谈谈计算教学的改革

吴庙

人民教育出版社小学数学室    张卫国

    一、计算教学的重要性

    （一）数与计算在生活、学习、科学研究和生产实际中的作用。

    数与计算是人们生活、学习、科学研究和生产实践中应用最广泛的一种数学方法。在当今科学技术迅猛发展的时代，科学中各个领域都有非常巨大的变化，但是，基本的计算方法却没有多大的变化。这充分说明小学数学中计算的基础性和工具性。对于每个人来说，仅在小学阶段学习整数、小数和分数四则计算及其混合运算。因此，在小学阶段学好以上计算，并形成一定的计算能力，这是终身有益的事情。

    数与计算是人们认识客观世界和周围事物的重要工具之一。从抽象的观点来看，客观世界的表现形式可以概括为：数量、空间和时间及其相互之间的关系。从数学的角度来看，主要表现在数、量、形三个方面，而计量是离不开数与计算的，空间形式及其关系要量化也离不开数与计算。任何学科的规律归结为公式后基本上都要运用四则混合运算来计算的。例如。物理、化学的有关公式的计算、微积分的数值计算等等。

    （二）数与计算的学习对学生思维能力发展的作用。

    学习数与计算的过程是培养和发展学生逻辑思维能力的过程。数与计算的概念、性质、法则、公式之间都有内在联系，存在着严密的逻辑性。每个概念、性质、法则、公式的引入、建立，都要经过抽象、概括、判断、推理的思维过程。学生学习、理解和掌握这些概念、性质、法则、公式都要经过从具体到抽象、感性到理性的过程。学生把这些概念、性质、法则、公式应用到实际中去，还要经过由一般到特殊的演绎过程。因此，学生学习、理解和掌握数与计算的有关内容能促进学生思维能力的发展。

    数与计算是在人类的生产、生活中产生和发展起来的。它们具有由低级到高级、简单到复杂的逐步发展过程。在数与计算中有很多相互依存、对立统一的关系。例如，加法与减法、乘法与除法、约数与倍数、质数与合数等。教学中要阐明数与计算的产生的发展，它们之间相互依存、对立统一的关系，就渗透了辩证唯物主义观点的启蒙教育。

    九年义务教育小学数学大纲中关于数和计算内容和要求 全日制小学数学教学大纲关于数与计算的内容和要求。

        全日制小学数学教学大纲（以下简称为“原大纲”）对数与计算的内容虽然没有作明确的规定，但是教材按照大纲的意图，五、六位数的加、减法还比较多；在三位数乘三位数和相应的除法中，被乘数是四、五位数和被除数是五、六位数的比较多；四则混合运算的四步题比较多，还出现个别五步题；珠算要学乘法。

    原大纲对计算的要求为：“能够正确地、迅速地进行整数、小数、分数的四则计算”，“应该要求学生算得正确、迅速，同时还应注意计算方法合理、灵活。”“在四则计算中要使学生先学好２０以内的口算加减法、表内乘法和相应的除法，要求计算准确、熟练。”

    九年义务教育全日制小学数学大纲中关于数与计算的内容和要求。

    九年义务教育小学数学教学大纲（以下简称为“大纲”）指出：“笔算加减法经三、四位数的为主，一般不超过五位数；笔算乘除法以乘数、除数是两位数的为主，一般不超过三位数乘三位数和相应的除法。四则混合运算以二、三步的为主，一般不超过四步。珠算只学加减法。”“在低年级基本口算的基础上，中、高年级要适当加强口算训练。”“分数计算以分子、分母比较简单的和大部分可以口算的为主。”

    大纲对数与计算的教学要求也作了明确的规定：“使学生能够正确地进行整数、小数、分数的四则运算，对于其中一些基本计算，要达到一定的熟练程度，并逐步做到计算方法合理、灵活。”

吴庙

（三）大纲与原大纲在数与计算教学要求方面的差别。

    大纲与原大纲相比，大纲对计算的位数的多少与计算的步数都规定提很明确；而原大纲的规定比较模糊。这样，反映在教科书的编写中，前者能够使数与计算的范围的宽窄和教学要求都能作有效的控制；后者对教科书的编写就不能作有效的控制，使数的范围过大，计算的位数过多，计算的步数过多。大纲对基本计算提出了教学要求，对于不同的计算内容提出不同的熟练程度的要求。逐步做到计算方法合理、灵活。大纲对不同的计算范围提出不同的教学要求，对不同阶段的计算方法提出不同的合理和灵活的要求。这样的做法是针对不同年龄阶段的学生提出不同的教学要求，不同的学习阶段提出不同的教学要求。原大纲的教学要求比较笼统，不太可能符合学生的年龄特征和不同学习阶段的情况。

    大纲对于笔算是这样说的：“笔算教学要引导学生理解算理，掌握法则，通过必要的练习逐步达到教学要求。要鼓励学生使用学过的简便算法，合理、灵活地进行计算。”原大纲是要求在能准确、熟练地计算２０以内的口算加减法、表内乘法和相应的除法的基础上学好笔算；并且要求能够正确地、迅速地进行计算。显然，大纲对笔算教学强调了要理解算理，这是十分重要的。算理是指计算过程中每一个步骤在数学上的理由和操作过程的合理性。学生学习计算时，不是单纯地按照计算法则一步一步地计算，也能理解计算中每一步骤道理。这样，不仅有理于学生掌握计算方法和计算法则，而且也促进了学生思维能力的发展。

    义务教育小学数学教科书（人教版）中数与计算的编排特点。

    （一）重视数的概念、数的组成、数位等内容的教学。

    １．从学生的生活实际出发引入数的概念。

    （１）１０以内数的认识。

    在准备课中一幅反映新学年的图画，其中有老师、学生、鲜花、树木、房屋、飞鸟等；引导学生数图中的人和物的数目，要用到10以内各数。通过数图中的人和物初步了解学生已有的数数能力的认数情况，还贯穿了培养学生爱学校、爱老师、爱同学的思想感情。同时，还利用熊猫、小鹿、蝴蝶、小鸡、金鱼、茶杯等常见物品的图画跟１～１０相配合，了解学生是否认识这些数。

    教材利用学生学习、课外生活活动和常见实际情景等组成主题画让学生认识１～１０的数。例如，利用学生写字的情景来认识数字１，学生放飞模型飞机来认识数字２等等。

    （２）１１～２０各数的认识。

    教材让学生数铅笔来认识１１～２０的数。教材中出现１０支一捆的铅笔和１０支单根的铅笔，突出把十作为一个单位，使学生不仅能在１０的基础上一支一支地数到２０，并且直观地了解１１～２０各数都是由一个十和几个一组成的这可以为进一步学习写法和加法计算作准备。教材利用小棒图和数位表上让学生认识１１～２０的数。小棒图中，左边有１捆小棒，是１０根，就是一个十，对着数位表的十位；右边有几根小棒，是几个一，对着个位，合起来就是十几。

    （３）１００以内数的认识。

    教材上学生数小棒来认识１００以内的数。先让学生一根一根地数，数到１００。每数十根捆成一捆，使学生结合数实物弄清１００以内数的顺序和１０个１是一个十。再让学生十根十根地数，熟悉整十数的顺序，并且知道１０个十是一百。然后，每个数都先用小棒表示，要求说一说小棒是由几个十和几个一组成的，再按照数位表写出相应的数，让学生认识这个数。

    （４）万以内数的认识。

    认识万内的数是在二年级下学期学习的。这时，学生已经具有一定的数学知识和抽象思维能力，并且有了百以内认识的学习经验。但是，成千、几千几百的数的认识，对于相当一部分二年级的学生来讲还是有一定的困难的。为了便于学生学习，教材先让学生认识三位数。教材利用数小方块的方法，让学生整体认识“１０个一是十”、“１０个十是一百”、“１０个一百是一千”。再利用计数器，让学生认识几百几十。教材利用绘图纸让学生认识“１０个一百是一千”、“１０个一千是一万”，最后利用算盘来认识几千几百。这种半具体半抽象的方法认识万以内的数，有利于学生抽象思维能力的提高。

    （５）亿以内数的认识。

    认识亿以内的数是在四年级上学期学习的。这时，学生已经进入高年级学习阶段，他们积累了相当多的数学知识，各种能力也得到长足的发展，不应再利用实物操作、计数器演示等方法帮助学生认数。教材利用算盘帮助学生数数：一千一千地数，１０个一千是一万；一万一万地数是十万。然后，让学生想像：“照这样数下去，１０个十万是一百万，１０个一百万是一千万。１０个一千万是一亿。”最后用数位表巩固亿以内数的认识。

    （６）整数（亿以上）的认识。

    认识整数（亿以上）的数是在四年级下学期学习的。教材没有利用任何教具、学具或其他直观手段，运用抽象的十进位计数法让学生认识亿以上的数。这样的做法是符合学生的认识规律和认知水平的。

    ２．通过学生的实际操作活动来学习数的组成。

    计算是小学数学的重要内容之一。我国的小学是６周岁入学。这样年龄的儿童是处于幼儿和少儿的转换期。幼儿基本上是用按物点数的方法进行计算的。小学生是按照抽象的数目和方法进行计算的。例如，５＋３＝？，幼儿是在５个物体基础上添上１个（是６个），再添上１个（是７个），最后添１个就是８个，所以５＋３＝８。如果要问他为什么５加上３能等于８？他会理直气壮地回答：在５个物体上添上１个，添上１个，再添上１个，得到８个物体，就是５加上３等于８。小学生是想：５和３组成８或在５的基础上添上３就能得到８，所以，５＋３＝８。如果问为什么５加上３能等于８？对于已经学过８以内数的组成或知道基数、序数的话是很容易回答的。然后，再学用加法运算法则进行加法计算。减法计算也有类似的学习过程。因此，数的组成是学习计算必要的准备知识，也是学习数概念和口算的准备知识之一。例如，在教学整百、整千数的加减法时，先要复习数的组成：（１）８０和１３０里面各有几个十？（２）７００和１０００里面各有几个百？（３）１３个十是多少？２５个百呢？这样，学生能把整百、整千都看成几个百或几个千，将整百、整千数的加减法转化为２０以内的加减法。

    （１）１０以内数的组成。

    在学习２～８的数的组成时，都是让学生通过实物操作（一般由教师先演示一部分，让学生自己动手操作另一部分。）来理解和掌握数的组成 ；６、７、８三个数只学一部分组成形式，另一部分以“看到每一组，还能想到什么？”形式，让学生类推出来。这样，有利于培养学生的逻辑思维能力。对于９、１０两个数的组成，完全由学生自己动手操作后，来理解和掌握９、１０的数的组成。这样，从学生学习自主性和思维水平等比前面有了明显的提高。

    （２）１１～２０各数的组成。

    １１～２０各数组成的难度比１０以内数的组成要高。它们是以十与几组成十几，十是一个整体，理解上难度稍稍大一些。教材是上学生看实物图来认识１０～２０各数的组成，并由此读出相应的数。１０以内数的组成和１１～２０以内各数的组成是学习２０以内加减法的基础。

    （３）１００以内数的组成。

    教材只举了一个例题：用小棒呈现三十五由３个十和５个一组成。接着就上学生练习１００以内数的组成，先根据给出的小棒图，写出相应数的组成；再给出一个数（如四十六），写出这个数的组成。这样编排的抽象化程度比前面又高了一些，这是符合学生思维发展的水平和规律的。１００以内数组成是１００以内数的读、写和加减法的基础。

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３．通过直观教学和学生已有的知识的经验来学习数的组成和数位的概念。

    （１）三位数的组成 。

    教材用二百三十五根小棒（每捆１０小棒，十捆小棒捆成一大捆表示１００根，用二大捆小棒、三捆小棒和五根小棒）表示２３５，说明由几个百、几个十和几个一组成的。由于，数目比较大，学生理解起来比较困难，在练习时还要用小方块帮助学生理解三位数的组成 。然后，用计数器来帮助学生学习三位数的读、写方法。由此可以看出，百以内的数和千以内的数相比，数位只增加了一位，但是抽象程度却提高了一个挡次。二年级学生学习三位数的组成就有困难，需要借助于实物和实践活动的程度就要高些。在教学过程中应注意这个问题。

    （２）四位数的组成。

    四位数的组成是先利用算盘让学生初步掌握后，再结合数位顺序表让学生理解和掌握它。教材是将实物和数顺序表结合起来，也就是充分利用算盘中的“档”和数位顺序表“位”的对应关系，让学生比较容易地掌握四位数的组成。

    （３）亿以内数和整数（亿以上的数）的组成。

    学生是在高年级学习亿以内的数和整数（亿以上的数）的组成，这时，学生掌握知识的水平和抽象思维能力的水平都有相当大的提高。教材适应学生这样的状况，仅用数位顺序表帮助学生理解和掌握亿以内的数和整数（亿以上的的数）的组成。

    （二）注意将数的概念与相应的计算结合起来进行教学。

    数的概念与相应的计算结合进行教学的优越性。

    学生的认知水平和思维水平都是随着知识的积累和相应的训练而提高的。教材对数概念的编排是按照学生和年龄特征和学习数学和过程而设计的。数概念是按照１０以内、２０以内、１００以内、万以内……的方式编排的，计算也是按照１０以内数的计算、１００以内数的计算、万以内数的计算……的方式来编排。这样，先学数的概念，再学相应的计算。既复习了数的概念，又使计算的理论基础非常突出。两者紧密地结合起来，使学习过程能充分运用分析、综合、比较、抽象、概括等思维过程，还须合理、敏捷、灵活地进行思考，有利于促进学生思维能力的发展。，同时，还能将数概念与相应的计算相互沟通起来，使学生对它们有整体性的认识，可以形成一个知识系统；对于学生形成合理的认知结构是十分有益的。

    运用直观手段和实际操作活动将数概念和计算结合起来。

    小学生（特别是中、低年级学生）学习数学时基本上都要借助于直观手段和实际操作活动；这是由学生的年龄特征和认识水平所决定的。根据心理学研究：小学生学习比较抽象的知识一般都有这样的规律：“动作、感知—表象（通过语言）—概念”。教材按照这个原理来编写教学内容。例如，２０以内的进位加法，先要复习１０以内数的组成，特别是哪两个数能组成１０更为重要。教学时，让学生边实际操作，边对照相对应的算式进行计算，利用操作过程说明算理。又如，１００以内的加、减法，都要利用１００以内组成和实际操作活动相结合来教学的。由于是在一年级下学期学习１００以内的加、减法，学生的年龄小、思维水平比较低；所以，教材将这部分内容分成：整十数加、减整十数，两位数加一位数、整十数（不进位），两位数减一位数、整十数（不退位），两位数加一位数（进位）、两位数减一位数（退位），两位数加两位数，两位数减两位数等。教学这些内容时都要将数的组成与实际操作活动结合起来，并且把操作过程与算式的计算过程进行对照，使具体形象的操作过程与抽象的计算过程一一对应起来，便于学生理解算理和掌握计算的方法。

    （三）利用口算来说明笔算的算理。

    口算是人们运用已掌握的数学知识和方法，不借助于任何工具仅依靠思维和语言进行计算，并直接能得出结果的一种计算方法。它是一种在学习和实际中用处很大的计算方法，口算是笔算、估算和其他计算方法的基础。口算在加、减法与乘、除法中所起的基础作用是不完全相同的。

    口算加减法是说明加、减法笔算算理的重要手段。

    在小学数学中，加、减法笔算是用竖式计算的。竖式的计算方式是一般的计算方式；不管是几位数相加、减，都可以用竖式直接来计算。在竖式中数位排列整齐、对称，两个数对位直观、明了，计算过程的逻辑顺序清晰、明确，计算过程和步骤历历在目，便于复查和检验，进位（包括连续进位）与退位（包括连续退位）都可以在竖式上直接操作。使用的工具简单、易找。竖式的计算方式是任何其他方法难以替代的。

    在教学１００以内的加、减法前，先要教学一系列口算作准备。这些口算内容有：整十数加、减整十数，两位数加一位数、整十数（不进位），两位数减一位数、整十数（不退位），两位数加一位数（进位），两位数减一位数（退位）。笔算两位数加两位数是在口算整十数加整十数、两位数加一位数和整十数的基础上进行教学的。这时着重解决竖式计算中如何对位、从个位加起、满十进１的问题。由于读写数都是从高位起，口算也是从高位算起，所以学生在开始进行竖式计算时，也往往容易从高位算起。为了解决这个问题，教材采用了不进位加法与进位加法分别出现的编排方法。教学时，先复习口算加法３４＋２，然后说明也可以用笔算写成竖式。以此说明只有相同单位的数才能相加，突出几个一和几个一相加；并且让学生理解对位的道理，以及从个位加起的必要性。这样，学生能比较容易地掌握笔算加法的计算法则。笔算两位数减两位数是在口算整十数减整十数、两位数减一位数和整十数的基础上教学的。教材的编排方式与两位数加两位数相同，着重解决退位问题。

    笔算万以内加、减法是在口算整百、整千加减法、几百几十加几十与几百几十加几百（不进位、进位）、几百几十减几十与几百几十减几百（不退位、退位）的基础上进行教学的。学习这些口算是要突出相同单位上的数相加减的道理，同时要说明十位上的数相加满十要向百位上进１和十位上的数不够减是要从百位上借１。这样，笔算时能比较容易理解对位、进位和退位的道理，使学生能较好地理解和掌握加法的计算法则。

     口算乘除法是理解笔算乘除法算理的必要途径。

     笔算一位数乘二、三、四位的乘法是在口算一位数乘整十、整百、整千数和肯内乘法的基础上进行教学的。教材在安排笔算１２×３时，先教学１２×３的口算方法，突出３乘１０是１（个十）×３＝３（个十）＝３０，再出笔算方法，使学生明白这两种方法的思路是一样的。然后简化中间过程，使学生初步明确一位数乘两位数先乘个位数，再乘十位数的计算法则。一位数乘三位数是一位数乘两位数的引伸和发展。

     笔算乘数是两位数的乘法是在口算一位数乘两位数、乘整百整十数和整十数乘一位数、两位数以及一位数乘多位数的基础上进行教学的。教材在编排笔算是两位数的乘法时，先复习乘数是一位数的乘法和用整十数乘，为学生理解笔算乘法的算理作准备。教学２４×１３时，先用３乘２４，这是一位数乘两位数乘法。再用１０乘２４，就要用到用整十数乘的口算。这两步计算的思路和方法都是跟口瞬息万变一样的。然后把两部分结果合起来，就得到题目的答案。两位数乘三位数是两位数乘两位数的引伸和发展。

    笔算除数是位数的除法是口算一位数除整十、整百、整千的数（商也是整十、整百、整千的）和一位数除两位数，以及一位除几百几十或几千几百的数的基础上教学的。教材在编排教学笔算４２÷２的内容时，先让学生思考口算时应该怎样想，让学生摆一摆小棒，复习口算除法的思考过程，为教学笔算除法作准备。教学时，对照摆小棒的过程分步演算（说明先算什么，再算什么）让学生了解笔算除法与口算除法的思路和顺序是一样的。一位数除二、三、四位数的笔算除法是可以类推出来的。除数是两位数的笔算除法，其编排方式和教学过程是类似的。

    关于计算方面内容教学要求的简要分析

    （一）按照不同年级、不同的内容，教学要求的层次分明。

    教材对于计算教学要求首先是按照不同年级学生的年龄特征和心理特点来安排的，特别是低年级学生，时间相差几个月，掌握知识的程度和能力的发展都有较大的差异。所以教材在规定计算的教学要求时，每学期按单元结束时和期末分别列出平均错误率和速度两项指标的标准。有的内容单元结束时和学期末就有变化，有的内容本学期末的教学要求就是小学阶段的教学要求。例如，１００以内口算加减法，单元结束时，平均错误率为１０％以内速度为绝大多数达到每分做５题；本学期末，平均错误率为７％以内，绝大多数达到每分做７题；下学期末，平均错误率为６％，速度为绝大多数达到每做８题（也是小学阶段的要求）。又如，万以内笔算加减法，学期末的平均错误率为８％，速度为绝大多数达到每分做１、２题，同时也是小学阶段的教学要求。

    （二）按照不同年级、不同的内容，教学要求的程度比较合适。

    计算的教学内容是为今后学习、实际生活、科学研究和生产服务的，而不是为了比赛或别的什么服务的。所以教材的计算内容是按照对今后学习、实际生活、科学研究和生产有用的程度来确定教学要求。教学要求的程度还要按照学生的年龄特征、认知水平和掌握知识与各种能力的发展水平来确定。同时，还要按照小学生心理和生理的特点，如手、眼、脑配合的协调性和口算与书写速度的配合等。教材对于小学阶段最基础口算的教学要求确定得比较合适的，这是教学大纲规定需要达到熟练掌握的教学要求。例如，１０以内加减法口算，在学期末平均错误率为５％以内、速度为绝大多数达到每分做１０题；２０以内加减法口算，在一年级下学期末平均错误率为３％以内、绝大多数达到每分做１２题，同时也是小学阶段的最终的教学；表内乘除法口算，在二年级上学期末平均错误率为４％以内、绝大多数达到每分做１０题，同时也是小学阶段的最终的教学要求。教材对于大纲规定需要达到比较熟练掌握的计算内容的教学要求；例如，１００以内口算加减法在二年级上学期末平均错误率为６％、绝大多数达到每分做８题；两位数加、减两面三刀位数和几百几十加、减整十、整百数的口算在二年级上学期末平均错误率为６％以内、绝大多数达到每分做６题；一位数乘整十、整百、整千的数和两位数（每位乘积不满十）以及相应的除法口算，在三年级上学期末平均错误率为６％以内、绝大多数达到每分做５题；……对于笔算的教学要求还更低一些。

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（三）教学要求是符合统计规律的、是科学的。

    教材以最基本口算（１０以内的口算加减法、２０以内的口算加减法）的教学要求为基准，其他的教学要求是按照概率统计规律计算出来的。例如，１００以内的口算加减法，平均正确率为９４％以上（即平均错误率为６％以内），绝大多数达到每分做１２题。这个标准是这样得来的：如果以口算３５＋４７＝８２为例，它需要进行两步２０以内口算加法得到答数。２０以内口算加减法和平均错误率为３％以内（即平均正确率为９７％以上）。按照概率统计的方法，１００以内口算加法的平均正确率应该为：０.９７×０.９７＝０.９４０９≈０.９４，这正是教材所规定的１００以内口算加减法平均正确率的标准。２０以内口算加减法要求绝大多数每分做８题，１００以内口算加减法要求绝大多数每分达到８题，虽然两者之间有些差距，这是考虑到２０以内加减法口算已经相当熟练的缘故。又如，万以内笔算加减法规定平均正确率为９２％以上（即平均错误率为８％以内），它需要进行四次２０以内加法的计算而得到答数，平均正确率为：０.９７×０.９７×０.９７×０.９７≈０.８８５２９≈０.８９，这跟教材规定的有些差距，这是考虑到２０以内加减法的笔算要比口算的正确率要高，而且熟练程度又有了提高的缘故。万以内笔算加减法要求绝大多数达到每分做１、２题，由于学生要列竖式，还要笔算，同时要照顾大多数学生的水平，故教学要求不能规定得太高。由此可见，最基本的口算的平均错误率是按照大多数水平来规定的，其他计算的平均错误率是按照概率统计规律而确定的。计算的速度是按照不同的年级、训练时间的长短和计算内容的难易程度而确定的。因此，这些教学要求是合理的和科学的。

    关于数与计算教学改革的几点思考

     （一）现行义务教育教材中数与计算编排的优点。

    重视从学生生活实际或实践活动中引入数的概念。

    教材对于数的概念基本上是从学生的实际生活中引入的。例如，１０以内数概念的都是从学生的实际生活或能接触到的事物中引入的。１１～２０和１００以内数概念是让学生通过实际操作活引入的。万以内的数是分两个部分引入的。先让学生数小方块，认识１０个一百是一千，再利用计数器认识三位数；然后利用绘画纸认识１０个一千是一万，再利用算盘认识四位数。亿以内的数是将算盘和数位顺序表相结合来认识的。

    ２．数的概念、数的组成与相应的计算结合得比较好。

    教材在安排计算的内容时，都是按照学习数概念与相应的数的组成编排计算内容的。这样的编排方式是先学数概念和数的组成 ，接着学习相应的计算内容。学习计算内容时，既充分应用了刚学习的数概念和数的组成，又复习了上述内容。教学内容一环扣一环，容易形成知识系统。

    ３．计算的教学分成五个循环是合适的。

    教材在编排计算教学内容时，要考虑学生接受能力和知识、能力发展的状况。所以，一、二年级安排了１０以内的加减法，、２０以内的加减法，表内乘、除法和万以内的加法和减法；三年级安排了乘数、除数是一位数的乘法、除法，乘数、除数是两位数的乘法、除法；四年级安排了亿以内的加法和减法，乘数、除数是三位数的乘法和除法，整数和整数四则运算。由此可见，教材的大数目的认识和计算都放在四年级，这样既符合学生认知发展水平，又便于教与学。

    ４．小数、分数安排两个循环是必要的。

    小数在日常生活生活中的用处很大，提前学习小数的初步认识，对学生把所学的数学知识应用于实际是十分有利的，让学生能体会到数学知识来源于实际，又广泛应用于实际。在正式教学小数的内容时，必须以分数作为准备知识。所以教材安排小数和分数的初步知识，都是十分必要的。有了初步知识教学作为基础，使学生便于学习和掌握小数和分数的内容。

    ５．以口算教学为笔算教学的算理作准备，笔算在口算的基础上进行教学是合理可行的。

    把口算的内容放在笔算之前教学，为教学笔算的算理打基础，这是义务教育教材从教材结构上来说，是一项重大的改革。口算是怎样为教学笔算的算理作准备的，本文前面已经作了充分的阐述，这里不再重复了。从近十年使用的情况来看，各地广大教师和教研人员的反映颇佳，说明这项改革是成功的。

    ２０以内的加、减法的编排是成功的。

    目前教材中２０以内的加、减法跟原通用教材有很大的差别，也是义务教育教材的一项重要的改革。教材先安排９加几，接着是十几减９；８加几后，就是十几减８；……这样，可以利用９加几所学的知识和方法直接迁移到十几减９上去，应用了以加算减和方法。同时也复习和巩固了９加几的内容。这样学减法同时也复习加法的所有内容。由于教学时间的变更，六年制教材是把２０以内的进位加法和２０以内的退位减法分别编排的。在２０以内的进位加法中应用于了“凑十法”，突出了计算方法的规律，使学生学习了９加几和８加几后，就可以把“凑十法”直接迁移到后面的知识学习中去，后面的内容可以让学生自主地进行学习。这对培养学生的学习能力有很大的益处。

    教学新的计算内容前面安排复习题或准备题的方式是恰当的。

    小学生思维能力和联想能力的水平都比较低，对学过的知识比较容易遗忘，并且不容易把学过的知识联系起来。针对学生这些特点，教材在安排新知识前，安排了复习题或准备题。一方面复习与新知识有关的旧知识或方法，另一方面为新知识的学习作了铺垫。这样便于学生理解和掌握亲知识。

    ８．安排估算教学是符合数学教育改革方向的。

    估算是在日常生活、测量中无法或没有必要进行精确计算和判断时所采用的计算方法。估算可以培养学生对计算或测量的结果能有概括性、整体性的认识和理解，并且要对数量关系和空间形式进行合理的判断和推理，能够提高学生处理和解决实际总是的能力。目前，加强估算教学和提高学生的估算能力是国际数学教育改革重要方向之一。

    （二）加强数的概念和应用的教学。

    加强从学生的生活实际、生产实际和科学技术引入数的概念及其应用。

    数的概念来源于实际（包括生活实际、生产实际和科学技术），应该让学生充分认识和理解这一点。教材和教学都必须加强这方面的内容。学生学习了数的概念后，应该将这些概念的实际应用介绍给学生或让学生利用这些概念解决一些简单的实际应用问题。这样能使学生慢慢建立起知识来源于实际、又能应用实际的观念。

    避免数与数量相混淆，应该引入数轴。

    小学生对数与数量的概念常常要混淆。在学习分数时，为了便于学生理解分数的含义，要用实物作为背景帮助学生理解分数的含义和大小 。学生经常把背景实物的大小作为判断分数大小的依据，实际上是把数与数量相混淆了，就会出现许多不应犯的错误。如果及早引入数轴，学生就能把数与它本身在数轴上位置一一起来，就不会出现这样的错误。

    （三）重视计算意识的培养，降低计算教学的要求。

    重视计算意识的培养。

    计算意识是指遇到问题能够自学地从数量上进行观察和思考。任何事物都有质和量两方面的规定，并且存在着由量变到质变的发展过程。这里既有对数的发展和概括性的认识，又有对计算方面深层的认识。也就是说，计算并不是单单是一种技能或能力，它是一种基本的数学方法和数学意识，同时也是人们应该具备的数学素养之一。具有较好计算意识的人，遇到实际问题时常常会从数与数量方面（从广义的方面来看有时也会从概率或统计的角度）去考虑问题。这样对培养学生思维的广度和多元性地是十分有益的。

    在计算教学中，重视算理和算法的教学。

    在计算教学中是否要让学生明确计算过程的算理和算法，原来似乎是不成问题的问题，而目前似乎成了有争议的问题了。学生学习数学的任何内容都应该培养有根据、有条理地进行思维活动。计算的算理是说明计算过程中的依据和合理性。计算的算法是说明计算过程中的规则和逻辑顺序。学生在学习计算的过程中明确了算理和算法，就便于灵活、简便地进行计算，计算的多样性才有基础和可能。不能想像一个连基本计算的原理和方法都模糊不清的学生怎能灵活、简便地进行计算呢？怎能会具有计算多样性的能力呢？因此，在计算教学中重视算理和处法是一个十分重要的课题。

    进一步加强口算教学。

    口算是不借助于任何计算工具，依靠思维和语言进行计算并得出结果的一种计算方法。它具有方便、快速、灵活的优点。口算还是数字运算和代数运算的基础，甚至是很多高等数学运算的必要手段。在进行口算的过程中，有比较复杂的心理活动。首先要在头脑中（而不是在心中）进行计算，还需要贮存计算的中间结果，然后把两个结果合并后才能最后的结果。经常进行口算练习，对培养学生思维的敏捷性、灵活性和深刻性都是十分有益的。因此，在小学数学教学中加强口算教学是十分必要的。口算的教学要求要进一步降低，最多只能出现简单的两步口算题，应删除要应用运算定律的题目、有分数化小数或小数化分数的题目、百分数与其他数混合的题目等。

吴庙

  进一步加强估算和估计的教学。

    估算和估计是人们在日常生活和生产实际中，某些计算和测量的结果无法得到或也没有必要进行精确的计算和判断时所采取的数学方法。它是人们对数量关系和空间形式的概括的合理的推断。它能表示人们对所需要得到的理想结果尽可能地接近的程度。在进行估算和估计的过程中，必须具有合理的逻辑性和条理性，需要运用些合理的推理和判断。在小学数学教学中加强估计和估算教学，对于培养学生猜测、推理、判断的能力有很大的帮助，同时可以提高学生对事物具有综合性和概括性认识的能力。对于具有估算和估计能力的学生来讲，他对数量、时间和空间等能有整体性、全局性和概括性的认识与看法，这对提高学生的整体素质是特别有益的。

    必须降低计算方面的教学要求。

    小学生还是应该学笔算万以内的加、减法和乘数、除数是两位数的乘、除法。这样学生能完整地学习到加、减法和乘、除法的计算法则，对这些基本运算能有全面的理解，对今后的学习是十分有好处的。因为对一个人来讲这些计算法则只有在小学阶段才能学到，过了小学阶段似乎不再可能有机会学习这些内容了（当然在文化大革命时期这种特殊情况也是出现过的）。但是这些笔算教学要求可以再降低一些。例如，数目可以小一些、四则混合运算的步数还可以减少、计算的速度可以降低一些、正确率的要求还可以放宽一些等等。

    对于乘数、除数是三位数的乘法和相应的除法怎样处理？各方面意见很不一致。笔者认为，可以按照不同的实际情况，采取多种选择方式。例如，可以作为乘数、除数是两位数的推广形式，让学生见一见；可以作为选学内容，让学校或班级自由选择；可以作为阅读性材料供学生自由阅读；也可以从教科书中删除。但是，笔者认为，在数学中存在这样的运算方式，应该让学生能见一见为好。

    四则混合运算可以只出三步题，应该学习使用中括号的方法。

    四则混合运算的步数不宜过多，这在数学教学改革中比较一致的。但是学习几步比较适宜，意见的不完全一样。笔者认为，四则混合运算应该学到三步计算，计算的数目应该小一些，要以学习计算方法为重点。这样的学习难度不会很大，教学要求也不会很高。四则混合运算学到三步计算，小括号和中括号都能使用到。因为括号的使用方法在数学中是十分有用的，它在不同阶段的数学内容中都是要用到的。而括号的使用方法也是小学数学学习阶段特有的学习内容，在别的学习阶段似乎不太可能再学习这样的内容。

    珠算还是应该保留一些。

    我国各地发展很不平衡，应该从我国的国情出发，不能单从城市（特别是从大城市）出发。应该看到我国８０％以上的人口在农村和中、小城镇，还是要用到珠算的，就是在大城市中，有的小商店还是要用算盘计算的。

    ８．带分数的认识还是要的。

    带分数的加减法实际上是利用加法交换律和加法结合律进行分数的加减法计算。带分数乘除法是将带分数化成假分数进行计算的。实际上，只有带分数的意义是新内容，其他内容是可以类推的。在其他国家的小学数学教科书中带分数的内容也是有的。

    （四）其他方面。

    １．关于引入计算器的问题。

    让学生利用计算器进行计算是必要的，可以在中、高年级引入。但是，应用的场合和范围要有所限制，要在教科书中标明哪些题目是可以用计算器计算的。

    ２．关于正负数教学的问题。

    从目前的形势来看，在小学要教学正负数的呼声很高，似乎成了是否进行数学教育改革的一条重要标准。但是，我认为在小学里教学正负数什么程度？放在哪一个年级教学比较合理？这些问题应该作些调查研究后，再作最后的决定为好。

    以上是笔者对计算教学改革的一些粗浅看法，仅供读者参考。

　

吴庙

附：九年义务教育六年制小学数学教科书（人教版）计算教学分阶段要求：　
计 算 分 阶 段 要 求
　

要 求内 容	单 元 结 束 时			期 末
	平 均 错 误 率		速 度	平 均 错 误 率	速 度
第 一 册
１０以内加减法	７％以内		绝大多数达到每分做８题	５％以内	绝大多数达到每分做１０题
２０ 以 内进 位 加 法	７％以内		绝大多数达到每分做８题	５％以内	绝大多数达到每分做１０题
第 二 册
２０以内加减法		—	—	３％以内	绝大多数达到每分做１２题
１００以内口算加减法	１０％以内		绝大多数达到每分做5题	７％以内	绝大多数达到每分做７题
１００以内笔算加减法	１０％以内		绝大多数达到每分做４题	７％以内	绝大多数达到每分做５题
第 三 册
１００以内口算加减法	—		—	６％以内	绝大多数达到每分做８题
表内乘、除（包括有余数除法）	６％以内		绝大多数达到每分做１０题	４％以内	绝大多数达到每分做１０题
第 四 册
两位数加、减两位数和几百几十加、减整十、整百数的口算	８％以内		绝大多数达到每分做４题	６％以内	绝大多数达到每分做５题
两、三位数珠算加、减法	１６％以 内		—	１６％以 内	—
万以内笔算加、减法	１０％以内		绝大多数达到每分做１题	８％以内	绝大多数达到每分做１、２题
第 五 册
一位数乘整十、整百、整千的数和两位数（每位乘积不满十）以及相应的除法口算	８％以内		绝大多数达到每分做４题	６％以内	绝大多数达到每分做５题
两、三位数珠算加、减法（经常带着练习）	—		—	１５％以 内	绝大多数达到每分做１题
笔算一位数乘、除多位数	１０％以 内		绝大多数达到每分做１题	８％以内	绝大多数达到每分做１、２题
笔算加、减混合运算	—		—	８％以内	绝大多数达到每分做１、２题
第 六 册
口算一位数乘两位数（积在百以内）、乘几百几十，用整十数乘一位数、两位数	１０％以 内		绝大多数达到每分做４题	８％以内	绝大多数达到每分做５题
口算一位数除两位数、除几百几十，用整十数除，简单的两位数除两位数	１０％以 内		绝大多数达到每分做４题	８％以内	绝大多数达到每分做５题
珠算三位数加、减法（经常带着练习）	—		—	１５％以 内	绝大多数达到 每分做１题
笔算乘数是两位数的乘法	１８％以内		绝大多数达到１.５分做１题	１５％以内	绝大多数达到１.５分做１题
笔算除数是两位数的除法	１８％以内		绝大多数达到每２分做１题	１５％以 内	绝大多数达到平均１.５分做１题
第 七 册
口算整万数加、减，几百几十的加、减，乘数、除数是整百的乘、除法	１０％以内		绝大多数达到每分做４题	８％以内	绝大多数达到每分做５题
珠算加、减法（不超过五位数）	２０％以内		—	１５％以内	—
笔算加、减法（超过四位数）	８％以内		—	混合运算１１５％以内	—
乘数、除数是三位数的乘、除法	２０％以内		—
第 八 册
整数四则口算（包括能用简便算法）	１５％以内		绝大多数达到每分做４题	１０％以内	绝大多数达到每分做４题
小数加、减法口算（位数为两位数，还能用简便算法）	１５％以内		绝大多数达到每分做３题	１０％以内	绝大多数达到每分做４题
珠算小数加、 减法	—		—	１２％以内	绝大多数达到每分做１题
第 九 册
小数乘、除法口算（乘数、除数为一位数，简单的两位数乘除）	１５％以内		绝大多数达到每分做３题	１０％以内	绝大多数达到每分做４题
笔算小数乘除法	１８％以内		绝大多数达到每２．５分做１题	１５％以内	绝大多数达到每２分做１题
解方程	２０％以内		—	１５％以内	—
第 十 册
数学概念	２０％以内		—	１５％以内	—
整数、小数四则口算（包括能用简便算法的）	—		—	１０％以内	绝大多数达到每分做４题
分数加、减法口算（分母为１０以内的）	１０％以内		绝大多数达到每分做３题	７％以内	绝大多数达到每分做４题
分数加、减法	３５％以内		—	３０％以内	—
第 十 一 册
分数乘、除口算（包括能用简便算法的）	１０％以内		绝大多数达到每分做３题	７％以内	绝大多数达到每分做４题
分数四则混合运算、分数小数四则混合运算（包括简易方程）	３５％以内		—	３０％以内	—
第 十 二 册
数学概念	２５％以内		—	２０％以内	—
整数、小数、分数四则口算（包括能用简便算法的）	—		—	５％以内	绝大多数达到每分做４题
整数、小数、分数四则混合运算笔算（包括简易方程）	２５％以内		—	２０％以内	—
度量、画图（第十二册）
度量、画图	２５％以内		—	２０％以内	—