初中数学教材培训

lspjy

在七年级上册，学生已经学过“数据的收集和整理”，对收集来的数据如何加以描述，就是需要学生在本册继续学习的内容。在“数据的描述”一章，首先让学生认识几种常见的统计图，包括条形图，扇形图，折线图，直方图，然后使他们学会用统计图更直观、更清楚地描述数据，最后安排课题学习，进一步让学生体会用统计图描述数据的作用。



“全等三角形”一章首先让学生认识形状、大小相同的图形，给出全等三角形的概念，然后让学生探索两个三角形全等的条件，并运用有关结论进行证明，最后掌握角的平分线的性质。



“轴对称”一章首先让学生认识轴对称，探索它的性质。然后让学生能够按要求作出简单图形经过轴对称后的图形，从而能利用轴对称进行图案设计。在此基础上，学习等腰三角形的有关概念和性质。这样，学生就可以从轴对称的角度把握等腰三角形的有关内容。



学生已经知道，可以用字母表示数，用含有字母的式子表示实际问题中的数量关系。对整式的进一步讨论，将使学生能够解决更多与数量关系有关的问题，加深对“从数到式”这个由具体到抽象的过程的认识。在这一章，首先让学生了解整式的概念，然后让学生学会简单的整式加减乘除运算。在此基础上，让学生了解因式分解的概念，会用提公因式法，公式法分解因式。这些内容为以后内容，特别是下一章分式的学习作好了准备。



二、本书编写特点



（一）加强与实际的联系



1.       从实际出发引入有关内容



在“一次函数”一章，教科书通过匀速行驶的汽车的行驶里程随时间的变化而变化，电影院的票房收入随售出票数的变化而变化，弹簧的长度随悬挂重物的质量的变化而变化等实例引入变量、常量以及函数的概念。用列表法、图象法表示函数也是结合中国人口统计表、心电图说明的。正比例函数、一次函数则分别由燕鸥飞行、气温变化等问题引入。这样安排的目的是使学生通过简单实例了解变量、常量的意义，结合实例了解函数的概念和三种表示方法，结合具体情境体会一次函数的意义。



统计中常见的条形图，扇形图，折线图和直方图各有特点，它们可以清楚，有效地表述数据。在“在数据的描述”一章，这些统计图都是结合实际问题说明的：从空气质量问题引入条形图与扇形图，从国内生产总值问题引入折线图，从测脉搏问题引入直方图。这样就使学生认识到统计与现实生活联系紧密。



在“全等三角形”一章，教科书从实际例子引入全等形的概念，并让学生举出一些例子。在我们的周围，经常可以看到形状，大小相同的图形，这样做既可以使学生易于理解相关概念，也可以调动他们学习的积极性。又如，从分析平分角的仪器的原理引入角的平分线的画法。再如，通过确定集贸市场的位置的问题引出“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。



从自然景观到微型模型，从建筑物到艺术作品，甚至日常生活用品，都可以找到轴对称的例子，在“轴对称”一章，教科书从实际出发引入轴对称、轴对称变换，使学生具体感受。又如，从海上救生问题引入“等角对等边”的结论。再如，借助将两个含30°角的三角尺摆放在一起的图形，找到直角三角形中30°角所对的直角边与斜边之间的数量关系。



总之，本册教科书各章都关注从具体的问题情境中抽象出数学问题，以有利于学生理解相关的数学内容。

lspjy

2.       运用有关内容解决实际问题



　　在“一次函数”一章，让学生用适当的函数表示法刻画某些实际问题中变量之间的关系，例如，运用函数分析耗油量与行驶里程的关系，水位随时间的变化，以及运费、上网费。在这一章，还注重从图象分析有关信息，例如，教科书第11页的观察以及第12页的例2。



    在“全等三角形”一章， 用三角形全等说明实际测量方法的道理，例如，测量池塘两端的距离，测量河两岸相对两点的距离，用卡钳测量工件的内槽宽。还安排了利用三角形全等测量旗杆高度的数学活动。



在“轴对称”一章，则在学完轴对称的有关知识以后，让学生利用轴对称设计图案。在这一章，还运用特殊三角形的性质解决实际问题，例如，用等腰三角形解决求绳长问题，用等边三角形解决测量中的问题。



总之，各章都注重让学生运用所学知识解决实际问题，加深对所学内容的理解。



（二）留给学生思考、探索的空间



本册内容与七年级两册相比有所加深，各章都注重让学生经历探索知识的过程。



在“一次函数”一章，先让学生思考反映不同事物变化过程的一些问题，再给出变量，常量的概念。不仅让学生通过式子体会变量之间的联系，而且让学生观察中国人口统计表、心电图认识这种联系，再给出函数的概念。对于函数的三种表示方法的比较，教科书没有直接给出，而是提出一个问题，让学生结合例子自己思考。而一次函数的概念和性质则分别通过列出一些函数的解析式，画出一些一次函数的图象归纳得出。



编写“全等三角形”一章时，在“三角形全等的条件”一节设计了8个探究，让学生经历三角形全等条件的探索过程，突出体现新教材的设计思想。首先让学生探索两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的一个或两个，两个三角形是否一定全等。然后让学生探索两个三角形满足上述六个条件中的三个，两个三角形是否一定全等，并按如下的顺序展开：



（1）三边对应相等；



（2）两边及其夹角对应相等；



（3）两边及其中一边所对的角对应相等；



（4）两角和它们的夹边对应相等；



（5）两角和其中一个角的对边对应相等；



（6）三个角对应相等。



　　总的发展脉络是三边，两边一角（包括（2），（3）两种情况），一边两角（包括（4），（5）两种情况），三个角，这样学生容易把握探索的过程。这样的处理也与先给出可判定全等的情况，再给出不一定能判定全等的情况的处理不同，尽量排除人为安排的因素，呈现更为自然。最后让学生将三角形全等的条件运用于直角三角形，讨论得出直角三角形全等的条件。其中，斜边和一条直角边对应相等不能运用三角形全等的条件，又需要学生进一步加以实验探索。



在“轴对称”一章，与轴对称有关的性质是让学生通过观察、探究得到的。对于关于坐标轴对称的点的坐标的关系，教科书是通过让学生画出一些已知点及其对称点，确定对称点的坐标，比较每对对称点的坐标得到的。 对于等腰三角形的性质，则是让学生把等腰三角形适当对折，找出其中重合的线段和角，自己去发现有关的结论。



总之，教科书的各章都力图讲清知识的来龙去脉，将知识的形成和应用过程呈现给学生。



（三）加强知识间的联系



在“一次函数”一章，专门安排“用函数观点看方程（组）与不等式”一节，分别探讨一次函数与一元一次方程，一次函数与一元一次不等式，一次函数与二元一次方程（组）之间的关系。这样就可以让学生发现一次函数，一元一次方程，一元一次不等式之间的联系，用函数的观点把互相联系的方程（组）、不等式、函数统一起来。



在“全等三角形”一章，三角形的画法与三角形全等条件的探索相结合，也就是说，三角形全等条件不是直接给出的，而是让学生画出与已知三角形某些元素对应相等的三角形，画完以后，再剪剪量量，在这个基础上启发学生想一想，判定两个三角形全等需要什么条件。这样让学生自己动手画图实验，就会对相关结论印象深刻。将三角形的画法与三角形全等条件的探索相结合，也比单独讲三角形的画法效果好，单讲容易单调枯燥。



在“轴对称”一章，图形的变换与图形的认识相结合,本册书先安排轴对称的内容，再安排等腰三角形的内容。这样就可以从变换的角度认识等腰三角形，从而加强两者之间的联系。另外，在本章中安排“用坐标表示轴对称”的内容，也是为了数形结合，加强知识之间的联系。



（四）培养推理能力



在“全等三角形”一章，正式出现证明及证明的格式。七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，就是为现在正规练习证明作准备的。要求学生有理有据地推理证明，精练准确地表达推理过程，是比较困难的。为了解决这个难点，教科书做了一些努力。



1.　注意减缓坡度，循序渐进。开始阶段，证明的方向明确，过程简单，书写容易规范化。这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式，然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进，每一步都为下一步作准备，下一步又注意复习前一步训练的内容。特别是在第十一章里，通过精心选择全等三角形的证明问题，减缓学生学习几何证明的坡度。



2.　在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于教师掌握。例如，在“全等三角形”一章，让学生会证明两个三角形全等，通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等，从而熟悉证明的步骤和方法。在第十四章与等腰三角形有关的内容中，重点培养学生会分析思路，会根据需要选择有关的结论去证明。



3.　注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。

lspjy

三、几个值得关注的问题



（一）关注学生的情感态度



在本书的教学中，注意培养学生学习的兴趣与良好的个性品质。本书中数形结合的内容较多，如函数和它的图象、数据与统计图、对称点与它的坐标等，要利用这些内容的特点，引发学生学习的兴趣。要通过循序渐进的教学，使学生掌握基础知识，基本技能，发展能力，同时使他们具有顽强的学习毅力，充分的学习信心，实事求是的科学态度，独立思考，勇于探索创造的精神。



本书内容蕴含了数学来源于实践，又反过来作用于实践的观点，蕴含了运动变化，相互联系，相互转化等观点。如由于实际的需要产生了函数，并使函数的理论丰富和发展，同时这些理论又用于解决实际问题。而函数、轴对称等内容则生动地反映了运动变化、相互联系、相互转化的观点。教学中，要利用这些内容对学生进行辩证唯物主义观点的教育，使学生形成科学的世界观。



（二）加强信息技术的应用



随着知识内容的展开，用信息技术处理相关内容的作用也越来越明显。本册中，可从以下三个方面关注信息技术的应用。



1.　用计算机画函数图象



画出函数的图象可以直观地反映变量之间的关系，也便于由图象研究函数的性质（单调性、极值、奇偶性、函数的零点）。与手工计算、描点绘制函数图象相比，利用某些计算机软件可以方便地得到函数图象：只要输入函数的解析式，计算机就会自动生成函数的图象。这样学生就可以通过函数图象了解更多的函数。



2.　利用计算机画统计图



利用计算机软件可以画出条形图、扇形图、折线图和直方图等统计图。利用计算机画统计图不仅快捷方便，而且画出的统计图标准、美观。这样，可以调动学生学习的兴趣，使他们乐于尝试，提高他们的设计、动手能力。



3.　探索轴对称的性质



利用计算机软件可以方便地画出一个图形的轴对称图形，由此可以观察对称点所连线段与对称轴的关系，使轴对称图形或对称轴的位置发生变化，观察结论是否仍然成立。类似地，可以探索对称点的坐标的特点，线段垂直平分线的性质。另一方面，利用计算机可以进行图案设计。



　　总之，运用信息技术可以丰富学生学习的内容，在条件许可的情况下，可以开展这方面的研究，提高教学效率。

lspjy

初中数学培训手册之十六

第十一章“全等三角形”简介

课程教材研究所 薛彬



　　“全等三角形”一章首先让学生认识形状、大小相同的图形，给出全等三角形的概念，然后让学生探索两个三角形全等的条件，并运用有关结论进行证明，最后掌握角的平分线的性质。



本章教学时间约需10课时，具体分配如下（仅供参考）：



11.1 全等三角形                                             1课时



11.2 三角形全等的条件                                       5课时



11.3 角的平分线的性质                                       2课时



数学活动



小结                                                       2课时

lspjy

一、教科书内容和课程学习目标

本章知识结构框图：

　　　　　

本章的主要内容是全等三角形，主要学习全等三角形的性质及各种三角形全等的判定方法，同时学会如何利用全等三角形进行证明。本章分三节，第一节介绍全等形，包括三角形全等的概念，全等三角形的性质。第二节介绍一般三角形全等的判定方法，及直角三角形全等的一个特殊的判定方法。在第三节，利用直角三角形的判定方法，证明了角平分线的性质,并会利用角的平分线的性质进行证明。

学生已学过线段、角、相交线、平行线以及三角形的有关知识，七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，这些为学习全等三角形的有关内容作好了准备。通过本章的学习，可以丰富和加深学生对已学图形的认识（如两个三角形满足一定的条件就完全一样了，角的平分线上的一点到角的两边的距离相等），同时为学习其他图形知识打好基础。全等三角形是研究图形的重要工具，学生只有掌握好全等三角形的内容，并且能灵活地运用它们，才能学好四边形、圆等内容。

从本章开始，要使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式。这既是本章的重点，也是教学的难点。教科书把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件（“边边边”条件）上，使学生以“边边边”条件为例，理解什么是三角形的判定，怎样判定。在掌握了“边边边”条件的基础上，使学生学会怎样运用“边边边”条件进行推理论证，怎样正确地表达证明过程。“边边边”条件掌握好了，再学习其他条件就不困难了。

在“全等三角形的条件”一节中，得出如下结论：三边对应相等的两个三角形全等；两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等；两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等。用这些结论可以判定两个三角形全等。三角形全等的这些判定方法都是可以证明的，都可以作为定理处理。但是，这些定理（除“边边边”定理外）的证明方法都比较特殊。学生开始学习这些判定定理时，掌握定理的内容并不困难，困难的是定理的证明，而这些特殊的证明方法，在正式学习推理证明的开始阶段，并不要求学生掌握。所以为了突出重点，突出判定方法这条主线，本章中上述判定方法都是作为基本事实（公理）提出来的，通过画图和实验，使学生确信它们的正确性。值得注意的是，本节中的另一个判定方法“两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等”，则是利用“两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等”证明的。

运用三角形全等的条件可以判定两个直角三角形全等。还可以利用“斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等” 判定两个直角三角形全等。本章中这个判定方法是作为基本事实（公理）提出来的，也是通过画图和实验，使学生确信它的正确性。


在“角的平分线的性质”一节中，介绍角的平分线的作法，以及“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”两个结论。这两个结论是互逆定理。为了保证学生在本章学好简单证明的重点，本章暂不介绍互逆命题、互逆定理等内容，这些内容在八年级下册“勾股定理”一章中介绍。本节例题让学生证明三角形两条对角线的交点到三角形三边的距离相等，并进一步让学生得出这个交点在第三条角平分线上，即三角形的三条角平分线交于一点。这也为学生今后在“圆”一章学习内心作好了准备。

lspjy

本章的学习目标如下：



1．了解全等三角形的概念和性质，能够准确地辨认全等三角形中的对应元素；



2．探索三角形全等的条件，能利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式；



3．了解角的平分线的性质，能利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明。



二、本章编写特点



（一）注重探索结论



在“三角形全等的条件”一节设计了8个探究，让学生经历三角形全等条件的探索过程，突出体现新教材的设计思想：



探究1：两个三角形满足三条边对应相等，三个角对应相等这六个条件中的一个或两个，两个三角形是否一定全等；



探究2：三边对应相等，两个三角形是否一定全等；



探究3：两边及其夹角对应相等，两个三角形是否一定全等；



探究4：两边及其中一边所对的角对应相等，两个三角形是否一定全等；



探究5：两角和它们的夹边对应相等，两个三角形是否一定全等；



探究6：两角和其中一个角的对边对应相等，两个三角形是否一定全等；



探究7：三个角对应相等，两个三角形是否一定全等；



探究8：斜边和一条直角边对应相等，两个直角三角形全等。



探究2～7让学生探索两个三角形满足上述六个条件中的三个，两个三角形是否一定全等。总的发展脉络是三边，两边一角（包括探究3，探究4两种情况），一边两角（包括探究5，探究6两种情况），三个角，这样学生容易把握探索的过程。



探究1、探究4、探究7是不一定能判定全等的情况，探究2、探究3、探究5、探究6是能判定全等的情况。这样的处理也与先给出可判定全等的情况再给出不一定能判定全等的情况的处理不同，尽量排除人为安排的因素，呈现更为自然。



学完三角形全等的条件，让学生将三角形全等的条件运用于直角三角形，讨论得出直角三角形全等的条件。其中，斜边和一条直角边对应相等不能运用三角形全等的条件，又需要学生进一步加以实验探索。



    （二）注重推理能力的培养



本章正式出现证明及证明的格式。七年级两册教科书中安排了一些说理的内容，就是为现在正规练习证明作准备的。要求学生有理有据地推理证明，精练准确地表达推理过程，是比较困难的。为了解决这个难点，教科书做了一些努力。



1．注意减缓坡度，循序渐进。开始阶段，证明的方向明确，过程简单，书写容易规范化。这一阶段要求学生体会例题的证明思路及格式，然后再逐步增加题目的复杂程度，小步前进，每一步都为下一步作准备，下一步又注意复习前一步训练的内容。通过精心选择全等三角形的证明问题，减缓学生学习几何证明的坡度。



2．在不同的阶段，安排不同的练习内容，突出一个重点，每个阶段都提出明确要求，便于教师掌握。先让学生会证明两个三角形全等，然后安排通过证明三角形全等，证明两条线段或两个角相等的问题，从而熟悉证明的步骤和方法。在此之后安排的问题还会涉及以前学过的平行线等内容，重点培养学生会分析思路，会根据需要选择有关的结论去证明。



3．注重分析思路，让学生学会思考问题，注重书写格式，让学生学会清楚地表达思考的过程。例如，在第二节证明例1的结论“△ABD≌△ACD”以前，首先指出证题的思路：“要证△ABD≌△ACD,可看这两个三角形的三条边是否对应相等.” 为了清楚地表达上述思考过程，引入“”“” 及综合法证明的格式，把证明的过程简明地表达出来。

lspjy

（三）   注重联系实际



在“全等三角形”一节，教科书从实际例子引入全等形的概念，并让学生举出一些例子。在我们的周围，经常可以看到形状，大小相同的图形，这样做既可以使学生易于理解相关概念，也可以调动它们学习的积极性。又如，从分析平分角的仪器的原理引入角的平分线的画法。再如，通过确定集贸市场的位置的问题引出“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”的结论，使学生看到理论来自实际的需要。



用三角形全等可以说明实际测量方法的道理，例如，测量池塘两端的距离，测量河两岸相对两点的距离，用卡钳测量工件的内槽宽。还安排了利用三角形全等测量旗杆高度的数学活动。



三、几个值得关注的问题



（一）关于内容之间的联系



在“全等三角形”一节，让学生通过观察、思考得出平移、翻折、旋转前后的图形全等的结论。这样处理一方面可以复习巩固全等三角形的概念，另一方面也使学生在某些情况下容易找到全等三角形的对应元素。



在“全等三角形的条件”一节，三角形的画法与三角形全等条件的探索相结合，也就是说，三角形全等条件不是直接给出的，而是让学生画出与已知三角形某些元素对应相等的三角形，画完以后，再剪剪量量，在这个基础上启发学生想一想，判定两个三角形全等需要什么条件。这样让学生自己动手画图实验，就会对相关结论印象深刻。将三角形的画法与三角形全等条件的探索相结合，也比单独讲三角形的画法效果好，单讲容易单调枯燥。



作图内容在本章中是分散安排的，小结时应注意复习本章中涉及的下面几种作图：



（1）已知三边作三角形；



（2）已知两边和它们的夹角作三角形；



（3）已知两角和它们的夹边作三角形；



（4）已知斜边和一条直角边作直角三角形；



（5）作角的平分线。



（二）关于证明



解决推理入门难是本章的难点，除了教科书作了一些安排外，教师在教学中要特别注意调动学生动脑思考。只有学生动脑思考了，才能真正解决推理入门的问题。课堂上要注意与学生共同活动，不要形成教师讲，学生听的局面。教师课堂上多提些问题，并注意留给学生足够的思考时间。



证明一个几何中的命题有以下步骤：



（1）根据题意，画出图形；



（2）根据题设、结论，结合图形，写出已知、求证；



（3）经过分析，找出由已知推出求证的途径，写出证明的过程。



    在一般情况下，分析的过程不要求写出来。有些题目中，已经画好了图形，写好了已知、求证，这时只要写出“证明”一项就可以了。



分析证明命题的途径，这一步学生比较困难，需要在学习中逐步培养学生的分析能力。



证明中的每一步推理都要有根据，不能“想当然”。这些根据，可以是已知条件，也可以是定义、公理、已经学过的重要结论。



在本章中还会遇到通过举反例说明两个三角形满足某些条件不一定全等。判断一个命题是假命题，只要举出一个反例。找反例对学生来说是比较困难的，学生在一般情况下不容易发现反例。教师要根据学生的情况进行指导，尽量多发现几个反例，使学生学会举反例。



为了使学生认识证明的必要性，教科书安排了“阅读与思考 为什么要证明”，它以师生对话的形式结合具体例子介绍了逻辑推理的必要性。通过观察和实验，可以获得许多知识。几何中研究的物体的形状、大小、位置关系等，许多都是通过观察得来的。不过，从观察得到的认识是初步的，往往是不全面的，不深入的。如本文中的例子，观察一些三角形三个角的和，得到三角形的三个角的和等于180°的结论。那么是不是所有的三角形都是这样的呢？为什么三角形的三个角的和必然等于180°呢？只用观察的方法就不够了，而要在观察的基础上，一步一步地，有根有据地说明理由，也就是要进行证明。可通过这个例子的分析，使学生体会证明的必要性。