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2012年北京市高考文科数学模拟试卷及试题答案

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楼主
发表于 2012-6-3 00:59:45 | 只看该作者 回帖奖励 |倒序浏览 |阅读模式
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沙发
 楼主| 发表于 2012-6-3 01:00:02 | 只看该作者
2012年普通高校招生考试
数学(文)(北京卷)

本试卷共5页,150分.考试时间长120分钟.考生务必将答案答在答题卡上,在试卷上作答无效.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回.

第一部分(选择题 共40分)

一、选择题共8小题,每小题5分,共40分.在每小题列出的四个选项中,选出符合题目要求的一项.
1.已知集合 , ,则
A.         B.         C.           D.  

2.复数 在复平面的对应的点位于
(A) 第一象限    (B)第二象限     (C)第三象限     (D)第四象限

3.设 ,若 ,则下列不等式中正确的是                       
        (A)         (B)         (C)         (D)  
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4.函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为
(A)      (B)      (C)      (D)

5.若某程序框图如图所示,则输出的P的值是

(A)21     (B)26     (C)30     (D)55

6.已知命题 :函数 恒过(1,2)点;命题 :若函数 为偶函数,则 的图像关于直线 对称,则下列命题为真命题的是
A.         B.      C.        D.

7.如图,三棱锥 底面为正三角形,侧面 与底面垂直且 ,已知其主视图的面积为 ,则其左视图的面积为

A.       B.        C.         D.  

8.函数 的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列,则以下不可能成为该数列的公比的数是(   )
A.                    B.                   C.                     D.  
第二部分  (非选择题  共110分)

二、填空题共6小题,每小题5分,共30分.
9.若函数 是偶函数,则            

10.已知 , 且 与 垂直,则 的值为__________.

11.抛物线 与直线 交于 两点,其中点 的坐标为 ,设抛物线的焦点为 ,则 的值等于            

12.若集合 满足 ,则称 为集合 的一种拆分.已知:
①当 时,有 种拆分;
②当 时,有 种拆分;
③当 时,有 种拆分;
……
由以上结论,推测出一般结论:当 有_____________种拆分.

13.已知函数 满足 ,且 是偶函数,当 时, ,若在区间 内,函数 有4个零点,则实数 的取值范围是            

14.下面给出的四个命题中:
    ①以抛物线y2=4x的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 ;
②若 ,则直线 与直线 相互垂直;
③命题“ ,使得 ”的否定是“ ,都有 ”;
        ④将函数 的图象向右平移 个单位,得到函数 的图象。
    其中是真命题的有              (将你认为正确的序号都填上)。

三、解答题6小题,共80分,解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程.
15.(本小题共13分)
已知向量 ,设函数 .
(Ⅰ)求函数 在 上的单调递增区间;
(Ⅱ)在 中, , , 分别是角 , , 的对边, 为锐角,若 , , 的面积为 ,求边 的长.


16.(本小题共13分)
某小区在一次对20岁以上居民节能意识的问卷调查中,随机抽取了100份问卷进行统计,得到相关的数据如下表:

    (1)由表中数据直观分析,节能意识强弱是否与人的年龄有关?
    (2)据了解到,全小区节能意识强的人共有350人,估计这350人中,年龄大于50岁的有多少人?
    (3)按年龄分层抽样,从节能意识强的居民中抽5人,再从这5人中任取2人,求恰有1人年龄在20至50岁的概率。




17.(本小题共13分)
已知等差数列 的前 项和为 ,且
(1)求 通项公式;
(2)求数列 的前 项和




18.(本小题共14分)
如图所示多面体中,AD⊥平面PDC,ABCD为平行四边形,E,F分别为AD,BP的中点,AD= ,AP= ,PC= .
(Ⅰ)求证:EF∥平面PDC;
(Ⅱ)若∠CDP=90°,求证BE⊥DP;
(Ⅲ)若∠CDP=120°,求该多面体的体积.




19.(本小题共14分)
已知函数 .
    (Ⅰ)若函数 的图象在 处的切线斜率为 ,求实数 的值;
    (Ⅱ)求函数 的单调区间;
    (Ⅲ)若函数 在 上是减函数,求实数 的取值范围.
20.(本小题共13分)
    已知椭圆  和直线L: =1, 椭圆的离心率 ,直线L与坐标原点的距离为 。
(1)求椭圆的方程;
(2)已知定点 ,若直线  与椭圆相交于C、D两点,试判断是否存在 值,使以CD为直径的圆过定点E?若存在求出这个 值,若不存在说明理由。



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 楼主| 发表于 2012-6-3 01:00:06 | 只看该作者

参考答案

一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
1.C  【解析】 ,所以 ,选C.
2.D    【解析】复数 ,对应点的坐标为 为第四象限,选D.
3.B    【解析】由 得 ,若 ,有 ,所以 ,若 ,则有 ,所以 ,综上恒有 ,选B.
4.B   【解析】函数的导数为 ,所以在点 处的切线斜率 ,又 ,所以 ,选B.
5.C   【解析】第一次运算, ,第二次运算, ,第三次运算, ,满足条件,输出 ,选C
6.B  【解析】函数 恒过定点 ,所以命题 错误;若函数 为偶函数,所以有 ,关于直线 对称,所以命题 错误;所以 为真, 为真,选B.
7.B    【解析】 ,由题意知,该三棱锥的主视图为 ,设底面边长为 ,高 ,则 的面积为 。又三棱锥的左视图为直角 ,在正 中,高 ,所以左视图的面积为 ,选B.
8.D   【解析】函数等价为 ,表示为圆心在 半径为3的上半圆,圆上点到原点的最短距离为2,最大距离为8,若存在三点成等比数列,则最大的公比 应有 ,即 ,最小的公比应满足 ,所以 ,所以公比的取值范围为 ,所以选D.

二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
9.    【解析】 因为函数 为偶函数,所以 ,所以 , ,所以 .
10. 或 【解析】因为 与 垂直,所以 ,即 ,所以 ,整理得 ,解得 或 。
11.7   【解析】 因为点A在抛物线上,所以有 ,所以 ,抛物线方程为 ,焦点坐标为 ,又点A也在直线上,所以有 ,所以 ,直线方程为 ,由 ,解得 或 ,即点B的坐标为 ,所以 .
12.  【解析】因为当有两个集合时, ;当有三个集合时, ;当有四个集合时, ;由此可以归纳当有 个集合时,有 种拆分。
13.  【解析】由 得, ,所以函数 为周期为2的周期函数,又因为函数 为偶函数,有 ,所以有 ,所以函数 关于 对称,令 ,得函数 ,令函数 ,做出函数 和函数 的图象,如图:
当直线 必须过点 时有4个交点,此时直线 的斜率为 ,要使函数 有四个零点,则直线的斜率 .
14. ①②③ 【解析】 ①抛物线是焦点为 ,圆的半径为 ,所以圆的方程为 ,正确;②当 ,两直线方程为 和 ,两直线垂直所以正确;③根据特称命题的否定是全称命题可知正确;④函数向右平移 ,得到的函数为 ,所以不正确。所以正确的命题有①②③。
三、解答题(共6小题,共80分)
(15)解:(Ⅰ)由题意得
    ………………………………………………………………………3分
令 ,
解得: ,
, ,或
所以函数 在 上的单调递增区间为 , …………………6分
(Ⅱ)由 得:
化简得:
又因为 ,解得: …………………………………………………………9分
由题意知: ,解得 ,
又 ,所以

故所求边 的长为 .  ……………………………………………………………………13分

(16)解(1)因为20至50岁的54人有9人节能意识强,大于50岁的46人有36人节能意识强, 与 相差较大……1分,所以节能意识强弱与年龄有关……3分
(2)年龄大于50岁的有 (人)……6分(列式2分,结果1分)
(3)抽取节能意识强的5人中,年龄在20至50岁的 (人)……8分,
年龄大于50岁的4人……8分,记这5人分别为A,B1,B2,B3,B4。
    从这5人中任取2人,共有10种不同取法…9分,完全正确列举…10分,设A表示随机事件“这5人中任取2人,恰有1人年龄在20至50岁”,则A中的基本事件有4种:完全正确列举…11分,故所求概率为 ……13分

(17)解:(1)设等差数列 的公差为 ,则由条件得
,        ………………………………………………………………3分
解得 ,                ………………………………………………………………5分
所以 通项公式 ,则 ………………………6分
(2)令 ,则 ,
所以,当 时, ,当 时, . ………………………………8分
所以,当 时,
  

当 时,  
所以 …………………………………12分

(18)解(Ⅰ)取PC的中点为O,连FO,DO,
∵F,O分别为BP,PC的中点,
∴ ∥BC,且 ,
又ABCD为平行四边形, ∥BC,且 ,
∴ ∥ED,且
∴四边形EFOD是平行四边形          --------------------------------2分
即EF∥DO   又EF 平面PDC   
∴EF∥平面PDC.           ------------------------------------------- 4分
(Ⅱ)若∠CDP=90°,则PD⊥DC,
又AD⊥平面PDC  ∴AD⊥DP,
∴PD⊥平面ABCD,                      --------------------------------- 6分
  ∵BE 平面ABCD,
∴BE⊥DP                             -------------------------------- 8分
(Ⅲ)连结AC,由ABCD为平行四边形可知 与 面积相等,
所以三棱锥 与三棱锥 体积相等,
即五面体的体积为三棱锥 体积的二倍.
∵AD⊥平面PDC,∴AD⊥DP,由AD=3,AP=5,可得DP=4
又∠CDP=120°PC=2 ,
由余弦定理并整理得 ,        解得DC=2   ------------------- 10分
∴ 三棱锥 的体积
∴该五面体的体积为                          -------------------- 12分


(19)解:(Ⅰ)                        …………1分
    由已知 ,解得 .                           …………3分
(II)函数 的定义域为 .
(1)当 时,  , 的单调递增区间为 ;……5分
(2)当 时 .       
        当 变化时, 的变化情况如下:






-         
+


极小值       

    由上表可知,函数 的单调递减区间是 ;
    单调递增区间是 .                            …………8分
   (II)由 得 ,…………9分
    由已知函数 为 上的单调减函数,
则 在 上恒成立,
即 在 上恒成立.
    即 在 上恒成立.                                    …………11分
令 ,在 上 ,
所以 在 为减函数.  ,
    所以 .                                           …………14分

(20)解:(1)直线L: =1,∴ = .①      ..................1分
e=   .②   ..................3分
   由①得
,○3
     由②○3得      ∴所求椭圆的方程是 +y2=1. ..........5分
(2)联立得: .
Δ   ............7分
设 ,则有
......9分
∵ ,且以CD为圆心的圆点过点E,
∴EC⊥ED.                                       ..................11分

∴ ,解得 = >1,
∴当 = 时以CD为直径的圆过定点E.                ..................13分


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