九年级数学优质课教学设计

与你同行

“概率的意义”（第1课时）教学设计

天津耀华中学　周越

教学任务分析 教 学 目 标 知识技能 从频率稳定性的角度，了解概率的意义. 数学思考 学生经历试验，统计，分析，归纳，总结，进而了解并感受概率的定义的过程，引导学生从数学的视角，观察客观世界；用数学的思维，思考客观世界；以数学的语言，描述客观世界. 解决问题 怎样从数量上刻画一个随机事件发生的可能性的大小. 情感态度 学生经历试验，整理，分析，归纳，确认等数学活动，感受数学活动充满了探索性与创造性，感受量变与质变的对立统一规律，同时为概率的精准，新颖，独特的思维方式所震撼.. 重点 对概率意义的正确理解. 难点 对随机现象的统计规律性的深刻认识.

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教学流程安排

活动流程图	活动内容和目的
活动1　复习与回顾 活动2　硬币抛掷实验 活动3　概率的定义 活动4　练习以及想一想，议一议 活动5　小结与布置作业	回顾上一节学习过的一些概念，承上启下. 学生通过亲身试验，深刻感受随机现象的统计规律性.同时通过回望历史，感受数学规律的真实的发现过程. 给出概率的定义，分析频率与概率的区别与联系. 通过练习，思考，讨论进一步加深对概率意义的理解和认识. 梳理知识，学生获得巩固和发展.

教学过程设计

问题与情境	师生行为	设计意图
[活动1] 问题： 什么是必然事件？什么是不可能事件？什么是随机事件？ 你如何理解随机事件？ [活动2]    把全班同学分成10组，每组同学掷一枚硬币100次，整理同学们获得的试验数据，并记录在下表（见教科书表25-2）和下图中（见教科书图25.1-1）. 问题（1）： 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在那个数字的左右摆动？ 问题（2）： 随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在0.5的左右摆动幅度有何规律？ 问题（3）： 当“正面向上”的频率逐渐稳定到0.5时，“反面向上”的频率呈现什么规律？	教师提出问题. 学生独立回忆，思考并回答问题. 学生应从以下三个方面理解随机事件： （1）试验是在相同条件下;       （2）可以大量重复试验; （3）每一次试验结果不一定相同，且无法预测下一次试验结果.                     教师应安排全体同学参与试验，每名同学都要亲自感受随机事件的统计规律性的发现过程. 活动中教师应要求全体同学态度端正，认真记录试验数据，以培养学生一丝不苟，严谨求实的科学精神. 活动中教师应注意培养同学之间相互合作，相互沟通的能力. 第一组的数据填在第一列，第一，二组的数据之和填在第二列，……，10个组的数据之和填在第10列. 学生独立观察试验数据，思考，回答问题. 教师提出问题（2）. 建议教师安排学生，先根据教材中给出的历史上部分数学家的试验数据，绘制散点图，学生仔细观察，思考问题（2）. 然后根据学生分组试验数据，绘制散点图，学生重新观察，思考问题（2）.此时可安排学生交流，讨论：这两个散点图反映出的规律是否相同？如果不同，为什么？ 根据学生分组试验数据，绘制而成的散点图，有可能不能反映出这一规律.这时教师应指出：本次实验不能称为严格意义上的大量重复实验.   进而教师可引导学生，课后继续进行分组硬币抛掷试验，获得大量数据，重新绘制散点图，继续观察随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在0.5的左右摆动幅度是否越来越小. 教师提出问题（3）. 学生独立思考并回答.	承上启下. 充分理解上一小节学习过的一些概念（特别是随机事件这一概念）是准确把握概率定义的基础和前提. 让全体学生动手参与试验，使学生了解概率这一重要概念的实际背景，感受并相信随机事件的发生存在着统计规律性. 说明：活动2中全班同学的分组可根据实际班额酌情调整. 通过逐步深入的一系列问题的提出，使学生加深对随机事件的统计规律性的认识. 对于问题（1），学生相对容易理解. 由于问题2不易理解，这样做可使学生首先获得正确的认识.   这两个散点图反映出的规律有可能是相同的.也可能是不同的，这是由于试验数据太少（仅有1000个），即有可能随着抛掷次数的增加，“正面向上”的频率在0.5的左右摆动幅度不完全是越来越小. 此时学生容易产生困惑，可能会提出一些疑问.教师应给出有针对性的，具体的指导与帮助. 同时教师还应帮助学生理解，无论试验次数多么大，我们都无法保证事件的频率值充分地接近事件的概率值.事实上，频率值“远离”概率值的可能性永远存在，但这种可能性随试验次数增大，确实会越来越小.频率由量变到达质变成为概率，反映了量变与质变的对立统一. 对于问题（3），同学们不难理解.问题（3）的设置，为后面的学习做好铺垫.
[活动3] 给出事件A的概率的定义. 问题 （1）频率与概率有什么区别与联系？ （2）当A是必然发生的事件时，P（A）是多少？当A是不可能发生的事件时，P（A）是多少？当A是随机事件时，P(A)是多少	教师给出事件A的概率定义. 教师提出问题（1）. 学生思考，讨论，相互交流. 教师应帮助学生理解： （1）一般地，频率是随着试验者，试验次数的改变而变化的. （2）概率是一个客观常数， （3）频率是概率的近似值,概率是频率的稳定值.它是频率的科学抽象.当试验次数越来越多时，频率围绕概率摆动的平均幅度越来越小，即频率靠近概率. 教师应指出：随机现象虽然对于个别试验来说无法预知其结果，但在相同条件下，进行大量重复试验时，却又呈现出一种规律性. 教师提出问题（2）. 学生独立思考，回答. 教师应帮助学生理解：任何事件的发生都可以用概率来描述.其中必然事件的概率为1，不可能事件的概率为，随机事件的概率大于0而小于1.	概率对于学生是一个较难理解的概念.教师应帮助学生从不同方面，不同角度，不同层次去理解概率的意义.例如：通过比较频率与概率的区别与联系.     学生通过充分交流，讨论，探究，深化了对事件A的概率定义的理解，发展了学生的数学能力. 事件和不可能事件可以看作是随机事件的两种极端情形.
[活动4] 问题 （1）天气预报说下星期一降水概率是90％，下星期三降水概率是10％，于是有位同学说：下星期一肯定下雨，下星期三肯定不下雨.你认为他说的对吗？ （2）你能谈谈概率的定义与你原先想象的一样吗？有什么区别吗？ （3）概率并不提供确定无误的结论，这是由随机现象的本质所确定的.那末，学习概率有用吗？ [活动5] 小结 你如何理解概率的意义？ 布置作业： 教科书习题25.1第5题.	教师提出问题. 学生思考回答. 对于问题（1），教师应指出：预报的降水概率是根据大量统计记录得出的，是符合大多数同等气象条件下的实际情况的，某些例外情况是可能发生的. 对于问题（2），问题（3）可要求同学根据自己的理解，有感而发，选择回答.应允许学生尽可能充分地发表意见，或互相辩论. 教师应根据学生的回答，有针对性地点评，对回答出色的学生及时地给予表扬和鼓励.对一些错误的提法和概念及时地给予纠正. 引导学生总结： （1）从频率稳定性的角度，了解概率的意义； （2）概率从数量上刻画了一个随机事件发生的可能性的大小. 教师布置作业. 学生记录作业.	问题（1）比较具体，直观. 从不同方面，不同视角进一步加深对概率意义的理解和认识，培养了同学对于数学的积极感情. 学生可能发表各种想法，意见，或正确，或错误，或正确与错误混在一起，教师应有充分准备 梳理知识，概念进一步清晰，明确，本节课的内容得到巩固和发展

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“实际问题与一元二次方程”（第2课时）教学设计

天津新华中学　李庆

教学任务分析 教学目标 知识技能 1.能根据具体问题中的数量关系，列出一元二次方程，体会方程是刻画现实世界的一个有效的数学模型. 2.能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理. 数学思考 经历将实际问题抽象为代数问题的过程，探索问题中的数量关系，并能运用一元二次方程对之进行描述. 解决问题 通过解决封面设计与草坪规划的实际问题，学会将实际应用问题转化为数学问题，体验解决问题策略的多样性，发展实践应用意识. 情感态度 通过用一元二次方程解决身边的问题，体会数学知识应用的价值，提高学生学习数学的兴趣，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用. 重点 列一元二次方程的方法解有关问题的应用题． 难点 发现问题中的等量关系． 教学流程安排 活动流程图 活动内容和目的 活动1  复习，回顾解应用题的一般步骤 活动2  封面设计问题 活动3  草坪规划问题 活动4  小结，布置作业 回顾解应用题的一般步骤及注意问题. 对比几种方案，探究问题中的数量关系及其变化，活跃思维，提高解题能力. 巩固的同时认识图形变换对解题思路的影响，熟悉面积问题应用题的基本思路和方法. 回顾，总结，提高知识的系统性.                          教学过程设计 问题与情景 师生行为 设计意图 「活动1」 问题 通过上节课的学习，大家学到了哪些知识和方法？ 教师提出问题，学生回忆，选一位同学作答，其他同学补充. 在本次活动中，教师应重点关注： （1）学生对列方程解应用问题的步骤 是否清楚； （2）学生能否说出每一步骤的关键和应注意问题. 活动1为学生创设了一个回忆、思考的情景，又是本课一种很自然的引入，为本课的探究活动做好铺垫. 「活动2」 问题 要设计一本书的封面，封面长27cm ,宽21cm，正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形，如果要使四周的彩色边衬所占面积是封面面积的四分之一，上下边衬等宽，左右边衬等宽，应如何设计四周边衬的宽度（精确到0.1cm）. （1）本题中有哪些数量关系？ （2）正中央是一个与整个封面长宽比例相同的矩形如何理解？ 教师展示课件（或展示图片，如教科书图22.3-1）， 请一位同学朗读题目. 教师提出问题（1） 学生分析，请一位同学回答，教师在题目中指出数量关系. 教师提出问题（2） 学生思考，请一位同学回答，可举简单例子说明，最后引导学生得出正中央矩形的长宽比是9︰7. 问题（1）（2）都是帮助学生更好的理解题意，为后面的解题做以铺垫. （3）如何利用已知的数量关系选取未知数并列出方程？ 教师提出问题（3） 学生分组讨论，选代表上台演示、回答，每位同学要着重分析对题目中的数量关系的处理方法.其中，设左右边衬和上下边衬为7x和9x的方法，教师要配合图形的平移加以电脑演示. 问题（3）是活动2的中心环节，通过学生充分的讨论，得出多种不同的方法，激发学生的学习热情，使学生体会解决问题的方法多样性. 在某些解法中，利用图形变换简化数量关系是解决图形有关问题的一种重要手段，为活动3埋下一个伏笔. （4）解方程并得出结论，对比几种方法各有什么特点？ 教师提出问题（4） 学生分组，分别按问题三中所列的方程来解答，选代表展示解答过程，并讲解解. 题过程和应注意问题. 在本次活动中，教师应重点关注： （1）学生对几何图形的分析能力； （2）学生在未知数的选择上，能否根据情况，灵活处理； （3）在讨论中能否互相合作； （4）一元二次方程的解答能力. （5）学生回答问题时的语言表达是否准确. 问题（4）可以使学生体会列方程与解方程的完整结合，通过多种方法解得相同结 论，验证多种方法的正确性；通过解题过程的对比，体会对已知数量关系的适当变形对解题的影响，丰富解题经验. 「活动3」 问题 如图，某中学为方便师生活动，准备在长30m，宽20m的矩形草坪上修筑两横两纵，四条小路，横纵路的宽度之比为3：2，若使余下的草坪面积是原来草坪面积的四分之三，则路宽应为多少？（见教科书习题22.3第10题图）： （1）本题中有哪些数量关系？ 教师展示课件（或展示图片） 请一位同学朗读题目. 教师提出问题（1） 学生回答，教师在题目中指出. 在活动2中，学生通过探究与讨论，感受了对题目中的数量关系进行适当的转变对解题的影响，活跃了解题思路. 活动3的设计就是基于这个前提，首先使同学熟悉活动2中的解题思想，在数量关系中做进一步的分析，然后引导学生针对图形作进一步的探究. （2）由这些数量关系还能得到什么新的结论？你想如何利用这些数量关系？为什么？如何列方程？ 教师提出问题（2） 学生思考.因为有活动2的基础，选一位同学回答这一组问题的前3问即可，如有不完全的地方，教师适当补充.第4问让大家适当思考，请同学回答，教师做屏幕演示，特别提醒学生：剩余草坪的面积，是否就是原草坪的面积减去四条路的面积？以引导学生注意道路重叠部分的处理. 问题（1）（2）是针对活动2的巩固性练习.但是由于本题的数量关系变形的空间比较狭窄，经过解析之后依然不能得到比较满意的答案.由此激发学生进一步探究的热情. （3）对比教科书图22.3-1和习题22.3第10题图，它们有什么联系与区别？ 教师提出问题（3） 学生分组讨论，教师指导.引领学生 讨论后请一位同学回答. 教师引领学生发现两个图形都存在两横两纵四个矩形，并都有四处重叠部分，但除此之外的剩余部分，第一个图是一个完整的矩形，易于表示；而第二个图中分为9块，所以不容易表示. 问题3是活动3的中心环节，以图形对比的问题为 引导，通过对比两个图形的联系与区别，启发学生以活动2中的封面问题为模型，构建活动3中的草坪问题的解题思路. （4）有什么方法使本题易于解决？ 教师提出问题（4） 学生分组讨论，画图，上台演示. 教师与学生一起评价，总结图形变换的基本原则. 在本次活动中，教师应重点关注： （1）学生在活动1中的学习效果； （2）使学生充分体会图形变换的灵活性； （3）学生对图形的观察、联想能力； （4）教师要强调图形变换中图形改变、位置改变、关键量不变的原则. 在学生充分的思维活动之后，学生会自然产生动手实践的欲望，教师可以给学生一定的空间去发挥想象，同时也要注意对图形变换的指导，可以对部分不太合适的答案也进行一下点评. 「活动4」 问题 通过本课的学习，大家有什么新的收获和体会？ 布置作业： 教科书53页，习题22.3第5、8题; 教科书58页，复习题22第7、10题 教师提出问题，学生回答. 教师总结. 在小结时，教师应重点关注： （1）对知识的归纳，总结，整理能力； （2）知识的横向联结能力以及能否熟练、准确地运用数学语言表达数学思想. 学生独立完成作业，教师批该后应关注： （1）能否正确分析等量关系； （2）能否有效变换图形，简化题意； （3）解题思路是否完整，解题过程是否规范. 点明本课主题和中心环节，使学生巩固知识，加深印象，知识脉络清晰.    学生巩固，提高.

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用列举法求概率（第1课时）
湖北省丹江口市土台乡中学　徐永达
教材与教学内容：人教版义务教育课程标准实验教科书《数学》九年级上册，第25章第2节：用列举法求概率第1课时。 一、教材分析 本节内容是第二十五章第二节“用列举法求概率” 的第1课时，主要介绍用列举法求概率。以两个实际问题为载体，通过学生动手解决问题、观察、分析、评价解题方法获得新知． 本节课的教学设计紧扣教材，设计了6个教学活动，由浅入深，层层递进，解决问题以学生为主，发挥学生的集体智慧，教师从中指导、总结，示范．在教学过程中，强调学生形成积极主动的学习态度，关注学生的学习兴趣和体验，充分体现“数学教学主要是数学活动的教学”这一教育思想．利用所学知识解决问题，突现应用意识，进一步巩固所学知识。力求充分体现教学内容的基础性、教学方法的灵活性、学生学习的主体性、教师教学的主导性。在学习活动中，尽力让学生主动参与、认真观察、比较思考、动手操作、合作交流、大胆表述，充分体现学生是学习的主人，教师是学习活动的组织者、引导者和合作者。 二、教学目标 依据课程标准和教材分析，兼顾学生的实际，本节课的教学目标是： 1.知识与技能 进一步理解等可能事件的意义，了解古典概型的两个特点——试验结果有无数个和每一个实验结果出现的等可能性； 通过探究体会在公式P（A）=m/n中m、n之间的数量关系，P（A）的取值范围。 掌握求等可能条件下的事件的概率，并能进行简单的表述、计算。 2.过程与方法 通过用列举法求事件的概率，体会在实践中获得事件发生的概率，渗透转化的思想方法，培养学生分析、判断的能力。 3.情感态度与价值观 通过分析探究事件的概率，培养学生良好的动脑习惯，提高运用数学知识解决实际问题的意识，激发学习兴趣，体验数学的应用价值。 三、教学重难点 1.教学重点：用列举法求事件的概率。 2.教学难点：分析事件发生的概率。 四、教学方法 教师诱导---学生自学---小组互动---当堂检测 针对九年级学生的年龄特征以及他们已有的知识水平，采用启发式、诱导法，结合演示、归纳、尝试等方法，组织生生互动、师生互动，激发学生的学习兴趣，通过多媒体课件的展示，提高教学效率，增进学生对知识的理解，激发他们的求知欲。 五、 教具准备 多媒体课件、展示课件所需的多媒体设备、软件等。 六、教学过程 1.教学流程安排
活动流程图	活动内容和目的
活动1  回顾上节概率的求法。 活动2  看试验，找特点，了解古典概型，初识概率的求法。 活动3  探究在公式P（A）=m/n中m、n之间的数量关系，P（A）的取值范围。 活动4  通过解决问题学习用列举法求概率。 活动5  练习。 活动6  小结与作业。	1.帮助学生回忆上节课所学的知识，为本节课的学习准备。 2.使学生进一步在具体情境中了解古典概型的意义，能阐明运用列举法计算简单事件发生的概率的理由，为本节课探究用列举法求概率奠定基础。 3.进一步体会随机事件、必然事件、不可能事件及其概率。 4.通过对例1、例2的讨论探究，学习用列举法求概率。 5.通过练习，巩固用列举法求概率。 6.回顾本节知识和解决问题的方法，巩固、提高、提高、发展。

2.教学过程设计

问题与情境

师生行为

设计意图
「活动1」

回顾上节概率的求法。

教师引入：
前面我们用随机事件发生的频率所逐渐稳定得到的常数作为这个事件发生的概率,对于某些特殊类型的试验,实际不需要做试验,通过列举法分析就可以得到随机事件的概率.
帮助学生回忆上节课所学的知识，为本节课的学习准备好知识基础．
「活动2」

看试验，找特点，了解古典概型，初识概率的求法。
展示书中两个试验。（演示课件第2张幻灯片）
问题
（1）两个试验有什么共同的特点？
（2）对于古典概型的试验，如何求事件的概率？
学生分析、思考解答：
（1）一次试验中，可能出现的结果是有限多个；各种结果发生的可能性相等． 具有以上特点的试验称为古典概型．
（2）对于古典概型的试验，我们可以用事件所包含的各种可能的结果在全部可能的试验结果中所占的比作为事件的概率．
教师讲解概率求法：
一般地，如果在一次试验中，有种可能的结果，并且它们发生的可能性都相等，事件A包含其中的种结果，那么事件A发生的概率为．
在本次活动中，教师应重点关注学生参与数学活动是否积极主动，全神贯注。

使学生进一步在具体情境中了解古典概型的意义，能阐明运用列举法计算简单事件发生的概率的理由，为本节课探究用列举法求概率奠定基础。
「活动3」

探究在概率公式P（A）= 中m、n之间的数量关系，P（A）的取值范围。（演示课件第3张幻灯片）
学生思考，解答、发言：
n＞0, m≥0,m≤n,0≤P(A) ≤1.

当m=n时A为必然事件，概率P(A)=1，当m=0时，A为不可能事件，概率P(A)=0.

教师组织学生思考、讨论、解答．
在本次活动中，教师应重点关注学生对随机事件、必然事件、不可能事件及其概率的再认识。
进一步体会随机事件、必然事件、不可能事件及其概率。
「活动4」


通过解决问题学习用列举法求概率。
问题1（演示课件第4张幻灯片）
例1  掷1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
    （1）点数为2；
    （2）点数是奇数；
    （3）点数大于2且不大于5．
问题2（演示课件第5、6张幻灯片）
例1变式
掷1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，
（1）求掷得点数为2或4或6的概率；

（2）小明在做掷骰子的试验时，前五次都没掷得点数2，求他第六次掷得点数2的概率。
问题3（演示课件第7张幻灯片）
例2  如图：是一个转盘，转盘分成7个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，指针固定，转动转盘后任其自由停止，某个扇形会停在指针所指的位置，（指针指向交线时，当作指向右边的扇形）求下列事件的概率：
（1）指向红色；
（2）指向红色或黄色；
（3）不指向红色。



问题4（演示课件第8、9两张幻灯片）
例2变式 如图，是一个转盘，转盘被分成两个扇形，颜色分别为红黄两种，红色扇形的圆心角为120度，指针固定，转动转盘后任其自由停止，某个扇形会停在指针所指的位置，（指针指向交线时当作指向右边的扇形）求下列事件的概率。
（1）指向红色；
（2）指向黄色。
（3）小明和小亮做转转盘的游戏，规则是：两人轮流转转盘，指向红色，小明胜；指向黄色小亮胜，分别求出小明胜和小亮胜的概率；你认为这样的游戏规则是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由。











教师组织学生分析本问题，运用列举法求其概率：
学生思考、讨论、交流：
（1）是否符合等可能事件的两个特点？
（2）怎样叙述？
教师介绍解题要求、步骤。
例1 解：掷1个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种。这些点数出现的可能性相等。
（1）点数为2只有1种结果，P（点数为2）；
（2）点数是奇数有3种可能，即点数为1，3，5，P（点数是奇数）；
（3）点数大于2且不大于5有3种可能，即3，4，5，P（点数大于2且不大于5）.
学生思考、讨论、交流：
（1）是否符合等可能事件的两个特点？
（2）怎样叙述？
学生试着解决变式题。
例1变式 解：掷1个质地均匀的正方体骰子，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种。这些点数出现的可能性相等。
（1）掷得点数为2或4或6(记为事件A)有3种结果，因此P（A）；
（2）小明前五次都没掷得点数2，可他第六次掷得点数仍然可能为1，2，3，4，5，6，共6种。他第六次掷得点数2(记为事件B)有1种结果，因此P（B）.
学生思考、讨论、交流：
（1）是否符合等可能事件的两个特点？
（2）怎样叙述？
鼓励学生解答：
例2解：一共有7个等可能的结果，且这7个结果发生的可能性相等，
（1）指向红色有3个结果， P(指向红色)=_____ ；
（2）指向红色或黄色一共有5种等可能的结果，P(指向红色或黄色）=_______；
（3）不指向红色有4种等可能的结果，P( 不指向红色）= ________。
引导学生分析：
图中两个扇形的圆心角不相等，某个扇形停在指针所指的位置的可能性就不相等？怎么办？
学生思考、讨论、交流：
（1）是否符合等可能事件的两个特点？
（2）怎样叙述？
学生试着解决变式题。
例2变式
解：把黄色扇形平均分成两份，这样三个扇形的圆心角相等，某个扇形停在指针所指的位置的可能性就相等了，因而共有3种等可能的结果，
（1）指向红色有1种结果， P(指向红色)=_____；
（2）指向黄色有2种可能的结果，P(指向黄色）=_______。
（3）把黄色扇形平均分成两份，小明胜（记为事件A）共有1种结果，小亮胜（记为事件B）共有2种结果,
P（A）,
P（B）.
∵P（A）＜P（B）,
∴这样的游戏规则不公平。
可以设计如下的规则：两人轮流转转盘，指向红色，小明胜，小明得2分；指向红色，小亮胜，小亮得1分，最后按得分多少决定输赢。
还可以设计怎样的规则？
因为此时P（A）×2=P（B）×1，即两人平均每次得分相同。
在本次活动中，教师应重点关注：
（1）学生语言的规范性；
（2）学生的应用意识，模仿能力；
（3）学生在学习中发表个人见解的勇气。
（4）学生自主探究、合作交流意识。
通过对例1、例2的讨论探究，初步掌握用列举法求概率。




























通过对例题变式的分析，激发学生学习学习欲望，进一步掌握用列举法求概率，体会数学的应用价值，。






















































通过例2的讨论探究，巩固用列举法求概率。
































通过对例题变式的分析，体会数学的应用价值，激发学生学习学习兴趣．
















「活动5」

练习。（演示课件第10、11、12三张幻灯片）
5. 某班文艺委员小芳收集了班上同学喜爱传唱的七首歌曲，作为课前三分钟唱歌曲目：歌唱祖国，我和我的祖国，五星红旗，相信自己，隐形的翅膀，超越梦想，校园的早晨，她随机从中抽取一支歌，抽到“相信自己”这首歌的概率是（
）.
6. 掷1个质地均匀的正方体骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率：
（1）点数是6的约数；
（2）点数是质数；
（3）点数是合数．
（4）小明和小亮做掷骰子的游戏，规则是：两人轮流掷骰子，掷得点数是质数，小明胜；掷得点数是合数，小亮胜，分别求出小明胜和小亮胜的概率；你认为这样的游戏规则是否公平？请说明理由；如果不公平，请你设计一个公平的规则，并说明理由。






学生在独立思考的基础上，讨论问解，决问题。
教师评判。
教师参与讨论，认真听取学生的分析，引导学生分析，书写解答过程。
















在本次活动中，教师应重点关注：
（1）学生能否正确应用列举法求概率解决问题；
（2）学生应用所学知识的应用意识。
通过练习，巩固用列举法求概率．


「活动6」

小结与作业：（演示课件第13张幻灯片）
这节课我们学习了哪些内容，有什么收获？
教科书P154页习题25．2第2题．
学生自己总结发言，不足之处由其他学生补充完善。


教师重点关注不同层次的学生对本节知识的理解、掌握程度．
学生独立完成，教师批改总结．
加深对列举法求概率的认识．
了解教学效果，及时调整教学策略．

与你同行

“圆周角”教学设计

天津实验中学　付 剑

教学任务分析 教 学 目 标 知识技能 1．了解圆周角与圆心角的关系． ２．掌握圆周角的性质和直径所对圆周角的特征． ３．能运用圆周角的性质解决问题． 数学思考 １．通过观察、比较、分析圆周角与圆心角的关系，发展学生合情推理能力和演绎推理能力．　　　　　　　　　　　　　　　 ２．通过观察图形，提高学生的识图能力． ３．通过引导学生添加合理的辅助线，培养学生的创造力． 解决问题 在探索圆周角与圆心角的关系的过程中，学会运用分类讨论的数学思想，转化的数学思想解决问题 情感态度 引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心. 重点 圆周角与圆心角的关系，圆周角的性质和直径所对圆周角的特征． 难点 发现并论证圆周角定理． 教学流程安排 活动流程图 活动内容和目的 活动1　创设情景，提出问题 活动2　探索同弧所对的圆心角与圆周角的关系，同弧所对的圆周角之间的关系 活动3 　发现并证明圆周角定理 活动4 　圆周角定理应用 活动５　小结，布置作业 从实例提出问题，给出圆周角的定义． 通过实例观察、发现圆周角的特点，利用度量工具，探索同弧所对的圆心角与圆周角的关系，同弧所对的圆周角之间的关系． 探索圆心与圆周角的位置关系，利用分类讨论的数学思想证明圆周角定理． 反馈练习，加深对圆周角定理的理解和应用． 回顾梳理，从知识和能力方面总结本节课所学到的东西． 教学过程设计 问题与情境 师生行为 设计意图 [活动1 ] 问题 演示课件或图片（教科书图24.1-11）： （1）如图：同学甲站在圆心的位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置，他们的视角（和）有什么关系？ （2）如果同学丙、丁分别站在其他靠墙的位置和，他们的视角（和）和同学乙的视角相同吗？ 教师演示课件或图片：展示一个圆柱形的海洋馆. 教师解释：在这个海洋馆里，人们可以通过其中的圆弧形玻璃窗观看窗内的海洋动物． 教师出示海洋馆的横截面示意图，提出问题． 教师结合示意图，给出圆周角的定义．利用几何画板演示，让学生辨析圆周角，并引导学生将问题１、问题２中的实际问题转化成数学问题：即研究同弧（）所对的圆心角（）与圆周角（）、同弧所对的圆周角（、、等）之间的大小关系．教师引导学生进行探究. 本次活动中，教师应当重点关注： （1）问题的提出是否引起了学生的兴趣； （2）学生是否理解了示意图； （3）学生是否理解了圆周角的定义． （4）学生是否清楚了要研究的数学问题． 从生活中的实际问题入手，使学生认识到数学总是与现实问题密不可分，人们的需要产生了数学． 将实际问题数学化，让学生从一些简单的实例中，不断体会从现实世界中寻找数学模型、建立数学关系的方法． 引导学生对图形的观察，发现，激发学生的好奇心和求知欲，并在运用数学知识解答问题的活动中获取成功的体验，建立学习的自信心.

与你同行

［活动2］ 问题 （1）同弧（弧AB）所对的圆心角∠AOB 与圆周角∠ACB的大小关系是怎样的？ （2）同弧（弧AB ）所对的圆周角∠ACB 与圆周角∠ADB 的大小关系是怎样的？	教师提出问题，引导学生利用度量工具（量角器或几何画板）动手实验，进行度量，发现结论． 由学生总结发现的规律：同弧所对的圆周角的度数没有变化，并且它的度数恰好等于这条弧所对的圆心角的度数的一半． 教师再利用几何画板从动态的角度进行演示，验证学生的发现．教师可从以下几个方面演示，让学生观察圆周角的度数是否发生改变，同弧所对的圆周角与圆心角的关系有无变化： （1）拖动圆周角的顶点使其在圆周上运动； （2）改变圆心角的度数；３．改变圆的半径大小． 本次活动中，教师应当重点关注： （1）学生是否积极参与活动； （2）学生是否度量准确，观察、发现的结论是否正确．	活动２的设计是为 引导学生发现．让学生亲自动手，利用度量工具（如半圆仪、几何画板）进行实验、探究，得出结论．激发学生的求知欲望，调动学生学习的积极性．教师利用几何画板从动态的角度进行演示，目的是用运动变化的观点来研究问题，从运动变化的过程中寻找不变的关系．
［活动３］ 问题 （1）在圆上任取一个圆周角，观察圆心与圆周角的位置关系有几种情况？ （2）当圆心在圆周角的一边上时，如何证明活动２中所发现的结论？ （3）另外两种情况如何证明，可否转化成第一种情况呢？	教师引导学生，采取小组合作的学习方式，前后四人一组，分组讨论． 教师巡视，请学生回答问题．回答不全面时，请其他同学给予补充． 教师演示圆心与圆周角的三种位置关系． 本次活动中，教师应当重点关注： （1）学生是否会与人合作，并能与他人交流思维的过程和结果． （2）学生能否发现圆心与圆周角的三种位置关系．学生是否积极参与活动. 教师引导学生从特殊情况入手证明所发现的结论． 学生写出已知、求证，完成证明． 学生采取小组合作的学习方式进行探索发现，教师观察指导小组活动．启发并引导学生，通过添加辅助线，将问题进行转化．教师讲评学生的证明，板书圆周角定理． 本次活动中，教师应当重点关注： （1）学生是否会想到添加辅助线，将另外两种情况进行转化 （2）学生添加辅助线的合理性． （3）学生是否会利用问题２的结论进行证明．	数学教学是在教师的引导下，进行的再创造、再发现的教学．通过数学活动，教给学生一种科学研究的方法．学会发现问题，提出问题，分析问题，并能解决问题．活动３的安排是让学生对所发现的结论进行证明．培养学生严谨的治学态度． 问题１的设计是让学生通过合作探索，学会运用分类讨论的数学思想研究问题．培养学生思维的深刻性． 　　问题２、３的提出是让学生学会一种分析问题、解决问题的方式方法：从特殊到一般．学会运用化归思想将问题转化．并启发培养学生创造性的解决问题
［活动４］ 问题 （1）半圆（或直径）所对的圆周角是多少度？ （2）90°的圆周角所对的弦是什么? （3）在半径不等的圆中，相等的两个圆周角所对的弧相等吗？ （4）在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等吗？为什么？ （5）如图，点、、、在同一个圆上，四边形的对角线把４个内角分成８个角，这些角中哪些是相等的角？ （6）如图, ⊙O的直径 AB 为10cm，弦 AC 为６cm, ∠ACB 的平分线交⊙O于 D, 求BC、AD、BD的长.	学生独立思考，回答问题，教师讲评． 对于问题（1），教师应重点关注学生是否能由半圆（或直径）所对的圆心角的度数得出圆周角的度数． 对于问题（2），教师应重点关注学生是否能由90°的圆周角推出同弧所对的圆心角的度数是180°,从而得出所对的弦是直径． 对于问题（3），教师应重点关注学生能否得出正确的结论，并能说明理由．教师提醒学生：在使用圆周角定理时一定要注意定理的条件． 对于问题（4），教师应重点关注学生能否利用定理得出与圆周角对同弧的圆心角相等，再由圆心角相等得到它们所对的弧相等． 对于问题（5），教师应重点关注学生是否准确找出同弧上所对的圆周角． 对于问题（6），教师应重点关注 （1）学生是否能由已知条件得出直角三角形ABC、ABD； （2）学生能否将要求的线段放到三角形里求解． （3）学生能否利用问题4的结论得出弧AD与弧BD相等,进而推出AD=BD．	活动４的设计是圆周角定理的应用．通过4个问题层层深入，考察学生对定理的理解和应用．问题１、２是定理的推论，也是定理在特殊条件下得出的结论．问题３的设计目的是通过举反例，让学生明确定理使用的条件．问题４是定理的引申，将本节课的内容与所学过的知识紧密的结合起来，使学生很好地进行知识的迁移．问题５、６是定理的应用．即时反馈有助于记忆，让学生在练习中加深对本节知识的理解．教师通过学生练习，及时发现问题，评价教学效果．
［活动5］ 小结 通过本节课的学习你有哪些收获？ 布置作业． （1）阅读作业：阅读教科书P90—93的内容． （2）教科书Ｐ94 习题24.1第2、３、４、５题．	教师带领学生从知识、方法、数学思想等方面小结本节课所学内容． 教师关注不同层次的学生对所学内容的理解和掌握． 教师布置作业．	通过小结使学生归纳、梳理总结本节的知识、技能、方法，将本课所学的知识与以前所学的知识进行紧密联结，有利于培养学生数学思想、数学方法、数学能力和对数学的积极情感． 增加阅读作业目的是让学生养成看书的习惯，并通过看书加深对所学内容的理解． 课后巩固作业是对课堂所学知识的检验，是让学生巩固、提高、发展．

与你同行

“图案设计”（第1课时）教学设计

天津实验中学　张 维

教学任务分析 教 学 目 标 知识技能 利用图形的平移、轴对称、旋转变换设计组合图案. 数学思考 学生应用各种图形变换的特征设计属于自己的图案，在对所学数学知识进行“再认识”的同时进行着独立地数学创造，发展了形象思维和创造性思维能力. 解决问题 在应用图形变换进行图案设计的过程中，体会数学知识在创造性活动中的应用价值，增强学生数学的应用意识. 情感态度 在经历应用数学知识进行独立地图案设计的活动中，感受到数学美与创造的同时获得自我创造的成就感，激发创造性地应用数学知识的热情. 重点 利用各种图形变换设计组合图案. 难点 将基本图形创造性地应用平移、轴对称、旋转等变换设计出和谐、丰富、美观的组合图案. 教学流程安排 活动流程图 活动内容和目的 活动1  知识回顾 活动2  图案辨析 活动3  图案搜索 活动4  图案设计 活动5  成果展示 活动6  反思小结 回忆三种变换的基本特征，归纳其共同特征. 从图形变换的角度观察、认识组合图案，总结出图案设计的步骤. 展示学生搜集的图案，继续图案辨析. 分组进行图案设计. 各组展示设计出的组合图案. 归纳图案设计中蕴含的数学基础知识、基本思想方法. 教学过程设计 问题与情境 师生行为 设计意图 [活动1]    1．观察三种图形变换的过程； 2．回答问题： （1）平移、旋转和轴对称变换的基本特征; （2）归纳三种图形变换的共性. 教师演示一个三角形分别经过平移、旋转和轴对称变换后得到其对应图形的变换过程，学生观察图形，回忆三种图形变换的基本特征，并归纳出三种变换的共性. 活动1中教师将平移、旋转和轴对称变换的全过程通过电脑逐一演示，帮助学生回顾图形变换的基本特征，为进一步从图形变换的角度辨析组合图案奠定知识基础. [活动2] 1．观察下面的图形，分析它是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？ 2．观察下面的图形，分析它是将哪种基本图形经过了哪些变换后得到的？ 3．继续观察上述图案，感受简单图案的丰富变换（见授课实录） 学生观察图形，将其本图形从组合图案中分离出来，并再现此基本图形的变换过程. 教师演示课件，突出基本图形经过不同的图形变换后得到组合图案的过程. 在本次活动中，教师应当重点关注： （1）学生能否准确地运用数学语言表述基本图形进行平移、旋转和轴对称变换的过程； （2）让学生感受到简单的基本图形可以通过不同的变换组合出丰富多彩的图案. 通过让学生在组合图案中辨析出基本图形经过了哪些图形变换，再现了组合图案的设计过程，使学生认识到数学是图形变换的根本，数学意义下图形变换的本质是“简单图形的复杂变换” . 图案2是利用《几何画板》设计的，借助几何画板的功能可以演示出简单的等腰三角形可以组合出丰富的、富于变换的美丽图案. 直观的图形旋转演示出图形变换的奇妙与美丽，这是让学生感受数学的生动、灵活、美妙的切入点，也是调动学生“创造热情”的好时机. [活动3]   展示学生课前搜集到的利用平移、旋转和轴对称变换设计的组合图案. （1）剪纸中的三种变换； （2）艺术图案中的三种变换； （3\）电脑设计出的图形变换. 教师提出问题：“进行图案设计的步骤是什么？” 学生展示其搜集到的组合图案，继续图案辨析. 在本次活动中，教师应当重点关注学生搜集到的图案应是数学意义下的组合图案而非美术中的组合图案，以便于学生辨析出其中的基本图形及其作出的不同变换. 随着新课程的不断推广，在教学中注重让学生主动参与、勤于动手，培养学生搜集和处理信息的能力逐渐成为教师关注的重点. 活动3便是基于此点而设计的，它体现了学生的自主学习，同时，也体现出数学源于生活，引导学生善于用数学的眼光审视生活. [活动4]   分组进行组合图案的设计. 教师指导学生选择简单的基本图形，进行不同的图形变换，组合出美丽的图案. 在本次活动中，教师应当重点关注： （1）学生选取的基本图形不要过于复杂； （2）指导学生依据对应图形全等这一图形变换的共性剪出多个基本图形，然后再依据各种变换的基本特征拼出组合图案. 对学生进行创新意识的培养一直是教师在教学中追求的最高目标，这一宗旨具体体现在对学生创造性思维的训练中. 活动4进行的图案设计，即是让学生创造性地应用数学知识的实践过程. 分组合作在活动4中为学生创造了与人合作的机会.让学生在合作中学习与人交流，集思广益. [活动5] 1．展示确定的基本图形及变换出的组合图案. 2．简单说明你的图案设计中运用了哪些图形变换？ 教师组织学生将各组的作品在全班展示. 各组学生派代表展示设计成果. 在本次活动中，教师应当重点关注学生能否准确地用语言表述组合图案的设计过程及设计中运用了哪些图形变换. 以学生为主展示其创作成果，在促进学生进行数学交流的基础上增强学生表达与交 流的意识. [活动6]   1．归纳提升 2．欣赏变换所产生的美 教师引导学生反思图案设计的关键，即选取简单的基本几何图形，通过不同的变换组合出丰富的图案. 突出图案设计是创造性地运用数学知识的实践过程，让学生感受到创造的快乐，欣赏生活中由变换而产生的美. 数学是文化的一部分，活动5中通过反思图案设计的过程和欣赏变换产生的美，展现了数学的应用价值和美学价值.帮助学生了解数学是图形变换的根本，了解数学在人类文明发展中的作用，促进其形成正确的数学观.