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发表于 2012-6-3 02:39:29
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数学 (理科)参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．
CCACA ＣADDA DC
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13. 14. 15. 16．
三、解答题：本大题共6小题,共74分．
17. （本小题满分12分）
解：（Ⅰ） 设 （ ），又
所以
所以 ……………3分
所以当 时， 最小值为 ………………6分
（Ⅱ）由题意得 ,
则
……………9分
因为 ,所以
所以当 ，即 时， 取得最大值
所以 时， 取得最小值
所以 的最小值为 ，此时 …………………………12分
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）设“ 申请甲套住房”为事件 ，“ 申请甲套住房”为事件
那么 ， 两人都申请甲套住房的概率
所以甲、乙两人都申请甲套住房的概率为 ……………3分
（Ⅱ）设“ ， 两人选择同一套住房”为事件
所以 ， 两人不选择同一套住房的概率是 ……7分
（Ⅲ）（方法一）随机变量 可能取的值为 ， ， ， ,那么
； ；
； ；
所以 的分布列为
…………………11分
所以 ……………12分
（方法二）依题意得
所以 的分布列为 ， ．
即
…………11分
所以 ……………12分
19．（本小题满分12分）
证明:
（Ⅰ）取 中点 ，连结 ，连结
因为 为等边三角形，所以
因为平面 平面
所以 平面 ， 平面
所以 …………………………2分
因为 为平行四边形，
所以, 为菱形，
因为 分别为 、 中点，所以
所以 ………………………4分
因为 平面 ， 平面 ，且
所以 平面 ，又 平面
所以 ……………………6分
（Ⅱ）连结
由题意得三角形 为等边三角形
所以，
由（Ⅰ）知 底面
以 为原点，分别以 所在直线为 轴
建立空间直角坐标系，如图所示
则
所以， ，
设面 的法向量为 ，则
不妨设 …………………………………8分
设面 的法向量 ，又
则 ，取 ……………………10分
所以
所以二面角 的正弦值为 ……………………12分
20．（本小题满分12分）
解: （Ⅰ）因为 ,所以
即
则
所以 ……………………4分
又 所以 是首项为 ，公比为 的等比数列
故数列 的通项公式为 ……………………6分
（Ⅱ）由（Ⅰ）得： ……………………8分
设 ………………①
则 ……………②
①-②得：
所以
所以 ……………………12分
21．（本小题满分12分）
解: (Ⅰ) 时, ,
所以 在 处的切线斜率
则过 的切线方程为 ,即所求切线方程为 ……………4分
(Ⅱ)
所以 …………………6分
(i)由题意得： 定义域为
若 ，令 ,可得
因为在 上 且在 上
所以 在 处取得极小值
即
由 恰有 解,则 ，即 ,解得 …………………8分
(ii)当 时, 在 的变化情况如下表：
极大值
极小值
由上表可知, 在 处取得极小值
由上表得 在 处取得极大值
所以 满足 恰有一解成立
即 满足条件…………………………10分
(iii)当 时, , 在 上单调递增，且 ，
所以， 满足条件…………………………11分
综上，若 恰有一解，实数 的取值范围是 或 ……………12分
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）由题意知，圆心 既在 的垂直平分线上，也在 的垂直平分线上，
设 的坐标为 ，则 的垂直平分线方程为 ………①
因为 的中点坐标为 ， 的斜率为
所以 的垂直平分线的方程为 …②
联立①②解得： ，
即 ，
因为 在直线 上
所以 …………………4分
即
因为 ，所以
再由 求得
所以椭圆 的方程为 …………………7分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知： ，椭圆上的点横坐标满足
设 ，由题意得
则 ， ，
①若 ，即
与 联立,解得 ，显然不符合条件………………9分
② ，即
与 联立,解得:
（显然不符合条件，舍去）
所以满足条件的点 的坐标为 ………………11分
③若 ，即
解得 ， （显然不符合条件，舍去）
此时所以满足条件的点 的坐标为 ………………13分
综上，存在点 或 ，使得 为等腰三角形……………14分
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发表于 2012-6-3 02:39:12
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