小学数学教后随笔精选：从每千米需要行多少小时谈起

网站工作室

如果一辆汽车3小时行195千米，那么它每小时行195÷3=65（千米），每千米需要行3÷195=3/195（时）。前一个结果是大家所熟知的速度，后一个结果可能还不被大家所了解。尽管它没有专门的名称，但它和速度一样，在解决一些稍复杂的行程问题中也起着十分重要的作用。
　　例1　某人沿着一个正方形的广场走了一圈。已知他走第一条边时每小时行1千米；走第二条边时每小时行2千米；走第三条边时每小时行3千米；走第四条边时每小时行4千米。他步行一圈的平均速度是每小时多少千米？（湖北省第四届小学生智力竞赛试题）
　　分析与解答　按通常思路，要求沿正方形走一圈的平均速度，必须知道正方形的周长和所花的总时间，而这两个都是未知量，所以我们转而考虑求平均走1千米需要多少时间。通过已知条件可以求出走第一条边时平均1千米需要行1小时；走第二条边时平均1千米需要行1/2小时；走第三条边时平均1千米需要行1/3小时；走第四条边时平均1千米需要行1/4小时。因为这四条边的长度相等，所以要求这四条边平均1千米需要行多少时间，就需要每条边都走1/4千米，因此一共需要行(1+1/2+1/3+1/4)×1/4=25/48（时），即平均每千米需要行25/48小时。所以这个人的步行速度是1÷25/48=48/25（千米/时）。
　　例2　兄弟两人骑自行车同时从甲地到乙地，弟弟在前一半路程每小时行5千米，后一半路程每小时行7千米；哥哥按时间分段行驶，前1/3时间每小时行4千米，中间1/3时间每小时行6千米，后1/3时间每小时行8千米，结果哥哥比弟弟早到20分钟。甲乙两地的路程是多少千米？（2001年《小学数学报》江苏省小学生探索与应用竞赛试题）
　　分析与解答1　因为弟弟前后两段行驶的路程相等，所以可以按照例1的方法求出平均每1千米需要行(1/5+1/7)×1/2=6/35（时）。因为哥哥按时间分段行驶，3段时间相等，所以可以求出他1小时行（4+6+8）×1/3=6（千米）。因此哥哥每1千米需要行1/6小时，哥哥比弟弟行1千米少用6/35-1/6=1/210（时）。根据哥哥比弟弟早到20分钟，可以求出甲乙两地的路程是1/3÷1/210=70（千米）。
　　分析与解答2　求出哥哥和弟弟行驶的平均速度。哥哥平均每小时行6千米，弟弟平均每小时行35/6千米。已知哥哥比弟弟早到1/3小时，弟弟在这段时间所行的路程是35/6×1/3=35/18（千米），而哥哥平均每小时比弟弟多行6-35/6=1/6（千米）。所以求出哥哥全程所用的时间是35/18÷1/6=35/3（时），甲乙两地的路程是6×35/3=70（千米）。
　　点评：解答1是先分别求出哥哥和弟弟每行驶1千米需要的时间，然后利用时间差来解决问题；解答2是分别求出哥哥和弟弟行驶的平均速度，然后利用速度差来解决问题。由于题目给的条件是哥哥比弟弟早到20分钟，属于时间差，所以相比较而言，解答1简单清晰，容易理解掌握。
　　例3　赵伯伯为锻炼身体，每天步行3小时，他先走平路，然后上山，最后又原路返回。假设赵伯伯在平路上每小时行4千米，上山每小时行3千米，下山每小时行6千米。在每天的锻炼中，赵伯伯一共行了多少千米？（第五届希望杯全国数学邀请赛试题）
　　分析与解答　因为上山和下山的路程相等，所以先算出这两段路程的平均速度。上山每小时行3千米，即每千米需要1/3小时；下山每小时行6千米，即每千米需要1/6小时。所以这两段路程平均每千米需要(1/3+1/6)×1/2=1/4（时）。由此可求出这两段路程的平均速度是每小时1÷1/4=4（千米），这和平地上所行的平均速度相等。故赵伯伯每天所行路程是4×3=12（千米）。
　　点评：此题妙在平地的平均速度和上、下山的平均速度相等，而求上、下山的平均速度正是利用上山和下山平均每千米需要多少小时所求得的。

例4　甲乙两人从A地到B地，甲前三分之一路程的行走速度是每小时5千米，中间三分之一路程的行走速度是每小时4.5千米，最后三分之一路程的行走速度是每小时4千米；乙前二分之一路程的行走速度是每小时5千米，后二分之一路程的行走速度是每小时4千米。已知甲比乙早到30秒，A地到B地的路程是多少千米？（第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛试题）
　　分析与解答1　从A地到B地，甲平均每千米需要的时间是(1/5+1/4.5+1/4)×1/3=121/540（时），乙平均每千米需要的时间是(1/5+1/4)×1/2=9/40（时），所以甲平均每行1千米要比乙少用9/40－121/540=1/1080（时）。又根据题目条件得甲比乙早到30/3600小时，故求出A地到B地的路程是30/3600÷1/1080=9（千米）。
　　分析与解答2　如下页图，AC、CD、DB各占总路程的1/3，AO、OB各占总路程的1/2。
　　根据题目条件，可知甲乙在AC段和DB段的速度都相同，在CO段乙比甲快，在OD段甲比乙快。在CO段，每行1千米，甲比乙慢2/9-1/5=1/45（时）；在OD段，每行1千米，甲比乙快1/4-2/9=1/36（时）。由于CO段和OD段路程相等，所以把CO段和OD段放到一起考虑，每各行1千米，甲将比乙快1/36-1/45=1/180（时）。实际甲比乙早到30/3600小时，因此CO段和OD段各有30/3600÷1/180=3/2（千米）。故A地到B地的路程是3/2×2×3=9（千米）。
　　点评：解答1从整体考虑，甲平均每行1千米比乙少多少小时；解答2从不同之处入手，抓住中间段是造成甲比乙早到的原因，求出CO和OD，进而很容易求出AB。两种解法各具特色。

网站工作室

　例5　自行车轮胎若安装在前轮上，行驶5000千米后报废；若安装在后轮上，行驶3000千米后报废。为了行驶尽可能多的路，如果采用当自行车行驶一定路程后将前后轮调换的方法，那么安装在自行车上的一对轮胎最多可行驶多少千米？（第八届华罗庚金杯少年数学邀请赛试题）
　　分析与解答　因为行驶1千米，前后轮分别磨损1/5000和1/3000，行驶1千米一共磨损一对轮胎的1/5000+1/3000，一对轮胎最多可行2÷(1/5000+1/3000)=3750（千米）。
　　点评：这道题并不是通常意义下的行程问题，但从条件出发，通过转化求出行1千米所磨损的轮胎，和上面各例有异曲同工之处。由此看来，求1千米需要多少小时这一数学模型在其他问题情境中也有着重要作用。
　　例6　有一辆车，其前轮周长为5(5/12)米，后轮周长为6(1/3)米。前进多少米，才能使前轮转的圈数比后轮转的圈数多99圈？（2002年我爱数学夏令营试题）
　　分析与解答　因为行驶1米，前轮转了12/65圈，后轮转了3/19圈，因此每行驶1米，前轮比后轮多转12/65－3/19=33/1235（圈）。要使前轮比后轮多转99圈，则要前进99÷33/1235=3705（米）。
　　例7　学校组织四、五、六年级共315名小朋友参加春游。为了能区分每个年级的学生，要求四年级的小朋友戴白帽子，五年级的小朋友戴红帽子，六年级的小朋友戴黄帽子。白帽子的单价是1.50元，红帽子的单价是2.00元，黄帽子的单价是3.00元。如果买三种颜色的帽子所用的钱是一样的，那么参加春游的四年级小朋友有多少人？（2004年浙江省小学数学活动夏令营试题）
　　分析与解答　由题意，可知一共要买315顶帽子，且使买三种颜色的帽子所用的钱一样多，于是可以先求出1元钱可以各买多少顶不同颜色的帽子。根据题目条件，求得1元钱可以买1/1.5顶白帽子， 或1/2顶红帽子，或1/3顶黄帽子。因此各用1元钱，可以买1/1.5+1/2+1/3顶帽子。所以要买315顶帽子，每种帽子都要花315÷(1/1.5+1/2+1/3)=210（元）。于是求出四年级要买1/1.5×210=140（顶），四年级小朋友有140人。
　　练习题
　　1. 少年宫手工组的小朋友们做工艺品“猪娃娃”。每个人先各做一个纸“猪娃娃”，接着每2个人合做一个泥“猪娃娃”，然后每3个人合做一个布“猪娃娃”，最后每4个人合做一个电动“猪娃娃”。这样下来，一共做了100个“猪娃娃”。由此可知，手工组一共有多少个小朋友？（第五届希望杯全国数学邀请赛试题）
　　2. 若将新车胎装在汽车的前轴上，可行驶36000千米；若将新车胎装在后轴上，可行驶54000千米。因此，若将车胎在车辆的前后轴交替使用，可延长它的寿命。一辆汽车用上四条新车胎后最远可行驶多少千米？（2001年香港小学数学精英选拔赛试题）
　　3. 有甲、乙、丙三种水果，老李所带的钱数如果买甲种水果，刚好可买4千克；如果买乙种水果，刚好可买6千克；如果买丙种水果，刚好可买12千克。老李决定三种水果买一样多，那么他所带的钱能买三种水果各多少千克？（第十届小学生数学报竞赛试题）
　　答案
    1. 48个。　2. 43200千米。　3. 2千克。