一次函数的几个考查点

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河北省唐县齐家佐乡葛公中学 张红建

一次函数及其图像是初中代数的重要内容，也是中考的重点考查内容。一次函数的考查有多种角度及形式，尤其近几年新型题的不断出现，加大了对学生的能力的考查力度。现以部分中考题为例介绍一次函数的几个考查点。希望对同学们的学习有所帮助。 　　一、知识立意型（基础知识考查） 　　1、考定义 　　例1：（05武汉）下列函数中，一次函数是（ ） 　　S、y=8x2   B、y=   C、y=x＋1   D、y= 　　点拔：要判断一下函数是否为一次函数，要从三个方面进行观察，①首先必须是整式；②次数，自变量的最高次数是否为一次；③系数，将函数化简后，自变量x的系数不为零。 　　注意：函数的类型与自变量所用的字母名称无关。 　　2、求解析式 　　例2：（06嘉兴）已知一次函数的图象经过（2，5）和（－1，－1）两点，求这个一次函数的解析式。 　　解：（1）设一次函数的解析式为：y＝kx＋b． 　　把（2，5）、（－1，－1）代入解析式为则 　　解得k＝2、b＝1，∴函数的解析式为y＝2x＋1 　　点拔：根据两点定一直线，用待定系数法确定函数解析式的步骤是：⑴写出含有待定系数的方程；⑵把已知条件代入解析式，得到关于待定系数的方程（组）；⑶解方程（组），求出待定系数；⑷将求得的待定系数的值代回所设的解析式。 　　3、考查函数的性质 　　例3：（06广州）下列图象中，表示直线y=x-1的是(    ) 　　 　　点拔：要解答本题需要掌握一次函数的性质：一次函数y=kx+b（k≠0），①当k＞0时，一次函数过一、三象限；当k＜0时，一次函数过二、四象限；②当b＞0时，一次函数过一、二象限，当b＜时，一次函数过三、四象限。根据此一次函数的性质可得此题选D。 　　例4：（06天津）已知一次函数y=kx＋b（k≠0）的图象经过点（0，1），且y随x的增大而增大，请你写出一个符合上述条件的函数关系式 。 　　点拔：此题是一个开放性问题，根据一次函数图像的性质可知k＞0，可任意代入一个正数k，再由点（0，1）确定b的值。 　　注意：由一次函数的增减性可判断出k的正负，直线的倾斜程度也由|k|来决定。这类题目的答案不唯一，只要符合条件即可得分，这是近几年的中考新题型，可充分发挥学生的自主性，体现人文性。 　　二、能力立意型： 　　1、阅读理解能力 　　此类问题中往往包含有大量的由文字叙述的实际情景在里面，有的还要把丰富的情境与函数图象有机结合，需要同学们有一定的阅读能力，要抓住关键理解题意，然后化实际问题为数学问题，进而利用数学的有关知识加以解决。 　　这类题是近年来的重要题型以考查学生的阅读理解能力，实际问题转化为数学问题的能力，主要以中、低档题的形式考察。 　　例5：(2006年湖南省永州市)小慧今天到学校参加初中毕业会考，从家里出发走10分钟到离家500米的地方吃早餐，吃早餐用了20分钟；再用10分钟赶到离家1000米的学校参加考试．下列图象中，能反映这一过程的是（ ） 　　点拔：此题要理解，时间与距离之间的关系，吃早餐20分钟，这20分钟内是没有位移的，表现在图像上，当10≤x≤30时，图像是平行于x轴的一条线段，故本题选D。 　　2、应用能力 　　例6：.如图,是用火柴棒摆出的一系列三角形图案,按这种方案摆下去,当每边上摆2006根火柴棒时,共需要摆________根火柴棒. 　　点拔：此题首先根据所给的三个图找出一个合适的一次函数关系式，然后根据函数关系式把x=2006代入解析式，即可求得总根数y。此题设每边上摆x根火柴，则每平行边上共有，三角形三边所摆的总根数y=，把n=2006代入解析式得y==603902根。 　　例7：（06广西玉林）丽丽买了一张30元的租碟卡，每租一张碟后剩下的余额如表6表示，若丽丽租碟25张，则卡中还剩下（ ） A．5元 Ｂ．10元 Ｃ．20元 Ｄ．14元 租碟数（张） 卡中余额（元） 1 2 3 　　点拔：由上表可看出所租碟数（张）与卡中余额（元）的一次函数解析式为y=－0.8x＋30。然后将x=25代入解析式，求得y=10，所以答案应选B。 　　3、图形变换的能力 　　例7：（06重庆）直线与轴、轴分别交于点A和点B，M是OB上的一点，若将△ABM沿AM折叠，点B恰好落在轴上的点处，则直线AM的解析式为 。 　　解：由得A（6，0）、B（0，8），则的坐标为（－2，）。设M点的坐标为（0，a），则M=BM=（8－a）2，由勾股定理得a2＋22=（8－a）2，解得a=。由A、M点的坐标得解析式y=x＋。 　　点拔：此题通过轴对称变换把△ABM转化为△AM，由轴对称变换的性质得BM=M，这样就把图形条件及题目条件转化到Rt△OM中，然后根据勾股定理建立方程，从而使问题得以解决。 　　4、综合能力 　　把函数的图像与一元一次方程和一元一次不等式结合在一起，考查学生的理解能力与结合能力，以中档题为主，也是近几年的常见试题。 　　（06年长沙市）我市某乡两村盛产柑桔，村有柑桔200吨，村有柑桔300吨．现将这些柑桔运到两个冷藏仓库，已知仓库可储存240吨，仓库可储存260吨；从村运往两处的费用分别为每吨20元和25元，从村运往两处的费用分别为每吨15元和18元．设从村运往仓库的柑桔重量为吨，两村运往两仓库的柑桔运输费用分别为元和元． 　　（1）请填写下表，并求出与之间的函数关系式； 　　解： 　　（2）试讨论两村中，哪个村的运费较少； 　　（3）考虑到村的经济承受能力，村的柑桔运费不得超过4830元．在这种情况下，请问怎样调运，才能使两村运费之和最小？求出这个最小值． 　　解：（1） 　　，． 　　（2）当时，； 　　当时，； 　　当时，． 　　当时，即两村运费相等；当时，即村运费较少；当时，即村费用较少． 　　（3）由得 　　设两村运费之和为，．即：． 　　又时，随增大而减小，当时，有最小值，（元）． 　　答：当村调往仓库的柑桔重量为50吨，调往仓库为150吨，村调往仓库为190吨，调往仓库110吨的时候，两村的运费之和最小，最小费用为9580元． 　　点拔：此题有机地把一次函数与一元一次方程及一元一次不等式有机地结合在了一起。首先需要学生理解三者的关系，然后根据解析式、函数性质及自变量的取值范围综合考虑找出适合条件的变量的值，最后根据实际情况，选择最佳方案。 　　例9（06梅州）如图9，直线的解析式为与轴，轴 　　分别交于点． 　　（1）求原点到直线的距离； 　　（2）有一个半径为1的从坐标原点出发，以每秒1个单位长的速度沿轴正方向运动，设运动时间为（秒）．当与直线相切时，求的值． 　　解：（1）在中，令，得，得． 　　令，得，得，． 　　设点到直线的距离为，， 　　． 　　（2）如图，设与直线相切于点，连，则，， 　　 　　由（1）得， 　　，（秒）． 　　 根据对称性得， 　　（秒）． 　　当与直线相切时，秒或秒． 　　此类题往往把一次函数作为一种问题背景，重要的是理解题意，根据动圆中的不变关系建立比例式，从而得到问题的答案。

路痴大叔

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