浙教版七年级下册数学《用乘法公式分解因式》导学案PPT课件教案课堂教学实录

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浙教版七年级下册数学《用乘法公式分解因式》导学案PPT课件教案课堂教学实录
      第6.3节，用乘法公式分解因式
一、 背景介绍
本节课是学生学习了因式分解的概念，用提取公因式法分解因式后继续学习的。在整式的乘法中学习了平方差公式，今天应用此公式因式分解，关键在于学生必须有逆向的思维，换元的思想，能体会到公式中a、b可以是数字、单项式、多项式。把多项式转换到平方差公式的模型然后依据公式因式分解。
二、教学设计
第1课时
[教学内容分析]
在前一课时，学生加深了对因式分解的概念的理解，学会了用提取公因式法因式分解，所以本课时的重点在于让学生体会到哪些多项式可用平方差公式分解，以及综合应用提取公因式法与平方差公式法对一些比较复杂的多项式进行因式分解。
[教学目标]
1、经历平方差公式的产生过程，会用公式a2－b2=（a＋b）（a－b）分解因式
2、认识a2－b2=（a＋b）（a－b）与（a＋b）（a－b）=a2－b2之间区别联系
3、体验换元思想，培养学生观察、分析和解决问题能力。
4、体会用符号表示公式的意义，形成初步的符号感。
[教学重、难点]
重点：掌握平方差公式的特点及运用此公式分解因式。
难点：把多项式转换到能用平方差公式分解因式的模式，综合运用多种方法因式分解。
[教学准备]
每两名学生准备一张正方形纸板和画图工具
[教学过程]

教学过程 设计说明
一、创设情景，引出课题
问题（一）
把如图卡纸剪开，拼成一张长方形
卡纸，作为一幅精美剪纸衬底，怎么    剪？你能给出数学解释吗？
这个图形的剪拼在整式的乘法中学生已经接触过了，比较容易，估计学生能剪拼成功，可能得到以下两条公式
a2－b2=（a＋b）（a－b） 与（a＋b）（a－b）=a2－b2
想一想：
（1）  这两条公式的名称
（2） 公式（a＋b）（a－b）=a2－b2  
有什么作用？
公式是多项式乘法的特殊形式，能简化计算。（学生能说出最好，若有困难，教师点拨）
（3）公式a2－b2=（a＋b）（a－b）左到右的形式发生了什么变化？
（4）请用语言描述公式a2－b2=（a＋b）（a－b）
教师板书：两数的平方差等于两数的和与两数差的积。
教师指出本课时就应用平方差公式因式分解。从而提出课题。  
   

通过探究两个图形的变换而面积不变，从而引出公式，这是根据初一学生年龄特点，采用图形变化来激发学生学习兴趣。




问题是知识能力生长点，通过富有实际意义的问题，激发学生原有认知，促使学生主动地进行探索和思考。
二、整理新知，形成结构]
做一做：
1、下列各式能用平方差公式a2－b2=（a＋b）（a－b）分解因式吗？a、b分别表示什么？把下列各式分解因式
（1）x2－1     （2）m2－9    （3）x2－4y2
采用抢答形式
例1把下列各式分解因式
（1）16a2－1          （2）－m2n2+4P2
（3） x2－ y4        （4）（x+z）2－（y+z）2

师生一起对话交流，对每一题都提问a、b分别表示什么？让学生经历这过程后，能充分体验到a、b可以是单项式，也可以是多项式。

解题反思：
上述的多项式都可用平方差公式分解因式，它们有什么共同点，学生讨论、发言，老师纠正、完善：
都可以转化两数的平方差，而且这两数可以是单项式，也可以是多项式。若部分学生理解有困难，不妨把两数用符号“□”和“△” 表示，那么公式形象地表示为：
□2－△2=（□+△）（□－△）


教学应遵循学生的认知规律，由浅如深，循序渐进，既面向全体学生，又体现出例题的层次性





借助数学符号，能把有关的问题规范化，清晰化，建立正确的符号感
三、内化知识，尝试成功
1、 辩一辩
下列多项式可以用平方差公式分解因式吗？说说你的理由  （1）4x2+y2　　　　　　　　　　　 （2）4x2－（－y）2
（3）－4x2－y2　　　　　　　　  （4）－4x2+y2
（5）a2－4　　　　　　 （6）a2+3
2、练一练
分解因式
（1）25x2－4     （2）121－4a2b2
（3）－ +4x2      （4）x2－9
3、试一试
让学生编一些能用平方差公式进行因式分解的多项式，展示在黑板上，并让其他同学解答、评价 学生进一步理解能用平方差公式分解多项式的特点。


让学生互编互检互评，注重学生间的相互评价方式的运用，不仅能更好地激发学生的学习兴趣，更重要的是能培养学生的创新意识和创造能力。
四、合作学习，延伸提高
合作学习（一）
分解下列因式
（1）4x3y－9xy3    （2）27a3bc－3ab3c
（3）（2n+1）2－（2n－1）2
教师注意观察个小组的活动情况，并给予适当的说明和引导，鼓励学生大胆发表自己的意见和观点，对学生的结论作出评价。
解题反思：对于复杂的多项式，我们应该怎么做？
学生可能会说先应该先提取公因式，或者说把多项式转化可以采用平方差公式分解的模型。或者说应该把多项式分解到每个因式不能再分解为止。等等，教师予以完善总结。
合作学习（二）
观察下表，你还能继续往下写吗？
1 1=12－02
3 3=22－12
5 5=32－22
7 7=42－32
… …

你发现了什么规律，能用因式分解来说明你的发现吗？
如想直接利用平方差分解因式，则思维受阻，产生认识冲突，但通过讨论，结合上面学生知识先提取分因式，然后采用公式则可解决
至于(3)目的在于提醒学生一定要分解每一个因式不能分解为止。

既可培养学生探究能力，又可让学生体验因式分解的用处，学以致用。
六、小结提示，作业布置
备选练习
1、因式分解
（1）（3x－4y）2－（4x+3y）2
（2）16（3m－2n）2－25（m－n）2
（3）16x4－y4z4
2、计算
（1）19992－1998x2000
（2）25x2652－1352x25


3、把一块纸板形状如图，请剪一个
b
面积和这块纸板相等的长方形纸
板，求出这个长方形纸板的长和
宽，并画出图形。四人一组，合
作讨论。
a
让学生来评价自己的学习体验过程，通过学生的反馈，进一步对教学进行深入反思，在深层次上更新教育观念。
作业布置做到分层，体现因材施教原则。
设计理念：
1、 从情景的引入——模型构建——应用拓展来呈现教学内容，在本节课的前面安排了平方差公式产生的背景，使学生经历过实际问题“符号化”的过程，有了一定的符号感。
2、在复习了平方差公式后，通过一组由浅入深、由易到难的题组
逐题递进，落实本节课的教学重点。在教学形式上采用学生口述、互评等多种
方法，激活学生的思维，营造良好的课堂氛围。

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6．3用乘法公式分解因式的第二课时
用完全平方公式分解因式
[教学内容分析]
本节课是学生学习了提取公因式法，平方差公式分解因式法的基础上学习的，是前一章整式乘法中完全平方公式的逆运用，是后一章分式的基础，起着承上启下的的作用，在教学方面的与上一课时（用平方差公式分解因式有类似之处）学生比较容易接受，所以在本课一开始就通过练习，复习用平方差分解因式，而且让学生注意到因式分解的大忌，不能浅尝而止，必须分解因式到不能分解为止，让学生重温因式分解的方法不是孤立的，而是各种方法的综合运用。但是判断一个多项式是完全平形式难度比较大，所以本课时关键在于如何判断一个多项式是完全平方式。
[教学目标]
   知识目标：会判断多项式是完全平方式，并掌握用此公式分解因式的方法。
   能力目标：（1）培养学生换元的思想，养成严密的思维习惯，进一步培养学生观察能力。分析能力和概括能力
（2）培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神。
情感目标  （1） 通过对形式不同的问题解答，激发学生的学习兴趣，使全体学生积极参与，体验到成功的喜悦。
（2）引导学生在课堂活动中感悟知识的生成，发展和变化。
[教学重、难点]
          重点：用完全平方公式分解因式
难点：灵活运用完全平方公式分解因式


[教学过程]




教学过程        设计说明
一、        复习引入，提出课题
（1）        做一做：
把下列各式分解因式（学生上台板演）
（1）ax4－ax2    （2）16m4－n4
ax4－ax2= ax2（x+1）（x－1）
16m4－n4=（4m2）2－（n2）2
=（4m2+ n2）（4m2－ n2）
=（4m2+ n2）（2m+ n）（2m－ n）
估计有部分学生只是把多项式分解到（4m2+ n2）（4m2－ n2）的形式，教师予以强调指出必须分解到每个因式不能分解为止。
（2）考一考
a、除了平方差公式外，还有那些公式？
b、如何 表示？  （a+b）2=a2+2ab+b2   
                            （a－b）2=a2－2ab+b2
c、怎样用语言表述？
d、把公式应该怎么写？
教师板书a2+2ab+b2  =（a+b）2
                       a2－2ab+b2=（a－b）2

e、用语言怎么表达？
f、教师引出课题



       
复习铺垫对学习新知识是必要的，它可以扫清学习新知识的障碍，顺利进入新的知识学习之中。






让学生自己感悟新旧知识的交替、衔接，有利于学生在实践中体会知识的生成过程。




语言是思维的外壳，尝试用语言表达公式，既提高语言表达能力，又由感性认识发展到理性认识。同时发展学生的评价能力
二、整理新知，形成结构
1、填写下表（若某一栏不适用，请填入不是，并说明理由）
多项式        是否是完全平方式        a、b各表示什么        表示（a+b）2或（a－b）2
x2－6x+9        是        a表示x，
b表示3        （x－3）2
4y2+4y+1
                       
1+4a2
                       
  x2+ +
                       
1+m+ m2
               
4y2－12xy+9x2                       
（2x+y）2－6（2x+y）+9                       
先出现表格的部分内容，然后逐渐出示多项式，由学生抢答。进行小组比赛。
要求学生暴露思维过程：如x2－6x+9，因为由第一项可知道a=x ，由第三项可知b= 3,而且  2ab=2 × 3x 刚好等于中间项。所以这多项式是完全平方式。因为中间项符号为负，所以多项式可分解为（x－3）2

2、反思：
   （1）观察第三列可发现a、b各表示什么，学生观察讨论总结可得a、b可以表示单项式，多项式。

（2）猜测部分学生能理解a、b可表示单项式和多项式。由于在公式中有字母a、b，被分解的多项式中往往也含有字母a、b，学生非常容易混淆，部分学生理解有困难，不妨用“□”表示a，用△表示b，则公式可表示为什么形式？易得

□2+2□△+△2=（□+△）2

□2－2□△+△2=（□－△）2
        在进一步引导学生掌握完全平方式的特征的同时，能让学生对公式的特征有足够的理解，并在此的基础上，让学生用自己的语言来阐述思考过程，这是符合学生的认知规律的，也体现了新课程标准下的理念

由于初一同学活泼好动好表现，争强好胜，集体荣誉感强，课堂里引进了竞争机制，发动全员参与，提高了学习兴趣，体现了评价主体和评价方式的多元化。




由学生观察，思考，培养学生勤动脑筋和表达，概括和归纳能力


在教学中符号是必不可少的语言，它能清晰而简明地表达数学思想与规律。
三、        引导探究，自主合作
在上面的表格中，1+4a2   x2+ +
不是完全平方式，如何修改使之成为完全平方式？
       
开放性问题的提出，再次激发了学生的热情，在合作交流中，不但能巩固知识，更能培养学生与人合作的精神和创新的意识，同时也是遵循了巩固性原则。

四、        互问互检，展示个性

I.        生互编互答互评


        


2、学生相互间的活动结束后，教师不失时机对学生说老师也出题考考咱们的同学。然后教师给出课本163页的课内练习1，这些等式平时学生就很容易出错，让学生暴露问题，然后师生一起纠正。        遵循巩固性和发展性相结合的原则，进一步展示学生的个性，培养学生的创新精神和创造能力。


学生精彩的一面，教师都给予肯定，让学生享受成功的喜悦，即使答得不够完整，但是他能积极思考也予以表扬。

五、        合作学习，延伸提高
把下列各式分解因式
（1）－x2+4xy－4y2
（2）3ax2+6axy+3ay2
（3）m4+4
以四人为一组，合作讨论，讨论结果分组汇报交流，教师予以评价。
对于（1）－x2+4xy－4y2
学生若能发现提取负号后是完全平方公式，予以表扬，若不能我提示结合完全平方公式的三项的符号特点与（1）对比，你有什么发现？
对于（3），学生已经有了添项的经验，可是添的中间项正负都有可能，就放手让学生添，碰壁后学生会豁朗开朗的。        再一次大胆地放手让学生参与，且不失时机地表扬，以增强同学们的自信心，使同学能保持强烈的学习欲望，从而提高教学效果







六、        归纳小结，布置作业

通过本节课你学会了什么，有什么收获

课外作业：请同学们设计多样化的多项式，然后同学之间相互解答。
        课堂小结让学生回顾，目的是充分发挥学生的主体作用，给他们发言的机会，从而也锻炼了他们归纳、整理、表达的能力。


设计理念：
1、        为了充分调动学生学习的积极性，改变课堂过于注重知识传授的倾向，变被动乏味的学习为主动愉快的学习，关注学生学习的兴趣和经验，实施开放式教学，让学生主动参与学习活动，把课堂上得高效，在教学中，引导学生互编互检互评，探究等活动，让愉快的学习贯穿教学的始终，充分体现了“自主合作，探究交流”的教学理念。
2、        引导学生在获取知识的过程冲，学会观察，概括，表达、换元等数学思想。