小学六年级学生奥数天天训练题及老师解答案2012年3月23日计数综合

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【计数综合】

　　1、难度：★★★★   　　一个三位数，若它的中间数字恰好是首尾数字的平均值，则称它是“好数”．则好数总共有_______个．



　　2、难度：★★★★★
　　如果自然数a 的各位数字之和等于10，则a 称为“和谐数”．将所有的“和谐数” 从小到大排成一列，则2008 排在第______个．

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【计数综合】

　　1、难度：★★★★   　　一个三位数，若它的中间数字恰好是首尾数字的平均值，则称它是“好数”．则好数总共有_______个．
　　【答案】
　　方法一：当十位为1 时，共有111,210 共2 个；
　　当十位为2 时，共有：123；222；321；420 共4 个；
　　当十位为3 时，共有：135；234；333；432；531；630 共6 个；
　　当十位为4 时，共有：147；246；345；444；543；642；741；840 共8 个；
　　当十位为5 时，共有：159；258；357；456；555；654；753；852；951 共9 个；
　　当十位为6 时，共有：369；468；567；666；765；864；963；共7 个；
　　当十位为7 时，共有：579；678；777；876；975；共5 个；
　　当十位为8 时，共有：789；888；987 共3 个；
　　当十位为9 时，共有：999 共1 个；
　　所以，中间数字恰好是首尾数字的平均值的好数共有：45 个．
　　方法二：（对应法）根据题意，如果百位和个位数字确定后，十位数字就确定，因此百位和个位数字的取法个数，就是好数的个数，又因为百位数字和个位数字的奇偶性相同，对于百位有9种选法，百位选定后个位数字有5种选择，因此有9×5=45个好数。


　　2、难度：★★★★★
　　如果自然数a 的各位数字之和等于10，则a 称为“和谐数”．将所有的“和谐数” 从小到大排成一列，则2008 排在第______个．
　　【答案】
　　一位数的和谐数个数为0，
　　二位数的和谐数有：19、28、… … 、91，共9 个．
　　三位数的和谐数有：
　　109、118、127、136、… … 、190；
　　208、217、216、… … 、280；
　　307、316、325、… … 、370；
　　… … … …
　　901，910
　　共有10+9 +8.+..+2 =54 个．
　　四位数，且千位数是1 的和谐数有：
　　1009、1018、1027、… … 、1090；
　　1108、1117、1126、… … 、1180；
　　… …
　　1801、1810；
　　1900
　　共10+9+8+...+1=55个．
　　2008是千位数为2的第一个和谐数，所以它排在第9+54+55+1=119个．
　　法二：利用补0 的方法，都变成四位数，把10看作10个1，然后用插板法
　　千位是0 的有个，就相当于再把10个1分成3份（注意每一份可能为0），因为各位上可能为0，所以就等同于把13个1分成不能为0的3份，即有12个间隔，插2个板，即种，但是因为各位上数字只能是0~9之间，注意到这里有（0，0，10）、（0，10，0）、（10，0，0）不符合，故减去3.
千位是1的有个，就相当于再把9个1分成3份（注意每一份可能为0），因为各位上可能为0，所以就等同于把12个1分成不能为0的3份，即有11个间隔，插2个板，即种；
　　2008是千位数为2的第一个和谐数，
　　所以它排在63+55+1=119个。