人教版七年级数学下册《8.2 消元》教学设计PPT课件导学案教案

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人教版七年级数学下册《8.2 消元》教学设计PPT课件导学案教案
课题： 8.2 消元（1）
教学目标 1、使学生学会用代人消元法解二元一次方程组；
2、理解代人消元法的基本思想体现的化未知为已知的化归思想方法；
3、逐步渗透矛盾转化的唯物主义思想．
教学难点 代入消元法的基本思想。
知识重点 用代入法解二元一次方程组。
教学过程（师生活动） 设计理念
创设情境
引入课题 播放学生篮球赛录像剪辑．
体育节要到了．篮球是初一(1）班的拳头项目．为了取得好名次，他们想在全部22场比赛中得到40分．已知每场比赛都要分出胜负，胜队得2分，负队得1分．那么初一(1)班应该胜、负各几场？
你会用二元一次方程组解决这个问题吗？
根据问题中的等量关系设胜x场，负y场，可以更容易地列出方程．
   
    那么有哪些方法可以求得二元一次方程组的解呢？    问题情境是学生喜闻乐见的体育活动，增强求知欲，对所学知识产生亲切感。
探究新知 1、 引导：什么是二元一次方程组的解？（方程组中各个方程的公共解）
满足方程①的解有：
， ， ， ,
满足方程②的解有：
， ， ， …
这两个方程的公共解是
2、师：这个问题能用一元一次方程来解决吗？
   学生思考并列出式子．
   设胜x场，负(22－x)场，解方程
   2x＋(22－x) =40 ③
   解法略．
   观察：上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？
   若学生还是感到困难，教师可通过提问进一步引导．
  （1）在一元一次方程解法中，列方程时所用的等量关系是什么？
  （2）方程组中方程②所表示的等量关系是什么？
  （3）方程②与③的等量关系相同，那么它们的区别在哪里？
  （4）怎样使方程②中含有的两个未知数变为只含有一个未知数呢？
   结合学生的回答，教师做出讲解．
   由方程①进行移项得y=22－x,
   由于方程②中的y与方程①中的y都表示负的场数，故可以把方程②中的y用(22-劝来代换，
   即得2x+（22－x) =40.由此一来，二元化为一元了．
   解得x=18.
   问题解完了吗？怎样求y
   将x=18代入方程y=22－x，得y=4.
   能代入原方程组中的方程①②来求y吗？代入哪个方程更简便？
  这样，二元一次方程组的解是
   归纳：这种通过代入消去一个未知数，使二元方程转化为一元方程，从而方程组得以求解的方法叫做代入消元法，简称代入法．（板书课题）

可以采用观察与估算的方法．但很麻烦，故引发学生产生寻找新方法的需求．

  以退为进的思想．
   

重视知识的发生过程，让学生了解代入消元法解二元一次方程组的过程及依据．体会未知向已知，陌生向熟悉转化这一重要思想—化归思想．
巩固新知 例1 用代入法解方程组

本题较简单，直接由学生板演，师生共同评价．
    解：把①代入②，得
    3（y＋3）-8y＝14
    所以y=－1
    把y=－1代人①，得x=2.
  所以
    解后反思．教师引导学生思考下列问题：
    (1）选择哪个方程代人另一方程？其目的是什么？
    (2)为什么能代？
    (3）只求出一个未知数的值，方程组解完了吗？
    (4)把已求出的未知数的值，代入哪个方程来求另一个未知数的值较简便？
    (5)怎样知道你运算的结果是否正确呢？
    （与解一元一次方程一样，需检验．其方法是将求得的一对未知数的值分别代入原方程组里的每一个方程中，看看方程的左、右两边是否相等．检验可以口算，也可以在草稿纸上验算）
    例2（为例1的变式）解方程组
        
    分析：
    (1)从方程的结构来看：例2与例1有什么不同？
    例1是用x=y＋3直接代人②的．而例2的两个方程都不具备这样的条件都不能直接代入另一条方程．
    (2)如何变形？
    把一个方程变形为用含x的式子表示y（或含y的式子表示x）．
    (3)那么选用哪个方程变形较简便呢？
    通过观察，发现方程①中y的系数为－1，因此，可先将方程①变形，用含x的代数式表示y，再代入方程②求解．
  解：由①得，y= ，③
把③代人②，得（问：能否代入①中？）
  3x－8（ ）=14，
    所以－x=－10,
          x=10.
    （问：本题解完了吗？把y=37代入哪个方程求x较简单？）
    把x=10代入③，得
    y=
    所以y=2
    所以
    （本题可由一名学生口述，教师板书完成） 例1改编自教材105页例
1， 暂时省略了“用含一个未知数的式子去表示另一未知数”这一步骤，而将其放在例2中介绍，这样处理降低了难度，利于分阶段达成本课的知识目标．本例的重点在于让学生掌握代入法的基本步骤．


例2进一步巩固代入法的步骤．重点在于说明解二元一次方程组的一些技巧问题，主要表现在如何选择一个方程，如何用含一个未知数的式子去表示另一未知数．
小结与作业
小结提高 合作交流：你从上面的学习中体会到代人法的基本思路是什么？主要步骤有哪些呢？与你的同伴交流．
学生畅所欲言，互相补充，小组派中心发言人进行总结发言．最后，由老师出示幻灯片．
代入法的实质是消元，使两个未知数转化为一个未知数一般步骤为：
①从方程组中选一个未知数系数比较简单的方程．将这个方程中的一个未知数，例如y，用含x的式子表示出来，也就是化成y=ax＋b的形式；
②将y=ax＋b代人方程组中的另一个方程中，消去y,得到关于二的一元一次方程；
③解这个一元一次方程，求出x的值；
④把求得的x值代人方程y=ax＋b中，求出y的值，再写出方程组解的形式；
⑤检验得到的解是不是原方程组的解．这一步不是完全必要的，若能肯定解题无误，这一点可以省略。 及时梳理知识，形成模—用代入法解二元一次方程一般步骤。
反馈练习 1、 教材105页1.（补充：再改写成用含y的式表示x）
2、 教材105页练习2用代入法解方程组
3、 教材107页3应用题

布置作业 1、必做题：教科书111页习题8.2第1题，112页习题
2第2(1)(2)题．
2、选做题：教科书112页习题8.2第6题．
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
    代入消元法体现了数学学习中“化未知为已知”的化归思想方法，化归的原则就是将不熟悉的问题化归为比较熟悉的问题，从而充分调动已有的知识和经验，用于解决新问题．基于这点认识，本课按照“身边的数学问题引入—寻求一元一次方程的解法—探索二元一次方程组的代入消元法—典型例题—归纳代入法的一般步骤”的思路进行设计．在教学过程中，充分调动学生的主观能动性和发挥教师的主导作用，坚持启发式教学．教师创设有趣的情境，引发学生自觉参与学习活动的积极性，使知识发现过程融于有趣的活动中．重视知识的发生过程．将设未知数列一元一次方程的求解过程与二元一次方程组相比较，从而得到二元一次方程组的代入（消元）解法，这种比较，可使学生在复习旧知识的同时，使新知识得以掌握，这对于学生体会新知识的产生和形成过程是十分重要的．

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课题： 8.2 消元（2）
教学目标        1、使学生熟练地掌握用代人法解二元一次方程组；
2、使学生进一步理解代人消元法所体现出的化归意识；
3、体会方程是刻画现实世界的有效数学模型．
教学难点        进一步理解在用代入消元法解方程组时所体现的化归意识。
知识重点        学会用代入法解未知数系数的绝对值不为1的二元一次方程组。
教学过程（师生活动）        设计理念
创设活动        1、        请你编一个能用代人法求解的二元一次方程组，考考你的同桌，看看他是否掌握了．


2、结合你的解答，回顾用代人消元法解方程组的一般步骤．          本课是对代入消元法的巩固和深化，设置活动目的在于帮助学生迅速再现以往的知识经验，起到承上启下的作用。
探究新知        1、探索分析问题：
    教材105页例2：根据市场调查，某种消毒液的大瓶装(500g)和小瓶装(250 g)两种产品的销售数量比（按瓶计算）为2：5.某厂每天生产这种消毒液22.5吨，这些消毒液应该分装大、小瓶装两种产品各多少瓶？
    学生独立分析，列出方程组，全班交流．
    解：设这些消毒液应分装x大瓶和y小瓶，则
     
2、引导学生思考：
   问题1：此方程与我们前面遇到的二元一次方程组有什么区别？
  （两个方程里的两个未知数系数的绝对值均不为1）
   问题2：能用代入法来解吗？
   问题3：选择哪个方程进行变形？消去哪个未知数？
在师生对话交流中，完成本题的板书示范．
3、解后反思：
  （1）如何用代入法处理两个未知数系数的绝对值均不为1的二元一次方程组？
（2）列二元一次方程组解应用题的关键是：找出两个等量关系。
(3)列二元一次方程组解应用题的一般步骤分为：审、
设、列、解、检、答．       






这里的反思突出了本课的重点，既帮助学生进一步完善代入法解题的步骤，又渗透解决实际问题的程序化思想。
巩固新知        练习1：用代入法解下列方程组．
（1）
（2）
    两名学生演示，老师巡视，着重讲评第(2)小题．
    第(2)题大多数同学的方法是：
  由①得：x=  ③ 把③代入②，…
这种方法计算量较大，容易出错．提出疑问：“是否还有更好的解答方法？通过自主探究后发现
由①得，6y=13-5x  ④，把④代人②解得，
x=5，把x=5代入④解得：y=－2
∴
    解后反思：
    1、把6y看作一个整体，代入消元，使解方程变得简单许多．
    2、拿到方程，要善于观察结构特点，不急于动笔．
   
练习2.分层练习：
    学生必须先尝试完成B层练习，如果有困难，那么可以先完成A层练习后再做B层练习，顺利完成B层的同学可以尝试完成C层练习．
    A层：
1.将二元一次方程5x＋2y=3化成用含有x的式子表示y的形式是y=      ；化成用含有y的式子表示x的形式是x=       。
2．已知方程组： ,指出下列方法中比较简捷的解法是（   ）
A.利用①，用含x的式子表示y，再代入②；
B利用①，用含y的式子表示x，再代入②；
C.利用②，用含x的式子表示y,再代入①；
D.利用②，用含x的式子表示x，再代人①;

B组
3、用代入法解方程组：
（1）   （2）
   C组
4、解方程组：

5、已知方程组 的解为 ，求a、b
练习3：实践活动
请你根据方程组 编一道符合实际的应用题。        整体代入无代入法的一种重要技巧，它实质就是换元的思想．若学生仍感困惑也可用新未知数去替换原来视为整体的那一部分．


这里安排分层次练习，让学生根据自身的需要自由选择不同的题目，在自我挑战中获得成就感教师根据实际情况，对不同的学生进行有针对性的指导，使不同的学生都有发展．这符合新课标的新理念：不同的人在数学上都能获得不同的发展.
         

小结与作业       
小结提高        1、这节课你学到了哪些知识和方法？
比如：①对于用代入法解未知数系数的绝对值不是1的二元一次方程组，解题时，应选择未知数的系数绝对值比较小的一个方程进行变形，这样可使运算简便．②列方程解应用题的方法与步骤．③整体代入法等．
2、你还有什么问题或想法需要和大家交流？        让学生更加明确本节课的知识点，达到查漏补缺的目的。
布置作业        1、        做题：教科书112页习题8.2第2（3）（4）题，第4题。
2、        选做题：教科书107页练习。
3、        备选题：
（1）        解方程组
（2）        利用你学会的整体代入法解下面的方程组：
  
（3）小明外婆送来一篮鸡蛋．这篮鸡蛋最多只能装55只左右．小明3只一数，结果剩下1只，但忘了数多少次，只好重数．他5只一数，结果剩下2只，可又忘了数多少次．他准备再数时，妈妈笑着说：“不用数了，共有52只．”小明惊讶地问妈妈怎么知道的．妈妈笑而不答．同学们，你们知道这是为什么吗？        不同层次的学生根据自身的需要选择不同的备用题，达到因材施教的目的。
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
    代入法解二元一次方程组是一项重要的数学基本技能．它需要通过一定的训练才能达到熟练、准确的程度．而学生最反感的就是机械的训练．本课设计充分考虑到这点，因而使练习呈现形式的多样化．比如自编考题、分层练习、实践活动等不时地给学生以新鲜感，而无重复枯燥之感．
    学习数学，要不断归纳总结才能事半功倍，借以提高技能，提高才智．代入消元法的消元思想体现了数学学习中“化未知为已知”的化归思想方法，它是极重要的数学思想法．因此本课在练习结束后，都及时安排反思，加强化归思想的总结和提炼，这对于提高学生的能力，发展学生的思维极有好处．

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课题： 8.2 消元（3）
教学目标        1、掌握用加减法解二元一次方程组；
2、使学生理解加减消元法所体现的“化未知为已知”的化归思想方法；
3、体验数学学习的乐趣，在探索过程中品尝成功的喜悦，树立学好数学的信心．
教学难点        用“加减法“解二元一次方程组。
知识重点        学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组。
教学过程（师生活动）        设计理念
创设情境        王老师昨天在水果批发市场买了2千克苹果和4千克梨共花了14元，李老师以同样的价格买了2千克苹果和3千克梨共花了12元，梨每千克的售价是多少？比一比看谁求得快．
最简便的方法：抵消掉相同部分，王老师比李老师多买了1千克的梨，多花了2元，故梨每千克的售价为2元．           问题解决过程中蕴含了朴素的加减消元的思想．反映出，科学的每一次进步，都可以在实
际的实戏活动中找到依据．
探究新知        1、        解方程组   
（由学生自主探究，并给出不同的解法）
解法一由①得：x= y代人方程②，消去x.
解法二：把2x看作一个整体，由①得2z=－1－3y,代入方程②，消去2x.
肯定两解法正确，并由学生比较两种方法的优劣．解法二整体代入更简便，准确率更高．
有没有更简洁的解法呢？教师可做以下启发：
问题1.观察上述方程组，未知数z的系数有什么点？（相等）
问题2.除了代入消元，你还有别的办法消去x吗？
（两个方程的两边分别对应相减，就可消去x，得到一个一元一次方程．）
解法三：①－②得：8y=－8,所以y=－1
    Y=－1代人①或②，得到x=1
  所以原方程组的解为
2、变式一  
    启发：
问题1.观察上述方程组，未知数x的系数有什么特点？（互为相反数）
问题2.除了代人消元，你还有别的办法消去x吗？
（两个方程的两边分别对应相加，就可消去x，得到一个一元一次方程．）
解后反思：从上面的解答过程来看，对某些二元一次方程组可通过两个方程两边分别相加或相减，消去其中一个未知数，得到一个一元一次方程，从而求出它的解．这种解二元一次方程组的方法叫做加减消元法，简称加减法．
想一想：能用加减消元法解二元一次方程组的前提是什么？
两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等.
3、变式二：  
观察：本例可以用加减消元法来做吗？
必要时作启发引导：
问题1.这两个方程直接相加减能消去未知数吗？为什么？
   问题2.那么怎样使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？
启发学生仔细观察方程组的结构特点，发现x的系数成整数倍数关系．
因此：②×2，得4x－10y=14③
    由①－③即可消去x，从而使问题得解．
      （追问：③－①可以吗？怎样更好？）
4、变式三：  
想一想：本例题可以用加减消元法来做吗？
    让学生独立思考，怎样变形才能使方程组中某一未知数系数的绝对值相等呢？
    分析得出解题方法：
    解法1：通过由①×3，②×2，使关于x的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．
    解法2：通过由①×5，②×3，使关于y的系数绝对值相等，从而可用加减法解得．
    怎样更好呢？
    通过对比，使学生自己总结出应选择方程组中同一未知数系数绝对值的最小公倍数较小的未知数消元．
    解后反思：用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组时，把一个（或两个）方程的两边乘以适当的数，使两个方程中某一未知数的系数绝对值相等，从而化为第一类型方程组求解．       

使学生进一步巩固用“代入法”解二元一次方程组，并在体会“代入法＂存在不足的同时，感受用“加减法”解二元一次方程组的优越性，并掌握“加减法”．









变式的意义在于从“减“的情形自然地过渡到”加“的情形，浑然一体。









例题及变式一解决用了加减法解某一未知数的系数的绝对值相等的二元一次方程组的问题。





变式二解决用加减法解某一未知数的系数成整数倍数关系的二元一次方程组。










变式三的设置目的是引导学生学会用加减法解同一个未知数的系数绝对值不相等，且不成整数倍的二元一次方程组．这是本课的难点．通过三个变式，搭建了降低难度的阶梯．

巩固新知        练习1：教科书第111页练习第1题
练习2：自行设计一些错题让学生判断。          收集学生的易错点，让学业生在改错中，自我诊断。
小结与作业       
小结提高        回顾：用加减法解二元一次方程组的基本思想是什么？
    这种方法的适用条件是什么？步骤又是怎样的？        引导学生思考、交流、梳理所学知识，培养学生的理性思维能力和良好的口头表达能力．
布置作业        4、        做题：教科书112页习题8.2第3题。
5、        选做题：教科书112页习题8.2第6题。       
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
    在学习加减法解题之前，学生们已经知道了代人法解二元一次方程组的核心是代人“消
元”，以使二元方程转化为一元方程求解．因此本节课例1的提出既是对代人法的复习，又是
加减法的探索．同时，也通过一题多解培养学生开放性思维．
    解题方法应由学生自己去探索、发现，只有自己探索出来的，才是属于自己的，印象也就最深刻．本课设计没有直接告诉学生加减法解题的过程，而是通过引导学生观察不同方程组的结构特点，比较不同解法的优劣，自己探索发现解题的技巧．这样使学生在积极参与的学习中不仅能感受到学习的乐趣，更重要的是在这种积极求索的学习中，品尝到了成功的喜悦，促使其能力得到充分的发挥、提高．
    思维发散，是培养创新思维的基础．透彻理解一个题，胜过盲目的多个演练题．本课设计采用变式教学，充分利用一道例题，由浅人深，不断地注人新元素，不时地给学生以新鲜感，避免了频繁地更换例题带给学生的枯燥与疲惫感，并且使整堂课节奏紧凑，一气呵成．的消元思想体现了数学学习中“化未知为已知”的化归思想方法，它是极重要的数学思想法．因此本课在练习结束后，都及时安排反思，加强化归思想的总结和提炼，这对于提高学生的能力，发展学生的思维极有好处．

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课题： 8.2 消元（4）
教学目标        1、熟练掌握加减消元法；
2、能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组，
3、通过分析实际问题中的数量关系，建立方程解决问题，进一步认识方程模型的重要性．
教学难点        教材中例4的数量关系较复杂，是本课的难点。
知识重点        能根据方程组的特点选择合适的方法解方程组。
教学过程（师生活动）        设计理念
创设情境        1、        复习提问
解二元一次方程组有哪几种方法？它们的实质是什么？


2、播放动画《西游记》场景，配数学诗．
    悟空顺风探妖踪，千里只行四分钟．
    归时四分行六百，风速多少才称雄？
    请一名学生解释诗歌大意：孙悟空顺风去查妖精的行踪，仅用4分钟就飞跃千里．逆风返回时4分钟走了600里，问风速是多少？
    学生思考，根据题中等量关系，列出方程．
    设悟空行走速度为x里／分，风速为y里／分，则
   
    你会解这个方程组吗？         引例生动活波，激发学生的探究欲望，让学生在看、听、想的过程中愉悦地获得数学知识．
探究新知        学生独立完成后．在班级里交流解法．
解法一：①＋②，消去y，得8x=1600
∴ x=200，代人①，得y=50
原方程组的解为
解法二：①－②，消去x。以下略．
解法三：整体代入．由①得：4x=1000－4y，代入②，消去x.
同理，也可消去y.
解法四：化简原方程组为 ,再利用加减消元，或代入消元均可．
反思：试着从各个角度比较“代入法”与“加减法”的共同点与不同点．（同学间相互交流）它们各适用于什么情况？
在学生回答的基础上，教师指出：当方程组中某一个未知数的系数绝对值是1或一个方程的常数项为零时，用代入法较方便；当两个方程中，同一个未知数的系数绝对值相等或成整倍数时，用加减法较方便．
练习1：根据方程组的特点选择更适合它的解法．你会怎样解呢？（第1，2小题完成后再出示第3小题．）
（1）   （2）
（3）
第1小题用代入法，第2小题用加减法，都很明确，第3小题有争议．全班分成两部分．1、2大组用代入法做，3、4大组用加减法做．比较两解法的简便程度．
反思：当方程组中任一个未知数的系数绝对值不是1，且不成倍数关系时，一般经过变形利用加减法会使解法更简单．        尝试不同的解法，培养学生的发散性思维和择优意识。







解二元一次方程组不管采用哪种方法，都可以获得它的解，但根据题目形式的特点，选择不同的方法可以减少弯路，加快速度使解题过程简洁提高正确率．
实际应用        教材第109页例4.
    2台大收割机和5台小收割机工作2小时收割小麦
3．6公顷，3台大收割机和2台小收割机工作5小时收割小麦8公顷，问：1台大收割机和1台小收割机1小时各收割小麦多少公顷？
    分析：
    问题1．列二元一次方程组解应用题的关键是什么？
  （找出两个等量关系）
   问题2.你能找出本题的等量关系吗？
   2台大收割机2小时的工作量＋5台小收割机2小时的工作量=3.6
    3台大收割机5小时的工作量＋2台小收割机5小时的工作量=8
    问题3.怎么表示2台大收割机2小时的工作量呢？
    设1台大收割机1小时收割小麦x公顷，则
    2台大收割机1小时收割小麦＿公顷，
    2台大收割机2小时收割小麦＿公顷．
    现在你能列出方程了吗？
    解后反思：应用题中，如何化解较复杂数量关系？
    练习2：教科书第111页练习第3题应用题．          体会方程是刻画现实世界的有效数学模型。
小结与作业       
小结提高        在学生畅所欲言话收获的基础上，通过老师进行补充的方式进行。
本节课学习了哪些内容？你有哪些收获？       
布置作业        6、        做题：教科书112页习题8.2第5、7题。
7、        选做题：教科书112页习题8.2第8题。       
本课教育评注（课堂设计理念，实际教学效果及改进设想）
   1、能根据教材编写思路，遵循学生的心理特点，创造性使用新教材中的问题情境（引入与111页练习3属同种数学模型），把教材中不动的问题情境转化为动的问题情境．
   2、真正把课堂还给了学生，使学生真正地变为课堂学习的主人，老师只是学生学习的引导者和组织者．由于学生的个体差异，思维方式的不同，为了给学生创造个性化的学习空间，鼓励学生们用自己的方式去学习，把学习的主动权还给他们，让他们自己去探究不同的解题方法．通过例题分析、启发提问、集体讨论等形式，使学生能准确而迅速地确定解题方法从而突出了本课的重点、难点—选择适当方法求解二元一次方程组．