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北师大版七年级下册数学《同底数幂的乘法》导学案课件PPT板书设计教学实录
第四课时
●课 题
§1.3 同底数幂的乘法
●教学目标
(一)教学知识点
1.经历探索同底数幂的乘法运算性质的过程,进一步体会幂的意义.
2.了解同底数幂乘法的运算性质,并能解决一些实际问题.
(二)能力训练要求
1.在进一步体会幂的意义时,发展推理能力和有条理的表达能力.
2.学习同底幂乘法的运算性质,提高解决问题的能力.
(三)情感与价值观要求
在发展推理能力和有条理的表达能力的同时,体会学习数学的兴趣,培养学习数学的信心.
●教学重点
同底数幂的乘法运算法则及其应用.
●教学难点
同底数幂的乘法运算法则的灵活运用.
●教学方法
引导启发法
教师引导学生在回忆幂的意义的基础上,通过特例的推理,再到一般结论的推出,启发学生应用旧知识解决新问题,得出新结论,并能灵活运用.
●教具准备
小黑板
●教学过程
Ⅰ.创设问题情景,引入新课
[师]同学们还记得“an”的意义吗?
[生]an表示n个a相乘,我们把这种运算叫做乘方.乘方的结果叫幂,a叫做底数,n是指数.
[师]我们回忆了幂的意义后,下面看这一章最开始提出的问题(出示投影片§1.3 A):
问题1:光的速度约为3×105千米/秒,太阳光照射到地球上大约需要5×102秒,地球距离太阳大约有多远?
问题2:光在真空中的速度大约是3×105千米/秒,太阳系以外距离地球最近的恒星是比邻星,它发出的光到达地球大约需4.22年.一年以3×107秒计算,比邻星与地球的距离约为多少千米?
[生]根据距离=速度×时间,可得:
地球距离太阳的距离为:3×105×5×102=3×5×(105×102)(千米)
比邻星与地球的距离约为:3×105×3×107×4.22=37.98×(105×107)(千米)
[师]105×102,105×107如何计算呢?
[生]根据幂的意义:
105×102= ×
=
=107
105×107
=
=
[师]很棒!我们观察105×102可以发现105、102这两个因数是同底的幂的形式,所以105×102我们把这种运算叫做同底数幂的乘法,105×107也是同底数幂的乘法.
由问题1和问题2不难看出,我们有必要研究和学习这样一种运算——同底数幂的乘法.
Ⅱ.学生通过做一做、议一议,推导出同底数幂的乘法的运算性质
1.做一做
计算下列各式:
(1)102×103;
(2)105×108;
(3)10m×10n(m,n都是正整数)
你发现了什么?注意观察计算前后底数和指数的关系,并能用自己的语言加以描述.
(4)2m×2n等于什么?( )m×( )n呢,(m,n都是正整数).
[师]根据幂的意义,同学们可以独立解决上述问题.
[生](1)102×103=(10×10)×(10×10×10)=105=102+3
因为102的意义表示两个10相乘;103的意义表示三个10相乘.根据乘方的意义5个10相乘就表示105同样道理,可求得:
(2)105×108
= ×
=1013=105+8
(3)10m×10n
= ×
=10m+n
从上面三个小题可以发现,底数都为10的幂相乘后的结果底数仍为10,指数为两个同底的幂的指数和.
[师]很好!底数不同10的同底的幂相乘后的结果如何呢?接着我们来利用幂的意义分析第(4)小题.
[生](4)2m×2n
= ×
=2m+n
( )m×( )n
= ×
=( )m+n
我们可以发现底数相同的幂相乘的结果的底数和原来底数相同,指数是原来两个幂的指数的和.
2.议一议
出示投影片(§1.3 C)
am•an等于什么(m,n都是正整数)?为什么?
[师生共析]am•an表示同底的幂的乘法,根据幂的意义,可得
am•an= •
= =am+n
即有am•an=am+n(m,n都是正整数)
用语言来描述此性质,即为:
同底数幂相乘,底数不变,指数相加.
[师]同学们不妨再来深思,为什么同底数幂相乘,底数不变,指数相加呢?即为什么am•an=am+n呢?
[生]am表示m个a相乘,an表示n个a相乘,am•an表示m个a相乘再乘以n个a相乘,即有(m+n)个a相乘,根据乘方的意义可得am•an=am+n.
[师]也就是说同底数幂相乘,底数不变,指数要降低一级运算,变为相加.
Ⅲ.例题讲解
[例1]计算:
(1)(-3)7×(-3)6;(2)( )3×( );
(3)-x3•x5;(4)b2m•b2m+1.
[例2]用同底数幂乘法的性质计算投影片(§1.3 A)中的问题1和问题2.
[师]我们先来看例1中的四个小题,是不是都能用同底数幂的乘法的性质呢?
[生](1)、(2)、(4)都能直接用同底数幂乘法的性质——底数不变,指数相加.
[生](3)也能用同底数幂乘法的性质.因为-x3•x5中的-x3相当于(-1)×x3,也就是说-x3的底数是x,x5的底数也为x,只要利用乘法结合律即可得出.
[师]下面我就叫四个同学板演.
[生]解:(1)(-3)7×(-3)6=(-3)7+6=(-3)13;
(2)( )3×( )=( )3+1=( )4;
(3)-x3•x5=[(-1)×x3]•x5=(-1)[x3•x5]=-x8;
(4)b2m•b2m+1=b2m+2m+1=b4m+1.
[师]我们接下来看例2.
[生]问题1中地球距离太阳大约为:
3×105×5×102
=15×107
=1.5×108(千米)
据测算,飞行这么远的距离,一架喷气式客机大约要20年.
问题2中比邻星与地球的距离约为:
3×105×3×107×4.22=37.98×1012=3.798×1013(千米)
想一想:am•an•ap等于什么?
[生]am•an•ap=(am•an)•ap=am+n•ap=am+n+p;
[生]am•an•ap=am•(an•ap)=am•an+p=am+n+p;
[生]am•an•ap= • • =am+n+p.
Ⅳ.练习
1.随堂练习(课本P14):计算
(1)52×57;(2)7×73×72;(3)-x2•x3;(4)(-c)3•(-c)m.
解:(1)52×57=59;
(2)7×73×72=71+3+2=76;
(3)-x2•x3=-(x2•x3)=-x5;
(4)(-c)3•(-c)m=(-c)3+m.
2.补充练习:判断(正确的打“√”,错误的打“×”)
(1)x3•x5=x15 ( )
(2)x•x3=x3 ( )
(3)x3+x5=x8 ( )
(4)x2•x2=2x4 ( )
(5)(-x)2•(-x)3=(-x)5=-x5 ( )
(6)a3•a2-a2•a3=0 ( )
(7)a3•b5=(ab)8 ( )
(8)y7+y7=y14 ( )
解:(1)×.因为x3•x5是同底数幂的乘法,运算性质应是底数不变,指数相加,即x3•x5=x8.
(2)×.x•x3也是同底数幂的乘法,但切记x的指数是1,不是0,因此x•x3=x1+3=x4.
(3)×.x3+x5不是同底数幂的乘法,因此不能用同底数幂乘法的性质进行运算,同时x3+x5是两个单项式相加,x3和x5不是同类项,因此x3+x5不能再进行运算.
(4)×.x2•x2是同底数幂的乘法,直接用运算性质应为x2•x2=x2+2=x4.
(5)√.
(6)√.因为a3•a2-a2•a3=a5-a5=0.
(7)×.a3•b5中a3与b5这两个幂的底数不相同.
(8)×.y7+y7是整式的加法且y7与y7是同类项,因此应用合并同类项法则,得出y7+y7=2y7.
Ⅴ.课时小结
[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质,请同学们谈一下有何新的收获和体会呢?
[生]在探索同底数幂乘法的性质时,进一步体会了幂的意义.了解了同底数幂乘法的运算性质.
[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变,指数相加.应用这个性质时,我觉得应注意两点:一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质;二是运用这个性质计算时一定是底数不变,指数相加.即am•an=am+n(m、n是正整数).
Ⅵ.课后作业
课本习题1.4 第1、2、3题
Ⅶ.活动与探究
§1.3 同底数幂的乘法
一、提出问题:地球到太阳的距离为15×(105×102)千米,如何计算105×102.
二、结合幂的运算性质,推出同底数幂乘法的运算性质.
(1)105×102=(10×10×10×10×10)×(10×10)=107=105+2;
(2)105×108= × =1013=105+8;
(3)10m×10n= × =10m+n;
(4)2m×2n= × =2m+n;
(5)( )m×( )n= × =( )m+n;
综上所述,可得
am•an= × =am+n
(其中m、n为正整数)
三、例题:(由学生板演,教师和学生共同讲评)
四、练习:(分组完成)
●备课资料
一、参考例题
[例1]计算:
(1)(-a)2•(-a)3 (2)a5•a2•a
分析:(1)中的两个幂的底数都是-a;(2)中三个幂的底数都是a.根据同底数幂的乘法的运算性质:底数不变,指数相加.
解:(1)(-a)2•(-a)3
=(-a)2+3=(-a)5
=-a5.
(2)a5•a2•a=a5+2+1=a8
评注:(2)中的“a”的指数为1,而不是0.
[例2]计算:
(1)a3•(-a)4
(2)-b2•(-b)2•(-b)3
分析:底数的符号不同,要把它们的底数化成同底的形式再运算,运算过程中要注意符号.
解:(1)a3•(-a)4=a3•a4=a3+4=a7;
(2)-b2•(-b)2•(-b)3
=-b2•b2•(-b3)
=b2•b2•b3=b7.
评注:(1)中的(-a)4必须先化为a4,才可运用同底数幂的乘法性质计算;(2)中-b2和(-b)2不相同,-b2表示b2的相反数,底数为b,而不是-b,(-b)2表示-b的平方,它的底数是-b,且(-b)2=(+b)2,所以(-b)2=b2,而(-b)3=-b3.
[例3]计算:
(1)(2a+b)2n+1•(2a+b)3•(2a+b)m-1
(2)(x-y)2(y-x)3
分析:分别把(2a+b),(x-y)看成一个整体,(1)是三个同底数幂相乘;(2)中底不相同,可把(x-y)2化为(y-x)2或把(y-x)3化为-(x-y)3,使底相同后运算.
解:(1)(2a+b)2n+1•(2a+b)3•(2a+b)m-1
=(2a+b)2n+1+3+m-1
=(2a+b)2n+m+3
(2)解法一:(x-y)2•(y-x)3
=(y-x)2•(y-x)3
=(y-x)5
解法二:(x-y)2•(y-x)3
=-(x-y)2(x-y)3
=-(x-y)5
评注:(2)中的两个幂必须化为同底再运算,采用两种化同底的方法运算得到的结果是相同的.
[例4]计算:
(1)x3•x3 (2)a6+a6 (3)a•a4
分析:运用幂的运算性质进行运算时,常会出现如下错误:am•an=amn,am+an=am+n.例如(1)易错解为x3•x3=x9;(2)易错解为a6+a6=a12;(3)易错解为a•a4=a4,而(1)中3和3应相加;(2)是合并同类项;(3)也是易忽略的地方,把a的指数1看成0.
解:(1)x3•x3=x3+3=x6;(2)a6+a6=2a6;(3)a•a4=a1+4=a5
二、在同底数幂的乘法常用的几种恒等变形.
(a-b)=-(b-a)
(a-b)2=(b-a)2
(a-b)3=-(b-a)3
(a-b)2n-1=-(b-a)2n-1(n为正整数)
(a-b)2n=(b-a)2n(n为正整数)
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