且它的任意一条直径所在直线都是它的对称轴，绕圆心旋转任意一个角度都能和原来的图形重合。正多边形也是轴对称图形，正n边形就有n条对称轴，当n为偶数时，它也是中心对称图形，而且绕中心每旋转，都能和原来的图形重合，可见正多边形和圆有很多内在的联系。另外，正多边形也在生产和生活中有着广泛的应用，所以教科书接下来安排了“正多边形和圆”的内容。教科书回顾学生已经了解的正多边形概念的基础上，以正五边形为例，证明了利用等分圆周得到正五边形的方法，接下来介绍了正多边形的有关概念，如中心、半径、中心角、边心距等，并进一步介绍了画正多边形的方法。正多边形的有关计算是本节的重点内容，这些计算都是几何中的基础知识，正确掌握它们也要综合运用以前所学的知识，这些知识在生产和生活中也常要用到。本节的教学难点在学生对正n边形中“n”的接受和理解上。学生对三角形、四边形、圆等这些具体图形比较习惯，对于泛指的n边形不习惯。为了降低难度，教科书涉及的证明、计算等问题都是结合具体的多边形为例的，教学时要注意把这种针对具体图形的结论和方法推广，使学生实现由具体到抽象，特殊到一般的认识上的飞跃，提高学生的思维能力。

教科书接下来的24.4节的主要内容是一些与圆有关的计算，包括两部分“弧长和扇形的面积”“圆锥的侧面积和全面积”。“弧长和扇形的面积”是在小学学过的圆周长、面积公式的基础上推导出来的，应用这些公式，就可以计算一些与圆有关的简单组合图形的周长和面积。由于圆锥的侧面展开图是扇形，所以教科书接下来介绍了圆锥的侧面积和全面积的计算。这些计算不仅是几何中基本的计算，也是日常生活中经常要用到的，运用这些知识也可以解决一些简单的实际问题。圆锥的侧面积的计算还可以培养学生的空间观念，因此对这部分内容的教学也要重视。


（三）课程学习目标


1．理解圆及其有关概念，理解弧、弦、圆心角的关系，探索并了解点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，探索并掌握圆周角与圆心角的关系、直径所对的圆周角的特征。

2.了解切线的概念，探索并掌握切线与过切点的半径之间的位置关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线。

3.了解三角形的内心和外心，探索如何过一点、两点和不在同一直线上的三点作圆。

4.了解正多边形的概念，掌握用等分圆周画圆的内接正多边形的方法；会计算弧长及扇形的面积、圆锥的侧面积及全面积。

5.结合相关图形性质的探索和证明，进一步培养学生的合情推理能力，发展学生的逻辑思维能力和推理论证的表达能力；通过这一章的教学，进一步培养学生综合运用知识的能力，运用学过的知识解决问题的能力，同时对学生进行辩证唯物主义世界观的教育。

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二、本章编写特点


（一）突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合


圆是日常生活中常见的图形之一，也是平面几何中的基本图形，本章重点研究了与圆有关的一些性质。教科书在编写时，注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过多种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质。

例如结合圆的轴对称性，发现垂径定理及其推论；利用圆的旋转对称性，发现圆中弧、弦、圆心角之间的关系；通过观察、度量，发现圆心角与圆周角、圆周角之间的数量关系；利用直观操作，发现点与圆、直线与圆、圆与圆之间的位置关系等等。在学生通过观察、操作、变换探究出图形的性质后，还要求学生能对发现的性质进行证明，使直观操作和逻辑推理有机的整合在一起，使推理论证成为学生观察、实验、探究得出结论的自然延续。


（二）注意联系实际


圆是人们日常生活和生产中应用较广的一种几何图形，不仅日常生活中许多物体是圆形的，而且在工农业生产、交通运输、土木建筑等方面都可以见到圆。这部分内容与实际联系比较紧密。在教科书编写时，也充分注意到这一点。例如，在引入圆、正多边形等概念时，举出了大量的实际生活中的例子；在介绍点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时，也是注意从它们在实际生活中的应用引入；利用垂径定理解决求赵州桥的主桥拱半径的问题；根据海洋馆中人们视野的关系引出研究圆周角与圆心角、圆周角之间的关系；利用正多边形的有关计算求亭子的地基；实际问题中有关弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算问题等等。教科书的例、习题中也有一些实际应用的例子等等。这些材料都是从实际中提炼出来的，要通过这些知识的教学，帮助学生从实际生活中发现数学问题、运用所学知识解决实际问题。教学时，还可以根据本地区的实际，选择一些实际问题，引导学生加以解决，提高他们应用知识解决问题的能力。



（三）重视渗透数学思想方法


教学中不仅要教知识，更重要的是教方法，本章重涉及的数学思想方法也比较多。例如，圆周角定理证明中的通过分类讨论，把一般问题转化为特殊情况来证明；研究点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系时的分类的思想；研究正多边形的有关问题是通过把问题转化为解直角三角形来解决的；正多边形的画图是通过等分圆来完成的；等等。通过这些知识的教学，使学生学会化未知为已知、化复杂为简单、化一般为特殊或化特殊为一般的思考方法，提高学生分析问题和解决问题的能力。

另外，在本章，通过理论联系实际，对学生进行唯物论认识论的教育；通过圆的许多性质之间的内在联系，圆与其他图形之间量变与质变的关系，一般与特殊之间的关系等，对学生进行辩证唯物主义观点的教育；使学生增强民族的自豪感和振兴中华的使命感，对他们进行学习目的的教育，培养他们良好的个性品质。

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三、几个值得关注的问题


（一）进一步培养推理论证能力


从培养学生的逻辑思维能力来说，“圆”这一阶段处于学生初步掌握了推理论证方法的基础上进一步巩固和提高的阶段，不仅要求学生能熟练地用综合法证明命题，熟悉探索法的推理过程，而且要求了解反证法。教学中要重视推理论证的教学，进一步提高学生的思维能力。教科书在这方面也还是很重视的。在推理与证明的要求方面，除了要求学生对经过观察、实验、探究得出的结论进行证明以外，有一些图形的性质是直接由已有的结论经过推理论证得出的。另外，为了巩固并提高学生的推理论证能力，本章的定理证明中，除了采用了规范的证明方法外，还有一些采用了探索式的证明方法。这种方法不是先有了定理再去证明它，而是根据题设和已有知识，经过推理，得出结论。这些对激发学生的学习兴趣，活跃学生的思维，对发展学生的思维能力有好处。教学中要注意启发和引导，使学生在熟悉“规范证明”的基础上，推理论证能力有所提高和发展。

另外，这部分内容所涉及的图形很多是圆和直线形的组合，而且题目也相对以前比较复杂，教学时应注意多帮助学生复习有关直线形的知识，做到以新带旧、新旧结合，而且要加强解题思路的分析，帮助学生树立已知与未知、简单与复杂、特殊与一般在一定条件下可以转化的思想，使学生学会把未知化为已知，把复杂问题化为简单问题，把一般问题化为特殊问题的思考方法。如对于圆周角定理的证明，可以先从最简单的情况——角的一边经过圆心时入手，再推广到一般情形。通过这样的训练，可以提高学生逻辑思维能力和分析解决实际问题的能力。


（二）重视知识间的联系与综合  


圆是学生学习的第一个曲线形。学生由学习直线形到曲线形，在认识上是一个飞跃。在教学时，应注意充分利用学生在小学学过的圆的知识，搞好衔接。同时要注意加强圆和直线形的联系，把圆和直线形的有关问题对照讲解。如在讲“不在同一直线上的三个点确定一个圆”时，可以和“两点确定一条直线”相对照，这样可以加深学生对知识的理解。教科书在编写时，也注意从学生学习的规律出发，加强新旧知识的联系，发挥知识的迁移作用。例如，在讲圆的定义时，先回顾小学学过的定义，在分析圆上的点的特征的基础上，用集合语言重新给出描述；在学习圆及正多边形的计算时，注意将新知识与直角三角形的知识、小学学过的圆的周长与面积的知识联系起来，使新知识在学生眼里不陌生，容易接受。

圆是一种特殊曲线，它有独特的对称性。它不仅是轴对称图形、中心对称图形，而且它的任何一条直径所在直线都是它的对称轴。绕圆心旋转任意一个角度都能与原来的图形重合（旋转对称性）。圆的对称性在日常生活和生产中有着广泛的应用，因此应当让学生很好地掌握。在研究圆的有关性质时，充分利用圆的对称性也是本章编写的一个特点。如垂径定理，弧、弦、圆心角的关系，切线长定理等，都是让学生充分利用圆的这些对称性，通过观察、实验等探究出性质，再进行证明，体现图形的认识、图形的变换、图形的证明的有机结合。这些也是教学时应当重点注意的。


（三）注意把握好教学要求  


本章教学内容与以往教材内容相比，删减幅度比较大（原义教大纲教材53课时，现在17课时），教学时要注意把握好教学要求。教学内容应当限制在课标和教材所出现的范围，按照课标要求删减的内容，教学中不要再拣回，以免影响学生对基础知识的学习。对于推理论证的要求，课程标准中在本章没有明确规定。教科书中是按照整套教科书对于推理证明的要求来处理的。在本章，要求学生对于一些圆的有关性质进行证明，并利用这些性质去证明一些相关的结论。但要注意，这里的证明也要控制难度，对于一般学生，控制在教科书“综合应用”的题目难度内，对于学有余力的学生，可以要求他们完成“拓广探索”栏目的习题。

反证法的思想在七年级上册教科书代数部分就有涉及，在后续的相关章节也有应用。但当时只是渗透反证法的思想，没有作为一种方法提出。在本章，结合“过同一直线上的三点不能作圆”，正式提出了反证法，并且在后续内容，如“圆的切线垂直于过切点的半径”的证明时也有应用。由于反证法是一种间接证法，学生接受起来有一定困难。因此，教科书主要是要求让学生理解反证法的思想，后续习题也没有安排相应的习题。这里也要注意把握好对反证法的要求，不要让学生作过多过难的关于反证法的习题。

    另外，圆有许多重要性质，其中最主要的是圆的对称性（轴对称和旋转不变性），教科书在证明圆的许多重要性质时，都运用了它的对称性。但是，因为用对称的定义证明问题，对学生来说比较困难，所以在本章的教学中，一方面要重视利用圆的对称性（教科书中在使用圆的对称性）；另一方面又不应要求学生严格地利用对称性写出证明过程。教学中要把握好这个要求。



（四）重视信息技术的应用


在本章的教学中，有条件的学校还是要重视信息技术工具的使用。利用信息技术工具，可以很方便地制作图形，可以很方便地让图形动起来。许多计算机软件还具有测量功能，这也有利于我们在图形运动变化的过程中去发现其中不变的位置关系和数量关系，有利于发现图形的性质。

例如，本章许多图形的性质都可以利用计算机软件设置一些探究活动，让图形动起来，在这种运动变化中发现图形的性质。如弧、弦、圆心角之间的关系。有许多计算机软件具有测量功能，可以方便地测出角的大小和线段的长度，这也有利于在运动变化中观察它们的关系，发现图形的性质。如圆周角定理。另外还可以通过计算机软件让图形动起来，在动态变化过程中去发现点与圆、直线与圆、圆与圆的位置关系，还可以通过测量，去发现这种位置关系所对应的数量关系，如直线与圆的位置关系中直线到圆心的距离与圆的半径的关系，两圆位置关系中圆心距与圆半径的关系等。

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初中数学培训手册之三十三

“第25章 概率初步”简介  

课程教材研究所 林立军



　　从《数学标准》看，本章属于“统计与概率”领域，对于该领域的内容，本套教科书共安排了四章，这四章采用统计和概率分开编排的方式，前三章是统计，最后一章是概率。一方面，概率与统计相对独立，另一方面概率又以统计为依托。本章概率知识的学习要以前三章的统计部分的知识为基础。

本章教学时间约需14课时，具体分配如下（仅供参考）：

25．1   概  率                                               4课时

25．2   用列举法求概率                                       4课时

25．3   利用频率估计概率                                     2课时

25．4   课题学习                                             2课时

数学活动                                                        

小结                                                         2课时

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一、教科书内容和课程学习目标
（一）本章知识结构框图
        


（二）教科书内容
本章的主要内容是随机事件的定义，概率的定义，计算简单事件概率的方法，主要是列举法（包括列表法和画数行图法），利用频率估计概率。中心内容是体会随机观念和概率思想。
全章共包括3节：