新课程理念下的创新教学设计-初中数学

李甫田

   
  

第五章　统计与概率案例分析
案例４　频 率 与 概 率
一、课　题

频率与概率　　

二、教　材

义务教育课程标准实验教科书数学 （七至九年级，北京师范大学出版社）九年级上册第六章第一课时。　　

三、教学任务分析

１．内容分析

在七年级上、下册中，教材已经呈现了随机事件、等可能随机事件、随机事件的概率等基本概念，展示了利用树状图计算简单随机事件的理论概率的方法；通过探求一枚硬币抛掷正反面分别朝上的概率，渗透了运用某一随机事件在多次实验中出现的频率，估计该随机事件的概率的思想方法。

这一章的主要内容是通过实验方法确定某一随机事件的概率，特别是理论上无法求得的，或理论上可以求得但超出学生现阶段的认知水平的随机事件的概率。因此，这一章核心的数学思想方法是，通过多次实验用某一随机事件出现的频率估计其理论概率。

本节课是在学生已经掌握了一些统计学的基本知识，了解了普查和抽样调查两种不同的调查方式的适用范围的基础上展开的，主要目的是继续学习频数与频率这两个统计量之间的关系，深入学习统计方法，深化统计思想，发展统计观念。

本节课的内容是，确定两张纸牌牌面数字之和分别为２，３，４的概率。解决这一问题既可以运用以前学过的树状图方法，也可以运用多次实验的方法。后一种方法体现的思想与估计 “投掷一枚硬币正面朝上”的概率所用思想是一致的。因此，本课时是以前所学思想方法的延续和强化，同时，这里所用的思想方法也可以很好地解决后面几节的有关问题。也就是说，学生对本课时思想方法的认同程度，不仅涉及对本课时所得结论的理解程度，而且关系到解决后继问题的思想基础。

在确定投掷一枚硬币正面朝上的概率时，学生已有的经验中并没有类似的经验，为此，教材采用实验的方法，在学生动手体验的基础上直接引进历史上许多著名实验的结果，向学生提供尽可能多的间接经验，使学生得到 “频率趋向稳定值０?５”，进而获得 “投掷一枚硬币正面朝上的概率为０?５”的宝贵实验经验。这种经验也为后继理论分析某些由等可能事件构成的随机事件的概率奠定了理论基础。

但是，在解决本课时的纸牌问题时，学生已经能够计算出理论概率，这就为探索频率与概率的关系提供了比较背景。也就是说，学生应在求得理论概率的前提下，以理论概率做参照值，探究频率与概率的关系，发现 “实验次数较大时，实验频率稳定与理论概率，并可据此估计某一随机事件发生的概率”，从而使学生认同：通过多次实验的方法估计随机事件发生的概率。

值得说明的是，本课时的主要目的是在明确了该随机事件的理论概率的前提下，进一步探索该随机事件发生的频率与其概率的关系，而不是单纯利用频率去估计概率，重复 “一枚硬币”问题。因此，从教材的内容设计上看，本节课是从理论方法确定概率向实验方法确定概率的过渡，使学生看到实验方法可以解决更多问题。

总之，本节课最重要的内容是凸现实验方法，初步形成以实验方法估计随机事件概率的意识。

教学重点：通过学生亲自动手实验和观察计算机模拟多次试验，探索频率与概率的关系。

教学难点：（１）实验设计；（２）理解 “实验次数很大时，频率稳定于理论概率”这一结论，体会用样本估计总体的思想。

２．学情分析

本篇教学设计是在假设学生已经基本掌握以前所学概率知识的基础上展开的，但在实际教学中，不同的学生对所学知识掌握的程度可能存在差异，因此，在具体的教学设计中，还应充分考虑学生认知发展的实际水平，并以此进一步明确教学目标，优化教学过程。

３．资源分析

由于计算机模拟试验和Ｅｘｃｅｌ的统计功能在数据生成、处理以及描述等方面具有重要的作用，因此，本篇教学设计有意识地把计算机模拟实验、Ｅｘｃｅｌ的统计功能，与学生的动手实践活动进行了有效整合。计算机技术的介入，不仅提供了信息的多种表达方式，更重要的是，计算机模拟实验能够在短时间内完成大量的试验，增加实验次数，从而更好地呈现出多次实验才可能出现的频率稳定性，进而强化视觉感受，增强学生对所得结论的认同程度。　　

四、教学目标

（１）在现实情境中，理解频数、频率的概念，体会用样本估计总体的思想，能用样本频率估计总体频率。

（２）经历试验的过程，理解当试验次数较大时，试验频率的稳定与概率的内在关系，并能据此估计某一随机事件发生的概率。

（３）通过猜想、试验、观察等活动，发展合情推理能力。通过小组内部交流和小组之间的交流，发展口头表达能力。

（４）通过试验设计活动，进一步激发学生的创新思维，发展创新能力；通过合作完成实验等活动，进一步发展学生的合作交流能力。

（５）在数据收集、整理、分析的过程中，形成实事求是的态度和敢于质疑、独立思考的习惯，以及进一步发展学生合作交流的意识；通过人人参与的实验和同学之间的互助，每一名学生都能理解所学内容，进而增强学好数学的信心。　　

五、教学主要环节设计

（一）活动一：创设情景，提出问题

某商场每天大约有３０００名顾客光顾，为吸引更多顾客，该商场举办抽奖活动，具体过程如下：

顾客在装有一黄一白两球 （除颜色外，两球相同）的盒子中分别摸取球两次 （每次只允许摸出一球，记下颜色后放回并搅匀，再摸出第二个球），把两球的颜色记录下来，作为一次抽奖的结果。

如果你是本次活动的策划者，根据上述方法，本次抽奖活动能设置几个奖级？哪一个结果设为一等奖更合适？谈谈你的理由。

［设计说明］

① 从学生的现实生活中寻找问题情境和开放式的问题设计，有利于促进学生解决问题的积极性。同时，也能使学生体验数学规律隐藏在日常生活中，并能服务于生活，解决生活中的问题。

② 设计这个问题的根本目的，是通过独立思考和交流，唤醒已有的知识经验，引导学生发现三种可能的抽奖结果，并能够利用树状图求出每种随机事件发生的概率，从而为探索频率与概率的关系打下伏笔。

（二）活动二：动手实验，探索规律

１．实验设计

回顾 “投掷一枚硬币正面朝上”的实验过程，请你设计一个实验方案，估计摸到 “一黄、一白”球的概率。

２．摸球实验

（１）三个人合作，试验并记录实验次数和频率。在１０分钟内，看哪一组实验次数最多；

（２）教师利用电子表格 （Ｅｘｃｅｌ）统计各组数据，并将其转化成频率折线统计图展示出来；

（３）教师帮助学生汇总各组数据，生成并展示频率折线统计图；

（４）观察全班的折线统计图，初步探索变化规律。

３．计算机模拟实验

利用计算机进行较大次数 （几千次或几万次）的模拟实验，并绘制折线统计图。学生观察折线统计图，进一步感受频率的变化情况。

４．归纳总结，得出规律

当试验次数很大时，试验频率稳定于理论概率。

［设计说明］

① 让学生设计实验，而不是教师设计实验，即学生出主意想方法，其目的是使学生明确试验的目的，理解并把握试验程序及其意义，进而在实验中不断地校验自己的行为，克服被动执行教师的指令而不知所为的弊端。这样的活动设计有利于发展学生的认知自我监控能力，有利于提高学生的原认知水平，使学生的学习活动达到 “做数学”的水平，从而培养学生创新的意识和能力。

② 以小组合作实验为先导，通过各小组实验次数的有限次累加，初步感受频率变化的基本特征。在此基础上，利用计算机模拟技术，进一步凸现频率变化的基本特征，对频率趋于稳定形成尽可能完整的认识，从而加强学生的视觉刺激和心理感受，为学生总结归纳结论奠定基础。

③ 通过归纳总结，学生把自己感悟到的东西用语言表述出来，这一过程，不仅完成了默会知识向明确知识的转化，使活动的结果提升到更高的数学化层面上来，而且发展了学生的合情推理能力和口头表达能力，促进了思维的发展。

④ 通过该环节的活动，学生经历了 “猜测———实验设计———收集数据———分析实验结果———估计概率”的完整过程，初步体会科学研究的基本过程。

（三）活动三：问题拓展，总结提升

（１）利用计算机探索两次都摸到黄球或两次都摸到白球的频率变化情况。

（２）确定不均匀瓶盖盖面与地面着地的概率。

［设计说明］

① 利用计算机技术，对另外两种情况中的一种情况进行模拟实验，再一次观察频率的变化情况，探索频率与概率的关系，从而进一步验证和强化上述结论。

② “不均匀瓶盖”问题是学生不能利用树状图方法解决的问题，因此，通过求 “不均匀瓶盖盖面着地”这一随机事件发生的概率，可以使学生进一步认识到，利用实验方法确定随机事件概率的数学思想。

③ “不均匀瓶盖盖面着地”问题并不需要学生动手实验，只要学生能认识到用实验方法解决即可。

（四）活动四：回顾小节，布置作业

（１）回顾反思本节课的学习收获。

（２）作业：探索不均匀瓶盖不同面朝上的概率。

［设计说明］

① 通过反思本节课的活动过程，使学生认识到：用实验法估计随机事件概率是一般性的方法，即便是通过理论分析可以解决的问题，也可以通过实验的方法解决，但是，有些问题只能通过实验方法解决。

② 通过课外作业进一步体验利用实验法估计随机事件概率的思想和方法，把课堂活动延伸到课外，为下一节课作准备。

（五）几点说明

１．关于活动的设计

课堂教学过程共包含四个活动，每个活动既相对独立，又存在着不可分割的内在联系。活动一的主要目的是探索理论概率，为活动二提供比照对象，同时提出问题：概率与频率之间有怎样的关系？活动二主要从试验的角度探索概率与频率的关系。活动三主要对活动二进行补充和完善。活动四主要对活动二的结论进一步认识。活动二是本节课的核心活动，因此，要给予充分的时间，让学生充分活动，获得尽可能深刻的体验。

２．关于计算机介入教学过程

以计算机为核心的现代信息技术究竟在教学中怎样发挥作用，一直是数学教育研究者和数学教师不断探索的问题。计算机进入数学课堂教学的基本原则是，计算机要有助于学生的学习，有助于学生思维的发展。

频率稳定与概率，这一结论要在实验次数较大时才能得到。因此，教学设计中，首先让学生动手实验，在此基础上，教师利用计算机的模拟功能进一步在短时间内完成更多的实验次数，以弥补学生动手实验次数不足可能产生的 “误差”，使学生的思维不知不觉地从亲自动手获得直接体验过渡到计算机 “动手”获得间接体验，给学生一个更为精准可信的结果，进而增加了学生对结论的认可程度。

此外，利用电子表格可以迅速完成数据统计和折线统计图的绘制工作，从而减少具体统计计算活动对学生思维的干扰，使学生的思维集中在观察试验次数与折线统计图走向上，进而更加深刻地体验实验的思想和结论。

如果没有计算机技术的介入，仅仅通过学生进行有限次的实验，其结果很有可能体现不出频率趋于稳定的特征，甚至可能得出频率稳定于其他某一数值而非理论概率值。这种情况下，由于学生的亲身体验胜于教师的说教，即便教师指出实验过程中可能出现的种种误差或实验次数不够多等因素，学生的 “不良”体验也将会严重地影响学生对 “频率稳定与理论概率”的信任程度。此时学生的动手实验不但未能得出结论，反而影响了学生对结论的认可程度，最终 “屈服于”书本和教师。

３．关于教学目标的确定

确定教学目标不仅要遵从数学知识的发展规律，还要充分考虑学生的认知发展水平。由于本设计缺乏教学对象的针对性，所以笔者主要是从数学知识和思想方法发展的规律和学生的一般认知规律出发进行教学设计，没有考虑学生的具体认知发展水平。

４．关于动手实验经验

直接影响观念的形成和发展，特别是在观念形成初期。动手实践是积累直接经验的有效途径，也是获得深刻体验的有效途径。因此，学生动手实践是学习新知识的一个基本途径。

频率与概率的关系是比较隐秘的，它们之间的联系不能够通过逻辑关系推衍出来，而是需要大量的实验才能显现出来。这就需要学生亲自在课堂上进行尽可能多的试验，积累直接经验，进而从直接积累的经验中推演出频率的稳定性及 “当实验次数较大时，频率稳定于理论概率”的结论。　　

六、教学过程设计

（一）活动一

问题１：谈谈你最喜欢的篮球明星的情况。

教师与学生行为：教师播放ＮＢＡ篮球明星的精彩表演。学生观看并畅谈自己喜爱的篮球明星的情况。

［设计说明］以学生课余生活中感兴趣的话题引出本课，不仅吸引学生的注意力，而且为本节学习频数和频率的概念提供现实背景和生活素材，体现了数学来源于实践的思想。

问题２：老师有四段篮球比赛的录像，其中每段中有一位篮球明星，但由于时间关系，只能播一段，不知道应该播放哪一段能让大多数的同学都满意，你能帮老师想一个办法，并具体实施一下吗？

教师与学生行为：学生提建议，想办法，达成共识，即在班级中普查最喜欢各个球星的人数，哪个人数最多，就播放哪一段录像，然后采取举手表决的方法由一名同学亲自收集数据，并注意说明规则，每人只许举一次手，并且只举一次。

教师帮助记录数据，并由此讲授频数的概念。此次活动中，教师应重点关注：

（１）学生对频数概念的理解。

（２）学生能否想出解决问题的方法。

（３）学生在活动中的积极性及参与意识。

［设计说明］

① 此处设计为一次全体活动，全体同学共同参与到活动中来，调动了全体学生的积极性。

② 在具体情景中讲授频数的概念，使学生更易于理解频数的概念，并感受学习频数概念的必要性，感受频数可以衡量对象出现的频繁程度。

③ 学生亲自思考解决生活中遇到的实际问题的方法和策略，并亲自解决，体验成功的喜悦，克服学习中的畏难情绪。

（二）活动二

问题：你能选择一种统计图形象地表示上面调查结果中频数的大小关系吗？

教师与学生行为：学生独立完成统计图的选择和绘画，画好之后，与组内同学交流自己的统计图并说明从统计图中获得的信息。

教师查看同学画的统计图，对有困难的同学给予适当的指导，在小组交流的过程中，倾听学生的想法，并注意引导学生分析所选择的条形统计图、扇形统计图各自的优越性，对于个别同学选择的折线统计图，教师要帮助他们分析其对于此问题来说不科学的一面。

学生展示作品并进行说明。

教师由扇形统计图讲授频率的概念。

在此次活动中，教师应重点关注：

（１）学生选择的统计图是否合理。

（２）学生在交流的过程中是否能清晰地表述所选择的统计图中所获得的信息及条形统计图和扇形统计图各自的优越性。

（３）学生对频率概念的理解。

［设计说明］

① 由扇形统计图讲授频率的概念，更易于学生理解和掌握，深化对频数和频率的概念的理解程度，感受频数和频率都可以用来衡量对象出现的频繁程度，而且频率反映频数的分布规律。

② 在交流的过程中，让学生感受解决问题方法的多样性，体会交流的必要性。

（三）活动三

问题１：我想知道在全校同学中，最喜欢这４个球员中哪一个的人数最多，应该采取哪一种调查方式？

教师与学生行为：学生发表见解。（采取抽样调查的方式）

教师对学生的见解进行剖析。当总体中个体数目较多时，一般采取抽样调查的方式，但要注意样本的广泛性和代表性。

［设计说明］

① 由解决一个班的问题过渡到解决全校的问题，让学生体会抽样的必要性，及样本应具有广泛性和代表性的特点。

② 让学生经历数据的收集、整理、计算的全过程，进一步深化对频数和频率概念的理解，感受当样本扩大时，频数和频率的变化规律，并在合作的过程中培养学生的合作意识。

问题２：当班级数依次增加时，累计 “Ａ”和 “Ｄ”出现的频数，并计算频率，填入表格。频数和频率有什么样的变化规律？

教师与学生行为：学生以小组为单位累计所抽取的六个班调查结果中 “Ａ”和 “Ｄ”出现的频数，计算频率，填入表格。发现当班级数依次增加时，频数随之增大，但频率时而增大，时而减小。

教师深入小组进行方法和合作技巧的指导。

［设计说明］通过亲身实验，让学生发现频率的稳定性，体会用样本估计总体的思想。

问题３：根据以上计算得到的数据，绘制频率变化折线统计图。你能发现什么规律？

教师与学生行为：学生以小组为单位作图，并交流从统计图中发现的规律。

教师引导学生发现频率的稳定性。

在此次活动中，教师应重点关注：

（１）学生对抽样调查知识的理解程度。

（２）学生是否能完成折线统计图，并从图中发现规律。

（３）学生是否敢于发表自己的见解，在合作过程中是否能想方设法分工合作，提高效率。

（四）活动四

问题：你能举出一些生活中应用频数和频率的例子吗？

教师与学生行为：学生各抒己见，举例说明。

教师对学生给予鼓励。

此次活动中，教师应重点关注：

（１）学生是否能将所学的知识与实际生活相联系。

（２）学生是否能清晰地表述自己的想法。

［设计说明］以生活中广泛应用频数和频率的例子结尾，让学生感受数学来源于生活，又服务于生活的实质，养成用数学的思维和方法解决生活中遇到的实际问题的习惯。

（五）活动五

作业：做一做。

（１）你认为哪个汉字的使用频率最高？

（２）看法相同的几个同学组成一个小组，设计一个简单的调查方案，粗略地估计一下它的使用频率，并将调查结果在全班交流。

教师与学生行为：学生以小组为单位，利用课下时间充分交流、讨论，寻找解决问题的方案，并具体实施，上交组内统计数据及结果。

教师组织学生在班内展示成果，组与组之间互相交流意见。

此次活动中，教师应重点关注：

（１）学生的参与意识及合作精神。

（２）学生解决问题方法的合理性与实用性。

［设计说明］

① 以学生感兴趣的话题为作业，巩固本节课的内容，提高学生的学习兴趣。

② 为学生创设课下交流、讨论的情景与机会，更有助于融洽同学关系，养成随时随地对身边的数学问题进行交流、讨论的习惯。　　

七、教学反思

１．关于教学目标

在义务教育阶段，学生学习统计的核心目标就是发展自己的统计观念，新课标也首次将统计观念作为义务教育阶段数学课程的重要目标之一，而统计观念又绝非等同于计算、画图等简单技能，而是一种需要在亲身经历的过程中培养出来的感觉，具备从统计的角度思考问题的意识。正是如此，我为学生设计了一个学生感兴趣的情境，使其贯穿于整节课的始终，随着问题的变化，引导学生完成对频数和频率的学习，感受频率的稳定性，体会用样本估计总体的思想，并让学生经历收集数据，整理数据，运用数据描述信息，作出推断的全过程，使学生在具体情境中，在亲身经历的过程中，潜移默化地发展统计观念，养成从统计的角度思考问题的习惯。

２．关于教材处理

首先，教材给我们提供了丰富的学生喜闻乐见的情境，同时，新教材更应该成为教师的一个资源库，教师应该针对地区特点，学校特点，班级学生特点，有效地利用教材，而不能生硬地完全照抄照搬。在设计本课时，我首先注意到由于篮球对场地的要求相对足球来说较小，学生在课余时间更多地参与的是篮球运动，因此，学生更乐于谈论篮球明星。其次，我国的篮球比赛成绩优于足球成绩，更有姚明在ＮＢＡ的出色表现，易于激发学生的兴趣。第三，在学习本节的时候，我校正在开展校园篮球比赛，学生对篮球的热情空前高涨。

基于以上原因，在具体情景的选择上我选择了篮球明星。

此外，教材中利用观察折线统计图，随着统计页数的增加，“的”字和 “了”字出现的频率的变化规律，让学生感受频率的稳定性，体会用样本估计总体的思想。我在设计这一环节时，想让学生亲身经历数据的收集、整理、计算过程，最后完成统计图的全过程，而教材中的情境在课堂较短的时间内不易于操作。并且，我想让学生在此与前一环节进行对比，体会普查与抽样调查两种调查方式的选择，当总体中个体数目较多时，人们往往需要采用抽样调查，让学生在此感受抽样的必要性。因此，为了达到上述目的，我扩大了总体中个体的数目，沿用了上一环节的情境，而把教材中 “做一做”的内容———调查哪个汉字的使用频率最高，留成了课后作业，给学生充分的调查、交流、讨论的时间和空间。

３．关于教学方式

根据频数与频率这节课的特点，为了让学生亲身经历统计的全过程，我设计了以活动为主的教学方式。其中包括全体活动、小组活动及个人活动，通过一次次的实验活动，完成对本节课的学习。

全体活动是刚上课时由一名同学在班级中调查最喜欢的球员的人数，使全班同学都参与到活动中来，吸引学生的注意力，为下面学习频数和频率的概念提供现实背景及生活素材。

本节课我共设计了三次不同目的、不同任务的小组活动，力求使小组活动这一新型的课堂教学方式不流于形式，真正发挥对课堂教学的促进作用。

第一次小组活动的任务是让学生在独立完成统计图的选择和绘制后，与组内的同学交流所选择的不同的统计图及从统计图中获得的信息，感受频数和频率都是用来衡量对象出现的频繁程度的量度，并在交流的过程中，听取其他同学的想法，感受解决问题的多样性。此次小组活动主要以交流为主，体会交流的重要性。教师主要发挥组织者的作用，倾听学生的想法，协助学生用自己的语言合理清晰地表达自己的思维过程，并解释其选择的合理性。

第二次小组活动的任务是完成六个班统计数据的整理、计算、观察频数和频率的变化规律。这一环节任务量较大，单独依靠个人的力量在短时间内很难完成任务。因此，此次小组活动主要以合作为主，体会合作的重要性。教师主要发挥合作者的作用，参与到小组中去，与学生合作，共同完成任务。

第三次小组活动的任务是绘制频率变化折线统计图，感受频率的稳定性，体会用样本估计总体的思想。由于此次小组活动任务量不大，因此，我把原来６人一组的小组细化为３人一组，使组内的所有人员都参与到活动中去。此次小组活动主要以合作为主。

三组不同任务、不同目的、不同形式的小组活动层层深入，使学生在交流、合作的过程中完成对本节课的学习，体现了小组活动在课堂教学中的优势，达到为课堂服务的目的。

个人活动是独立完成反映４个球员出现频数大小关系的统计图的选择和绘画。由于此次活动任务的难度较小，学生已经在七年级的学习过程中掌握了这部分知识，学生依靠个人力量可以完成。因此，此次我设计为学生独立完成。

本节课虽然以学生活动为主，但也没有完全抛弃教师的讲授，对于一些纯数学的概念及知识，教师的讲授仍是必不可少的。例如，本节课频数、频率的概念就是由教师讲授给出的。而且在本节课的教学中，我也非常重视本节新知识与旧知识之间的融合，例如本节课在全班中调查最喜欢的球员人数和在全校中调查最喜欢的球员人数，分别采取了不同的调查方式，进一步联系了前面两节课中普查和抽样调查的知识，有助于学生梳理知识脉络，对本节课的内容有一个全面的认识。　　

八、点　评

这篇案例是为适应公开课的需要而设计。整篇案例围绕四个活动而展开：

第一个活动，在全班中调查最喜欢各个篮球明星的人数，进而讲授频数的概念。这一活动以具体的情境为背景，确实能使绝大多数学生参与到数学活动中来，这既调动了学生学习的积极性，也使频数概念的引出更符合实际需要。

第二个活动，画统计图，形象地表示频数的大小关系，并由扇形统计图讲授频率的概念。这种活动的设计符合学生的认知规律，从学生画扇形统计图出发，讲授频率的概念，更易于学生理解和掌握。

第三个活动，利用对全校的６个班的调查数据，统计当班级数依次增加时，Ａ和Ｄ 出现的频数，并计算出频率，填入表格，根据计算得出的数据，画频率变化统计图，观察频率的变化趋势。这项活动，可以让学生亲身经历统计活动的全过程，初步体会频率的稳定性，有意识地引导学生体会用样本估计总体的思想，逐步发展统计观念。

第四项活动，例举频数和频率在实际生活中的应用。这项活动由学生举出生活中应用频数、频率的例子，可以有意识地培养学生从统计的角度思考生活中的实际问题的习惯，发展应用意识。

总之，这篇教学设计的出发点明确，实际的教学效果也是比较理想，尤其是这篇教学设计的结构清晰，简明，能够较好地体现 “频率与概率”之间的关系，从公开课的情况看，这是一篇比较成功的教学设计案例。

（教学设计：沈阳市皇姑区教师学校谢慧，沈阳市皇姑区第三十三中学王琼；执教：王琼；点评：辽宁省基础教育教研培训中心景敏）　　

九、我的感悟（作为读者的您，对这篇案例的看法）


   
   

李甫田

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第五章　统计与概率案例分析
案例５　极差、方差与标准差
一、课　题

极差、方差与标准差 （第２课时）　　

二、教　材

义务教育课程标准实验教科书数学 （七至九年级，华东师范大学出版社）八年级下册第１３４～１３８页。

三、教学内容分析

本节课是八年级下册第二十章第二节第二时，意在第一课时学习了极差概念的基础上学习方差与标准差的概念。

与极差的概念相比，方差、标准差的概念比较难理解。教材通过具体实例引出概念，通过对具体模型的直观认识，抽象出两个概念的定义。当然，作为典型的概念课，给学生提供一定的切身体会、深入思考的空间，使教学所必需的。

教学重点：方差的意义与计算。

教学难点：方差的意义。　　

四、教学目标分析

（１）了解方差、标准差的意义，会求一组数据的方差和标准差；

（２）根据方差与标准差的大小，能比较与判断具体问题中有关数据的波动情况；

（３）让学生经历知识的形成过程，体验方差在实际生活中的运用；

（４）进一步培养数学应用意识，以及认真、耐心、细致的学习态度与学习习惯。　　

五、设计说明

（１）为了帮助学生理解方差的概念，进而真正掌握方差的概念，在设计中，必须特别注意概念的形成过程。在教师的引导下，既要关注学生的自主探究、合作交流，又要从 “形”的角度获得感性认识，同时，从 “数”的角度获得理性认识，在 “数”与 “形”的有机结合中形成概念，并体验成功的乐趣。

（２）教学设计的基本环节是， “创” （创设情景激兴趣）、 “探”（探索新知有合作）、“导”（指导应用重规范）、“练”（练习作业助落实）、“思”（归纳反思促提高）等。　　

六、教学过程设计

（一）创设情境，提出问题

１．提出问题

教师利用电脑显示如下问题：

甲、乙两台机床同时生产直径是４０ｍｍ的零件，为了检验产品质量，从产品中各抽出１０件进行测量。测量结果如下 （单位：ｍｍ）：



问题：如果你是一名经销商，那么在甲、乙两台机床生产的零件中，你更愿意采购哪台机床生产的零件？

点评：设计者力求创设一种教学情境，提出与学生思维 “最近发展区”相适应的一些实际问题，并以此作为教学的出发点。这样做，可以达到充分激发学生好奇心和求知欲的目的。

２．深入分析、思考

学生深入思考，热烈讨论，不久就发现 “两组数据的平均数相同，无法比较”。

此时教师启发：“你能否利用你手中的网格纸采用数形结合的方法分析一下呢？”

（学生在网格纸上描出了上述表中各数据对应的点，得到图１。）

３．全班交流

教师及时引导学生进行全班交流。

在分组讨论中，有的小组将其所得图１放在投影仪上，从图１中可看出机床乙生产的合格产品比机床甲生产的合格产品要多。

有的小组将图１中的各点用折线顺次连接得图２和图３。



　点评：活动是实现综合目标的有效支点， “教师主导”尽可能“让步”于 “学生主体”，让学生有独立思考、自主实践的时间，这样做能够营造 “生生互动”的学习氛围。

教师总结归纳：图２、图３中的两幅图直观地显示出：

在平均值相等的情况下，机床乙所生产的１０个零件的直径在符合规定方面比机床甲更好，进而应该选择机床乙。

４．进一步启发、引导

教师进一步引导，从上面的图１中，我们很直观地看了甲乙两组数据中合格品的个数，但还是没能直观地发现两个样本的区别。

提出进一步的问题，学生经过一定时间的思考，得出如下结论：

（１）从图２中，能直观地看出各数据的变化情况。

（２）从图３中，能直观地反映出数据与４０相差的情况。

教师及时总结归纳：图２、图３给我们直观地显示出，在平均值相等的情况下，机床乙生产的１０个零件的直径在符合规定方面比机床甲更好，从而应该选择机床乙。

５．探　究

针对图３，教师引导学生动手计算，比较、判断数据的波动状况：

探索１：观察图３中各点偏离标准线的程度，取其平均值，即先求得各个数据与这组数据的平均数的差的绝对值，再取其平均数，请同学们计算一下。（学生自己开始计算）

甲：（０＋０.２＋０.１＋０.２＋０.１＋０＋０.２＋０.２＋０.２＋０.２）＝０.１４

乙：（０＋０＋０.１＋０＋０.１＋０.２＋０＋０.１＋０＋０.１）＝０.０６

（通过计算，学生会发现甲组数据比乙组数据波动大，前者约为后者的２.３倍）

探索２：引导学生求得各个数据与这组数据的平均数的差的平方，再取其平均数。





甲约是乙的３.２倍。

（通过观察，比较，归纳，学生大都能认识到，在衡量一组数据波动大小的 “功能”上，探索２得到的方法比探索１的方法更好。至此，揭示方差的概念的时机已经成熟。）

教师板书课题：方差与标准差。

６．抽象概括，揭示概念

（板书定义）

方差的意义：设在一组数据ｘ１，ｘ２，…，，…，ｘｎ中，各数据与它们的平均数的差的平方分别是那么我们用它们的平均数，即用来衡量这组数据的波动大小，并把它称为这组数据的方差。

教师进一步指出：

（１）一组数据方差越大，说明这组数据波动越大；

（２）由于这说明选择机床乙是有理有据的；

（３）方差的单位与样本数据一样，并且都是原数据的单位的平方。

（二）指导应用，深化理解

例１　已知两组数据：

甲：１０?８　１０?９　１１?０　１０?７　１１?２　１１?１　１０?８　１１?０　１０?７　１０?９

乙：１０?９　１０?９　１０?８　１０?８　１１?０　１０?９　１０?８　１１?１　１０?９　１０?８

分别计算这两组数据的方差。

（解题过程略。）

（让学生分析解题思路，教师板书示范，意在让学生弄清计算方差的一般步骤：先算平均数，再求方差。）

教师进一步指出：衡量一组数据的波动大小，还可以用方差的算数平方根表示，即

称为这组数据的标准差。

前面提出的有关零件直径的例子中，两组数据的标准差分别是



注意，标准差的度量单位与样本数据一致，标准差越大，波动越大。

（三）反馈练习，落实新知

学生当堂完成教材第１３８页第１题。

（四）归纳小结，反思提高

（由学生完成）TRAAAAAA

（１）对于一组数据，有时只知道它的平均数是不够的，还需要知道它的波动大小。

（２）描述一组数据的波动大小的量不只一种，最常用的是方差和标准差。

（３）求一组数据的方差的步骤是先求这组数据的平均数，再利用方差计算公式求方差；求一组数据的标准差的方法是先求这组数据的方差，再求方差的算术平方根。

（五）分层作业，巩固新知

Ａ层：课本１３９页习题１题；

Ｂ层：课本１３８页习题２题。

七、点　评

这篇教学设计的突出特点，是概念的导入和形成比较精彩。对此，设计者充分注意概念形成过程的学习心理，通过问题导入概念的学习，并通过学生的自主探究与合作交流，从 “形”和 “数”两个角度获得对概念的认识，在 “数”与 “形”的有机结合中形成概念。

此外，就教学设计的基本设想来说，设计者安排的 “创 （创设情景激兴趣）、探 （探索新知有合作）、导 （指导应用重规范）、练 （练习作业助落实）、思 （归纳反思促提高）”的基本环节，结构明快，符合新的课程理念。

美中不足的是，与前两个环节相比，教学设计中的后几个环节略显得单薄些。

（教学设计：吉林大学附属中学王秀玲；点评：吉林省教育学院教研室：孟祥静）　　

八、我的感悟（作为读者的您，对这篇案例的看法）


   
   

李甫田

   
  

第六章　课题学习案例分析
案例１　制作一个尽可能大的无盖长方体
一、课　题

制成一个尽可能大的无盖长方体　　

二、教　材

义务教育课程标准实验教科书数学 （七至九年级，北京师范大学出版社）七年级上册。　　

三、教学内容分析

用一张正方形的纸制成一个尽可能大的无盖长方体，是 《全日制义务教育数学课程标准》“综合实践与课题学习”领域的一个内容。

对学生而言，这是一种全新的学习内容，也需要全新的学习方式。对这个课题的研究，需要学生综合应用已经学过的图形的展开与折叠、字母表示数、列代数式、求代数式的值，以及利用代数式的值探索代数式所反映的规律等方面的知识和方法。“制成一个尽可能大的无盖长方体”是非常现实的内容，而且有趣，富有一定的挑战性。通过这一课题的研究性学习，让学生进一步了解数形结合思想，发展学生的符号感；在学习中，学生经历了从实际问题中建立数学模型、分析、猜测、交流、推理和反思等过程，能够体会数学与现实生活的紧密联系，这将有利于学生更好地了解数学，应用数学，增强学生学好数学的自信心。通过主动学习、积极实践，学生的空间观念也可以得到进一步发展。

教学重点：数据的收集与处理。

教学难点：如何利用离散的值细化代数式的值，进而判断最值。　　

四、教学目标

（１）经历 “从实际问题抽象出数学问题———建立数学模型———综合应用已有的知识解决问题”的过程，进一步丰富学生的空间观念和符号感。

（２）通过借助已有的信息去推理事物变化趋势的活动，发展学生的推理能力，让学生积累研究问题的一些方法和经验。

（３）在几何知识、代数知识等的综合应用中，体会 “无限逼近法”的数学思想，感受数学的整体性，体会用实验、估算法研究问题的可行性，进一步体验数学知识之间的内在联系。

（４）通过经历克服困难和获得成功的体验，增进学生应用数学的自信心，形成对数学知识的深刻理解。　　

五、教法、学法设计

采用 “问题情境———建立数学模型———猜测———求解———推理与反思”的模式，体现了重结论更重过程的课程新理念。　　

六、教学过程设计

（一）教学准备阶段

１．准　备

一张边长为２０ｃｍ的正方形纸板，一个无盖的长方体，剪刀，直尺，透明胶，细沙。

２．操　作

展开一个无盖长方体。

（学生实际操作，为用一张正方形的纸制成一个尽可能大的无盖长方体的折叠打好基础。）

３．设　疑

一张正方形的纸要怎样裁剪，才能制作一个无盖的长方体？

［设计说明］留出足够的时间让学生充分思考，以便在课堂上可以用更多的时间尝试 “无限逼近”的数学思想。

（二）课堂教学过程

１．议一议

（１）若要用一张正方形的纸板制成一个无盖的长方体，你觉得应怎样剪？怎样折？与同伴进行交流。

（学生结合自己的课前准备，分组合作，使学生的学习过程成为发现问题、提出问题、分析问题、解决问题的过程。

各合作小组挑选一名代表在黑板上演示，并口述说明：

只要在正方形纸板的四个角各剪去一个全等的小正方形便可折叠制成 （如图１所示）。

教师针对学生的出色表现，给予及时表扬，激励学生信心百倍地投入后续的学习中。）

（２）剪去的小正方形的边长与折成的无盖长方体的高有什么关系？

（学生观察，口答：相等。）

（３）若设这张正方形纸板的边长为ａ，所折无盖长方体的高为ｈ，你能用ａ和ｈ来表示这个无盖长方体的容积Ｖ 吗？

学生通过操作交流，列代数式，得出



２．想一想

（１）各小组折成的无盖长方体的容积是否相等？

（各小组之间用装细沙的方法验证：用透明胶将长方体粘好，将本组的长方体装满细沙，然后倒入相邻组制作的长方体中，通过沙的多少来判断无盖长方体的容积的大小。）

（２）随着剪去的小正方形边长的增大，所折长方体的容积如何变化？如何能更直观地表达这个变化趋势？

（让学生比较剪下小正方形与长方体的容积的大小猜想得出：剪下小正方形的边长越长，所得长方体的容积越大。）

３．做一做 （验证猜想）

（１）若剪去的小正方形的边长按整数值变化，即分别取１ｃｍ，２ｃｍ，…，１０ｃｍ时，折成的无盖长方体的容积将如何变化？请你制作一个统计图 （表），表示这个变化状况。

（借助计算器求代数式的值，制作统计表可以形象地表达这个变化，若制作折线统计图可以更直观地表达这个变化。）

（２）通过自己制作的表格，你发现了什么？

（小组合作，教师参与，各小组派代表发言：随着所剪去的小正方形边长的增大，容积先增大后减小。教师给予肯定，再次表扬，让学生感受成功的体验。）

（３）观察统计表，当小正方形边长取何值时，所得长方体的容积最大？

（学生通过制作的统计表得出：在这１０组数中，当边长取３ｃｍ时，容积最大为５８８ｃｍ３。）　　

表１



４．议一议

用边长为２０ｃｍ的正方形纸板，你能制作出容积尽可能大的无盖长方体吗？

［设计说明］这是第三部分 “做一做”的深入探究。

教师进一步设疑：是否存在容积大于５８８ｃｍ３的可能？

学生先独立思考，而后小组合作交流，结合制作出的统计表，观察无盖长方体的容积随剪去的小正方形边长的增大而变化的趋势：容积先增大后减小。

有的小组发现：可能当剪去的小正方形边长在３ｃｍ～４ｃｍ之间取值时，无盖长方体的容积Ｖ 大于５８８ｃｍ３。

探究出这个问题以后，教师设疑：若剪去的小正方形边长为小数，那么整数部分是几？如何来确定？

学生分小组合作，教师参与。

（这实际是通过加细代数式的值来考察无盖长方体容积的变化情况。）

５．做一做

在第三部分 “做一做”和第四部分 “议一议”的基础上，进一步细化代数式的值。

（１）若所剪的小正方形边长按０.１ｃｍ的间隔取值，即分别取３.１ｃｍ，３.２ｃｍ，…，３.９ｃｍ时，折成的无盖长方体的容积将如何变化？请你制作一个统计图 （表），表示这个变化状况 （借助计算器，小组合作，教师参与）。（在这一环节中，教材是以１ｃｍ，０?５ｃｍ，０?２５ｃｍ，…的间隔取值，而 本 节 课 创 造 性 地 运 用 了 教 材，以 １ｃｍ，０?１ｃｍ，０?０１ｃｍ，…的间隔取值，可以快速地将问题探究出来。）

（２）观察你做的统计表，你发现了什么？

（要求学生根据统计表中数据的变化，探索长方体容积的变化趋势和规律，再次得出：随着所剪去的小正方形边长的增大，容积先增大后减小。这一次学生得出结论所用时间较上一次的短，教师给予鼓励。）

（３）观察统计表，当小正方形边长取何值时，所得长方体的容积最大？

（学生口答：当边长取３.３ｃｍ时，容积最大为）



６?试一试

若所剪的小正方形边长按０.０１ｃｍ的间隔取值，则十分位应取几？制作统计表，你又发现了什么？

若所剪的小正方形边长按０.００１ｃｍ的间隔取值呢？

（学生按刚才的思路，分小组合作，进一步细化代数式的值，考查无盖长方体容积的变化情况。其中，有的小组发现：每一次按不同的间隔取值，没有必要９个数据都算出来，只要最大值出现即可。这样可以减少运算量，将节省下来的时间多取几个间隔进行估测。）



７．预测与评估

要使所折成的无盖长方体的容积尽可能大，如何确定剪去的小正方形的边长？

在教师的引导下，学生结合自己制作的细化统计表，探索规律。

（学生相互补充：用边长为２０ｃｍ的正方形纸板，四个角各剪去４个全等的小正方形，当小正方形的边长取３?３３３…ｃｍ，即尽可能接近时，折成的无盖长方体的容积将尽可能大。）

８．反　思

由学生谈体会，说感想，讲收获。（学生相互补充：在解决实际问题时，可以先把实际问题抽象成数学问题，建立数学模型，再综合应用所学的知识解决问题。在本节课中，寻找到用一个正方形制成一个尽可能大的无盖长方体的方法，运用了无限逼近的数学思想。）

９．布置作业

（１）用边长为３０ｃｍ的正方形纸板，如何才能制作出容积尽可能大的无盖长方体？

（作为对课堂学习的延续。）

（２）将本节课的收获与感悟整理下来，存放在成长记录袋中。　　

七、教学反思

１．成功之处

（１）课堂教学设计生动有趣，步步深入，有效地调动了学生学习的积极性。

（２）体现了学生学习的主体地位， “以学促教”，而教师是组织者、合作者、帮助者。师生之间建立了平等和谐的关系。

（３）采用 “从实际问题中抽象出数学问题，建立数学模型，综合应用已学过的知识解决问题”的模式，教学环节过渡自然，体会深刻。

（４）有效地调动了学生学习的兴趣，学生独立思考与合作交流相结合，较好地培养了学生的创新思维与实践能力。

（５）注意体现数学教学中的理论联系实际原则。

２．存在问题

在用 “加细”代数式的值考察无盖长方体容积的变化趋势时，学生讨论的时间过多，教师对教学的监控能力发挥不够理想。　　

八、点　评

在本节课的教学设计以及课堂教学中，教师提供的问题情境启发、设疑恰到好处，比较好地体现了 “教师是组织者、引导者，学生是学习的主人”的教学理念；学生通过观察、分析和操作，始终处于积极主动的状态，课堂气氛十分活跃。

结合现实生活中蕴含的大量数学知识，学生不但理解了所学的知识，而且培养了创新精神和实践能力，丰富了学生的情感体验和社会经验。

从基本环节上看，这篇案例结构比较明快，学生活动比较充分，体现 “课题学习”领域的综合学习、数学建模等比较突出。

（教学设计与执教：青岛市第二十七中学曲翠花、孙爱军；点评：青岛市教研室江守富）　　

九、我的感悟（作为读者的您，对这篇案例的看法）


   
   

李甫田

   
  

第六章　课题学习案例分析
案例９　测量树的高度
一、课　题

测量树的高度　　

二、教　材

九年义务教育三年制初级中学教科书几何 （人民教育出版社）第三册；义务教育课程标准实验教科书数学 （七至九年级，北京师范大学出版社）八年级下册。　　

三、教学内容分析

这是一节有关 “高度测量”问题的专题综合课。不仅 《大纲》下的教材 《几何》（人民教育出版社）第三册有涉及，而且义务教育课程标准实验教科书数学 （七至九年级，北京师范大学出版社）八年级下册设有专门的一节 “测量旗杆的高度”。

“树的高度”测量问题对初中生来说，不仅现实，而且富有挑战性。通过对 “树的高度”不同测量方案的探究，学生能够经历三角形相似等知识的综合运用过程，感悟数学的应用价值，体验成功的喜悦和合作的愉快。这样的素材对于培养学生的数学应用意识和实践能力十分有效。

教学重点：综合运用所学知识解决树高的测量问题。

教学难点：在不同条件下、解决实际问题的过程中，数学操作活动的原理及其方法的选取。　　

四、教学目标

（１）在具体情境中进一步理解有关相似三角形的概念及性质、三角函数等知识。

（２）应用相似三角形的概念和性质、三角函数等知识解决测量树高等有关的实际问题。

（３）进一步培养数学问题意识，提高分析问题、解决问题的能力，积累有关数学操作的活动经验。　　

五、教学过程设计

１．创设情境，提出问题

问题：底部可以到达，但顶部不能到达的物体高度的测量。

情境：打开多媒体播放器，伴随着音乐，屏幕上出现了一名小学生蹦蹦跳跳去上学的场景，她看见路边有一颗大树，银幕上飞出一行字——— “它有多高呢？该如何测量呢？”这时，画外音响起，同学们，你能帮她想出一种测量方案吗？请得髂愕姆椒ā?/p>

解题要求：画出测量图形，写出测量步骤和必须测量的数据，并根据测量数据写出计算树高的公式。

点评：情境引入自然，贴切，能激发学生的好奇心和强烈的求知欲。

２．自主探索，尝试发现

学生活动：学生独立思考，自主探究。这时，课堂内非常安静，教师巡视其中，不时给学生以启发和点拨。

交流：７分钟过去了，绝大多数学生都找到至少一种测量方案，教师建议他们以小组为单位彼此交流各自的想法。

这时，教室里一下子热闹起来，学生之间的交流非常热烈———彼此欣赏或评价，互相吸纳和借鉴。

教师参与学生的讨论之中。

点评：这一环节较好地体现了学生学习方式的转变，学生由被动的接受式学习变为自主性学习、合作性学习，这较好地体现了新的课程改革理念。

３．探究辨析，解决问题

（１）成果展示阶段。

教师提出进行全班交流、展示的教学要求。

学生们争先恐后地展示自己的设计方案，限于黑板的容量，教师利用实物投影仪不断地展示学生们的作品，力争让更多的学生的方案得以充分展示，最大限度地满足学生的表现欲。

点评：给学生思考、交流的时间和空间是被动学习方式转变的标志之一。这里的做法正可谓百花齐放，百家争鸣。

（２）学生讲评阶段。

学生分别介绍自己 （或本小组）的方案。

规则：谁提供设计方案，谁来主讲，大家评判。

方案１　如图１，我知道自己身高ＣＤ＝ｂ（指眼睛到地面的距离），在地面上任选取一点Ｄ，测出树顶仰角α，再测出Ｄ 到树底部距离ＤＢ＝ａ，可求出树高ＡＢ＝ｂ＋ａｔａｎα。



方案２　 （还未等同学们评判，立刻站起来）我们可以将方案１改进一下，只要恰当地选取Ｄ点，使得树顶仰角α＝４５°，树高ＡＢ＝ｂ＋ａ。

（学生２话音刚落，掌声响起）

方案３　可以用小镜子，利用平面镜测树高：如图３所示，在地面的一点Ｏ处放一个平面



镜，沿直线后退，直到恰好能从镜中看到树的顶端为止，这时，只要测出ＤＯ和ＯＢ，以及自己的身高ｈ，就可求出树高

方案４　如果没有小镜子，也可以找一个盛水的工具，盛满水，利用树尖Ａ 点在水中的反射影子，同样可以测得树高。

教师适时引导，启发，有针对性地鼓励学生开动脑筋，想出好的办法。考虑测量工具、客观条件等的限制。



方案５　我们可以利用太阳光线测树高，如图４，先测出小女孩的身高ＣＤ和影长ＤＥ，再测出树的影长ＢＦ，利用图２、图４中的△ＤＣＥ∽△ＢＡＦ，可求得树高

方案６　如果要是阴天没有阳光，地面上没有树影，方案５的办法就行不通了。我有一个简单的方法：如图５，将左右拇指、食指组成一个方框，移动脚步与手，使树恰好全部进入眼睛。测出此时人与树的距离ＧＥ，手与眼的距离ＥＦ，手指组成的方框高度ＣＤ，由则可测得树高：

方案７　方案６中的手指组成的方框宽ＣＤ易变，不准确，若将一张纸剪出个圆洞代替手指，而圆的直径是不变的，计算出的树高会更准确。

（这时，掌声四起，师生们都沉浸在成功的喜悦之中）。

方案８　 （在投影仪上展示一张他在一棵大树旁的照片）这是一张我外出旅游时的照片，我只要量出照片中自己的高度和树的高度，再测出自己实际的身高，利用相似就可以求出照片中树的实际高度。

教师评价：我们可以利用他的办法测量出照片上物体的高度。让我们为他的奇思妙想喝彩。

方案９　大家把问题想得太复杂了，可以拉根绳子爬上树直接测量绳子长，多简单。（他的话把同学们都逗笑了）

师生评价：对于小树我们可以采取的你的办法直接测量，而大树的顶部不能到达，应采用间接办法测量。

点评：此环节为学生创设了各抒己见、展示自我的天地，使得学生能在活动中学习，在探究中体验，在辨析中发展，充分体现了以???魈宓目?攀浇萄?枷搿?/p>

４．创设情境，拓展问题

问题：如何测量底部和顶部都不能到达的物体的高度？

当学生们沉浸在成功的喜悦中时，教师再设疑问：在上述解决树高的问题中，你运用了哪些数学知识？

学生们很快答出：

（１）运用了相似三角形的知识 （如平面镜法，影长法等）。

（２）解直角三角形。

教师用计算机演示学生中出现的典型方案，并提炼和升华出基本模型。同时提出：在生活中，如何测量底部都可以到达的物体的高度？

点评：一石激起千层浪，一个个设问又将学生带进思维的海洋，放飞他们想象的翅膀。

课堂再掀起高潮，学生们兴奋地回答，教师点击电脑，伴着潺潺流水声，飞出一幅 “江边垂杨”的风景画，画外音响起：站在江边看江对岸的垂杨，它的高度如何测量？你能想出测量方案吗？请你画图



说明。（注：不能直接过江测量，可以使用的测量工具有测角仪和米尺）

学生独立探究后小组内交流，最后全班交流。

全班交流：如图６所示，在河这一岸取Ａ，Ｂ两点，使Ａ，Ｂ两点和树底部在同一直线上，站在Ａ处看对岸树顶仰角为α，后退至Ｂ处，再测树顶仰角为β，测出身高ａ，后退距离ＡＢ＝ｂ，则得树高

５．归纳总结，拓展延伸

教师归纳，总结：在生活中，除了树高问题，我们还会遇到哪些高度的测量问题？是不是可以用类似的方法解决？

点评：这又是一个开放性问题，可以对前面的问题进行及时的提炼和升华。

学生思考，讨论：山高、楼高、塔高、人高等，可以用类似的方法解决。

６．布置作业，发展能力

（１）利用课堂中的材料，编１～２道有关高度的测量问题，并解答。

（２）留心观察生活中的高度测量问题，是否会有什么新发现？

点评：布置的作业注意减轻学生的课业负担，引导学生观察生活，学会数学地思考问题。　　

六、课后反思

（１）轻松愉快的４５分钟过去了，可是师生还沉浸在课堂的兴奋之中。我想，学生对高度的测量问题的思考还在延续，这个问题或许会伴随着学生成长而发展……

在这节课上，我通过巧设问题情境，以开放、探究性问题为引线，激发学生的好奇心和求知欲，坚持以学生自主探究为主的开放式教学，给学生充足的思考时间和充分的展示机会，真正点燃了学生思维的火花，学生的想象力和创造力令人惊讶，课堂上不同层次的学生都有成功的体验，不同的人有不同的收获。

（２）通过这节课，我深深感受到学生的创造潜力是座金矿，就看老师如何去开采。给学生难易适中的题目，放手让他们自己去探究，发现；给学生恰当的认知冲突，让学生自己去讨论，解决；给学生一个自由发展的空间，他们会回报你一个惊喜。

（３）不足之处：由于课堂时间有限，尽管在课前对开放性问题的设计已经反复推敲，但是仍显得有点拖拉，不紧凑。如果在学生探索、交流、讨论的时间控制上再紧凑一些，对开放 “度”的调控再及时一些，效果或许会更好。　　

七、点　评

在课堂教学中，教师不是知识的讲授者，而是学生学习的组织者、引导者、合作者和共同的研究者，只有这样才能真正实现教师角色的转换。

从这节课可以看出，任课教师非常重视学生创新意识的培养，重视 “情感教育”、“赏识教育”、“创新教育”的落实。在这节课的课堂上，凡是学生提出来的方案，只要合理都能得到充分的肯定和积极的评价，这样的确激发了学生的求知欲望和探索精神。

在这节课中，学生的解题策略是开放的，前后共出现了１２种方案，其中１０种是可行的精彩方案；学生对方案的分析透彻，思维敏捷。课堂气氛活跃，掌声不断，高潮迭起。

在这节课上，虽然任课教师使用的是旧教材，却讲出了新意。教师通过重组教材，精心设计开放性问题和探索性问题，较好地训练了学生的发现思维和求异思维。

这篇教学设计以全新的教育观念，独具匠心的问题设计，给学生提供了广阔的思维空间和展示舞台；多方位体现了以学生为主的开放式教学，给人以耳目一新的感觉。美中不足的是，课标教科书还要求学生经历实际测量的过程，这本身就是教学目标之一。（但需要２课时而不是目前的１课时）总之，这是一篇非常有创意的教学设计，也是一节成功的展示课。

（教学设计：吉林大学附属中学孙丽娟；点评：吉林省教育学院教研室孟祥静）　　

八、我的感悟（作为读者的您，对这篇案例的看法）


   
   

今夕何夕

有什么用吗

我们在一起

学的怎么样

dyrcj

理论