“数的认识”总复习建议

吴庙

张兴华
    “数的认识”包括数的意义、数的读法和写法、数的改写、数的大小比较、数的整除、分数和小数的基本 性质六个方面的知识。这部分内容概念多，又比较抽象，而且是分散在几个年级学习的，间隔时间长，容易遗 忘。要使学生牢固地掌握这些知识，教师应结合课本《整理和复习》的内容，既要注意全面系统的复习，又要 注意突出重点，有针对性地根据学生实际掌握知识的情况安排复习。下面就这部分内容提几点建议，供总复习 时参考。
    一、归类整理，形成系统
    数学知识具有严密的系统性，每一概念与邻近概念之间都是纵向发展、横向联系着的。复习时，要在学生 掌握概念意义的基础上，引导学生归类整理，发现和把握知识纵向发展、横向联系的脉络，使之系统化，从而 更深刻地理解和掌握概念。例如，小学阶段学习的数概念，可复习整理成下表：
    （附图 {图}）
    复习时，首先复习自然数。人们数物体的时候，表示物体个数的1、2、3……叫做自然数，自然数的个数是 无限的。然后复习0，明确自然数和0都是整数（还有小于0的整数以后学习）；接着复习自然数的单位是1，由 把单位"1"平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数引出分数，并进一步说明两个数相除的商可以用分数表 示，以显现出分数和整数的关系；然后从分数与小数的联系出发，复习小数的意义；最后复习百分数的意义： 表示一个数是另一个数的百分之几。这样，就把数的发展的来龙去脉显现在学生面前，学生得到的是前后联系 着的整块知识。
    又如，数的整除这部分知识整个儿就是一个前衔后接、联系紧密的概念系统。复习时要在理解概念意义的 基础上，抓住概念之间的内部联系和发展，整理成下表：
    （附图 {图}）
    其中，整除是这一块知识的基础。从整除出发，引出倍数、约数、能被2、5、3整除的数的特征三条线索。 从倍数到公倍数到最小公倍数；从约数到公约数到最大公约数，从含有约数的个数和特点引出质数和合数，从 质数引出质因数，从合数引出分解质因数，从两个数含有公约数的个数和特点引出互质数；从能被2整除的数的 特征中引出偶数和奇数。最后利用这些知识求两个数的最大公约数和最小公倍数。这样，数的整除的所有知识 就形成有结构的一大块贮存于学生的认知结构中。
    数学的某项知识或技能常常包括几个方面，复习时也要帮助学生排列整理出来，一一认清情境，分别采取 适当的方法处理。如小学阶段先后学过好多种数的改写，可以一一排列出来复习：1.把较大的多位数改写成万 、亿作单位的数，如432150=43.215万。2.把较大的数省略某一位后面的尾数，取它的近似值，如432150≈43万 。3.把小数省略某一位后面的尾数，取它的近似值，如3.41986≈3.4（保留一位小数），3.41986≈3.42（保留 两位小数），3.41986≈3.420（保留三位小数）。4.假分数与带分数、整数的相互改写（例略）。5.分数、小 数、百分数之间的互化（见课本《整理和复习》）。把几种改写的情况清晰地排列出来，引导学生加以辨析和 掌握。
    又如，数的大小比较也可以排列出各种情况来研究：怎样比较整数的大小？怎样比较小数的大小？怎样比 较分数的大小？其中同分母分数怎样比较大小？同分子分数怎样比较大小？不同分母、分子的分数怎样比较大 小？分数与小数怎样比较大小？这样，学生就能从整体上提纲挈领地掌握数的大小比较这一块知识了。
    二、加强比较，沟通联系
    数学概念常常既以共同的本质特征相联系，又以不同的个性特征相区别。通过比较，既能求同归纳和概括 ，又能区别不同，遏制泛化和混淆。比如质数、互质数、质因数三个概念，从字面来看，似是而非。通过比较 ，让学生明白，质数是对一个数来说的，看它的约数是否只有1和本身，如2,7,31都是质数；互质数是对两个数 来说的，看这两个数的公约数是否只有1。尽管两个质数是互质数，但是互质的两个数并不一定是质数，比如8 和9、6和13，1和83等。质因数不能独立存在，它必须依存于某一个合数，既是质数，又是这个合数的因数，就 是这个合数的质因数。比如2是12的质因数，11是88的质因数……
    又如，整数和小数的读法，可以集两者为“一身”来比较。如7645.7645，2005.2005，整数部分和小数部 分的数字相同，都是从高位读起，但读起来却不同：整数部分不仅要依次读出各个数位上的数字，而且要连同 计数单位一起读出，小数部分则只要依次读出各个数位上的数字就可以了，所以，7645.7645读成七千六百四十 五点七六四五；整数部分中间连续有几个零，只要读一个零就可以了，小数部分中间连续有几个零，则要一个 一个读出来，不能省读，所以，2005.2005读成二千零五点二零零五。
    由于知识的分散教学，有些知识间的内在联系没有能及时显现，复习时可通过比较，把零散的知识串联起 来，使学生理解得更深刻。比如，复习时可将分数和小数的基本性质联系起来。分数的基本性质是，分数的分 子、分母同时乘以或者除以相同的数（零除外），分数的大小不变。小数的基本性质是，小数的末尾添上0或者 去掉0，小数的大小不变。其实，这两者是一致的。例如，0.7=0.70=0.700，7/10=70/100=700/1000。
    又如，通分、约分是先后学习的，复习时可通过比较，使学生认识到两者都是分数基本性质的运用。不同 的是，约分是分子、分母同时除以相同的数（零除外），变成分子、分母都比较小的分数；通分是将异分母分 数通过分子、分母同时乘以相同的数（零除外），化成同分母分数。这样，把分数的基本性质、约分、通分捆 在一起复习，知识就能以编码结构的形式进入学生认知结构，使之成为一种概括程度很高的有意义学习。
    三、设计练习，加深理解
    1.抓住重点和关键，进行基本练习。“基本的东西往往是最重要的”。对于教材中的重点和关键，要加强 基本练习。数的意义、数的整除、数的性质等都必须通过练习使学生的理解达到内化程度。数的各种改写、数 的大小比较也都要通过必要的练习才能形成技能技巧。
    2.加强综合练习，深刻理解概念。总复习应使学生将概念系统化和整体化，综合运用已学知识解决问题。 比如，( )/16=6/( )=( )÷40=0.75=( )%就涉及小数与分数、百分数的互化、分数与除法的关系、分数的 基本性质、除法商不变性质等知识；又如，有一个数，万位上是最小的质数，百位上是最小的合数，十分位上 是最小的奇数，百分位上是最小的一位数，千分位上是最小的自然数，其余各位上都是0，这个数是（ ），读 作（ ），这道题包括了写数、读数和质数、合数、奇数、自然数等概念的运用；再如，a与b是两个自然数， a÷b=5，a与b的最大公约数是（ ），最小公倍数是（ ）；根据4/7×2(5/8)×2/3=1，在（ ）里直接写出 得数：4/7×2(5/8)=( )，2(5/8)×2/3=( )，4/7×2/3=( )……学生在灵活运用已学知识综合解答问题的过 程中，对概念加深了理解。
    3.通过比较，区分易混概念。总复习中可设计比较题，帮助学生区分相似、相近和易混概念。比如，把7÷ 3=2……1，0.8÷4=0.2，18÷6=3，3÷0.5=6，40÷8=5按要求填入表中。
    除 尽 除不尽 整 除 不能整除
    通过这一比较性练习，可以使学生明白：整除的一定是除尽的，除尽的却不一定能整除；不能整除的有时 是除尽的，有时是除不尽的，除不尽的则一定是不能整除的。
    4.加强针对性练习，不断强化对易错概念的纠正。对学生易错的概念，要引导他们认识错误情况和错误原 因，然后指导他们运用概念回答问题，解决问题。如，判断“偶数都是合数”、“42分解质因数是42=2×3×7 ×1”、“一个数的倍数一定比它的约数大”对错的过程也是找错、议错、改错的过程，从对错误的省悟中强化 对概念的理解。
    四、启发学生，主动复习
    总复习最终是让学生掌握已学的知识。教学时，要启发引导学生主动地复习，共同重温并整理所学的知识 ，使之系统化。在回忆和整理知识时，要让学生做复习的主人，多让学生发言，互相补充，逐步形成系统的、 完整的、明确的知识网络。这样，学生对所学知识不仅加深了理解，印象深刻，而且感到通过复习和整理确实 有所提高，从而激发学生复习的积极性，提高复习的效果。