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发表于 2012-2-9 14:49:45
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掌握函数的最大值(或最小值)及函数的增减性的概念,会求二次函数的最值,并能根据性质判断函数在某一范围内的增减性
教学重点:
二次函数的最大值,最小值及增减性的理解和求法.
教学难点:二次函数的性质的应用.
教学过程:
复习引入
二次函数: y=ax2 +bx + c (a 1 0)的图象是一条抛物线,它的开口由什么决定呢?
补充: 当a的绝对值相等时,其形状完全相同,当a的绝对值越大,则开口越小,反之成立.
二,新课教学:
1.探索填空: 根据下边已画好抛物线y= -2x2的顶点坐标是 , 对称轴是 , 在 侧,即x_____0时, y随着x的增大而增大;在 侧,即x_____0时, y随着x的增大而减小. 当x= 时,函数y最大值是____. 当x____0时,y<0.
2. 探索填空::据上边已画好的函数图象填空: 抛物线y= 2x2的顶点坐标是 , 对称轴是 ,在 侧,即x_____0时, y随着x的增大而减少;在 侧,即x_____0时, y随着x的增大而增大. 当x= 时,函数y最小值是____. 当x____0时,y>0
3.归纳: 二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象和性质
(1).顶点坐标与对称轴
(2).位置与开口方向
(3).增减性与最值
当a ﹥0时,在对称轴的左侧,y随着x的增大而减小;在对称轴的右侧,y随着x的增大而增大;当 时,函数y有最小值 。当a ﹤0时,在对称轴的
左侧,y随着x的增大而增大;在对称轴的右侧,y随着x的增大而减小。当 时,函数y有最大值
4.探索二次函数与一元二次方程
二次函数y=x2+2x,y=x2-2x+1,y=x2-2x+2的图象如图所示.
(1).每个图象与x轴有几个交点?
(2).一元二次方程x2+2x=0,x2-2x+1=0有几个根?验证一下一元二次方程x2-2x+2=0有根吗?
(3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根有什么关系?
归纳: (3).二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点有三种情况:
①有两个交点,
②有一个交点,
③没有交点.
当二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴有交点时, 交点的横坐标就是当y=0时自变量x的值,即一元二次方程ax2+bx+c=0的根.
当b2-4ac﹥0时,抛物线与x轴有两个交点,交点的横坐标是一元二次方程0=ax2+bx+c的两个根x1与 x2;当b2-4ac=0时,抛物线与x轴有且只有一个公共点;当b2-4ac﹤0时,抛物线与x轴没有交点。
举例: 求二次函数图象y=x2-3x+2与x轴的交点A、B的坐标。
结论1:方程x2-3x+2=0的解就是抛物线y=x2-3x+2与x轴的两个交点的横坐标。因此,抛物线与一元二次方程是有密切联系的。
即:若一元二次方程ax2+bx+c=0的两个根是x1、x2,则抛物线y=ax2+bx+c与轴的两个交点坐标分别是A( x1,0),B(x2,0)
5.例题教学:例1: 已知函数
⑴写出函数图像的顶点、图像与坐标轴的交点,以及图像与y轴的交点关于图象对称轴的对称点。然后画出函数图像的草图;
(2)自变量x在什么范围内时, y随着x的增大而增大?何时y随着x的增大而减少;并求出函数的最大值或最小值。
归纳:二次函数五点法的画法
三.学习感想: 1、你能正确地说出二次函数的性质吗?
2、你能用“五点法”快速地画出二次函数的图象吗?你能利用函数图象回答有关性质吗?
四:作业:P39 A 3、4。
补充课题:二次函数的性质(2)
教学目标:
1、掌握二次函数解析式的三种形式,并会选用不同的形式,用待定系数法求二次函数的解析式。
2、能根据二次函数的解析式确定抛物线的开口方向,顶点坐标,和对称轴、最值和增减性。
3、能根据二次函数的解析式画出函数的图像,并能从图像上观察出函数的一些性质。
教学重点:二次函数的解析式和利用函数的图像观察性质
教学难点:利用图像观察性质
教学设计:
一、复习
1、抛物线 的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,即x_____0时, y随着x的增大而增大; 在 侧,即x_____0时,
y随着x的增大而减小;当x= 时,函数y最 值是____。
2、抛物线 的顶点坐标是 ,对称轴是 ,在 侧,即x_____0时, y随着x的增大而增大; 在 侧,即x_____0时,
y随着x的增大而减小;当x= 时,函数y最 值是____。
二、例题讲解
例1、根据下列条件求二次函数的解析式:
(1)函数图像经过点A(-3,0),B(1,0),C(0,-2)
(2) 函数图像的顶点坐标是(2,4)且经过点(0,1)
(3)函数图像的对称轴是直线x=3,且图像经过点(1,0)和(5,0)
说明:本题给出求抛物线解析式的三种解法,关键是看题目所给条件。一般来说:任意给定抛物线上的三个点的坐标,均可设一般式去求;若给定顶点坐标(或对称轴或最值)及另一个点坐标,则可设顶点式较为简单;若给出抛物线与x轴的两个交点坐标,则用分解式较为快捷。
例2 已知函数y= x2 -2x -3 ,
(1)把它写成 的形式;并说明它是由怎样的抛物线经过怎样平移得到的?
(2)写出函数图象的对称轴、顶点坐标、开口方向、最值;
(3)求出图象与坐标轴的交点坐标;
(4)画出函数图象的草图;
(5)设图像交x轴于A、B两点,交y 轴于P点,求△APB的面积;
(6)根据图象草图,说出 x取哪些值时, ① y=0; ② y<0; ③ y>0.
说明:(1)对于解决函数和几何的综合题时要充分利用图形,做到线段和坐标的互相转化;
(2)利用函数图像判定函数值何时为正,何时为负,同样也要充分利用图像,要使y<0;,其对应的图像应在x轴的下方,自变量x就有相应的取值范围。
例3、二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示,则:
a 0; b 0;c 0; 0。
说明:二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图像与系数a、b、c、 的关系 :
系数的符号 图像特征
a的符号 a>0. 抛物线开口向
a<0 抛物线开口向
b的符号 b>0. 抛物线对称轴在y 轴的 侧
b=0 抛物线对称轴是 轴
b<0 抛物线对称轴在y 轴的 侧
c的符号 c>0. 抛物线与y轴交于
C=0 抛物线与y轴交于
c<0 抛物线与y轴交于
的符号
>0.
抛物线与x 轴有 个交点
=0
抛物线与x 轴有 个交点
<0
抛物线与x 轴有 个交点
三、小结本节课你学到了什么?
四、布置作业:课本作业题第5、6题
补充作业题:已知二次函数的图像如图所示,下列结论:
⑴a+b+c﹤0 ⑵a-b+c﹥0 ⑶abc ﹥0 ⑷b=2a
其中正确的结论的个数是( )A 1个 B 2个 C 3个 D 4个
教学后记:
课题:2.3二次函数的应用(1)
2.3.1 把握变量之间的的依赖关系
教学目标:
1、经历数学建模的基本过程。
2、会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。
3、体会二次函数是一类最优化问题的重要数学模型,感受数学的应用价值。
教学重点和难点:
重点:二次函数在最优化问题中的应用。
难点:例1是从现实问题中建立二次函数模型,学生较难理解。
教学设计:
一、创设情境、提出问题
动脑筋
一座拱桥的纵截面是抛物线的一段,拱桥的跨度是4.9米,水面宽4米时,拱顶离水面2米,想了解水面宽度变化时,拱顶离水面的高度怎样变化?
设问:
①这是什么样的函数?
②怎样建立直角坐标系比较简便?
③如何设函数的解析式?如何确定系数?
④自变量的取值范围是什么?
⑤当水面宽3米时,拱顶离水面高多少米?
⑥你是否体会到:从实际问题建立起函数模型,对于解决问题是有效的?
二、观察分析,研究问题
演示动画,引导学生观察、思考、发现:当矩形周长为8,它的一边变化时,另一边和面积也随之改变。深入探究:如设矩形的一边长为x米,则另一边长为(4-x)米,再设面积为ym2,则它们的函数关系式为
并当x =2时(属于 范围)即当设计为正方形时,面积最大=4(m2)(为什么)
引导学生总结,确定问题的解决方法:在一些涉及到变量的最大值或最小值的应用问题中,可以考虑利用二次函数最值方面的性质去解决。
步骤:
第一步设自变量;
第二步建立函数的解析式;
第三步确定自变量的取值范围;
第四步根据顶点坐标公式或配方法求出最大值或最小值(在自变量的取值范围内)。
三、例练应用,解决问题
例1 某厂生产两种产品,价格分别为P1=4万元/吨,P2=8万元/吨;
第一种产品的产量为Q1(吨),第二种产品的产量为1吨,成本函数为:
(1)当Q1=1吨时,成本C是多少?
(2)求利润L与Q1的函数关系式;
(3)当Q1=0.8吨时,利润L是多少?
(4)当Q1=1吨时,利润L是多少?
四、知识整理,形成系统
这节课学习了用什么知识解决哪类问题?
解决问题的一般步骤是什么?应注意哪些问题?
学到了哪些思考问题的方法?
五、布置作业:书P43 1、2 P49 A 1、2
教学后记:
2.3.1 二次函数与一元二次方程的联系(1)
[本课知识要点]
会结合二次函数的图象分析问题、解决问题,在运用中体会二次函数的实际意义.
[MM及创新思维]
生活中,我们常会遇到与二次函数及其图象有关的问题,比如在2008 北京奥运会的赛场上,很多项目,如跳水、铅球、篮球、足球、排球等都与二次函数及其图象息息相关.你知道二次函数在生活中的其它方面的运用吗?
[实践与探索]
例1.如图26.3.1,一位运动员推铅球,铅球行进高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系是 ,问此运动员把铅球推出多远?
解 如图,铅球落在x轴上,则y=0,
因此, .
解方程,得 (不合题意,舍去).
所以,此运动员把铅球推出了10米.
探索 |
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