小学数学教研论文：数概念与基本数量关系的“数学化”进程

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一、问题缘起

学龄前儿童凭借不多的生活经验已经能够解决贴近他们生活的简单实际问题，但是，当儿童成为学生之后，有些原本能够解决的问题，反而显得困难重重。究其原因，是 “数学化”的进程不够通畅。

荷兰著名数学家、数学教育家弗赖登塔尔认为，“数学化”就是“把生活世界引向符号世界”，进而“在符号世界里，符号的生成、重塑和被使用”。小学阶段的“数学化”，就是从生活世界中的量，抽象为数概念，再运用数量关系解决实际问题。这一进程是学生学习数学最为关键的一步。

二、量的基本性质

在日常生活中，我们接触到各种事物，并注意到它的长短、大小、多少、轻重、快慢等，这些特征就是量。学生认识和掌握数概念就是认识和掌握数与量之间的关系，所以，在教儿童认识数之前，一定要让儿童认识和熟悉量，重点掌握量的可比性、守恒性和可分性。

量的可比性是指同类量之间可以进行比较，做出某量较多、某量较少或某些量同样多的判断。量的可比性是量的最基本的性质。儿童是怎样认识这一基本性质的呢？大家知道，一岁左右的孩子在挑选食品时，排除外观包装形态等方面的因素，会不假思索地选择多的、大的。这就是所谓的量感在起作用，量感是人们对量的差别的感觉，是人们认识量的可比性的先决条件。可以毫不夸张地说：量感是人们建立数概念乃至整个数学大厦的基石，没有量感就没有数学。

儿童的量感在生活情境中得到强化，并逐步建立长、短、多、少、同样多等概念。我们可以把长短不一的两根小棒呈现在儿童面前，让儿童取出长的一根，并指出剩下的一根是短的。进一步可以把更多的小棒呈现在儿童面前，要求儿童取出最长的和最短的一根，并在剩下的木棒中继续取出最长的和最短的。适当的时候可以要求儿童找出同样长的两根小棒。这样通过反复操作，就能逐步形成长、短、同样长的概念并知道长、短的相对意义。                 

“一一对应”是建立多、少、同样多概念最为有效的方法。如乘坐汽车时，可以向儿童提问：是人比座位多，还是座位比人多？当有座位空时，座位多；当有人站着无座位空时，人多；当每个人都有座而且无座位空时，人与座位同样多。我们也可以提供操作情境，如让儿童把茶杯盖上杯盖，然后比较茶杯与杯盖的多少。当儿童有了初步的多、少、同样多的概念后，可以让儿童把一些物体按大小次序排列起来，或者把长短不一的小棒按长短次序排列起来，以加深对量的可比性的理解。

建立了多、少、同样多的概念后，认识量的守恒性才有可能。所谓量的守恒性，即量的多少不因空间或时间的改变而改变，也不因形态、颜色的改变而改变。首先要对数量较少的物体进行观察比较。如把一双筷子分开放，有没有变多，横着放是否比竖着放长一些？然后逐步增加物体的数量并改变物体的形态让儿童判断。如一把筷子捆在一起，然后散开，是否同样多？也可以将这把筷子明天取出来，看是否与今天同样多。这种训练要经常变换形式做，并结合量的可分性进行。

量的可分性，是指一个量作为整体可以分为若干个部分，其中每部分都小于整体，各部分合起来还是这个整体。我们可以将一副棋子分成很少的几堆，也可以分成较多的几堆。但不管怎样分，任何一堆总比一副棋子少。如果我们把分开的棋子合起来，还是一副棋子，又重新回到了量的守恒性。

儿童认识并熟悉量的可分性、守恒性和可分性，一般应当在学龄前完成，为入学后建立数概念做好准备。这个准备如果不充分，学生对数的认识只能是表面的、形式的和计算的，无法在头脑中真正形成数概念，势必会影响到数量关系地建立。

三、数概念的形成

数概念是儿童入学后必须掌握的第一个数学概念。概念的形成是一个抽象概括的过程。例如“3”这个数就是从3个苹果、3张桌子、3个玩具等凡是代表3个物体的许许多多具体实物中抽象出来的概念，它是精确的、抽象的量。学生理解、掌握并不是一件容易的事。纵观人类数概念的形成历史，早期的数概念是极端具体的。如英国有一个民族的语言，有好几种不同的数字：一种用于走兽和扁平的物体，一种用于时间和圆形的物体；一种是用于数人的；一种是用于树木和长形物体的等。不知过了多少年，人们才发现了一对飞鸟和两天同是数“2”的例子。可见，具体的东西总是在抽象的东西之先。我们至今也保持着这种具体的数。如“5”用一只手表示。学生数概念的形成过程只不过是人类数概念建立过程的一个缩影，这是不可违背的规律。

学生对数的认识是建立在数表象基础上的。根据学生思维的特点，我们应找到一个物化了的数表象，如5个苹果、5颗棋子、一只手5个指头，这三个集合的势（或称作基数）都是5。这种集合为“一般等价集合”，它的势，就反映了量的基本属性，而去除了那些与量的基本属性无关的物理的、化学的、生命的形式。可以选择一般等价集中一个集合作为代表，来指明这一类集合的元素个数。如以上所说的集合中，许多民族都用一只手来表示“5” 。学生的掰指计数，就是找到了一个物化了的数表象，把要数的物体与手指“一一对应”。在学生数概念形成过程中，与量感对应的数觉起到非常重要的作用。所谓数觉，就是不经过计数，立即知道物体的数目。有资料表明，人的数觉很少能超过四的。

通过计数的训练，对自然数一、二、三、四、五、六、七……的表象，即符号1、2、3、4、5、6、7……就不会感到是一个空洞无物的，而是一个有丰富内容的音、形、义集于一体的数词。至于更大的数，则可以通过数的加法来实现。

在形成数表象的同时，量的基本性质映射到数概念中来。量的可比性，从5只苹果比3只苹果多，变换为5比3大，实现了数的可比性，造成了数的群体结构，即数有大小顺序。自然数列中，相邻两个数相差1，每一个自然数后面都有一个而且只有一个后继数，使加法成为可能。数的守恒性不只局限于通过计数来验证，而要知道为什么改变量的分布状态总数不变。数的可分性，造成了数的个体结构，即可以分解组合。比如8可以分成3和5，3和5都比8小，3和5合起来是8。

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四、数量关系

量的可分性决定了总量与部分量的包含关系（可以多于两部分）：

   

    用数来表示，即部分数＋部分数＝总数，总数－部分数＝部分数。

    量的可比性决定了同类量之间的比较关系：

              

    用数来表示，即较大数－较小数＝相差数，较大数－相差数＝较小数，较小数＋相差数＝较大数。

以上数量关系是从量的基本性质中来的，可以解决相关的实际问题。

至于乘除关系可以由加减关系发展而来。通过解决实际问题，我们又重新回到现实的量中去。数学的发展开始于生活实际，又回到实际应用中。

五、教学建议

    1．认数、计算和应用有机结合。

认数、计算和应用可以有机结合，相互促进。从认数起就孕伏计算和应用，让学生认识到解决实际问题，只不过是把数的知识运用到实际生活中去。例如，教学4的认识时，出示多媒体动画：停车场上原来有3辆汽车，又开来1辆汽车，然后提出问题：停车场上现在有几辆汽车？如果开走1辆车，还剩几辆车？这样，学生在认数时就可能初步感受到把两个数合并成一个数用加法计算，从总数中取走一部分求剩下的数用减法计算等数量关系。

2．由实物图逐步向线段图过渡。

一开始，我们总是用学生熟悉的实物图来表述问题：一共有多少个苹果？

  

一段时间的训练后，可以告诉学生，为了方便起见，可以用一些符号来代替实物：

   

    当学生相当熟悉这一方法后，就可以用线段图来表示数量关系：

对数的认识我们不能脱离对量的认识，只有真正掌握了数概念与基本数量关系，才有了进一步学好数学的基础。

参考文献：

[1]（美）T丹齐克（Tobias Dantzig）.数，科学的语言[M].苏仲湘,译.北京:商务印书馆，1985.

[2](美)科普兰(Copeland,R.W.) .儿童怎样学习数学[M].李其维，康清镳，译.上海： 上海教育出版社, 1985 。

[3](荷)弗赖登塔尔.作为教育任务的数学[M].上海：上海教育出版社，1995.