湘教版九年级数学下册全册教案设计导学案（毕业班）

admin

B、只有一个交点 C、只有两个交点 D、至少有一个交点
19．二次函数 有（ ）
A、最大值1 B、最大值2 C、最小值1 D、最小值2
20．在同一坐标系中，作函数 ， ， 的图象，它们的共同特点是
（D ）
A、都是关于x轴对称，抛物线开口向上
B、都是关于y轴对称，抛物线开口向下
C、都是关于原点对称，抛物线的顶点都是原点
D、都是关于y轴对称，抛物线的顶点都是原点
21．已知二次函数 的图象和x轴有交点，则k的取值范围是 （ ）
A、 B、 且
C、 D、 且
22．二次函数 的图象可由 的图象 （ ）
A．向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到
B．向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到
C．向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到
D．向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到
23．某旅社有100张床位，每床每晚收费10元时，客床可全部租出．若每床每晚收费提高2元，则减少10张床位租出；若每床每晚收费再提高2元，则再减少10张床位租出．以每次提高2元的这种方法变化下去．为了投资少而获利大，每床每晚应提高 （ ）
A、4元或6元 B、4元 C、6元 D、8元
24．若抛物线 的所有点都在x轴下方，则必有 （ ）
A、 B、
C、 D、
25．抛物线 的顶点关于原点对称的点的坐标是 （ ）
A、（-1，3） B、（-1，-3） C、（1，3） D、（1，-3）
三、解答题
26．已知二次函数 ．
（1）写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大或最小值；
（2）求抛物线与x轴、y轴的交点；
（3）作出函数图象的草图；
（4）观察图象，x为何值时，y＞0；x为何值时，y= 0；x为何值时，y＜0？
27．已知抛物线过（0，1）、（1，0）、（-1，1）三点，求它的函数关系式．
28．已知二次函数，当x=2时，y有最大值5，且其图象经过点（8，-22），求此二次函数的函数关系式．
29．已知二次函数的图象与x轴交于A（-2，0），B（3，0）两点，且函数有最大值2．
（1）求二次函数的函数关系式；
（2）设此二次函数图象的顶点为P，求⊿ABP的面积．
30．利用函数的图象，求下列方程（组）的解：
（1） ；  （2） ．
31．某商场以每件30元的价格购进一种商品，试销中发现，这种商品每天的销售量m（件）与每件的销售价x（元）满足一次函数：m=162-3x．
（1）写出商场卖这种商品每天的销售利润y与每件的销售价x间的函数关系式；
（2）如果商场要想每天获得最大的销售利润，每件商品的售价定为多少最合适？最大销售利润为多少？
B组
一、选择题
32．若所求的二次函数的图象与抛物线 有相同的顶点，并且在对称轴的左侧，y随x的增大而增大；在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，则所求二次函数的函数关系式为 （ D ）
A、 B、
C、 D、
33．二次函数 ，当x=1时，函数y有最大值，设 ，（ 是这个函数图象上的两点，且 ，则 （ ）
A、 B、
C、 D、
34．若关于x的不等式组 无解，则二次函数 的图象与x轴 （ ）
A、没有交点 B、相交于两点
C、相交于一点 D、相交于一点或没有交点
二、解答题
35．若抛物线 的顶点在x轴的下方，求m的值．
36．把抛物线 的图象向左平移3个单位，再向下平移2个单位，所得图象的解析式是 ，求m、n．
37．如图，已知抛物线 ，与x轴交于A、B，且点A在x轴正半轴上，点B在x轴负半轴上，OA=OB，
（1）求m的值；
（2）求抛物线关系式，并写出对称轴和顶点C的坐标．
38．有一个二次函数的图象，三位学生分别说出了它的一些特点：
甲：对称轴是直线x=4；
乙：与x轴两个交点的横坐标都是整数；
丙：与y轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为3．
请写出满足上述全部特点的一个二次函数的关系式．
C组
解答题
39．如图，已知二次函数 ，当x=3时，
有最大值4．
（1）求m、n的值；
（2）设这个二次函数的图象与x轴的交点是A、B，
求A、B点的坐标；
（3）当y＜0时，求x的取值范围；
（4）有一圆经过A、B，且与y轴的正半轴相切于点C，
求C点坐标．
40．阅读下面的文字后，解答问题．
有这样一道题目：“已知二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点A(0,a) 、B(1,-2)、 、 ，求证：这个二次函数图象的对称轴是直线x=2．”题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字．
（1）根据现有信息，你能否求出题目中二次函数的解析式? 若能，写出求解过程，若不能请说明理由；
（2）请你根据已有信息，在原题中的矩形框内，填上一个适当的条件，把原题补充完整．
41．已知开口向下的抛物线 与x轴交于两点A（ ，0）、B（ ，0），其中 ＜ ，P为顶点，∠APB=90°，若 、 是方程 的两个根，且 ．
（1）求A、B两点的坐标；
（2）求抛物线的函数关系式．
42．已知二次函数 的图象如图所示．
（1）当m≠-4时，说明这个二次函数的图象与x轴必有两个交点；
（2）求m的取值范围；
（3）在（2）的情况下，若 ，求C点坐标；
（4）求A、B两点间的距离；
（5）求⊿ABC的面积S．

第二章 自我检测题
（时间45分钟，满分100分）
一、精心选一选（每题4分，共20分）
1．抛物线 的顶点坐标是 （ ）
A、（2，0） B、（-2，0） C、（1，-3） D、（0，-4）
2．若（2，5）、（4，5）是抛物线 上的两个点，则它的对称轴是 （ ）
A、 B、 C、 D、
3．已知反比例函数 ，当x＜0时，y随x的增大而减小，则函数 的图象经过的象限是 （ ）
A、第三、四象限 B、第一、二象限
C、第二、三、四象限 D、第一、二、三象限
4．抛物线 与x轴的两个交点为（-1，0），（3，0），其形状与抛物线 相同，则 的函数关系式为 （ ）
A、 B、
C、 D、
5．把抛物线 向左平移2个单位，再向上平移3个单位，得到抛物线 ，则 （ ）
A、b=2，c= -2 B、b= -6，c=6 C、b= -8，c=14 D、b= -8，c=18
二、细心填一填（每空3分，共45分）
6．若 是二次函数，则m= 。
7．二次函数 的开口 ，对称轴是 。
8．抛物线 的最低点坐标是 ，当x 时，y随x的增大而增大。
9．已知二次函数 的图象经过点（1，-1），则这个二次函数的关系式为 ，它与x轴的交点的个数为 个。
10．若y与 成正比例，当x=2时，y=4，那么当x= -3时，y的值为 。
11．抛物线 与y轴的交点坐标是 ，与x轴的交点坐标是 。
12．有一长方形条幅，长为a m，宽为b m，四周镶上宽度相等的花边，求剩余面积S（m2）与花边宽度x（m）之间的函数关系式为 ，自变量x的取值范围为 。
13．抛物线 与直线 只有一个公共点，则b= 。
14．已知抛物线 与x轴交点的横坐标为 –1，则 = 。
15．已知点A（1，4）和B（2，2），试写出过A、B两点的二次函数的关系式（任写两个）
、 。
三、认真答一答（第17题8分，其余各9分）
16．已知二次函数 的图象经过点（3，2）。
（1）求这个二次函数的关系式；
（2）画出它的图象，并指出图象的顶点坐标；
（3）当x＞0时，求使y≥2的x的取值范围。







17．根据下列条件，求二次函数的关系式：
（1）抛物线经过点（0，3）、（1，0）、（3，0）；
（2）抛物线顶点坐标是（-1，-2），且经过点（1，10）。




18．已知抛物线 与x轴的一个交点为A（-1，0）。
（1）求抛物线与x轴的另一个交点B的坐标；
（2）D是抛物线与y轴的交点，C是抛物线上的一点，且以AB为一底的梯形ABCD的面积为9，求此抛物线的函数关系式。





19．有一种螃蟹，从海上捕获后不放养，最多只能存活两天，如果放养在塘内，可以延长存活时间，但每天也有一定数量的蟹死去，假设放养期内蟹的个体重量基本保持不变。现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹1000千克放养在塘内，此时市场价为每千克30元。据测算，此后每千克活蟹的市场价每天可上升1元，但放养一天需各种费用400元，且平均每天还有10千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价是每千克20元。
（1）设x天后每千克活蟹的市场价为P元，写出P关于x的函数关系式；
（2）如果放养x天后将活蟹一次性出售，并记1000千克蟹的销售总额Q元，写出Q关于x的函数关系式；
（3）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获得最大利润（利润=销售总额－收购成本－费用）？最大利润是多少？



第三章 圆
单元要点分析
教学内容
1．本单元数学的主要内容．
（1）圆有关的概念：垂直于弦的直径，弧、弦、圆心角、圆周角．
（2）与圆有关的位置关系：点和圆的位置关系，直线与圆的位置关系，圆和圆的位置关系．
（3）弧长和扇形面积：弧长和扇形面积，圆锥的侧面积和全面积．
2．本单元在教材中的地位与作用．

admin

学生在学习本章之前，已通过折叠、对称、平移旋转、推理证明等方式认识了许多图形的性质，积累了大量的空间与图形的经验．本章是在学习了这些直线型图形的有关性质的基础上，进一步来探索一种特殊的曲线──圆的有关性质．通过本章的学习，对学生今后继续学习数学，尤其是逐步树立分类讨论的数学思想、归纳的数学思想起着良好的铺垫作用．本章的学习是高中的数学学习，尤其是圆锥曲线的学习的基础性工程．
教学目标
1．知识与技能
（1）了解圆的有关概念，探索并理解垂径定理，探索并认识圆心角、弧、弦之间的相等关系的定理，探索并理解圆周角和圆心角的关系定理．
（2）探索并理解点和圆、直线与圆以及圆与圆的位置关系：了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系，能判定一条直线是否为圆的切线，会过圆上一点画圆的切线．
（3）熟练掌握弧长和扇形面积公式及其它们的应用；理解圆锥的侧面展开图并熟练掌握圆锥的侧面积和全面积的计算．
2．过程与方法
（1）积极引导学生从事观察、测量、平移、旋转、推理证明等活动．了解概念，理解等量关系，掌握定理及公式．
（2）在教学过程中，鼓励学生动手、动口、动脑，并进行同伴之间的交流．
（3）在探索圆周角和圆心角之间的关系的过程中，让学生形成分类讨论的数学思想和归纳的数学思想．
（4）通过平移、旋转等方式，认识直线与圆、圆与圆的位置关系，使学生明确图形在运动变化中的特点和规律，进一步发展学生的推理能力．
（5）探索弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积的计算公式并理解公式的意义、理解算法的意义．
3．情感、态度与价值观
经历探索圆及其相关结论的过程，发展学生的数学思考能力；通过积极引导，帮助学生有意识地积累活动经验，获得成功的体验；利用现实生活和数学中的素材，设计具有挑战性的情景，激发学生求知、探索的欲望．
教学重点
1．平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧及其运用．
2．在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等及其运用．
3．在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半及其运用．
4．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其运用．
5．不在同一直线上的三个点确定一个圆．
6．直线L和⊙O相交 d<r；直线L和圆相切 d=r；直线L和⊙O相离 d>r及其运用．
7．圆的切线垂直于过切点的半径及其运用．
8．经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线并利用它解决一些具体问题．
9．两圆的位置关系：d与r1和r2之间的关系：外离 d>r1+r2；外切 d=r1+r2；相交 │r2-r1│<d<r1+r2；内切 d=│r1-r2│；内含 d<│r2-r1│．
10、n°的圆心角所对的弧长为L= ，n°的圆心角的扇形面积是S扇形= 及其运用这两个公式进行计算．
12．圆锥的侧面积和全面积的计算．
教学难点
1．垂径定理的探索与推导及利用它解决一些实际问题．
2．弧、弦、圆心有的之间互推的有关定理的探索与推导，并运用它解决一些实际问题．
3．有关圆周角的定理的探索及推导及其它的运用．
4．点与圆的位置关系的应用．
5．三点确定一个圆的探索及应用．
6．直线和圆的位置关系的判定及其应用．
7．切线的判定定理与性质定理的运用．
8．圆和圆的位置关系的判定及其运用．
9． n的圆心角所对的弧长L= 及S扇形＝ 的公式的应用．
10．圆锥侧面展开图的理解．
教学关键 1．积极引导学生通过观察、测量、折叠、平移、旋转等数学活动探索定理、性质、“三个”位置关系并推理证明等活动．
2．关注学生思考方式的多样化，注重学生计算能力的培养与提高．
3．在观察、操作和推导活动中，使学生有意识地反思其中的数学思想方法，发展学生有条理的思考能力及语言表达能力．
单元课时划分
本单元教学时间约需13课时，具体分配如下：
3．1 圆 4课时
3．2 点、直线与圆的位置关系，圆的切线 4课时
3．3 圆与圆的位置关系 2课时
3．4 弧长和扇形面积，圆锥的侧面展开图 4课时
3．5 平行投影和中心投影 1课时
3．6 三视图 3课时
教学活动、习题课、小结 3课时



3．1 圆
3．1．1 圆的对称性（第一课时）
教学目标
了解圆的有关概念，理解垂径定理并灵活运用垂径定理及圆的概念解决一些实际问题．
从感受圆在生活中大量存在到圆形及圆的形成过程，讲授圆的有关概念．利用操作几何的方法，理解圆是旋转对称图形和中心对称图形及圆是轴对称图形，过圆心的直线都是它的对称轴．通过复合图形的折叠方法得出猜想垂径定理，并辅以逻辑证明加予理解．
通过对圆的图形的认识，使学生认识新的几何图形的对称美，体会所体现出的完美性，培养学生美的感受，激发学习兴趣．
重难点、关键
1．重点：垂径定理及其运用．
2．难点与关键：探索并证明垂径定理及利用垂径定理解决一些实际问题．
教学过程
Ⅰ．创设现实情境，引入新课
[师]前面我们已经学习过两种常见的几何图形，三角形、四边形．大家回忆一下我们是通过一些什么方法研究了它们的性质？
[师]好！大家总结得很详细，今天我们继续运用这些方法来学习和研究小学已接触过的另一种常见的几何图形——圆．
和三角形、四边形一样，圆的性质与应用同样需要通过轴反射、平移、旋转、推理证明等方法去学习和探究．
Ⅱ．讲授新课
[师]日常生活中同学们经常见到的汽车、摩托车、自行车等一些交通运输工具的车轮是什么形状的？
[师]请同学们思考一个问题，为什么车轮要做成圆形呢？能否做成长方形或正方形？
老师这里有两个车轮模具，一个是圆形，一个是正方形．我们一起观察一下这两个车轮在行进中有些什么特点？大家讨论．
讨论如下图：

[师]通过我们平常乘坐汽车，或骑自行车感受到，圆形的车轮只要路面平整，车子就不会上下颠簸，人坐在车上就感到平稳、舒服．假如车轮是方形的，那么车子在行进中，就会对人产生一种上下颠簸，坐着不舒服的感觉．
下面我们一起来探讨一下，是什么原因导致车轮要做成圆形，不能做成方形．看P83图，A、B表示车轮边缘上的两点，点O表示车轮的轴心，A、O之间的距离与B、O之间的距离有什么关系？用什么方法可以判断，大家动手做一做．
[师]同学们做得很好．大家通过不同的方法，得到的结果是什么？
[生]OA＝OB．
[师]刚才是两个特殊点，现在我们在车轮边缘上任意取一点C，要使车轮能够平稳地滚动，C、O之间的距离与A、O之间的距离应有什么关系？
[生]CO＝AO．这样才能保证车轮平稳地滚动．
[师]同学们以前画过圆，画一个圆很简单．将圆规的一个脚固定，另一个带有铅笔头的脚转一圈，一个圆就画出来了．固定的那一点称为圆心．所画得的圆圈叫圆周．从画圆的过程中可以看到，圆规两个脚之间的长度始终保持不变，也就是说圆心到圆周上任意一点的距离都相等．这是圆的一个重要而又最基本的性质．人们就是用圆的这种性质来制造车轮的，车轴总是安装在车轮的圆心位置上，这样，车轴到车轮边缘的距离处处相等．也就是说，车子在行进中，车轴离路面的距离总是一样的．车子在平路上行走较平稳，假如是方形的，车轴到路面的距离时大时小，车子就会产生颠簸．
2、圆的定义：
平面内到一定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆(circle)．其中，定点称为圆心(Centre of a circle)，定长称为半径(radius)．以点O为圆心的圆记作⊙O，读作“圆O”．
注意：确定一个圆需要两个要素，一是位置，二是大小．圆心确定其位置，半径确定其大小．只有圆心没有半径，虽圆的位置固定，但大小不定，因而圆不确定；只有半径而没有圆心，虽圆的大小固定，但圆心的位置不定，因而圆也不确定．只有圆心和半径都固定，圆才被唯一确定．
问： 1．体育教师想利用一根3m长的绳子在操场上画一个半径为3m的圆，你能帮他想想办法吗？
答：将绳子的一端A固定，然后拉紧绳子的另一端B，并绕A在地上转一圈，B所经过的路径就是所希望的圆．
小结：圆也可以看成平面内一动点绕一个定点旋转一周所形成的图形。
同时，我们又把
①连结圆上任意两点的线段叫做弦，如图线段AC，AB；
②经过圆心的弦叫做直径，如图24-1线段AB；
直径是弦，是圆内最长的弦，但弦不一定是直径．


3、圆的三种对称性
（1）什么是相等的圆（等圆）？
（2）圆有几种对称性？
圆是旋转对称图形，即圆绕圆心旋转任意角度，都能与自身重合。
特别地，圆是中心对称图形，圆心是它的对称中心。
圆是轴对称图形吗？如果是，它的对称轴是什么？你能找到多少条对称轴？
2．你是用什么方法解决上述问题的？与同伴进行交流．
（老师点评）1．圆是轴对称图形，它的对称轴是直径，我能找到无数多条直径．
3．我是利用沿着圆的任意一条直径折叠的方法解决圆的对称轴问题的．
因此，我们可以得到：
圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线，或任意一条直径所在的直线．
（学生活动）请同学按下面要求完成下题：
如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．

（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些线段的等量关系？说一说你理由．
（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．
（2）AM=BM，即直径CD平分弦AB．
这样，我们就得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分这条弦．（用因为、所以的几何语言来表达）

下面我们用逻辑思维给它证明一下：
已知：直径CD、弦AB且CD⊥AB垂足为M
求证：AM=BM.

admin

分析：要证AM=BM，只要证AM、BM构成的两个三角形全等．因此，只要连结OA、OB或AC、BC即可．
证明：如图，连结OA、OB，则OA=OB
在Rt△OAM和Rt△OBM中

∴Rt△OAM≌Rt△OBM
∴AM=BM

进一步，我们还可以得到结论：
平分弦（不是直径）的直径垂直于这条弦．
[师]为什么上述条件要强调“弦不是直径”？
[生]因为圆的任意两条直径互相平分，但是它们不一定是互相垂直的．
[师]我们把上述结论称为垂径定理的一个逆定理．
[师]同学们，你能写出它的证明过程吗？
[生]如上图，连结OA、OB，则OA＝OB．
在等腰△OAB中，∵AM＝MB，
∴CD⊥AB(等腰三角形的三线合一)．
例1．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（点O是圆心，其中CD=600m，E为 上一点，且OE⊥CD，垂足为F，EF=90m，求这段弯路的半径．
分析：例1是垂径定理的应用，解题过程中使用了列方程的方法，这种用代数方法解决几何问题即几何代数解的数学思想方法一定要掌握．
解：如图，连接OC
设弯路的半径为R，则OF=（R-90）m
∵OE⊥CD
∴CF= CD= ×600=300（m）
根据勾股定理，得：OC2=CF2+OF2
即R2=3002+（R-90）2 解得R=545
∴这段弯路的半径为545m．
三、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆的有关概念；
2．圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是它的对称轴．
3．垂径定理以及它们的应用．
四、布置作业
教材P61 1、2、3．

教学后记：




3．1．1 圆的对称性（第二课时）
教学内容
1．圆心角、弧的有关定义．
2．有关弧、弦、圆心角关系的定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
3．定理的推论：在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弦相等．
在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角相等，所对的弧也相等．
教学目标
了解圆心角的概念：掌握在同圆或等圆中，圆心角、弦、弧中有一个量的两个相等就可以推出其它两个量的相对应的两个值就相等，及其它们在解题中的应用．
通过复习旋转的知识，产生圆心角的概念，然后用圆心角和旋转的知识探索在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等，最后应用它解决一些具体问题．
重难点、关键
1．重点：定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对弦也相等及其两个推论和它们的应用．
2．难点与关键：探索定理和推导及其应用．
教学过程
Ⅰ．知识回顾，引入新课
昨天我们学了圆的哪些知识？
Ⅱ．讲授新课
下面，我们在昨天的基础上来认识一下弧、圆心角这些与圆有关的概念．
圆弧：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧(arc)．
如下图，以A、B为端点的弧记作 ，读作“圆弧AB”或“弧AB”

注意：
1．弧包括优弧(major arc)和劣弧(minor arc)，大于半圆的弧称为优弧，小于半圆的弧称为劣弧．如上图中，以A、D为端点的弧有两条：优弧用三个大写字母表示⌒ACD(记作 )，劣弧用两个大写字母表示AD(记作 )．半圆：圆的任意一条直径的两个端点分圆成两条弧，每一条弧叫半圆弧，简称半圆也用三个大写字母表示．半圆是弧，但弧不一定是半圆；半圆既不是劣弧，也不是优弧．
2．认识 圆心角：观察教室内的石英钟的时针、分针、秒针所成的角度的特点。
3、圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
[师]同学们请观察老师手中的两个圆有什么特点？
[生]大小一样．
[师]现在老师把这两个圆叠在一起，使它俩重合，将圆心固定．

将上面这个圆旋转任意一个角度，两个圆还重合吗？
[生]重合．
[师]通过旋转的方法我们知道：圆是旋转对称图形．即一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合．圆的中心对称性是其旋转不变性的特例．即圆是中心对称图形，对称中心为圆心．
[师生共析]我们在上述做一做的过程中发现，固定圆心，将其中一个圆旋转一个角度，使半径OA与O＇A＇重合时，由于∠AOB＝∠A＇O＇B＇．这样便得到半径OB与O＇B＇重合．因为点A和点A＇重合，点B和点B＇重合，所以 和 重合，弦AB与弦A＇B＇重合，即 ，AB＝A＇B＇．
[师]在上述操作过程中，你会得出什么结论？
[生]在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦也相等．
[师]同学做得很好，这就是我们通过实验利用圆的旋转不变性探索到的圆的另一个特性：圆心角、弧、弦之间相等关系定理．
下面，我们一起来看一看命题的证明．
教师板书
如上图所示，已知：⊙O和⊙O＇是两个半径相等的圆，∠AOB＝∠A＇O＇B＇．
求证： ，AB＝A＇B＇．
证明：将⊙O和⊙O＇叠合在一起，固定圆心，将其中的一个圆旋转，一个角度，使得半径OA与O＇A＇重合，∵∠AOB＝∠A＇O＇B＇，
∴半径OB与O＇B＇重合．
∵点A与点A＇重合，点B与点B＇重合，
∴ 与 重合，弦AB与弦A＇B＇重合．
∴ ，AB＝A＇B＇．
于是得到下面的定理：
在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
（用因为、所以的几何语言来表达）

注意：在运用这个定理时，一定不能忘记“在同圆或等圆中”这个前提．否则也不一定有所对的弧相等、弦相等这样的结论．
[师](通过举反例强化对定理的理解)请同学们画一个只能是圆心角相等的这个条件的图．
[生]如下图示，虽然∠AOB＝∠A＇O＇B＇，但AB≠A＇B＇，
下面我们共同想一想．
[师]如果我们把两个圆心角用①表示；两条弧用②表示；两条弦用③表示．我们就可以得出这样的结论：

如果在同圆或等圆这个前提下．将题设和结论中任何一项交换一下，结论正确吗？你是怎么想的？请你说一说．(同学们互相交流、讨论)
[生甲]如果将上述题设①和结论②换一下，结论仍正确．可以通过旋转法或叠合法得到证明．
[生乙]如果将上述题设①和结论③互换一下，结论也正确，可以通过证明全等或叠合法得到．
[师]好，通过上面的探索，你得到了什么结论？
[生]在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
（用因为、所以的几何语言来表达）
注意：(1)不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，否则，丢掉这个前提，虽然圆心角相等，但所对的弧、弦、弦心距不一定相等．
(2)此定理中的“弧”一般指劣弧．
(3)要结合图形深刻体会圆心角、弧、弦、弦心距这四个概念和“所对”一词的含义．否则易错用此关系．
(4)在具体应用上述定理解决问题时，可根据需要，择其有关部分．如“在同圆中，等弧所对的圆心角相等”“在等圆中，弦心距相等的弦相等”等等．
例如，下图中的∠1＝∠2，有的同学认为∠1对AD，∠2对BC，就推出了AD＝BC，显然这是错误的，因为AD、BC不是“等圆心角对等弦”的弦．

4、回顾：
问：如图，AB是⊙O的一条弦，作直径CD，使CD⊥AB，垂足为M．
（1）如图是轴对称图形吗？如果是，其对称轴是什么？
（2）你能发现图中有哪些等量关系？说一说你理由．
（老师点评）（1）是轴对称图形，其对称轴是CD．
（2）AM=BM，即直径CD平分弦AB．
这样，我们就得到下面的定理：
垂直于弦的直径平分这条弦．
还有什么相等？
垂直于弦的直径平分这条弦所对的两条弧
（用因为、所以的几何语言来表达）

5、证明：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
理由：如下图示，过圆心O作垂直于弦的直径EF，由垂径定理设 = ， = ，用等量减等量差相等，得 － = － ，即 = ，故结论成立．

符合条件的图形有三种情况：(1)圆心在平行弦外，(2)在其中一条线弦上，(3)在平行弦内，但理由相同．
Ⅲ．课时小结
[师]通过这一节的学习，在得出本节结论的过程中，回忆一下我们使用了哪些研究图形的方法？(同学们之间相互讨论、归纳)
Ⅳ．课后作业
书P 63 1、2 P70 1、2、3、
教学后记：





3．1．2 圆周角
教学内容
1．圆周角的概念．
2．圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径及其它们的应用．
教学目标
1．了解圆周角的概念．
2．理解圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
3．理解圆周角定理的推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4．熟练掌握圆周角的定理及其推理的灵活运用．
设置情景，给出圆周角概念，探究这些圆周角与圆心角的关系，运用数学分类思想给予逻辑证明定理，得出推导，让学生活动证明定理推论的正确性，最后运用定理及其推导解决一些实际问题．
重难点、关键
1．重点：圆周角的定理、圆周角的定理的推导及运用它们解题．
2．难点：运用数学分类思想证明圆周角的定理．
3．关键：探究圆周角的定理的存在．
教学过程
一、复习引入
（学生活动）请同学们口答下面两个问题．
1．什么叫圆心角？
2．圆心角、弦、弧之间有什么内在联系呢？
老师点评：（1）我们把顶点在圆心的角叫圆心角．
（2）在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对的其余各组量都分别相等．
刚才讲的，顶点在圆心上的角，有一组等量的关系，如果顶点不在圆心上，它在其它的位置上？如在圆周上，是否还存在一些等量关系呢？这就是我们今天要探讨，要研究，要解决的问题．
二、探索新知
问题：如图所示的⊙O，我们在射门游戏中，设E、F是球门，设球员们只能在 所在的⊙O其它位置射门，如图所示的A、B、C点．通过观察，我们可以发现像∠EAF、∠EBF、∠ECF这样的角，它们的顶点在圆上，并且两边都与圆相交的角叫做圆周角．
（可出几个关于圆周角与圆心角的识别题）
现在通过圆周角的概念和度量的方法回答下面的问题．

admin

1．一条弧所对的圆周角的个数有多少个？
2．同弧所对的圆周角的度数是否发生变化？
3．同弧上的圆周角与圆心角有什么关系？
（学生分组讨论）提问二、三位同学代表发言．
老师点评：
1．一条弧所对的圆周角的个数有无数多个．
2．通过度量，我们可以发现，同弧所对的圆周角是没有变化的．
3．通过度量，我们可以得出，同弧上的圆周角是圆心角的一半．
下面，我们通过逻辑证明来说明“同弧所对的圆周角的度数没有变化，
并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半．”
（1）设圆周角∠ABC的一边BC是⊙O的直径，如图所示
∵∠AOC是△ABO的外角
∴∠AOC=∠ABO+∠BAO
∵OA=OB
∴∠ABO=∠BAO
∴∠AOC=∠ABO
∴∠ABC= ∠AOC
（2）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的两侧，那么∠ABC= ∠AOC吗？请同学们独立完成这道题的说明过程．
老师点评：连结BO交⊙O于D同理∠AOD是△ABO的外角，∠COD是△BOC的外角，那么就有∠AOD=2∠ABO，∠DOC=2∠CBO，因此∠AOC=2∠ABC．
（3）如图，圆周角∠ABC的两边AB、AC在一条直径OD的同侧，那么∠ABC= ∠AOC吗？请同学们独立完成证明．
老师点评：连结OA、OC，连结BO并延长交⊙O于D，那么∠AOD=2∠ABD，∠COD=2∠CBO，而∠ABC=∠ABD-∠CBO= ∠AOD- ∠COD= ∠AOC
现在，我如果在画一个任意的圆周角∠AB′C，同样可证得它等于同弧上圆心角一半，因此，同弧上的圆周角是相等的．
从（1）、（2）、（3），我们可以总结归纳出圆周角定理：
在同圆或等圆中，同弧等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．
进一步，我们还可以得到下面的推导：
半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
下面，我们通过这个定理和推论来解一些题目．
例1．如图，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC=AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？
分析：BD=CD，因为AB=AC，所以这个△ABC是等腰，要证明D是BC的中点，只要连结AD证明AD是高或是∠BAC的平分线即可．
解：BD=CD
理由是：如图24-30，连接AD
∵AB是⊙O的直径
∴∠ADB=90°即AD⊥BC
又∵AC=AB
∴BD=CD
三、巩固练习
例2．如图，已知△ABC内接于⊙O，∠A、∠B、∠C的对边分别设为a，b，c，⊙O半径为R，求证： = = =2R．
分析：要证明 = = =2R，只要证明 =2R， =2R， =2R，即sinA= ，sinB= ，sinC= ，因此，十分明显要在直角三角形中进行．
证明：连接CO并延长交⊙O于D，连接DB
∵CD是直径
∴∠DBC=90°
又∵∠A=∠D
在Rt△DBC中，sinD= ，即2R=
同理可证： =2R， =2R
∴ = = =2R
四、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆周角的概念；
2．圆周角的定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都相等这条弧所对的圆心角的一半；
3．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．
4．应用圆周角的定理及其推导解决一些具体问题．
五、布置作业
教材P66 1、2 P70 7、8、9
教学后记：
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3．1．2过不在同一直线上的三点作圆
教学目标
(一)教学知识点
了解不在同一条直线上的三个点确定一个圆，以及过不在同一条直线上的三个点作圆的方法，了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
(二)能力训练要求
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，培养学生的探索能力．
2．通过探索不在同一条直线上的三个点确定一个圆的问题，进一步体会解决数学问题的策略．
(三)情感与价值观要求
1．形成解决问题的一些基本策略，体验解决问题策略的多样性，发展实践能力与创新精神．
2．学会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果．
教学重点
1．经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能掌握这个结论．
2．掌握过不在同一条直线上的三个点作圆的方法．
3．了解三角形的外接圆、三角形的外心等概念．
教学难点
经历不在同一条直线上的三个点确定一个圆的探索过程，并能过不在同一条直线上的三个点作圆．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]我们知道经过一点可以作无数条直线，经过两点只能作一条直线．那么，经过一点能作几个圆？经过两点、三点……呢？本节课我们将进行有关探索．
Ⅱ．新课讲解
1．回忆及思考
投影片(§3．4A)
1．线段垂直平分线的性质及作法．
2．作圆的关键是什么？
[生]1．线段垂直平分线的性质是：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等．
作法：如下图，分别以A、B为圆心，以大于 AB长为半径画弧，在AB的两侧找出两交点C、D，作直线CD，则直线CD就是线段AB的垂直平分线，直线CD上的任一点到A与B的距离相等．

[师]我们知道圆的定义是：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆．定点即为圆心，定长即为半径．根据定义大家觉得作圆的关键是什么？
[生]由定义可知，作圆的问题实质上就是圆心和半径的问题．因此作圆的关键是确定圆心和半径的大小．确定了圆心和半径，圆就随之确定．
2．做一做(投影片§3．4B)
(1)作圆，使它经过已知点A，你能作出几个这样的圆？
(2)作圆，使它经过已知点A、B．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？其圆心的分布有什么特点？与线段AB有什么关系？为什么？
(3)作圆，使它经过已知点A、B、C(A、B、C三点不在同一条直线上)．你是如何作的？你能作出几个这样的圆？
[师]根据刚才我们的分析已知，作圆的关键是确定圆心和半径，下面请大家互相交换意见并作出解答．
[生](1)因为作圆实质上是确定圆心和半径，要经过已知点A作圆，只要圆心确定下来，半径就随之确定了下来．所以以点A以外的任意一点为圆心，以这一点与点A所连的线段为半径就可以作一个圆．由于圆心是任意的．因此这样的圆有无数个．如图(1)．

(2)已知点A、B都在圆上，它们到圆心的距离都等于半径．因此圆心到A、B的距离相等．根据前面提到过的线段的垂直平分线的性质可知，线段的垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，则圆心应在线段AB的垂直平分线上．在AB的垂直平分线上任意取一点，都能满足到A、B两点的距离相等，所以在AB的垂直平分线上任取一点都可以作为圆心，这点到A的距离即为半径．圆就确定下来了．由于线段AB的垂直平分线上有无数点，因此有无数个圆心，作出的圆有无数个．如图(2)．
(3)要作一个圆经过A、B、C三点，就是要确定一个点作为圆心，使它到三点的距离相等．因为到A、B两点距离相等的点的集合是线段AB的垂直平分线，到B、C两点距离相等的点的集合是线段BC的垂直平分线，这两条垂直平分线的交点满足到A、B、C三点的距离相等，就是所作圆的圆心．
因为两条直线的交点只有一个，所以只有一个圆心，即只能作出一个满足条件的圆．
[师]大家的分析很有道理，究竟应该怎样找圆心呢？
3．过不在同一条直线上的三点作圆．
投影片(§3．4C)

作法 图示
1．连结AB、BC  
2．分别作AB、BC的垂直
平分线DE和FG，DE和
FG相交于点O  
3．以O为圆心，OA为半径作圆
⊙O就是所要求作的圆  

他作的圆符合要求吗？与同伴交流．
[生]符合要求．
因为连结AB，作AB的垂直平分线ED，则ED上任意一点到A、B的距离相等；连结BC，作BC的垂直平分线FG，则FG上的任一点到B、C的距离相等．ED与FG的满足条件．
[师]由上可知，过已知一点可作无数个圆．过已知两点也可作无数个圆，过不在同一条直线上的三点可以作一个圆，并且只能作一个圆．

思考：过同一直线上的三个点可以确定一个圆吗？
4．有关定义
由上可知，经过三角形的三个顶点可以作一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆(circumcircle of triangle)，这个三角形叫这个圆的内接三角形．
外接圆的圆心是三角形三边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心(circumcenter)．
Ⅲ．课堂练习
已知锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，分别作出它们的外接圆，它们外心的位置有怎样的特点？
解：如下图．

O为外接圆的圆心，即外心．
锐角三角形的外心在三角形的内部，直角三角形的外心在斜边上，钝角三角形的外心在三角形的外部．
Ⅳ．课时小结
Ⅴ．课后作业
Ⅵ．活动与探究
如下图，CD所在的直线垂直平分线段AB．怎样使用这样的工具找到圆形工件的圆心？

解：因为A、B两点在圆上，所以圆心必与A、B两点的距离相等，又因为和一条线段的两个端点距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，所以圆心在CD所在的直线上．因此使用这样的工具可以作出圆形工件的任意两条直径．它们的交点就是圆心．

教学后记：




3.2 点、直线与圆的位置关系，圆的切线
3．2．1 点、直线与圆的位置关系
教学目标
1．理解并掌握设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，则有：点P在圆外 d>r；点P在圆上 d=r；点P在圆内 d<r及其运用．
2．理解直线与圆有相交、相切、相离三种位置关系．
3、了解切线的概念，探索切线与过切点的直径之间的关系．
能力训练要求
1．经历探索直线与圆位置关系的过程，培养学生的探索能力．
2．通过观察得出“圆心到直线的距离d和半径r的数量关系”与“直线和圆的位置关系”的对应与等价，从而实现位置关系与数量关系的相互转化．
情感与价值观要求
通过探索直线与圆的位置关系的过程，体验数学活动充满着探索与创造，感受数学的严谨性以及数学结论的确定性．
在数学学习活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．
教学重点
经历探索直线与圆位置关系的过程．
理解直线与圆的三种位置关系．
了解切线的概念以及切线的性质．
教学难点
经历探索直线与圆的位置关系的过程，归纳总结出直线与圆的三种位置关系．
探索圆的切线的性质．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课教学过程
（学生活动）请同学们口答下面的问题．
1．圆的两种定义是什么？
2．你能至少举例两个说明圆是如何形成的？

admin

3．圆形成后圆上这些点到圆心的距离如何？
4．如果在圆外有一点呢？圆内呢？请你画图想一想．
老师点评：（1）在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆；圆心为O，半径为r的圆可以看成是所有到定点O的距离等于定长r的点组成的图形．
（2）圆规：一个定点，一个定长画圆．
（3）都等于半径．
（4）经过画图可知，圆外的点到圆心的距离大于半径；圆内的点到圆心的距离小于半径．
Ⅱ．新课讲解
（一）点与圆的位置关系：
由上面的画图以及所学知识，我们可知： 设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离为OP=d
则有：点P在圆外 d>r
点P在圆上 d=r
点P在圆内 d<r
反过来，也十分明显，如果d>r 点P在圆外；如果d=r 点P在圆上；如果d<r 点P在圆内．
因此，我们可以得到：





这个结论的出现，对于我们今后解题、判定点P是否在圆外、圆上、圆内提供了依据．
（二）类比地学习直线和圆的位置关系．
1．复习点到直线的距离的定义
[生]从已知点向已知直线作垂线，已知点与垂足之间的线段的长度叫做这个点到这条直线的距离．
如下图，C为直线AB外一点，从C向AB引垂线，D为垂足，则线段CD即为点C到直线AB的距离．
2．探索直线与圆的三种位置关系
[师]直线和圆的位置关系，我们在现实生活中随处可见，只要大家注意观察，这样的例子是很多的．
演示：作一个圆，把直尺的边缘看成一条直线，固定圆，平移直尺，直线和圆有几种位置关系？
[师]从上面的举例中，大家能否得出结论，直线和圆的位置关系有几种呢？
[生]有三种位置关系：
[师]直线和圆有三种位置关系，如下图：

它们分别是相交、相切、相离．
当直线与圆相切时(即直线和圆有唯一公共点)，这条直线叫做圆的切线(tangent line)．
当直线与圆有两个公共点时，叫做直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线，．
当直线与圆没有公共点时，叫做直线和圆相离．
因此，从直线与圆有公共点的个数可以断定是哪一种位置关系，你能总结吗？
[生]当直线与圆有唯一公共点时，这时直线与圆相切；
当直线与圆有两个公共点时，这时直线与圆相交；
当直线与圆没有公共点时，这时直线与圆相离．
[师]能否根据点和圆的位置关系，点到圆心的距离d（垂线段）和半径r作比较，类似地推导出如何用点到直线的距离d和半径r之间的关系来确定三种位置关系呢？
[生]如上图中，圆心O到直线l的距离为d，圆的半径为r，当直线与圆相交时，d＜r；当直线与圆相切时，d＝r；当直线与圆相离时，d＞r，因此可以用d与r间的大小关系断定直线与圆的位置关系．
[师]由此可知：判断直线与圆的位置关系有两种方法．一种是从直线与圆的公共点的个数来断定；一种是用d与r的大小关系来断定．
投影片
(1)从公共点的个数来判断：
直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交；直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切；直线与圆没有公共点时，直线与圆相离．
(2)从点到直线的距离d与半径r的大小关系来判断：
d＜r时，直线与圆相交；
d＝r时，直线与圆相切；
d＞r时，直线与圆相离．
投影片
[例1]已知圆O的半径r = 3，圆心O到直线l的距离d=2，判断直线l与圆O的位置关系。
[例2]已知Rt△ABC的斜边AB＝8cm，AC＝4cm．
(1)以点C为圆心作圆，当半径为多长时，AB与⊙C相切？
(2)以点C为圆心，分别以2cm和4cm的长为半径作两个圆，这两个圆与AB分别有怎样的位置关系？
分析：根据d与r间的数量关系可知：
d＝r时，相切；d＜r时，相交；d＞r时，相离．

2、解：(1)如上图，过点C作AB的垂线段CD．
∵AC＝4cm，AB＝8cm；
∴cosA＝ ，
∴∠A＝60°．
∴CD＝ACsinA＝4sin60°＝2 (cm)．
因此，当半径长为2 cm时，AB与⊙C相切．
(2)由(1)可知，圆心C到AB的距离d＝2 cm，所以，当r＝2cm时，d＞r，⊙C与AB相离；
当r＝4cm时，d＜r，⊙C与AB相交．

Ⅲ．课堂练习
P73 1，2
Ⅳ．课时小结
本节课学习了如下内容：
点、直线与圆的三种位置关系．
(1)从公共点数来判断．
(2)从d与r间的数量关系来判断．
Ⅴ．课后作业
P80 1、2
Ⅵ．活动与探究
如下图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向300千米的B处，并以每小时10 千米的速度向北偏东60°的BF方向移动，距台风中心200千米的范围是受台风影响的区域．

(1)A城是否会受到这次台风的影响？为什么？
(2)若A城受到这次台风的影响，试计算A城遭受这次台风影响的时间有多长？
分析：因为台风影响的范围可以看成以台风中心为圆心，半径为200千米的圆，A城能否受到影响，即比较A到直线BF的距离d与半径200千米的大小．若d＞200，则无影响，若d≤200，则有影响．
第一课时作业设计
一、选择题．
1．下列说法：①三点确定一个圆；②三角形有且只有一个外接圆；③圆有且只有一个内接三角形；④三角形的外心是各边垂直平分线的交点；⑤三角形的外心到三角形三边的距离相等；⑥等腰三角形的外心一定在这个三角形内，其中正确的个数有（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，Rt△ABC，∠C=90°，AC=3cm，BC=4cm，则它的外心与顶点C的距离为（ ）．
A．2.5 B．2.5cm C．3cm D．4cm

3．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，BC=4，AC=3，CD平分∠ACB，则弦AD长为（ ）
A． B． C． D．3
二、填空题．
1．经过一点P可以作_______个圆；经过两点P、Q可以作________个圆，圆心在_________上；经过不在同一直线上的三个点可以作________个圆，圆心是________的交点．
2．边长为a的等边三角形外接圆半径为_______，圆心到边的距离为________．
3．直角三角形的外心是______的中点，锐角三角形外心在三角形______，钝角三角形外心在三角形_________．
三、综合提高题．
1．如图，⊙O是△ABC的外接圆，D是AB上一点，连结BD，并延长至E，连结AD，若AB=AC，∠ADE=65°，试求∠BOC的度数．
2．如图，通过防治“非典”，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图24-49所示，A、B、C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．

3．△ABC中，AB=1，AC、BC是关于x的一元二次方程（m+5）x2-（2m-5）x+12=0两个根，外接圆O的面积为 ，求m的值．





3．2．2 圆的切线的判定、性质和画法（1）
教学目标
（1） 复习点和圆的位置关系、直线和圆的位置关系，以直线和圆的位置关系中的d=r 直线和圆相切，讲授切线的判定定理．
（2） 理解切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．并熟练掌握以上内容解决一些实际问题．

重难点、关键
1．重点：切线的判定定理及其运用它们解决一些具体的题目．
2．难点与关键：由上节课直线和圆的位置关系引出切线的判定定理．
教学过程
一、复习引入
同学们，我们前一节课已经学到点和圆的位置关系．设⊙O的半径为r，点P到圆心的距离OP=d，

则有：点P在圆外 d>r，如图（a）所示；
点P在圆上 d=r，如图（b）所示；
点P在圆内 d<r，如图（c）所示．
直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离．
（老师板书）如图所示：

如图（a），直线L和圆有两个公共点，这时我们就说这条直线和圆相交，这条直线叫做圆的割线．
如图（b），直线和圆有一个公共点，这时我们说这条直线和圆相切，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点．
如图（c），直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆相离．
我们知道，点到直线L的距离是这点向直线作垂线，这点到垂足D的距离，按照这个定义，作出圆心O到L的距离的三种情况？
（学生分组活动）：设⊙O的半径为r，圆心到直线L的距离为d，请模仿点和圆的位置关系，总结出什么结论？
老师点评直线L和⊙O相交 d<r，如图（a）所示；

直线L和⊙O相切 d=r，如图（b）所示；
直线L和⊙O相离 d>r，如图（c）所示．
因为d=r 直线L和⊙O相切，这里的d是圆心O到直线L的距离，即垂直，并由d=r就可得到L经过半径r的外端，即半径OA的A点，因此，很明显的，我们可以得到切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
（学生分组讨论）：根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O的切线，你应该如何证明？
（老师点评）：应分为两步：（1）说明这个点是圆上的点，即经过半径的外端（2）过这点的半径垂直于直线．
例1．如图，已知Rt△ABC的斜边AB=8cm，AC=4cm．
（1）以点C为圆心作圆，当半径为多长时，直线AB与⊙C相切？为什么？
（2）以点C为圆心，分别以2cm和4cm为半径作两个圆，这两个圆与直线AB分别有怎样的位置关系？
分析：（1）根据切线的判定定理可知，要使直线AB与⊙C相切，那么这条半径应垂直于直线AB，并且C点到垂足的长就是半径，所以只要求出如图所示的CD即可．
（2）用d和r的关系进行判定，或借助图形进行判定．
解：（1）如图24-54：过C作CD⊥AB，垂足为D．
在Rt△ABC中
BC= =
∴CD= =2
因此，当半径为2 cm时，AB与⊙C相切．
理由是：直线AB为⊙C的半径CD的外端并且CD⊥AB，所以AB是⊙C的切线．
（2）由（1）可知，圆心C到直线AB的距离d=2 cm，所以
当r=2时，d>r，⊙C与直线AB相离；
当r=4时，d<r，⊙C与直线AB相交．
三、巩固练习
例2、已知：如图，AD是圆O的直径，直线BC经过点D，并且AB=AC，∠BAD=∠CAD。求证：直线BC是圆O的切线。

四、归纳小结（学生归纳，总结发言老师点评）
本节课应掌握：
1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．应用上面的知识解决实际问题．
五、布置作业
教材P73 1、2
教学后记：








3．2．2 圆的切线的判定、性质和画法（2）
教学目标

admin

1．继续学习切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．理解并掌握切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
重难点、关键
1．重点：切线的判定定理；切线的性质定理及其运用它们解决一些具体的题目．
2．难点与关键：切线的判定定理与切线的性质定理的灵活运用。

教学过程
一、复习引入
1、点和圆有这样的位置关系及直线和圆有三种位置关系：相交、相切和相离．
2、切线的判定定理：
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
根据上面的判定定理，如果你要证明一条直线是⊙O的切线，你应该如何证明？
应分为两步：（1）说明这个点是圆上的点，经过半径外端（2）过这点的半径垂直于直线．
二、探究
切线的判定定理是不知道直线是切线，而判定切线，反之，
如果知道这条直线是切线呢？有什么性质定理呢？
实际上，如图，CD是切线，A是切点，连结AO与⊙O于B，
那么AB是对称轴，所以沿AB对折图形时，AC与AD重合，
因此，∠BAC=∠BAD=90°．

因此，我们有切线的性质定理: 圆的切线垂直于过切点的半径．
三、例题解析
例3 如图，直线l是圆O的切线，切点为A，∠OBA=45°
求：∠AOB。

例4、经过直径两端点的切线互相平行。（见书P76）
例5、过圆O上一点A画圆O的切线。
四、巩固练习
1．如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，D在AB的延长线上，
且∠DCB=∠A．
（1）CD与⊙O相切吗？如果相切，请你加以证明，如果不相切，请说明理由．
（2）若CD与⊙O相切，且∠D=30°，BD=10，求⊙O的半径．
分析：（1）要说明CD是否是⊙O的切线，只要说明OC是否垂直于CD，垂足为C，因为C点已在圆上．
由已知易得：∠A=30°，又由∠DCB=∠A=30°得：BC=BD=10
解：（1）CD与⊙O相切
理由：①C点在⊙O上（已知）
②∵AB是直径
∴∠ACB=90°，即∠ACO+∠OCB=90°
∵∠A=∠OCA且∠DCB=∠A
∴∠OCA=∠DCB
∴∠OCD=90°
综上：CD是⊙O的切线．
（2）在Rt△OCD中，∠D=30°
∴∠COD=60°
∴∠A=30°
∴∠BCD=30°
∴BC=BD=10
∴AB=20，∴r=10
答：（1）CD是⊙O的切线，（2）⊙O的半径是10．
五、归纳小结（学生归纳，总结发言老师点评）
本节课应掌握：
1．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
2．切线的性质定理，圆的切线垂直于过切点的半径．
六、布置作业
1．教材P77 1、2、3

教学后记：








3．2．2 圆的切线的判定、性质和画法（3）习 题 课
教学内容
（一）回顾：1．直线和圆相交、割线；直线和圆相切、圆的切线、切点；直线和圆没有公共点、直线和圆相离等概念．
2．设⊙O的半径为r，直线L到圆心O的距离为d
直线L和⊙O相交 d<r；直线和⊙O相切 d=r；直线L和⊙O相离 d>r．
3．切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
4．切线的性质定理：圆的切线垂直于过切点的半径．
（二）作业设计
一、选择题．
1．如图，AB与⊙O切于点C，OA=OB，若⊙O的直径为8cm，AB=10cm，那么OA的长是（ ）
A． B．
2．下列说法正确的是（ ）
A．与圆有公共点的直线是圆的切线．
B．和圆心距离等于圆的半径的直线是圆的切线;
C．垂直于圆的半径的直线是圆的切线;
D．过圆的半径的外端的直线是圆的切线
3．已知⊙O分别与△ABC的BC边，AB的延长线，AC的延长线相切，则∠BOC等于（ ）
A． （∠B+∠C） B．90°+ ∠A
C．90°- ∠A D．180°-∠A
二、填空题
1．如图，AB为⊙O直径，BD切⊙O于B点，弦AC的延长线与BD交于D点，若AB=10，AC=8，则DC长为________．

2．如图，P为⊙O外一点，PA、PB为⊙O的切线，A、B为切点，弦AB与PO交于C，⊙O半径为1，PO=2，则PA_______，PB=________，PC=_______AC=______，BC=______∠AOB=________．
3．设I是△ABC的内心，O是△ABC的外心，∠A=80°，则∠BIC=________，∠BOC=________．
三、综合提高题
1．如图，P为⊙O外一点，PA切⊙O于点A，过点P的任一直线交⊙O于B、C，连结AB、AC，连PO交⊙O于D、E．
（1）求证：∠PAB=∠C．
（2）如果PA2=PD?PE，那么当PA=2，PD=1时，求⊙O的半径．

2．设a、b、c分别为△ABC中∠A、∠B、∠C的对边，面积为S，则内切圆半径r= ， 其中P= （a+b+c）；（2）Rt△ABC中，∠C=90°，则r= （a+b-c）
3．如图1，平面直角坐标系中，⊙O1与x轴相切于点A（-2，0），与y轴交于B、C两点，O1B的延长线交x轴于点D（ ，0），连结AB．
（1）求证：∠ABO=∠ABO；
（2）设E为优弧 的中点，连结AC、BE交于点F，请你探求BE?BF的值．
（3）如图2，过A、B两点作⊙O2与y轴的正半轴交于点M，与BD的延长线交于点N，当⊙O2的大小变化时，给出下列两个结论．
①BM-BN的值不变；②BM+BN的值不变，其中有且只有一个结论是正确的，请你判断哪一个结论正确，证明正确的结论并求出其值．
（友情提示：如图3，如果DE∥BC，那么 ）






3．2．3 三角形的内切圆
教学目标
(一)教学知识点
1．会作三角形的内切圆．
2．了解三角形的内切圆、内心、外切三角形的定义．
3．理解三角形的内心是三条角平分线的交点。
(二)能力训练要求
1．会作三角形的内切圆。
(三)情感与价值观要求
经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程，发展合情推理能力和初步演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点．
经历探究如何作三角形的内切圆的过程，掌握图形的基础知识和基本技能，并能解决简单的问题．
教学重点
作三角形内切圆的方法．
教学难点
内心如何找出来．
教学过程
Ⅰ．创设问题情境，引入新课
[师]1、如何作三角形的外接圆？它外心是如何确定的呢？
2、木工师傅如何在一块三角形木板上裁一个最大的圆形木板？
Ⅱ．新课讲解
1．如何作三角形的内切圆．
投影片
如下图，从一块三角形材料中，能否剪下一个圆使其与各边都相切．

分析：假设符合条件的圆已作出，则它的圆心到三角形三边的距离相等．因此，圆心在这个三角形三个角的平分线上，半径为圆心到三边的距离．
解：(1)作∠B、∠C的平分线BE和CF，交点为I(如下图)．
(2)过I作ID⊥BC，垂足为D．
(3)以I为圆心，以ID为半径作⊙I．
⊙I就是所求的圆．
[师]由例题可知，BE和CF只有一个交点I，并且I到△ABC三边的距离相等，为什么？
[生]∵I在∠B的角平分线BE上，∴ID＝IM，又∵I在∠C的平分线CF上，∴ID＝IN，∴ID＝IM＝IN．这是根据角平分线的性质定理得出的．
[师]因此与三角形三条边都相切的圆有且只有一个，因为三角形三个内角的平分线交于一点，这点为圆心，这点到三角形三边的距离相等，这个距离为半径，圆心和半径都确定的圆只有一个．并且只能作出一个，这个圆叫做三角形的内切圆(inscribed circle of triangle)，内切圆的圆心是三角形的三条角平分线的交点，叫做三角形的内心(incenter)．
2．例题讲解
设△ABC的内切圆的半径为r，△ABC的周长为l，求△ABC的面积S。
Ⅲ．课堂练习
随堂练习书P79 1，2，3
Ⅳ．课时小结
本节课学习了以下内容：
1．探索如何作三角形的内切圆．
2．了解三角形的内切圆，三角形的内心等概念．
Ⅴ．课后作业
习题P80 5，6，7，8
Ⅵ．活动与探究
已知AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，切点为B，OC平行于弦AD．

求证：DC是⊙O的切线．
分析：要证DC是⊙O的切线，需证DC垂直于过切点的直径或半径，因此要作辅助线半径OD，利用平行关系推出∠3＝∠4，又因为OD＝OB，OC为公共边，因此△CDO≌△CBO，所以∠ODC＝∠OBC＝90°．

教学后记：





3．3 圆和圆的位置关系
教学内容
1．两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两个圆相交等概念．
2．设两圆的半径分别为r1、r2，圆心距（两圆圆心的距离）为d，则有两圆的位置关系，d与r1和r2之间的关系．
外离 d>r1+r2
外切 d=r1+r2
相交 │r1-r2│<d<r1+r2
内切 d=│r1-r2│
内含 0≤d<│r1-r2│（其中d=0，r1≠r2 时两圆是同心圆，r1＝r2 时，两个圆重合。）
教学目标
了解两个圆相离（外离、内含），两个圆相切（外切、内切），两圆相交、圆心距等概念．
理解两圆的互解关系与d、r1、r2等量关系的等价条件并灵活应用它们解题．
通知复习直线和圆的位置关系和结合操作几何，迁移到圆与圆之间的五种关系并运用它们解决一些具体的题目．
重难点、关键
1．重点：两个圆的五种位置关系中的等价条件及它们的运用．
2．难点与关键：探索两个圆之间的五种关系的等价条件及应用它们解题．
教学过程
一、复习引入
请同学们独立完成下题．
在你的随堂练习本上，画出直线L和圆的三种位置关系，并写出等价关系．
老师点评：直线L和圆的位置关系有三种：相交、相切、相离，如图（a）～（c）所示．（其中d表示圆心到直线L的距离，r是⊙O的半径）

(a) 相交 d<r (b) 相切 d=r (3) 相离 d>r
二、探索新知
请每位同学完成下面一段话的操作几何，四人一组讨论你能得到什么结论．
（1）在一张透明纸上作一个⊙O1，再在另一张透明纸上作一个与⊙O1半径不等的⊙O2，把两张透明纸叠在一起，固定⊙O1，平移⊙O2，⊙O1与⊙O2有几种位置关系？
（2）设两圆的半径分别为r1和r2（r1<r2），圆心距（两圆圆心的距离）为d，你又能得到什么结论？
老师用两圆在黑板上运动并点评：
可以发现，可以会出现以下五种情况：


（1）图（a）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆外离；
（2）图（b）中，两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆外切．
（3）图（c）中，两个圆有两个公共点，那么就说两个圆相交．

admin

（4）图（d）中，两个圆只有一个公共点，那么就说这两个圆内切．
（5）图（e）中，两个圆没有公共点，那么就说这两个圆内含但不同心．
图（f）是（e）甲的一种特殊情况──圆心相同，我们把它称为同心圆．（其中d=0，r1≠r2 时两圆是同心圆，r1＝r2 时，两个圆重合）
问题（分组讨论）如果两圆的半径分别为r1和r2（r1<r2），圆心距（两圆圆心的距离为d，请你们结合直线和圆位置关系中的等价关系和刚才五种情况的讨论，填完下列空格：
两圆的位置关系 d与r1和r2之间的关系
外离
外切
相交
内切
内含
老师分析点评：外离没有交点，因此d>r1+r2；
外切只有一个交点，结合图（a），也很明显d=r1+r2；
相交有两个交点，如图两圆相交于A、B两点，连接O1A和O2A，很明显r2-r1<d<r1+r2；内切是内含加相切，因此d=r2-r1；内含是0≤d<r2-r1（其中d=0，两圆同心）反之，同样成立，因此，我们就有一组等价关系（老师填完表格）．
例1．已知⊙O1、⊙O2的半径分别为3，7，圆心距为5，判定两个圆的位置关系。
例2、已知⊙O1和⊙O2 内切，圆心距为13，⊙O1的半径为12，求⊙O2 的半径。（注意两种情况）

三、巩固练习
教材P84 练习．
四、应用拓展
例3．两个同样大小的肥皂泡黏在一起，其剖面如图1所示（点O，O′是圆心），分隔两个肥皂泡的肥皂膜PQ成一条直线，TP、NP分别为两圆的切线，求∠TPN的大小．

（1） (2)
分析：要求∠TPN，其实就是求∠OPO′的角度，很明显，∠POO′是正三角形，如图2所示．
解：∵PO=OO′=PO′
∴△PO′O是一个等边三角形
∴∠OPO′=60°
又∵TP与NP分别为两圆的切线，
∴∠TPO=90°，∠NPO′=90°
∴∠TPN=360°-2×90°-60°=120°
例4．如图1所示，⊙O的半径为7cm，点A为⊙O外一点，OA=15cm，
求：（1）作⊙A与⊙O外切，并求⊙A的半径是多少？

(1) (2)
（2）作⊙A与⊙O相内切，并求出此时⊙A的半径．
分析：（1）作⊙A和⊙O外切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rO+rA；（2）作OA与⊙O相内切，就是作以A为圆心的圆与⊙O的圆心距d=rA-rO．
解：如图2所示，（1）作法：以A为圆心，rA=15-7=8为半径作圆，则⊙A的半径为8cm
（2）作法：以A点为圆心，rA′=15+7=22为半径作圆，则⊙A的半径为22cm

五、归纳小结（学生归纳，老师点评）
本节课应掌握：
1．圆和圆位置关系的概念：
2．设两圆的半径为r1，r2，圆心距为d（r1<r2）
则有：外离 d>r1+r2
外切 d=r1+r2
相交 r2-r1<d<r1+r2
内切 d=r2-r1
内含 0≤d<r2-r1（当d=0时，两圆同心或重合）
六、布置作业
教材P85 A组
2．选用课时作业设计．

第四课时作业设计
一、 选择题．
1．已知两圆的半径分别为5cm和7cm，圆心距为8cm，那么这两个圆的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．外离
2．半径为2cm和1cm的⊙O1和⊙O2相交于A、B两点，且O1A⊥O2A，则公共弦AB的长为（ ）．
A． cm B． cm C． cm D． cm
3．如图所示，半圆O的直径AB=4，与半圆O内切的动圆O1与AB切于点M，设⊙O1的半径为y，AM=x，则y关于x的函数关系式是（ ）．
A．y= x2+x B．y=- x2+x
C．y=- x2-x D．y= x2-x

二、填空题．
1．如图1所示，两圆⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，则O1O2所在的直线是公共弦AB的________．

(1) (2) (3)
2．两圆半径R=5，r=3，则当两圆的圆心距d满足______时，两圆相交；当d满足_______时，两圆不外离．
3．如图2所示，⊙O1和⊙O2内切于T，则T在直线________上，理由是_________________；若过O2的弦AB与⊙O2交于C、D两点，若AC：CD：BD=2：4：3，则⊙O2与⊙O1半径之比为________．
三、综合提高题．
1．如图3，已知⊙O1、⊙O2相交于A、B两点，连结AO1并延长交⊙O1于C，连CB并延长交⊙O2于D，若圆心距O1O2=2，求CD长．
2．如图所示，点A坐标为（0，3），OA半径为1，点B在x轴上．
（1）若点B坐标为（4，0），⊙B半径为3，试判断⊙A与⊙B位置关系；
（2）若⊙B过M（-2，0）且与⊙A相切，求B点坐标．

答案:
一、1．B 2．D 3．B
二、1．垂直平分线
2．2<d<8，0≤d≤8 3．O1O2，过直线上一点T有且只有一条直线与已知直线垂直，1：3
三、1．连结AB、CD，由AC为⊙O1直径，得∠ABC=90°，
则AD为⊙O2直径，即O2为AD中点，则CD=2O1O2=4．
2．（1）AB=5>1+3，外离．
（2）设B（x，0）x≠-2，则AB= ，⊙B半径为│x+2│，
①设⊙B与⊙A外切，则 =│x+2│+1，
当x>-2时， =x+3，平方化简得：x=0符题意，∴B（0，0），
当x<-2时， =-x-1，化简得x=4>-2（舍），
②设⊙B与⊙A内切，则 =│x+2│-1，
当x>-2时， =x+1，得x=4>-2，∴B（4，0），
当x<-2时， =-x-3，得x=0，
∵0>-2，∴应舍去．
综上所述：B（0，0）或B（4，0）．没
教学后记：





3.4 弧长和扇形的面积，圆锥的侧面展开图
3.4．1 弧长和扇形面积(第1课时)
教学内容
1．n°的圆心角所对的弧长
2．扇形的概念；
3．应用以上内容解决一些具体题目．
教学目标
了解扇形的概念，理解n°的圆心角所对的弧长的计算公式并熟练掌握它们的应用．
通过复习圆的周长公式，探索n°的圆心角所对的弧长 的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．
重难点、关键
1．重点：n°的圆心角所对的弧长 及其它们的应用．
2．难点：公式的应用．
3．关键：由圆的周长迁移到弧长公式的过程．
教具、学具准备
小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板．
教学过程
一、复习引入
（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．
1．圆的周长公式是什么？
2．什么叫弧长？
老师点评：（1）圆的周长C=2 R
（2）弧长就是圆的一部分．
二、探索新知
（小黑板）请同学们独立完成下题：设圆的半径为R，则：
1．圆的周长可以看作______度的圆心角所对的弧．
2．1°的圆心角所对的弧长是_______．
3．2°的圆心角所对的弧长是_______．
4．4°的圆心角所对的弧长是_______．
……
5．n°的圆心角所对的弧长是_______．
（老师点评）根据同学们的解题过程，我们可得到：
半径为r的圆中，n°的圆心角所对的弧长为
例1 已知圆O的半径为30，求40°的圆心角所对的弧长（结果精确到0.1）
例2 书P88 做一做
例3 制作弯形管道时，需要先按中心线计算“展直长度”再下料，试计算如图所示的管道的展直长度，即 的长（结果精确到0.1mm）

分析：要求 的弧长，圆心角知，半径知，只要代入弧长公式即可．
解：R=40mm，n=110
∴ 的长= = ≈76.8（mm）
因此，管道的展直长度约为76.8mm．
三、巩固练习
课本P88练习．
四、归纳小结（学生小结，老师点评）
本节课应掌握：
1．n°的圆心角所对的弧长L=
2．扇形的概念．
3．运用以上内容，解决具体问题．
五、布置作业
教材 P92 A 1，2
2．选用课时作业设计．

第一课时作业设计
一、 选择题
1．已知扇形的圆心角为120°，半径为6，则扇形的弧长是（ ）．
A．3 B．4 C．5 D．6
2．如图1所示，把边长为2的正方形ABCD的一边放在定直线L上，按顺时针方向绕点D旋转到如图的位置，则点B运动到点B′所经过的路线长度为（ ）
A．1 B． C． D．

(1) (2) (3)
3．如图2所示，实数部分是半径为9m的两条等弧组成的游泳池，若每条弧所在的圆都经过另一个圆的圆心，则游泳池的周长为（ ）
A．12 m B．18 m C．20 m D．24 m
二、填空题
1．如果一条弧长等于 R，它的半径是R，那么这条弧所对的圆心角度数为______， 当圆心角增加30°时，这条弧长增加________．
2．如图3所示，OA=30B，则 的长是 的长的_____倍．
教学后记：







3.4.1弧长和扇形面积(第2课时)

教学内容
1．回顾：n°的圆心角所对的弧长
2．圆心角为n°的扇形面积是 ；
3．应用以上内容解决一些具体题目．
教学目标
理解n°的圆心角所对的弧长和扇形面积的计算公式并熟练掌握它们的应用．
通过复习圆的面积公式，探索n°的圆心角的扇形面积 的计算公式，并应用这些公式解决一些题目．
重难点、关键
1．重点：n°的圆心角所对的弧长 ，扇形面积 及其它们的应用．
2．难点：两个公式的应用．
3．关键：由圆的面积迁移到扇形面积公式的过程．
教具、学具准备
小黑板、圆规、直尺、量角器、纸板．
教学过程
一、复习引入
（老师口问，学生口答）请同学们回答下列问题．
1．n°的圆心角所对的弧长是什么？
2．圆的面积公式是什么？

二、探索新知
问题:（学生分组讨论）在一块空旷的草地上有一根柱子，柱子上拴着一条长5m的绳子，绳子的另一端拴着一头牛，如图所示:
（1）这头牛吃草的最大活动区域有多大？
（2）如果这头牛只能绕柱子转过n°角，那么它的最大活动区域有多大？
学生提问后，老师点评：（1）这头牛吃草的最大活动区域是一个以A（柱子）为圆心，5m为半径的圆的面积．