新课程理念下的创新教学设计-初中数学

李甫田

第一章　初中数学教学设计的概念与模式第一节　数学教学设计的基本含义

初中数学教学是一个复杂的动态系统，如何使系统中的各个组成要素（如教师、学生、教学方法、教学手段及教学内容等）组成最佳结构序列，充分发挥各自的作用，提高教学效能，是研究教学设计的主要任务。

教学设计作为教师进行教学的主要工作之一，对教学工作起着先导作用，它往往决定着教学工作的方向；同时，教学设计的技能作为教师专业发展的重要内容，已成为教师从师任教必备的基本功。

关于教师教育的最新研究成果表明，教师的教学能力包括教学设计能力、教学实施能力、教学反思能力三个方面。

教学设计能力是指教师综合运用各种知识和技能，根据课程标准的要求，针对学生的实际，设计体现一定理念的教学的能力，包括掌握和运用课程标准的能力，理解和选择设计理念的能力，分析和调整教材的能力，了解学生的能力，制定教学计划的能力，编写教案的能力等等。

教学实施能力是指教师在一定的教学时空，积极有效地实施所设计的教学计划，并能根据具体情况控制教学情境生成教学活动的能力，包括把握教学目标，灵活运用教学方法，组织课堂教学，创设教学情境，教学机智等等。

教学反思能力是指教师运用一定的教学理念，对自己的教学实施进行分析评价，发现问题，查找原因，进行反馈矫正的能力，包括把握学生的课堂表现，收集教学实施的有关资料，分析整理相关资料，运用分析结果反馈矫正等等。其中，教学设计能力和教学实施能力是教师的基本能力，是教师教学能力的基础，而教学反思能力则是教师教学能力的核心和进一步发展的关键。

一、教学设计的内涵及其基本特征

关于教学设计的定义，国内外学者分别有不同的阐述，比较典型的观点为：

教学设计是指运用系统方法，将学习理论与教学理论的原理转换成对教学资料和教学活动的具体计划的系统化过程。（史密斯，雷根，1993）

教学设计是运用系统方法分析教学问题和确定教学目标，建立解决教学问题的策略方案、试行解决方案、评价试行结果和对方案进行修改的过程。（乌美娜，1994）

教学设计是运用系统方法，将学习理论与教学理论的原理转换成对教学目标（或教学目的）、教学条件、教学方法、教学评价等教学环节进行具体计划的系统化过程。（何克抗，2001）

综观这些定义，它们有一个共同点：

教学设计是以教学理论、学习理论和传播理论为基础，运用系统方法分析和研究教学需求，设计解决教学问题的方法和步骤，形成教学方案，并对方案实施后的教学效果作出价值判断的规划过程和操作程序。其目的是优化教学过程，提高教学效果。

从上述定义中不难发现，教学设计具有如下基本特征：

（1）教学设计的理论基础是教学理论、学习理论和传播理论。其中，教学理论是教学设计的“内核”，系统理论和传播理论构成教学设计的“形式”。①

（2）教学设计是解决教学问题的科学方法。

（3）教学设计是操作和规划教学活动的程序和过程。

（4）教学设计是以反馈评价对教学效果进行价值判断。

（5）教学设计是一门理论和实践兼备的应用性学科。

初中数学教学设计，作为以初中数学教学为主要内容的一种特殊的教学设计活动，具备教学设计的一般特征，同时具有数学教学的学科特征，以及初中教育的独特规律。把握初中数学教学的特殊规律，遵循教学设计的一般规律，进行初中数学教学设计，是初中数学教学工作者的一项基本功。

二、初中数学教学设计的基本内容和设计过程

根据初中数学教学设计的概念可知，初中数学教学设计的基本内容包括：

（1）分析教学需求，确定教学目标（教什么），亦即教学目标设计。这是教学设计的关键所在，通常须要分析和设计学习背景、学习需求、学习任务。

（2）设计教学策略（如何教），亦即教学策略设计。在设计时，从整体把握教学策略，融会贯通地理解和运用多元化的教学策略，根据学生的实际状态，创造性地组织教学，设计出具有特色，符合教师自身特征及实际教学背景的教学策略。

（3）进行教学评价（教得如何），亦即教学评价设计，主要有四种比较典型的教学评价模式：决策性的评价模式，研究型的评价模式，价值性的评价模式，系统性的评价模式。

对以上内容的研究是初中数学教学设计的基本任务，如何运用这些内容和方法来解决教学问题就是初中数学教学设计的实施过程。

一般地，进行初中数学教学设计首先要对学习需要、学习内容、学习者、学习目标等几个要素进行分析。这里着重介绍学情要素分析。

1. 学习需要分析

学习需要是指初中生目前的状况与期望达到的状况之间的差距。分析学习需要的主要目的在于：

① 发现教学中存在的问题。

② 分析问题产生的因素，以确定初中数学教学设计能否解决。

③ 分析现有资源及约束条件，以论证解决问题的可行性。

④ 分析问题的重要性，确定优先解决的问题。

通常情况下，分析学习需要的方法有内部参照分析法和外部参照分析法。

内部参照分析法是以学习者所在的组织机构内部已经确立的教学目标为参照标准，来考查学习者与之的差距，从而确定学习需要的一种分析方法。采用内部分析法确定学习需要一般有以下几种渠道：

① 设计测试题、问卷等让学生回答，通过对其结果的统计、分析来获取期望的信息。

② 查阅学生近期的学业成绩和表现记录材料。

③ 对与学生有密切关系的人员进行访问和座谈。

外部参照分析法是指根据社会需求为参照标准，考查学习者与之的差距，从而确定学习需要的一种分析方法。这种方法在初中数学教学设计中偶有使用。

2. 初中生特征分析

初中生作为教学过程的主体，需要通过积极主动的学习，获取丰富的知识、技能和行为经验，完成学习过程。初中数学教学设计是针对教学中的问题而设计，但最终目的还是为了解决这些问题。因此，分析初中生特征就变成初中数学教学设计工作中非常必要和重要的环节。对初中生的分析包括一般特征分析、学习风格分析和初始能力分析。

初中生的一般特征是指初中生的先天因素与环境、教育相互作用下形成的，对学生产生影响的生理、心理以及社会等方面的特点。它涉及初中生的年龄、性别、心理发展水平、学习动机、人格因素、生活经验以及社会背景等诸多方面，了解这些内容对初中数学教学设计很有帮助。对学生一般特征的分析方法主要是观察法、调查法、查阅文献法等。学习风格分析、初始能力分析一般侧重于对学生个性化学习情况进行分析。

总之，现代意义下的教学设计更多地强调围绕学生的“学”而设计，通过创设恰当的情境，让学生实现有意义的建构，让学生进行再创造。从而，教学不再被看作纯客观知识的传递过程，也不再是一种完全按照事先确定的步骤进行的固定程序，而主要是学习者的再创造过程。教师对学生在学习过程中产生的错误采取较为容忍的态度，并通过师生的共同努力和学生积极、主动的参与，消除错误，获得理解性的掌握和全面的发展。

李甫田

第一章　初中数学教学设计的概念与模式
第二节　初中数学教学设计的常用模式
进行初中数学教学设计受一定的教学理论、心理学理论的影响。但是，通常情况下，初中数学教学设计的一般模式如图１-１所示。



图１-１　初中数学教学设计过程的一般模式

一、初中数学教学设计模式的基本类型

从目前国内外教学设计的研究成果来看，教学设计的模式主要有三种典型类型：以 “教”为中心的教学设计模式，以 “学”为中心的教学设计模式， “主导—主体”教学设计模式。国内数学教育工作者①提出的数学主题式教学设计的模式，值得借鉴：

数学主题式教学内容是通过需要探究的挑战性问题来呈现的；学习内容是通过问题的探究和自主学习获取的；教学形式是通过交流合作与对话来体现的；教学目标是通过 “教学逻辑”与 “学习逻辑”接通 “知识逻辑”与 “认知逻辑”实现的。主题式教学设计依从诊断与处方式教学的基本理念，因为主题是教学行为与学习行为诊断的主题，也是围绕问题解决 （即 “开处方”）的主题。为体现数学教学的中轴，主题式教学设计的基本理念应指向 “基于问题解决学习”的教学设计。这一基本理念的外延可具体涵盖以下五个方面的内容：

（１）基于 “丰富资源学习”的教学设计。数学主题式教学设计应通过有效教学问题展示教学主题，以此扩充教学信息量，扩充学习领域。为此，课堂教学设置的主题应当能确保教学内容的广度和深度。淡化教学形式，注重教学实质，就是这一基本理念的宗旨。

（２）基于 “项目研究学习”的教学设计。教学主题不是由教师单方面设置的特定知识体系的载体，它应当是教师与学生双方面在共同探索与发现中形成的，它须要共同选择、组织材料信息，并从研究中共同得到发展。教学主题应当是具有拓展性与研究性的课题，也是能引发师生共同关注的话题。

（３）基于 “师生对话学习”的教学设计。数学主题式教学设计强调师生围绕教学主题而互动，主张教学方式应由传统讲授法中教师“讲话”、学生 “听话”的教学方式转换成师生或生生平等 “对话”的教学方式。

（４）基于 “真实情境学习”的教学设计。数学主题式教学设计强调数学理论知识与现实生活或真实世界的联系，关注抽象数学与人类生存、社会发展密切相关的重大问题，使间接经验的学习由直接经验作支撑。具体地说，创设有效问题情境是遵从这一基本理念的具体体现。

（５）基于 “缄默知识学习”的教学设计。数学教学既要关注可以言传的明显知识的学习，更要关注只能意会的缄默知识的学习，前者的容量远远少于后者，后者隐含于教学情境之中，教学的功用在于感染与浸润。这一基本理念是主题式教学设计思想的特殊性表现，它能引发学生 “思维场”情境的生成，促成学生由 “学会”向 “乐学”、“会学”转化。

二、新理念下的初中数学教学设计

在新理念下，数学教学是教师引导学生进行数学活动的教学。教师的职责在于向学生提供从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极从事自主探索、合作交流与实践创新。

因此，在初中数学教学活动中，教师的重要职责在于：

（１）根据学生的实际，创造地使用教材，让学生经历数学知识的形成与应用过程。

（２）根据学生的认知特点和所学知识的特征，灵活采用多种教学形式，促进学生有效地学习。

（３）细心观察学生的表现，反思自己的教学行为，及时改进教学。

（４）对于教材中需要学生完成的任务，如归纳法则 （方法）、描述概念 （定义）、总结所学内容结构等，应首先鼓励学生通过独立思考与合作交流去给出答案，教师则在学生充分活动的基础之上介绍规范的表述，但不宜要求学生都机械记忆规范的表述。

新理念下的初中数学教学设计，是指对整个数学教学活动所作的系统策划，是把一般的教学理论应用于数学教学实践的过程，是以学习者的学为出发点，遵循学生数学学习的内在规律性，站在学习者的立场上进行数学教学目标的确定、教学策略的选择、教学媒体的应用、教学过程的描述等过程。

总之，新理念下的初中数学教学设计是以学生为中心，围绕着学生在数学学习过程中遇到的学习问题而展开的教学设计，这种设计有利于提高教学效率和教学效果，促进基础教育课程改革的实施。

新理念下的初中数学教学设计，是围绕如何有效促进学生数学学习而实施的一种设计，是数学学习理论和数学教学理论与实践之间的桥梁，是教师提出创意和决策的过程；是运用系统方法分析和解决数学教学中的问题的过程，具有鲜明的目的性，科学的计划性和有序的系统性，而不是一般的教学经验和案例；是不断循环往复的过程，包括检测、反馈、修正及再实施的认识深化过程，在这个过程中，特别讲究科学性和创造性。

必须明确，实施新理念下的初中数学教学设计，目的在于帮助学生更好地进行初中数学学习，完成学习任务。为此，教学设计要体现学生数学学习的自主性，这是核心问题；教学设计要体现情感性，注重育人功能；教学设计要让学生有更多的机会应用所学的知识，并广泛挖掘和运用各种教学资源；尤其要克服教学目标分析中的 “知识结果中心”倾向，学习分析中的 “教材中心”倾向，和教学策略制定中的 “教师中心”倾向。

１?初中数学教学设计的内容

新理念下的初中数学教学设计可以包括：

（１）教学目标。

在新理念下，教学目标一般包括过程性目标和结果性目标两个方面，也可以进一步细分为知识技能，数学思考，解决问题，情感态度等多方面．

（２）任务分析。

进行任务分析的重点在于关注几个要点：

—是关注学生的起点；二是关注学生主要的认知障碍和可能的认知途径；三是分析教学内容的重点、难点和关键；四是研究达成目标的主要途径和方法．

在这里，有两个问题十分重要：第一，要关注学生的经验基础，第二，要正确认识教材。对于前者，意味着不仅要考虑学科自身的特点，更应遵循学生学科学习的心理规律；要把学生的个人知识、直接经验和现实世界作为初中数学教学的重要资源。

对于后者，意味着要 “用教材教，而不是教教材”。创造性地使用教材是本次新课程对我们提出的新要求，教材是极其宏观性的一个蓝本，覆盖着非常广阔的时空，主要对教师教什么、学生学什么起到指向作用。但教材仅仅是教师组织数学课堂教学活动的素材，是学生进行数学学习的平台。新理念下的教材给教师留下了比较大的创造空间，进行任务分析，就必须改变 “以教本为本处理教材”的现象，根据学生实际、教学实际和当地实际，模拟教材，重组教材，编制教材，削减技巧性训练，增加其探索性、思考性和现实性的成分，为实施开放式、活动式的探究、合作、参与等新型学习方式创造条件。事实上，对初中生来说，喜好数学问题，对有关的数学活动充满好奇心，这是进一步学习数学的首要前提和发展动力。

（３）教学思路。

主要考虑具体的教学过程，包括创设的情景、活动的线索、学生可能提出的问题，可能的情况下必须附设计说明。

（４）教学反思。

主要针对如下一些问题开展反思：

是否达到预期目标？如果没有达到，分析其原因，并提供改进的方案。有哪些突发的灵感，印象最深的讨论或学生独特的想法？哪些地方与设计的教学过程不一样，学生提出了哪些没有想到的问题？为什么会提出这些问题？

２．初中数学教学设计的步骤

对于初中教学实际来说，进行教学设计可以遵循如下基本步骤，完成如下主要内容：

（１）评测学生需求，识别教学目标，进行目标分析，设计目标要求。

在新理念下，课堂教学目标不再停留在以往仅仅关注知识技能等结果性目标，而是全面考察过程性目标和结果性目标。例如，对数学而言，要将教学目标细化为知识技能、数学思考、解决问题、情感态度与价值观等多方面的具体目标。

（２）识别师生的入门行为，分析学生的学习情况与教学环境，撰写行动目标，进行任务分析。

特别要明白学生的起点是什么；在达到可能的学习目标时，学生主要的认知障碍和可能的认知途径是怎样的；学生达成目标的主要途径和方法又是怎样的。

（３）设计教学思路和实施步骤。

也就是设计具体的教学过程，尤其要考虑创设哪些具体的情景，通过哪些线索开展教学活动，学生可能提出哪些问题等等，并附设计说明。

在新理念下，数学教学设计一般可以按照如下基本环节进行：

问题情境———建立模型 （即得出有关的数学概念、法则、定理等结论）———求解与解释———应用与拓展———回顾与反思。

（４）开发评测工具，设计并从事规范化评估。

为了达到既定的教学目标，教学设计时，必须考虑评估学生应达到教学目标的具体标准是什么，通过哪些指导性策略和具体的指导性材料能够促进和改善学生的学习行为。

（５）设计与从事综述性评估，进行教后反思。

总之，在新的教育理念下，初中数学教学设计是一个学习和研究的过程。一个成功的教学离不开成功的设计，只有充分地酝酿、思考、驾驭教材，引导学生，才有可能使我们的教学精彩纷呈，高潮迭起。

按照新的教育理念进行初中数学教学设计，要按照知识技能、过程方法以及情感态度与价值观等不同方面设计教学目标，考虑短期目标、长期目标、更长目标；要将新的数学观，数学与其他学科的综合性体现在具体的内容之中；要按照知识科学性、知识体系、编排特点、知识深度设计数学知识，要充分利用生活、经验、情境、问题、背景，精心设计问题情境和教学过程，关注学生数学学习的兴趣，关注自主实践、合作探究与传统学习方式的融合与优化。

李甫田

第一章　初中数学教学设计的概念与模式
第三节　初中数学创新教学设计的几个要点①
在新的课程理念下，进行初中数学创新教学设计要注意初中数学各个不同领域关注点的变化。只有这样，才能体现新的理念，将新的理念物化到具体的教学环节，进而在课堂活动中物化为具体的课堂教学行为。

一、数与代数领域

在新的课程理念下，在数与代数领域进行初中数学创新教学设计，要关注如下几个方面的变化和发展：

１?突出从实际问题情境中抽象出代数模型的过程

初中生的学习对象已由具体的数发展为抽象的数学符号，他们将研究刻画现实世界数量关系的方程、不等式和函数。内容的呈现可以采用 “问题情境———建立模型———求解与解释———应用与拓展———回顾与反思”的方式，让学生在分析问题中获得数学概念以及解决问题的方法、技能和科学态度，而不是直接呈现解决问题的算法与结果。例如，在引入一元二次方程内容时，可以采用类似下面这样具有实际背景的例子，组织学生进行讨论，获得 “一元二次方程”的模型。

［例１］　一个长为１０ｍ的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为８ｍ。梯子的顶端下滑１ｍ 后，底端将水平滑动１ｍ吗？

２?对于重要的公式、法则和规律，教学设计的素材呈现方式应有利于学生主动探索和交流

初中阶段出现的运算公式、法则比较多，它们的引出都应在尝试、猜测、推导之后加以总结，概括。教学设计要为学生提供自主探索的机会。

教学设计过程还应重视呈现那些针对数学规律进行探索，并用代数式表示规律的内容，这样，可以使学生在自主探索的过程中更好地理解代数式的意义和作用，并促进学生数学思维能力的发展。

［例２］　探索规律。

（１）计算并观察下列每组算式。



（２）已知２５×２５＝６２５，那么２４×２６＝？　　　　　

（３）你能举出一个类似的例子吗？

（４）从以上的过程中，你发现了什么规律？你能用语言叙述这个规律吗？你能用代数式表示这个规律吗？

（５）你能证明你所得到的规律吗？

３?编排例题、习题时要注意设计一定数量的应用性、探索性和开放性的问题

例题和习题的配备数量和难度都要适当，可有层次区分，例如，分为基本题和选作题两类。例题要有良好的示范性，单纯地巩固法则、公式、算法的题目要精简，每节习题的量要适当，以利于学生独立思考，避免学生学习负担过重。

习题不只是单一的常规训练题，各部分都适宜编入一些具有现实背景的问题、开放性问题和探索规律的问题，以发展学生思维的广阔性、灵活性和创造性。

［例３］　在一个长５０ｍ，宽３０ｍ的矩形空地上，建造一个花园，要求种植花草的面积是整块空地面积的７５％，请给出你的设计方案。

４?代数式、方程、函数内容的编排适宜螺旋式推进

根据学生心理发展的特点和认知结构的变化，初中阶段的代数式、方程、函数内容可以在三年的教学设计中交叉编排，体现不断深化的过程，而不宜过于集中。具体到一节课的教学设计，代数式、方程、函数的内容设计要注意承上启下，多次反复，要注意过程性的和前后联系的内容的呈现。这样做有利于学生不断加深对字母表示数、方程思想和函数思想的认识，使学生逐步学会用数学的符号和语言刻画简单的具体问题，发展建模能力和应用意识。

５?发展学生的估算意识，重视使用计算器

初中阶段应加强近似计算的有关内容，使学生知道什么时候需要近似计算以及近似的程度。例如，在现实生活中，无理数常常用它的近似值来表示和进行计算，因此，当教学设计中涉及实际问题的解是无理数时，应根据实际需要选择使用近似值来作出解答。

学生的口算、笔算在小学阶段已受到较为全面的训练。进入初中阶段，数值计算的复杂程度不断增大，数的开方、近似计算、探求规律方面都较重视计算器的作用，计算器的乘方运算、开平方运算的操作方法在具体问题求解时进行介绍即可，不必单独成为一个独立的教学单元。

６?把握 《全日制义务教育数学课程标准》的基本要求，赋予教学设计一定的弹性

《全日制义务教育数学课程标准》所列出的目标是全体学生都应达到的基本要求，教学设计编写必须明确这些基本要求，不要任意拔高，以确保基本要求的实现。

例如，对整式的因式分解，由于对分式方程和二次方程的解法只要求讨论简单的情形，所以，对因式分解只要求掌握提公因式法和直接运用公式 （平方差公式，两数和的平方公式）进行简单整式的因式分解，不要求过高的技巧，也不要求分组分解法和十字相乘法。

由于各地区、各学校以及学生个人之间存在着不同程度的差异，所以，教学设计应有弹性，可根据实际情况编入一些选学内容，也可编入一些有地方特色的材料。不过，增加的内容应注重数学思想方法，注重学生的发展，有利于学生认识数学的本质与作用，增强对数学的学习兴趣，而不应该片面追求解题的难度、技巧和速度。

７?向学生介绍有关的数学背景知识

例如，正负数、无理数的历史；一些重要符号的起源与演变；与方程及其解法有关的材料；函数概念的起源、发展与演变。

二、空间与图形领域

１?素材的选取宜注意选择那些具有现实背景的、有趣的、富有挑战性的，同时有丰富的数学内涵的内容

空间与图形的内容具有丰富的实际背景，在现实世界中有着极其广泛的应用，因此，教学设计应尽量以现实世界中有关空间与图形的问题作为学习素材。例如，变换的研究对象不仅包括长期以来人们所习惯的标准的几何图形，而且包括丰富多彩的现实世界中的二维、三维图形。充分选择和展现具有现实背景、能够体现变换思想的素材，将是这部分内容教学设计的重点。例如，在安排轴对称内容时，可以选择徽标、枫叶、雪花等现实的图案为研究对象，可以设计 “利用简单的图案，选择不同的对称轴设计对称图案”等数学实践活动，也可以选择一些有趣的问题作为素材。

［例４］　某汽车的车牌被前面的物体挡住，但从地面的水面上可以看到车牌的影子。你能从影子中确定该车的牌照号码吗？

在教学设计中，不仅要展现对称 （二维图形的对称和三维图形的对称）给人的视觉上的美感，而且应当反映其中的一些科学道理 （例如，飞机、轮船的对称能使飞机、轮船在航行中保持平衡；建筑上的对称多半是为了美观，但有时也考虑到使用上的方便和受力平衡等问题）。

２．内容的呈现要突出对实践活动过程的体验和几何活动经验的积累

空间与图形的学习过程，包括对图形的观察、操作、归纳和类比等大量实践活动。学生空间观念的培养，推理能力的发展，对图形美的感受，几何发现等都是在数学实践活动中进行的。因此，教学设计中，应特别注意突出实践活动的过程和活动经验的获取，教学内容的呈现可以通过设置问题情境，提出问题，得出猜想，最终形成命题并进行必要的证明，从而让学生体验知识的产生和发展过程。这样，既能够提高学生的兴趣，也能够使他们体会定理的形成过程及证明的必要性和价值。图形与变换的内容包括用变换研究图形的性质，用变换认识、解释现实世界中有关现象，以及利用变换设计图案等过程。教学设计要充分设计多种实践活动，使学生体会利用图形变换能够更好地认识图形与现实世界的广泛联系，积累运用变换的方法解释或处理实际问题的活动经验。

３?选择图文并茂、形式多样的呈现方式

多彩的图形是这部分内容学习的重要素材。教学设计应该增加插图，做到图形与启发性问题相结合，图形与必要的文字说明和推理论证相结合，数与形相结合，计算与推理相结合，充分发挥图形直观与坐标表示的作用，使教学设计案例图文并茂，富有启发性。

内容的呈现方式应当多种多样。例如，在编写 “图形的放大或缩小”教学设计时，可以利用图形之间的相似关系，也可以利用坐标的方法。注重教学设计呈现方式的多样化，可以激发学生的兴趣，丰富学生对内容的理解。

４?重视数学史料的作用

几何有着丰富的历史和文化内涵，结合具体的定理介绍一些相关的数学史实是十分必要的。这些材料一方面可以充实教学内容，激发学生学习几何的兴趣；另一方面也有助于学生对几何发展过程的了解，体会数学的文化价值。可以通过以下线索，向学生介绍有关的数学背景知识。

（１）适时介绍欧几里得的 《原本》，使学生初步感受几何演绎体系对数学发展和人类文明的价值。

（２）穿插介绍勾股定理的几个著名证法 （如欧几里得证法、赵爽证法等）及其有关的一些著名问题，使学生感受数学证明的灵活、优美与精巧，感受勾股定理的丰富文化内涵 （如本书第二篇第四章案例４）。

（３）简要介绍圆周率π的历史，使学生领略与π有关的方法、数值、公式、性质的历史内涵和现代价值 （例如π值的精确计算已成为评价电脑性能的最佳方法之一）。

（４）结合有关教学内容介绍古希腊及古代中国的割圆术，使学生初步感受数学的逼近思想以及数学在不同文化背景下的内涵。

（５）作为数学欣赏，介绍尺规作图与几何三大难题、黄金分割与斐波那契数列、哥尼斯堡七桥问题等专题，使学生感受其中的数学思想方法，领略数学问题、数学命题和数学方法的美学价值。

５?把握 《全日制义务教育数学课程标准》的基本要求

《全日制义务教育数学课程标准》中列出的目标是面向全体学生的，教学设计时应充分考虑这一点。处理变换内容时，不能照搬变换几何的理论，而是用变换的方法和思想处理图形问题，尽量体现变换的工具作用，而不是刻意追求对变换性质的研究，尤其是不刻意追求对变换性质的严格证明。

关于几何证明的内容是围绕三角形、四边形的基本性质而展开的，其中包括作为推理依据的几何概念和公理，以及由此推出的一些结论 （如 “三角形内角和等于１８０度”及 “三角形的外角等于不相邻的两内角的和”），这样做可以使学生更关注定理本身和证明的基本过程。

“图形与坐标”的学习重点是对坐标法的体会和简单应用，不要任意扩大范围和难度。例如，由已知顶点坐标求三角形、四边形的面积是指，在坐标系中用割补法处理图形。这样的处理形象直观，既联系学生的已有知识和经验，又体现出用坐标法求非常规图形面积的作用。在平面直角坐标系中探究图形之间的对称、平移和相似关系，主要运用点对称、点平移和三角形相似的判定来帮助理解。

６?教学设计要有弹性，给学生的发展提供足够的空间

考虑到学生的差异，教学设计的编写要体现一定的弹性，满足学生在 “空间与图形”内容方面的不同需求，使全体学生都能得到相应的发展。

“图形与变换”部分，不同地区、不同风格的教学设计者可以选择不同的实例 （例如，研究对称时，可以著名建筑物为对象，也可以生物学中的 “左右对称、辐射对称、球辐射对称等”为例），而且对内容的要求也要留有一定余地 （例如，对图案设计的要求应有弹性、在认识各种变换的过程中应选择多样的形式和渠道。如本书第二篇第二章案例８）。

“图形与论证”部分，根据学生发展的可能性，教学设计可以采用选学内容的方式，引导对学有余力的学生探索有关图形的其他性质，并要求给出适当的证明，使学生进一步体会证明的力量。

有条件的地区，可以在教学设计的某些环节引入计算机处理有关内容。例如，借助计算机可以探索图形的性质，可以做一个图形经过轴对称、平移、旋转后的图形，可以利用坐标作图，可以从事图案的设计，可以展示丰富多彩的几何图形等，这将有利于发展学生的空间观念，进一步激发学生学习和探索几何的兴趣和热情 （本书第二篇第二章案例１３就是利用 “Ｚ＋Ｚ”教育智能软件的例子）。

三、统计与概率领域

１．选择具有现实意义、体现统计与概率思想方法的素材

统计与概率的内容具有非常丰富的实际背景，在现实世界中有着广泛的应用。因此，教学设计中应提供足够的生活实例，着重于对现实问题的探索，理解概念的实际意义，解决一些实际问题。

现实生活中有多种渠道可以提供有意义的问题，我们要充分挖掘适合学生学习的材料，既可以从报刊杂志、电视广播、计算机数据库等许多方面寻找素材，也可以从学生的生活实际中选取。例如，有关学校周围道路交通 （运输量、车辆数、堵塞情况、交通事故等）状况的调查，本地资源与环境的调查，对自己所喜爱的体育比赛的研究，讨论有奖销售等问题。这样的素材能使学生更好地认识现实世界，对现实世界中的许多事情形成自己的看法，满足学生了解这个世界的好奇心。

［例５］　调查学校附近一个人行横道的人流情况，就这个人行横道的安全和便利你能提出改进意见吗？分小组设计一个调查方案，然后以小组形式调查，并将调查和分析结果写成一个调查报告，在全班进行交流。

编写教学设计时，应当注意选取具有一定数学价值、能体现统计与概率思想的素材。第三学段中一个重要的方面是出现了样本的概念，通过对样本的分析来推断总体的特性。对这一思想学生比较陌生，教学设计中一定要选择来源于现实生活的、反映这一思想的素材，使学生在熟悉的情境中逐步体会和理解抽样的必要性。例如，可以通过在某一交通要道统计一个时段中某品牌汽车的流量和汽车总流量，来推断整个城市该品牌汽车占全部汽车的比例。学生还可以就“这个数据可靠吗”展开讨论，从中体会随机抽样的重要性。

２．内容呈现形式上要强调数据统计的过程和对事件发生概率的体验与刻画

学生只有投入到数据统计的过程中，才能更好地体会和理解数据统计的思想和有关概念，因此，这部分内容在呈现形式上要强调数据统计的过程，加强数学活动过程的展现，在活动过程中，自然地引入概念，使学生认识相应概念的意义和作用。例如，样本的概念和用样本去推断总体的思想是这部分内容的重点，也是学生学习的难点。教学设计不能仅仅以 “样本是……”的形式呈现这个概念，应把它放入数据统计过程中，使学生体会到面对一个实际问题，须要进一步收集数据时，一个非常重要的问题就是要考虑是否抽样。又如，频数分布图的制作不应只给出程序化的步骤，而要提供具有现实意义的背景，使学生在解决问题的过程中熟练频数分布图的制作方法。

［例６］　针对本市１４岁学生最喜欢看的电影，一家报纸开展调查活动。为什么以下的样本不能较好地代表全体１４岁学生的意见？

（１）全市合唱团中所有１４岁成员。

（２）某一学校全体１４岁学生。

（３）周末１４：００～１５：００到某家影院访问所有遇到的１４岁儿童。

教学设计中可以在适当的地方提出一些问题来促使学生投入数据统计的全过程。例如，解决这个问题需要收集数据吗？需要抽样吗？如何选择合适的图表来展示数据？从这些数据中你能得到什么结论？你能证实和反驳这个结论吗？

教学设计的呈现方式要有利于学生对概率意义的进一步体会。例如，教学设计中可以设计 “分别投硬币１００次、１０００次、５０００次或更多次数的实验”，使学生对频率与概率的关系有所体会，有条件的地区在教学设计中应提供利用计算机模拟这个实验的素材。教学设计中还可以介绍历史上一些数学家所做的投硬币的实验数据，使学生进一步加深理解。

第三学段的学生主要借助数字、图形和数学符号等多种材料从事数学活动，因此，教学设计应当提供机会让学生利用列表，作树状图，制作面积模型，做实验，或者应用简单的计算等多种方法来获得事件发生的概率，在多样化的活动中，使学生体会概率的意义及其刻画方法。

３?教学设计要留给学生充分探索和交流的空间

初中阶段学生独立思考和探索的愿望逐渐强烈，并能在探索的过程中形成自己的观点，能在倾听别人意见的过程中逐渐完善自己的想法。教学设计时要注意体现这个特点，要留给学生充分思考的空间。所选题材和呈现方式要使学生能亲身参与对有关数据的收集、处理、分析、解释以及对可能性的探索和体验的活动，以此培养学生的参与意识和探索精神。

教学设计可以提供一系列开放性的问题，用多种多样的尝试与想法，提供大量供学生思考讨论的材料，使学生在探索的过程中进一步理解有关概念的意义。

教学设计可以通过安排课外活动、社会调查等为学生拓展探索的空间。例如，可以收集报纸、杂志、电视中公布的数据，分析它们是否是由抽样得到的，有没有提供数据的来源，是否可靠；全班合作，分别统计一本文学书和科普书一章中出现的最常见的１０个字的次数；查阅资料，请教专家，了解降雨概率的情况；等等。这样，学生就能将数学与社会相联系，把统计与概率当作了解社会的一个重要手段，并提高自己处理问题、解决问题的能力。

４?重视与其他领域的联系以及统计与概率之间的联系

教学设计应将统计与概率和其他领域的内容联系起来，从统计与概率的角度为比、分数、百分数、度量、图像等概念提供活动背景，在解决统计与概率问题时自然地使用其他领域的知识和方法，为培养学生综合运用知识解决问题提供机会。

同时，教学设计还应重视渗透统计与概率之间的联系。例如，通过实验数据用频率来估计事件概率的大小；通过样本的有关数据对总体的可能性作出估计；等等。

５．对专业化的术语要提供丰富的背景，尽量避免单纯的计算

这部分内容中出现了一些专业性术语 （如样本、频数分布、样本方差等），教学设计应为这些术语提供丰富的背景，使学生体会它们的意义，而不要给出形式化的定义。初中阶段还要通过一些实例，丰富学生对概率的认识，这些例子可能会涉及几何概型、互斥事件、独立事件等方面知识，但引入实例的目的在于开阔学生的视野，至于术语本身则无须出现。

计算样本方差、作频数分布图等都是重要的活动，但是要把它们放到问题情境中去，不能处理成纯计算和记忆公式的内容。在教学设计中，要尽量避免在没有实际背景的情况下给出已知数据，然后借助这些数据进行计算和作图表等内容。此外，对于这些处理数据的概念和方法，它们的目的是清晰地表达数据的特征，具体的操作步骤和公式是为这个目的服务的，学生没有必要死记公式和步骤，一招一式地进行仿效。在处理较为复杂的数据时，应要求学生使用计算器。

６?教学设计应为使用计算机、计算器提供可能

有条件的地区可以引入计算机和有关软件，用来提取数据，处理数据，模拟概率实验，等等，使学生将更多的精力放在理解数据统计的思想和理解概率的意义上。

７?向学生介绍有关的数学背景知识

例如，概率论的起源、掷硬币试验、赌金分配问题、布丰（Ｂｕｆｆｏｎ）投针问题与几何概率。

四、联系与综合领域

联系与综合实践领域在第三学段 （即初中）具体体现为课题学习。进行课题学习的教学设计宜特别关注如下几个问题：

１．教学设计应有利于学生了解所学知识的现实背景

初中阶段的知识与学生的生活经验有着更为广泛的联系，并具有更强的应用价值。根据这一特点，教学设计的编写应尽量结合实际，选取蕴涵丰富现实意义的内容作为学习素材，使学生了解所学知识的现实背景。这不仅有利于数学知识本身的学习，而且有利于学生认识数学知识的作用和价值。

２．设置综合专题，使学生探讨数学知识的内部联系和综合应用

初中阶段的教学设计中应适当地设置综合的学习专题，使学生从新的角度理解和探讨已经掌握的数学知识之间的内在联系，并体验数学知识和方法在解决问题中的综合应用。这些综合专题主要可以采用以下几种方式：

（１）综合相关的数学知识或方法；

（２）综合运用不同领域知识，通过探索的方式解决开放性的现实问题；

［例７］　如图所示，矩ＯＢＣＤ的长是２，宽为１，Ａ是ＯＢ 的中点。一个球从Ａ点碰到ＢＣ 后反射到Ｆ 点，又从Ｆ点反弹到ＯＤ 边的Ｇ点，最后从Ｇ点反弹，恰好到Ｂ点。此时，ｔａｎ∠ＥＡＢ是多少？

如果球自中点Ａ沿上面的类似路径依次经三边三次反弹后，ｔａｎ∠ＥＡＢ满足什么条件能保证球回到ＯＢ 边上？



这是一个综合运用角、平行、相似、三角函数、可化为一元一次方程的分式方程等知识的问题，其答案为０.４，介于０.４与之间。

（３）利用不同的数学表达方式探索简单的数学规律。

综合专题的内容一般不能在一节课内完成，可以鼓励学生利用课外时间从事搜集资料、进行调查等活动，使他们通过实践来提高自己综合运用各种数学知识和方法解决问题的能力，并在此过程中加深对数学知识内部联系的认识。

例如，形数结合是一种非常重要的数学思想方法，它生动地展现了数学知识之间的内在联系，同时是数学知识综合运用的一种重要模式。在义务教育的不同学段，形数结合表现为不同的形式。为了使学生对形数结合有深刻的理解，可以在初中阶段的适当地方，设计一个形数结合的综合专题，从以下几个方面回顾形数结合的不同情况：

（１）回顾以前学过的有关形数结合的知识，例如根据平面规则点阵中点的排列规律，推导相应的整数列的和 （如１＋３＋５＋７＋…可表示为正方形点阵）；

（２）代数恒等式的几何意义，例如平方差公式等；

（３）运用坐标研究图形的有关性质；

（４）函数及其图像；

（５）运用面积模型获得一些事件发生的概率

李甫田

第二章　初中数学教学设计的典型案例分析

课堂教学是落实基础教育课程改革的最终保障，恰当的教学设计决定着课堂教学的方向，教师的教育理念归根结底要通过教学设计落实到课堂教学之中，进行教学设计是教师从事任教的 “看家本领”。编写初中数学教学设计报告，是初中数学教学设计的主要成果之一，在初中数学教学设计中占有十分重要的位置。编写初中数学教学设计报告的格式，一般有课堂教案、表格、流程图等形式。采用课堂教案的方式编写的初中数学教学设计报告，一般包括：课题名称、年级、设计时间、课时、教学内容、教学目标、内容分析、教具准备、设计思路、教学过程、学生活动、评估方法、参考资料等。

一、新理念下的初中数学教学设计的关注要点

在新的教育理念下，进行教学设计，要关注如下几个基本环节：

首先，要正确把握新的教育理念，其核心部分是，数学教学是教师引导学生进行数学活动的教学；教师的职责在于向学生提供从事数学活动的机会，在活动中激发学生的学习潜能，引导学生积极从事自主探索、合作交流与实践创新活动；等等。

其次，在真正理解新理念的基础上，必须依据学生的实际，创造性地使用教材，让学生经历知识的形成、发生发展过程以及应用过程；对于教材中需要学生完成的任务 （如归纳法则 （方法）、描述概念 （定义）、总结所学内容结构等），首选鼓励和激励策略，即鼓励学生通过独立思考与合作交流去给出答案；而后，教师在学生充分活动的基础上，介绍规范的表述，而不宜要求学生都机械记忆规范的表述。

再次，根据学生的认知特点和所学知识的特征，灵活采用多种教学形式，促进学生有效地学习。

最后，根据课堂实际的实施情况，及时反思自己的教学行为，适时改进教学．

二、新理念下的初中数学教学设计过程例说

下面我们结合义务教育课程标准实验教科书数学七年级 《统计图的选择》①的实际内容，分析教学设计的具体过程和步骤。

１?第一步：评测学生需求，识别教学目标，进行目标分析，设计目标要求

对本节课来说，具体的教学目标表现为：

● 结果性目标

（１）通过比较三种统计图中获取的信息，体会三种统计图的特点。

（２）能根据不同问题选择适当的统计图展示数据。

● 过程性目标

（１）经历搜集、整理、分析数据、作出决策的活动过程。

（２）培养学生独立分析问题，处理数据作出决策的能力。

（３）体会数据来源于生活，又服务于生活的实际意义，培养学生关心生活、热爱数学的情感。

（４）培养学生以科学数据为依据分析问题，解决问题的良好习惯。

２?第二步：识别师生的入门行为，分析学生学习情况以及教学环境，撰写行动目标，进行任务分析

本节课是在小学统计图的基础上，对统计知识的一种延续与拓展。本学段的学习，更注重学生通过统计图获取大量信息的读图能力，以及通过收集数据、处理数据 （制图）的过程，体会统计对于客观合理地判断一件事情或决策、预测一件事情起到的积极作用。

本节课的教学意义不仅仅体现在学生对统计图知识的掌握，更应该体现在学生调查了解、查阅资料等收集数据的过程中，所表现出的积极探索、合作交流的学习精神，以及在正确选择、制作统计图的过程中培养出的决策意识与判断能力。由于这节课是初中统计的学习难点之一，如果没有恰当的问题情景，没有亲身体验的机会，学生很难真正理解统计的本意。因此，这节课可以采取以现实生活为实际背景，以学生活动为主线的教学形式。

学生活动大致分为四部分：统计图中获取信息；生活中收集数据；课堂上整理数据 （选择制作统计图）；根据统计作出决策。

３?第三步：设计教学思路和实施步骤

根据本节课的内容实际和学生实际，可以将本节课处理成课前活动和课堂活动两个环节。

● 第一环节：课前准备———社会调查 （提前一周布置）。

（１）以４人合作小组为单位，调查了解生活中各行各业、各学科中应用的各种统计图。例如，气象站发布的本市２００３年月平均降水量 （条形统计图）；学校卫生室对全校学生近视情况作的统计图 （折线统计图）；某商场１０月份各部门的月销售额 （扇形统计图）；等等。

目的：能从统计图中获取尽可能多的信息，体会统计图在社会生活中的实际意义，培养学生善于观察生活、乐于探索研究的学习品质以及与他人合作交流的意识。

（实际的教学效果表明，学生搜集的统计图丰富多彩，内容涉及各行各业，充分展现了学生走进生活感受数学的高涨热情。）

（２）收集数据：以４人小组为单位调查、收集生活中最感兴趣的一件事情的有关数据 （要求：必须通过实际调查收集数据，保证数据来源的准确）。例如，科技方面的 “美国先进军事武器”；家庭生活方面的 “家庭每月收支情况”；社会生活方面的 “青少年犯罪率”；学校生活方面的 “学校教师年龄段、学历问题、学生近视眼情况”等问题。

目的：在不受教师限制的情况下，学生对他们感兴趣的问题展开调查采访或查阅资料，经历搜集数据的过程，并在此过程中培养学生勇于探索、团结协作的精神。同时为课堂教学中统计图的制作作好数据准备，用来源于学生真实调查的数据制作自己的统计图，极大地激发了学生作图的积极性与主动性。

注意：在必要的情况下，教师可以对学生选择的调查对象方面给予一定的指导，使调查更有实效性。

● 第二环节：合作学习。

经过初步的学习，学生能够熟练掌握统计图的特点，因此，本节课并没有完全照搬教材 （指北京师范大学出版社出版的，课程标准实验教科书数学七年级，下同）内容处理，而是组织学生从调查所得的大量统计图中获取尽可能多的信息，从而自觉体会三种统计图的特点。将重点放在如何根据统计图的特点，数据本身的特点，以及研究问题的需要合理地选择统计图，并作出决策。

（１）情境引入。

各小组派代表展示自己调查得到的统计图 （可以是照片、资料，也可以是亲自仿制的），并解说从统计图中获取的信息及此统计图对于现实生活的实际意义 （选３～４个小组代表讲解）。

目的：培养学生从统计图中获取大量信息的读图能力，并通过亲身体验归纳总结三种统计图的不同特点，以及在现实生活中的实际意义。由此引出生活中已经广泛地应用了各种统计图，从而自然地导入课题。

（２）统计图的选择 （以下将教材作了适当改动）。

① 如果我想制作一个统计图，使它能够清晰地反映世界人口１９５７～２０５０年的变化情况，你认为应该选择哪种统计图？

② 如果我想制作一个统计图，使它能够反映２０５０年各大洲人口占世界人口的百分比，你认为应该选择哪种统计图？

③ 如果我想制作一个统计图，使它能够反映２０５０年各大洲人口的具体情况，你认为应该选择闹滞臣仆迹?/p>

④ 回想刚才小组展示的统计图，“豪门”内衣在五大城市销售量统计图，可以制作成扇形统计图吗？人们对网上事业的期望的统计图，可以制作成扇形统计图吗？

⑤ 你能不能谈谈应该怎样合理选择统计图？（学生先思考，再进行小组讨论，互相补充完善，并派代表回答）

［设计说明］以问题串的形式引导学生逐步深入地思考选择统计图的条件。前三个问题的设置旨在帮助学生体会要根据研究问题的需要、统计图本身的特点选择统计图，第四个问题的设置帮助学生体会数据本身的特点也是选择统计图时应考虑的因素。在以上四个问题的铺设下，问题⑤的设置起到归纳总结的作用。

（３）统计图的选择与制作。

学生根据小组收集到的感兴趣事件的数据，结合本小组制定的研究方向，小组讨论，选择哪种统计图展示数据最合适。

小组成员各自制作统计图 （组内互相交流协商、教师给予适当帮助）。

四人小组选出制作最好的统计图展示，并派代表讲解，最终对被研究的问题作出决策。

完成调查报告 （课堂时间有限，要求课后完成即可）。例如，调查青少年犯罪率，制成折线统计图，发现青少年犯罪率在逐年上升，因此得出决策：应加强青少年的普法教育。

● 第三环节：练一练 （参看教材课后 “随堂练习”）。

其中，１ （１）题制作统计图后，应引导学生对生活垃圾问题的思考，建立 “生活垃圾分类”及 “减少生活垃圾”等方面的环保意识，渗透数学教学的德育意义。

● 第四环节：课堂小结。

鼓励学生结合本节课的学习及课前的社会调查，谈自己的收获与感想 （学生畅所欲言，教师给予鼓励），包括三种统计图的特点，怎样选择统计图，统计对于合理决策的作用，社会调查时学到的课外知识及切身感受。

● 第五环节：布置作业。

（１）教材第１８４页第６题 （经过一周的调查搜集数据，制作统计图）；

（２）完成调查报告。

４?第四步：开发评测工具，设计并从事规范化评估

在上面的这节课中，旨在通过编制系列问题、系列活动，达到评估学生、调节教学节奏的目的。例如，在情景引入中，通过 “请同学们回想：你曾学过哪些统计图？你对统计图有什么样的认识？你认为它有什么用途”等问题评估和考查学生是否达到了学习本课的预期起点，通过课前批阅同学们在生活中搜集的统计图作业，通过课堂上有选择地请各小组代表展示所收集的统计图，通过 “你们的统计图是从哪儿搜集的，你能从中读取哪些信息”等问题，导入 “三种统计图的特点”。

５?第五步：设计与从事综述性评估，进行教后反思

在这节课的设计中，设计者较好地体现了 “问题情境———建立模型 （得出三种统计图的各自特点）———求解与解释———应用与拓广———回顾与反思”的过程。同时，设计者充分考虑课堂上的综述性评估的落实，例如，在 “统计图的选择与制作”的教学环节，教师通过五个问题串的设置逐步引发学生对统计图选择的思考，由此铺垫学生能够完全独立地总结归纳出第五个问题，而且结论的得出来源于学生的亲身感受。

实际的教学表明，此处必须留给学生充分的时间与空间去选择，制作，并且要培养学生对某个问题作出正确判断、合理决策的能力，使学生完整地经历 “调查了解———搜集数据———整理数据———作出决策”的活动过程，体会统计决策的含义。

实际的教学显示，学生的争论、交流形成本节课实际教学的一个小高潮，激发出学生思维的火花，学生对折线统计图的特点及其选择有了更深刻、清晰的认识，其效果远远高于教师对统计图知识的讲解和强化，起到预想不到的效果。

在执教后，任课教师赵老师对本节课堂教学中的不足作了如下反思：

（１）在小组讨论之前，应该留给学生比较充分的独立思考的时间，同时，避免让思维活跃的一些学生的回答代替其他学生的思考，掩盖其他学生的疑问。

（２）对小组讨论，教师还应该进一步加强适当的指导和适时的调控，包括知识的启发引导，学生交流合作中注意的问题，以及对困难学生的帮助等，使小组合作学习更具实效性。

总之，数学教学设计是对传统的数学备课的进一步完善和发展。数学教学设计是教师在实施数学教学之前，对教学行为进行周密思考与安排的过程，是对教什么，如何教，学生如何学，要达到什么目标要求等教学要素进行系统地分析与认真研究的过程；是对如何达到教学目标，如何组织教学活动过程，以及在活动过程中将采取什么策略、方案进行的一系列系统的设计与安排。在新的教育理念下，初中数学教学设计的着眼点应放在如何创设恰当的问题情景，如何激发学生强烈的探究欲望上；应放在师与生、生与生之间的有效互动上；应放在如何更好地组织引导，激励学生进行自主学习、探究学习等数学活动上；应放在如何在数学知识与技能的学习过程中有效地实现过程与方法、情感态度与价值观等目标，进而达到 “三位一体”的效果上；应放在如何使学生真正理解数学知识上；应放在如何培养学生的探索意识、创新能力上。数学教学设计的过程，既是教学内容分析、学情分析的过程，也是数学教学目标分析的过程；既是教学策略设计的过程，也是教学过程的设计过程，同时也要关注教学反思的问题。

加强数学教学设计的研究，主动提高自己的数学教学设计能力，是促进自己的数学教师专业发展的必然而有效的途径。

李甫田

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李甫田

第三章　数与代数领域案例分析
案例１　字母能表示什么①（之一）
一、课　题

字母能表示什么

二、教　材

义务教育课程标准实验教科书数学 （七至九年级，北京师范大学出版社）七年级上册第二章第一节。

三、学生知识现状分析

（１）已经学习过一些运算律，以及一些简单图形的周长、面积、体积的计算公式，其中出现过字母。

（２）数的范围已扩展到有理数。

（３）已经具备较简单的动手能力和初步分析问题的能力。

四、教学目标

（１）经历探索规律，并用代数式表示规律的过程。

（２）能用字母和代数式表示以前学过的运算律和计算公式。

（３）体会字母表示数的意义，形成初步的符号感。

（４）通过具体操作，实践、总结、归纳，以促进学生的自我创造，培养学生的动手动脑能力，提高学生分析、归纳的能力，掌握由特殊到一般的认识方法。

（５）创设恰当的问题情境，让学生主动参与，自觉地进行操作、思考、归纳和互相讨论，使符号感的获得成为学生研究的必然结果，使学生从中体会合作与成功的快乐，由此激发其积极的数学学习热情和主动探索的勇气。

五、教具、学具准备

投影仪、火柴棒。

六、教材分析

教学重点：

（１）通过操作，思考由特殊归纳一般的规律并用字母表示一般规律。

（２）理解字母表示数的意义，建立符号感。

教学难点：

用多种方法拆分正方形，多角度认识搭建的正方形图形，探索规律，体会字母表示数的意义。

七、教学过程









八、教学反思

本课首先复习了小学学过的运算律和一些图形的周长、面积的计算公式，在此基础上用由易到难的两个问题体现新课内容，在第２个问题中引导学生很好地运用了数形结合的思想来分析解决问题。在分析问题时，学生时而独立思考，时而互相讨论，时而动手实践，时而抽象思维，教师充分调动了学生的学习积极性，培养了学生观察、听、说、分析问题、解决问题等若干方面的能力。

本课内容较多且有一定难度，教师要合理安排好时间，在具体的、一定量的问题的讨论中，注意攻破难点。

在这一教学活动中，教师只是学生学习活动的组织者、引导者与合作者。

对于学困生，教师应以百倍的爱心和信心去帮助他们，尤其是在课堂内的点滴指导与呵护，教师要相信，他们的潜力更加无限。

九、点　评

《字母能表示什么》这节课的设计，力求体现新课程改革的理念。给学生自主探索的时间，给学生宽松和谐的氛围，让学生学得更主动，更轻松，力求在探索知识的过程中，培养探索能力、创新精神、合作精神，鼓励学生大胆发表自己的意见，最大限度地调动了学生学习数学的主动性、积极性。从实施实际效果看，较好地完成了本节课的预定目标，并在数学学习活动中，使学生获得成功体验，在愉快的学习中建立自信心。

（执教：新疆乌苏市红星中学王学成；点评：昌吉州教研中心吴勤文）

李甫田

第三章　数与代数领域案例分析
案例２　字母能表示什么 （之二）
一、教学目标

（１）经历探索用代数式表示有关规律的过程，能用代数式表示以前学过的运算律和计算公式。

（２）感受代数思维的独特性，发展代数表达能力，进一步提高分析问题、解决问题的能力。

（３）进一步激发求知欲，培养乐于探索、勇于创新的精神和团结合作的习惯。

二、教材内容分析

教学重点：用含有字母的式子表示规律和计算公式及运算律。

教学难点：探索规律的过程和代数式表示规律的方法。

三、教具学具准备

学生自备一盒火柴。

四、教学过程设计

（一）创设情景，激发兴趣

教师利用游戏创设问题情景，利用好奇激发学生积极思维：

（１）每个同学随便想一个自然数，将这个数乘５减７，再把结果乘２加１４，算出结果，不要告诉任何一个人。

（２）无论你开始想的自然数是什么，按照上面的方法计算得到的数的个位数字一定是０。对吗？

（学生积极计算，而后惊讶，然后小声议论。）

（二）探究与合作

１．指导、探索

教师引导学生探索上面的问题，发现结论应该是：这个数的５倍与７的差的两倍，再加上１４，即这个数的１０倍。此即 “２ （５× 这个数 －７）＋１４”，根据分配率，它等于 “１０×这个数 ”。

２．创设新情景

教师出示第二个新问题。

如图１：

搭一个正方形需要４根火柴棒。

（１）按图１的方式，搭２个正方形需要多少根火柴棒？搭３个正方形需要多少根火柴棒？



（２）搭１０个正方形需要多少根火柴棒？

３．操作、发现

教师引导学生先独立探索，再合作交流。

学生拿出自己带的火柴棒，通过操作，积极探索。

有的学生在第 （１）问的基础上探索第 （２）问的规律。

教师巡视指导。

４．出示进一步的问题

问题：如果搭１００个这样的正方形需要多少根火柴棒？你还能猜出吗？

学生以小组为单位，进行观察，尝试，探索方法，而后全班交流。

思路１：我们小组认为共需要３０１根火柴棒，在用火柴棒所搭正方形的图形中，把它们分解成图２的形式，所以共需要 （３×１００＋１）根。



思路２：在用１００根火柴棒所搭正方形的图形中，上面的一排和下面的一排各用了１００根火柴棒，坚直方向用了 （１００＋１）根火柴棒，所以，共用了 （１００＋１００＋１００＋１）根火柴棒。

思路３：在用火柴棒所搭正方形的图形中，只有第１个正方形用４根，后面的都用３根，所以共需要 （４＋９９×３）根。

思路４：把每一个正方形都看成是用４根搭成的，然后减去多算的根数，就得到 （４×１００－９９）根。

……

５．出示一般问题

问题：如果用ｘ表示所搭正方形的个数，那么，搭ｘ个这样的正方形需要多少根火柴棒？

教师巡视，指导，学生继续分组探索，交流，而后借助投影仪进行大班汇报。

思路１：根据我们小组刚才的算法，应需 （３ｘ＋１）根。

思路２：我们小组认为共需要 （ｘ＋ｘ＋ｘ＋１）根。

思路３：按照我们的算法，应需 ［４＋３ （ｘ－１）］根。

思路４：按照我们的算法，应需 ［４ｘ－ （ｘ－１）］根。

……

６．验证、初步拓展

教师指导学生验证结论的正确性。

当ｘ＝２，３，１０时，需要多少火柴棒？几种结果是否相同？

学生积极代入验证，结果很快得到确认。

教师提出进一步的问题：根据我们验证的结果，你能求出搭２００个这样的正方形需要多少火柴棒吗？

学生确认，巩固已经得出的结果。

（三）总结概括

７．当堂总结

教师指导学生全班一起总结上面的结果：

（１）对于今天课堂上的第一个问题情景，如果我们将 这个数 换成字母ｘ，那么，会有２ （５×ｘ－７）＋１４，根据分配率，它等于１０×ｘ。

（２）摆ｘ个正方形，需要３ｘ＋１，（ｘ＋ｘ＋ｘ＋１），［４＋３ （ｘ－１）］，［４ｘ－（ｘ－１）］根火柴棒。

８．拓　展

教师指导学生回顾已经学习过的用字母表示数的有关规律。同时，教师让学生分组比赛，看哪一组写出的多，并能说出每个字母代表的含义。

学生思考交流，提出运算律、图形的周长、面积和体积公式……

（四）巩固提高

教师提出问题：

（１）用花盆摆出下列一组图形。



摆第①个图形用________盆花，摆第②个图形用_______盆花，按照这种方式摆下去，摆第ｎ个图形用________盆花。

（２）教材第９２页习题３?１第３题：“用火柴按照下面的方式搭图形。”

（五）交流体验

提出交流反思的问题：这节课你知道了什么？学会了什么？有什么发现？有什么体会？还有什么问题与困惑？

学生纷纷发表自己的感想，例如：

（１）这节课使我知道了动手操作 （摆火柴）中就能获取数学知识，感到生活中处处有数学，今后要多观察，多思考。

（２）我发现在研究图形、数量之间的关系时，用字母表示数能方便、简单、明确地表示出来。

（３）我发现找规律时，要观察它们的相同点和异同点，以及排列规律，然后从特殊推广到一般情况。

（六）作　业

教材第９２页习题３.１第１题、第２题。

五、点　评

在这篇案例及其实际的教学中，教师指导学生经历了创设情景、合作探究、总结概括、巩固提高、交流体验等五个环节。其中，教师为学生准备了与学生现实生活经验密切相关的情境，使学生思维顺理成章地达到 “实现从局限在数字的思维到用字母表示的思维的自然过渡”的目标，用字母表示规律是在学生的探索交流过程以及教师的指导下自然生成的。

当然，数学探究活动的发生不完全等同于科学探究活动，具体实物材料的摆弄和操作 （摆火柴活动）只是 “外在的活动”，而真正的数学探究往往发生在学生自己的头脑里，教师的任务就是使学生经历“直观操作、感知———感性认识———理性思考”的活动过程，同时，体验和感受数学发现过程 （从猜想到得出结论）的挑战和欣喜。从实际的教学来看，“摆火柴棒、探索规律”这一活动，无疑关注了学生对过程性知识的学习，增强了学生对数学学习过程的情感体验，对字母代表数的思维过渡起到了良好的促进作用。

（教学设计、执教：山东省济宁市任城区廿里铺中心中学秦修安；点评：李昭军）

六、我的感悟（作为读者的您对这篇案例的看法）