谈计算题的总复习

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整数、小数和分数的四则计算及其四则混合运算是小学数学的重要内容，是提高解答应用题和几何问题能 力的基础，直接影响着学生的智力和非智力因素的发展。复习计算部分的内容时，既要重视基础知识与基本技 能，又要重视综合运用知识解题的灵活性，以便达到现行大纲关于“使学生能够正确地进行整数、小数、分数 的四则计算，对于其中一些基本的计算，要达到一定的熟练程度，并逐步做到计算方法合理、灵活”的教学要 求，从小给学生打好数学的初步基础，为提高未来人才素质奠定基础。下面介绍一下我们进行计算部分总复习 的做法与体会。
    一、梳理归纳，沟通联系，强化基础
    对学生平时分散学习的整数四则的口算、笔算和珠算，小数四则计算，分数四则计算以及整数、小数、分 数四则混合运算的知识和技能，应当在总复习中进行整理和归纳，使知识系统化，帮助学生形成新的认知结构 ，以便加深理解和运用，进一步提高计算能力。例如：
    1.四则的计算法则。整数、小数、分数加减法的计算法则的叙述虽然不同，但实质都是“计数单位相同才 能直接相加减”。所谓“数位对齐，低位算起”、“小数点上下对齐”，都是为了把计数单位相同的数对齐； “把异分母分数化成同分母分数，再加减”以及“分数和小数相加减要先把分数化成小数或把小数化成分数再 加减”，也是为了统一计数单位，然后再加减。而小数乘、除法计算的关键是小数点的处理问题，即积中小数 点的位置，小数作除数时除法的转化（移动小数点转化成整数）和商的小数点的位置。分数乘法法则要与分数 乘法的意义联系起来理解；分数除法要转化为分数乘法再计算。
    笔算有明确的法则，固定的程序，清楚的表达式子，不仅可以明确地反映出计算结果，而且能完整地展示 计算中的思维过程，清晰明了。通过复习要让学生进一步弄清算理（是学生进行计算的依据，是计算时的思维 过程）和法则，掌握方法和要领，以减少计算错误，提高计算速度，降低计算难度。复习时应针对学生的薄弱 处，精选题目，组织当堂训练，以利于学生明确算理，掌握计算法则。
    2.四则计算结果的判断。根据四则运算的意义和规律进行估算，可判断计算结果的合理性。例如：
    整数除法中，估算商的位数与近似商。
    小数乘法中，推知积中小数部分的位数。
    加法计算中（加数不为0），和大于加数。
    减法计算中（减数不为0），差与减数都小于被减数。
    乘法计算中（因数不为0），一个因数小于1（纯小数、真分数）时，积小于另一个因数；一个因数大于1时 ，积大于另一个因数。
    除法计算中（被除数、除数都不为0），除数小于1（纯小数、真分数）时，商大于被除数；除数大于1时， 商小于被除数。
    应用这些规律，可以迅速判断计算结果的合理性。
    3.四则计算中各部分之间的关系，是进行验算和解简易方程的依据。通过实例让学生说出各部分之间的关 系式，然后归纳概括成如下形式（便于记忆）：
    附图{图}
    4.运算定律和性质，不仅是四则计算法则的依据，也是进行简便运算的依据。小学阶段学习的五个运算定 律和两个运算性质可归纳如下：
    附图{图}
    这些运算定律和性质都有可逆性。
    另外，五条基本性质的叙述及其主要用途如下：
    商不变性质，用于简算和小数除法计算法则的推导。
    分数的基本性质，用于约分、通分。
    小数的基本性质，用于小数的改写与化简。
    比的基本性质，用于比的化简和求比中的未知项。
    比例的基本性质，用于检验比例、组比例和解比例。
    5.小数、分数、百分数的互化方法可概括为右图。
    附图{图}
    二、剖析范例，突出重点，提高能力
    新大纲对计算能力的教学要求分为“会”、“比较熟练”、“熟练”三个层次，教师要正确把握大纲对不 同计算内容所提出的不同层次的具体要求（如：小数四则笔算、简单的口算及分数四则的笔算，要求比较熟练 地计算；而简单的分数四则口算和分数、小数四则混合运算只要求正确计算），通过有目的、有针对性的复习 和训练，使学生的计算能力切实达到大纲的要求。
    1.明确算理，掌握方法和基本技能。
    根据数学计算内容的特点，我们提出了“四过关”的教学目标：
    第一，单步计算过关（一步的口算、笔算做到正确无误）；
    第二，数的互化过关（整数、小数、分数、百分数之间的互化，包括整数与假分数、带分数之间的互化， 要正确、熟练）；
    第三，运算顺序过关；
    第四，算法的选择过关（在进行简算和分数、小数四则混合运算时，能根据具体情况灵活选用合理的方法 进行计算）。
    复习中，着重进行了以下两方面的训练：
    一是口算训练。大纲指出，口算既是笔算、估算和简算的基础，也是计算能力的重要组成部分。口算的内 容以各册课本后附的口算题为重点，要突出重点。还要引导学生整理、熟记一些常用数据，如：25×4、125× 8等可凑整的相关算式；分母是2、4、5、8、10、20、25、50、100的最简真分数化成小数、百分数的数值；3. 14的1～10倍数等，以便提高计算效率。
    二是基本题的训练。对典型的基本题的训练能促进学生观察、分析与判断能力的提高，从而强化对某一知 识的理解，巩固和提高解题技能。
    例1 判断下面各题怎样计算比较简便：
    1
    263+98 261-197 0.5+───
    3
    2 3 3
    3.4-1───── 6.3×1──── 3────÷3
    3 7 4
    1 1 2 3 3
    4────÷2.6 2────×5 3──+1──+2──
    3 4 5 8 5
    例2 想想运算顺序，直接写出得数：
    2 2 6 1 7
    3+──-3+─── ───+───×──
    5 5 7 7 8
    4 4 1 1 1
    ──×8÷──×8 2──-2──÷2───
    7 7 3 3 3
    1 3 3
    ───×2-1÷3 3÷───+───÷3
    3 4 4
    例3 判断正误（在题后括号里打“√”或“×”）：
    72-0×72=72( ) 12-12÷12=0( )
    1×1÷1=0( ) 5×3÷5×3=1( )
    700÷200=7÷2=3……1( )
    上面例1重点复习与训练学生凑整简算的方法，分数与小数混合计算的一般规律。
    例2、例3重点复习与训练四则运算的顺序和1与0在计算中的特性。
    例4 在括号里填上适当的数：
    ( ) ( ) 5 ( )
    1=─── 9=7─── 7──=5───
    5 3 8 8
    4 ( ) ( )
    10────=9───=8────
    5 5 5
    例5 计算：
    1 2 14
    2-─── 3──-1───
    4 15 15
    1 5 7 1 5 8
    8───-3───-2─── 14──-3───-7───
    4 6 8 3 6 9
    这两题是针对带分数减法中分数部分不够减需要“退位”计算这一难点设计的。例4中有把整数化成指定分 母的假分数，从带分数整数部分退1、退2化成相应的假分数或带分数的，这些基本技能都是计算整数减去一个 分数，带分数减法中分数部分不够减时必备的基础。例5正是这类难点的强化训练，通过这样的实例训练，可帮 助学生克服难点，提高计算能力。
    在分数四则计算中，对中差生提出了分数计算过程“三不省略”的要求，即通分过程不省略，数的互化过 程不省略，除法变乘法一步不省略。这样从实际出发，减少了计算中的错误，提高了学生做题的效果和学好知 识的信心。
    例6 计算：
    2 3 1 1
    2──×6×1── 3──÷8÷3───
    3 8 2 5
    1 3 4
    24×1──÷14 6──÷5×3───
    6 5 7
    5 3 3 35
    15÷──÷6 4──÷15×──÷───
    6 8 5 72
    分数与整数乘除混合运算中，往往因整数的变化失误而导致计算错误。上面这道题采取对比练习，以辨别 异同，深化理解，掌握方法。
    2.解析范例，典型引路，提高能力。
    在复习过程中，注意引导学生从整体上巩固与掌握所学的计算知识与技能，并结合典型例题的解析予以综 合运用，灵活解题，从而提高计算能力。
    要精心设计例题，每组例题都要有一二个侧重点。搞好计算部分的总复习，关键在于每节课都能精选具有 针对性与典型性的例题和习题，让各类学生都能受益，调动起学生主动参与和积极性。
    例1 计算：
    (1) 1-1×(0÷1)+1÷1
    1 1 1 1 1
    (2) ──÷──-(───-───)÷───
    3 3 3 3 3
    2 3 1
    (3) ───+0.25÷───×1-───
    3 4 3
    (4) [1.9-19×(2-1.9)]÷1.9
    (5) 7.6÷[7.6+7.6×(7.6-7.6)]
    3 1 2 1
    (6) [───-0÷(───+───)]×1───
    4 7 13 3
    出示例题后，先让学生审题，弄清运算顺序（画线、标号、定步骤），然后再动笔计算。主要复习和运用 1和0的特性解题。教师巡视时，要抓住有代表性的错解进行评析，以引起学生注意，及时反馈矫正。
    例2 计算：
    (1) 1018-10517÷13+17×107
    (2) (4.32+12.7)-(1-0.74)
    (3) 108×[(113+37)÷(38-26÷2)
    侧重点是：第(1)题中的第二级运算（10517÷13和17×107）可以同时计算，注意商中的"0"和因数中的"0 "；第(2)题中的两个小括号可以同时脱去；第(3)题中的第二个小括号内有两级运算，要先算除法，可以同时算 出两个小括号内的得数。
    例3 计算：
    3 1 7
    (1) 6───-2───+5───
    4 5 10
    1 3 5
    (2) 3───÷1───×1───
    3 5 6
    1 5 7
    (3) 8───-3───-2───
    4 6 8
    1 1 3 11
    (4) 2───÷5───×3───÷2───
    6 5 7 14
    5 1 3
    (5) 10÷───+2───×4-3───
    9 6 4
    1 1 3 1 1
    (6) 3───×[1───-(───+───)]÷2───
    2 6 4 12 3
    侧重点：第(1)、(2)题的运算顺序是自左而右，而不是先算"+"、“×”，排除对“先乘、除，后加、减” 的误解；计算中一次通分、一次互化，可使计算简便些。
    第(3)题一次通分后，接着就需要解决被减数中分数部分不够减的问题。
    第(4)题仍要强化运算顺序和一次同时互化（带分数化假分数）、转化（除法变乘法）、约分计算的训练。
    第(5)、(6)题是分数四则混合运算，仍要强调：“①运算顺序；②
    1 5分数与整数相乘的法则；③1───-───的转化；④乘除一次转化 、
    6 6约简”这样儿点实际应用技能，进行相应的训练。
    分数、小数四则混合运算的算法选择，是教学难点之一，应作为复习的重点。可采取适当对比、集中解决 的方式进行复习和训练。进行时，先引导学生总结分数、小数四则混合运算的一般规律（方法）：
    第一，分数、小数加减混合运算，一般把分数化成小数计算比较方便；如果分数不能化成有限小数，又不 允许取近似值时，则把小数化成分数再计算。
    第二，分数、小数乘除混合运算，一般先把小数化成分数后再计算（便于先约分）；当把除法转化成乘法 后，一般的计算方法是：
    若小数和分数的分母可约分，且能把分母约简为1时，就直接约分计算；否则，把小数化成分数后再计算。
    当把分数化成小数能使计算简便时，就把分数化成小数再计算。
    同时要强调三点：①运算顺序正确；②尽量瞻前顾后（做一步看两步），注意用简便方法计算；③计算过 程要一步一回头，及时检验。然后结合实例，有重点、有针对性地指出一些应注意的地方。
    例4 先说说画线部分选用什么算法，然后计算：
    5 3
    (1) 3───+4.5-1───
    6 4
    ──────
    3 2
    (2) 3───-0.63+1───
    4 5
    ───────
    2 3
    (3) 4───-2.4-1───
    5 5
    ──────
    1 1
    (4) 4───×(4───÷2.2)
    5 8
    ───────
    3 2
    (5) 4.8-(1───+2.4÷2───)
    4 3
    ──────
    1 2
    (6) 5.2÷3───-1───×0.7
    5 3
    ─────── ──────
    5 1
    (7) (9.3×───-7.3)÷2───
    6 4
    ──────
    2 1
    (8) (4-3.5×───)÷1───
    3 9
    ──────
    本例的重点是引导学生分析各题应选用什么算法较简便（总结、验证上述规律），侧重于思维训练，而不 是让学生盲目地计算。
    例5 计算：
    3 2 5
    (1) 2.4÷───+9.6×───-───
    4 3 7
    1
    (2) [2-(11.9-8.4×1───)]÷1.3
    3
    5 2 1
    (3) [───+16.5÷(3───-1.75)]÷3───
    6 5 4
    8 3 1
    (4) 1.4÷[───×(7.5+3───×───)]
    25 4 3
    2 3 15
    (5) 1───+[7.8-3───÷(2.4×───)]
    3 5 16
    本例可让学生口述解法，教师板书，并瞻前顾后，随时提问，启发思考，述说算理，深化理解，掌握方法 ，提高技巧。
    另外，要重视简便运算，提高灵活、合理计算的能力。衡量学生计算能力的高低是看他能不能在正确计算 的基础上，根据题目的具体情况灵活地选择合理的计算方法。有些式题没有现成的简算条件，应引导学生分析 特征，找出隐蔽的简算因素，在运算过程中灵活变换形式，进行简算。
    例6 口述下面各题简算过程的根据（不必算出得数）：
    (1) 357+196=357+200-4=……
    (2) 2356-398=2356-400+2=……
    (3) 95.6-28.9-41.1=95.6-(28.9+41.1)=……
    6 7 6 7
    (4) 1───+6.7+───=(1───+───)+6.7=……
    13 13 13 13
    3 2 3 1 3 3
    (5) 7───-(4───+1───)-1───=7───-1───-(4
    5 3 5 3 5 5 2 1───+1───)=…… 3
    3
    (6) 76×102-76×100+76×2=……
    (7) 375÷25=(375×4)÷(25×4)=……
    (8) 25×32×1.25=(25×4)×(1.25×8)=……
    1 1
    (9) 5.24×───+0.25×2.76=(5.24+2.76)×───=……
    4 4
    1
    (10) 1÷9×42-15÷9=───×(42-15)=……
    9
    例7 计算（能简算的要用简便方法计算）：
    2
    (1) 4.25×2───+67.5×0.24-2.4
    5
    1 3
    (2) 2───×25.75+0.5×25───+25.75
    2 4
    1 3
    (3) 3.25-(2.38÷1───+1.62×───)
    3 4
    (4) 11×11×11-11×11-10
    4 5
    (5) (27×1───+6───×27)×1.25
    9 9
    还要特别重视巩固和提高学生列综合算式（或方程）解方字题的能力。文字题是用文字形式叙述数量关系 的计算题，它是联结四则式题与应用题之间的桥梁。解文字题的关键是根据四则运算的意义及算式各部分的名 称、关系和文字题的表述方式，掌握思考方法，采用顺推法、逆推法或缩句法，把文字题“释放”成式题或方 程。
    例8 (1) 35个8减去7除350的商，差是多少？
    3
    (2) 72的───比72的45%多多少？
    4
    5 1
    (3) 一个数的2.4倍的───比3.2的1───倍还多0.45，这个数
    12 4是多少？
    4
    (4) 一个数加上4───与6的倒数的积，和是2.8，求这个数。
    5
    可逐一出示例题，启发学生分析思考，说出算理，列出综合算式或方程，重点是复习与训练学生口述解法 的根据（算理及相关知识），进行思维训练，而不侧重于计算。
    总之，要通过对典型例题的解析，复习巩固已学过的知识、技能和技巧，提高计算能力。内容上，要通过 一例，复习一片，起到范例引路，举一反三的作用。方法上，要改教师平时的“一言堂”为学生积极参与的“ 群言堂”，培养学生独立思考、发表见解的能力。教师对例题要有针对性地指引思路，适当点拨，多让学生动 脑想、动口说、动手算。要注意总结基本规律，不平均用力，力求做到精讲精练，讲求实效。
    三、强化训练意识，优化训练方法
    练习是使学生掌握知识、形成技能、发展智力的重要手段，练习主要在课内进行。计算部分的复习应以训 练为主，在练中悟理，在练中提高。要认真组织练习内容，明确目标导向，进行正确的认知操作和及时的信息 反馈。要以思维训练为中心，引导要新，思路要清，方法要活，训练要实，让学生在动态思维训练中拓展思路 ，发展智力，提高能力。
    四、培养良好的学习习惯，提高总复习效益
    在总复习过程中，要注意培养学生良好的学习习惯。要求学生认真审题，看清题目中的每一个数据和运算 符号，确定运算顺序，选择合理的运算方法，做到书写工整、规范；在计算过程中，能口算的要坚持口算，不 能口算的要清晰地写出笔算的过程或简算过程；计算结束后，要自觉地检验计算过程是否合理，计算方法是否 简便，计算结果是否正确。这样，通过总复习的全过程，既巩固了学生已获得的知识与技能，提高了学生的计 算能力，又培养了学生的科学观念和精神，促进了学生个性品质的发展，有助于学生素质的全面提高。