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发表于 2012-6-3 01:00:06
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参考答案
一、选择题(共8小题,每小题5分,共40分)
1.C 【解析】 ,所以 ,选C.
2.D 【解析】复数 ,对应点的坐标为 为第四象限,选D.
3.B 【解析】由 得 ,若 ,有 ,所以 ,若 ,则有 ,所以 ,综上恒有 ,选B.
4.B 【解析】函数的导数为 ,所以在点 处的切线斜率 ,又 ,所以 ,选B.
5.C 【解析】第一次运算, ,第二次运算, ,第三次运算, ,满足条件,输出 ,选C
6.B 【解析】函数 恒过定点 ,所以命题 错误;若函数 为偶函数,所以有 ,关于直线 对称,所以命题 错误;所以 为真, 为真,选B.
7.B 【解析】 ,由题意知,该三棱锥的主视图为 ,设底面边长为 ,高 ,则 的面积为 。又三棱锥的左视图为直角 ,在正 中,高 ,所以左视图的面积为 ,选B.
8.D 【解析】函数等价为 ,表示为圆心在 半径为3的上半圆,圆上点到原点的最短距离为2,最大距离为8,若存在三点成等比数列,则最大的公比 应有 ,即 ,最小的公比应满足 ,所以 ,所以公比的取值范围为 ,所以选D.
二、填空题(共6小题,每小题5分,共30分)
9. 【解析】 因为函数 为偶函数,所以 ,所以 , ,所以 .
10. 或 【解析】因为 与 垂直,所以 ,即 ,所以 ,整理得 ,解得 或 。
11.7 【解析】 因为点A在抛物线上,所以有 ,所以 ,抛物线方程为 ,焦点坐标为 ,又点A也在直线上,所以有 ,所以 ,直线方程为 ,由 ,解得 或 ,即点B的坐标为 ,所以 .
12. 【解析】因为当有两个集合时, ;当有三个集合时, ;当有四个集合时, ;由此可以归纳当有 个集合时,有 种拆分。
13. 【解析】由 得, ,所以函数 为周期为2的周期函数,又因为函数 为偶函数,有 ,所以有 ,所以函数 关于 对称,令 ,得函数 ,令函数 ,做出函数 和函数 的图象,如图:
当直线 必须过点 时有4个交点,此时直线 的斜率为 ,要使函数 有四个零点,则直线的斜率 .
14. ①②③ 【解析】 ①抛物线是焦点为 ,圆的半径为 ,所以圆的方程为 ,正确;②当 ,两直线方程为 和 ,两直线垂直所以正确;③根据特称命题的否定是全称命题可知正确;④函数向右平移 ,得到的函数为 ,所以不正确。所以正确的命题有①②③。
三、解答题(共6小题,共80分)
(15)解:(Ⅰ)由题意得
………………………………………………………………………3分
令 ,
解得: ,
, ,或
所以函数 在 上的单调递增区间为 , …………………6分
(Ⅱ)由 得:
化简得:
又因为 ,解得: …………………………………………………………9分
由题意知: ,解得 ,
又 ,所以
故所求边 的长为 . ……………………………………………………………………13分
(16)解(1)因为20至50岁的54人有9人节能意识强,大于50岁的46人有36人节能意识强, 与 相差较大……1分,所以节能意识强弱与年龄有关……3分
(2)年龄大于50岁的有 (人)……6分(列式2分,结果1分)
(3)抽取节能意识强的5人中,年龄在20至50岁的 (人)……8分,
年龄大于50岁的4人……8分,记这5人分别为A,B1,B2,B3,B4。
从这5人中任取2人,共有10种不同取法…9分,完全正确列举…10分,设A表示随机事件“这5人中任取2人,恰有1人年龄在20至50岁”,则A中的基本事件有4种:完全正确列举…11分,故所求概率为 ……13分
(17)解:(1)设等差数列 的公差为 ,则由条件得
, ………………………………………………………………3分
解得 , ………………………………………………………………5分
所以 通项公式 ,则 ………………………6分
(2)令 ,则 ,
所以,当 时, ,当 时, . ………………………………8分
所以,当 时,
当 时,
所以 …………………………………12分
(18)解(Ⅰ)取PC的中点为O,连FO,DO,
∵F,O分别为BP,PC的中点,
∴ ∥BC,且 ,
又ABCD为平行四边形, ∥BC,且 ,
∴ ∥ED,且
∴四边形EFOD是平行四边形 --------------------------------2分
即EF∥DO 又EF 平面PDC
∴EF∥平面PDC. ------------------------------------------- 4分
(Ⅱ)若∠CDP=90°,则PD⊥DC,
又AD⊥平面PDC ∴AD⊥DP,
∴PD⊥平面ABCD, --------------------------------- 6分
∵BE 平面ABCD,
∴BE⊥DP -------------------------------- 8分
(Ⅲ)连结AC,由ABCD为平行四边形可知 与 面积相等,
所以三棱锥 与三棱锥 体积相等,
即五面体的体积为三棱锥 体积的二倍.
∵AD⊥平面PDC,∴AD⊥DP,由AD=3,AP=5,可得DP=4
又∠CDP=120°PC=2 ,
由余弦定理并整理得 , 解得DC=2 ------------------- 10分
∴ 三棱锥 的体积
∴该五面体的体积为 -------------------- 12分
(19)解:(Ⅰ) …………1分
由已知 ,解得 . …………3分
(II)函数 的定义域为 .
(1)当 时, , 的单调递增区间为 ;……5分
(2)当 时 .
当 变化时, 的变化情况如下:
-
+
极小值
由上表可知,函数 的单调递减区间是 ;
单调递增区间是 . …………8分
(II)由 得 ,…………9分
由已知函数 为 上的单调减函数,
则 在 上恒成立,
即 在 上恒成立.
即 在 上恒成立. …………11分
令 ,在 上 ,
所以 在 为减函数. ,
所以 . …………14分
(20)解:(1)直线L: =1,∴ = .① ..................1分
e= .② ..................3分
由①得
,○3
由②○3得 ∴所求椭圆的方程是 +y2=1. ..........5分
(2)联立得: .
Δ ............7分
设 ,则有
......9分
∵ ,且以CD为圆心的圆点过点E,
∴EC⊥ED. ..................11分
则
∴ ,解得 = >1,
∴当 = 时以CD为直径的圆过定点E. ..................13分
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