精心设计练习和复习，体现训练的层次和对所学内容进行系统整理

春雨

《九年义务教育全日制小学数学教学大纲(试用)》明确指出：“练习是使学生掌握知识、形成技能、发展智力的重要手段。”复习的目的是“巩固学过的知识，沟通新旧知识之间的联系，对所学内容进行系统整理和小结，并帮助学生弥补知识上的缺陷。”数学课中的练习可以分为新课前的复习性练习，巩固新课的模仿性练习和稍有变化的练习(包括变式练习)，形成技能和能力的单项训练、混合练习、对比练习、综合练习和解决实际问题的练习。数学课中的复习有经常性的复习和阶段性的复习。小学数学教学质量和教学效率的高低，学生负担的轻重，在很大程度上决定于练习和复习的设计。因此，我在教学中努力做到以下几点。

(一)精心设计复习和基本训练的内容，为新课的教学作好准备

　　

　　迁移总是以先前的知识学习为前提的。前后教材的共同因素越多，也就越容易进行正迁移。在课堂教学中，我尽量设法在回忆旧知识的基础上引出新知识。这样不但可以复习巩固旧知识，还可以使学生对新知识不感到陌生，充满信心地去更好地理解和掌握。例如，除数是小数的除法，关键在于把它转化成除数是整数的除法。而学生在初学这部分知识时，最容易发生的错误是在小数点的处理上，或者是只划去除数中的小数点；或者是把除数和被除数中的小数点都划去。我在教学这一内容前，根据小数点的处理顺序，设计了一组复习题，依次复习了学习新知识必须具备的旧知识。因为计算除数是小数的除法，先要把除数转化为整数，再根据商不变性质看除数扩大了多少倍，把被除数也扩大相同的倍数。所以，这一组复习题包括了以下三方面的内容：

　　(1)把0．14，35．4，0．03，0．725去掉小数点后，各扩大了多少倍？

　　(2)把10．44分别扩大10倍、100倍、1000倍，各得多少？

　　(3)回答什么叫做商不变性质，并根据商不变性质填出下表。




　　由于教材中第一个例题是3．22÷0．14，除数和被除数都是两位小数，不容易从本质上突出小数点的处理方法，所以当这个例题讲完后，我引导学生进一步讨论：如果这道题的除数不是0．14，而是1．4或者是0．014，除数和被除数的小数点应该怎样处理才能转化成除数是整数的除法？然后根据这节课的重点和难点，集中训练了小数除法中小数点的处理方法，使全班学生都有这样的练习机会，而不把时间浪费在计算上。这样，使学生的注意力集中在小数点的处理方法上，有利于知识的迁移，提高了课堂教学的效率。

(二)练习要有明确的目的和一定的针对性

　　

　　练习的内容紧扣教学要求，有明确的目的，有一定的针对性，就可以把学生的注意集中到教材的主要方面，一方面可以培养学生的有意注意，一方面可以提高练习的效率。

　　练习要突出教材中的重点，在学生掌握知识的关键处进行。例如，《除数是两、三位数的除法》，是整数四则的重要部分，而试商则是这一单元的教学重点。在多位数除法的计算过程中，往往需要将被除数分解成若干部分，去一位一位地求出商来。试商方法的正确与否，熟练程度如何，对正确迅速地计算多位数除法的关系很大。所以，试商又是掌握多位数除法的关键。在教学这部分知识时，我除了按照教材的安排，讲清试商和调商的方法和进行一些练习，如“在下面每个括号里最大能填几”、“下面各题，除数可以看作几十(百)来试商”、“说出各题的商是几和商应写在什么位置”等。我还设计了另外几种形式的补充题，从另外几个角度加强对学生试商的单项训练：

　　一是根据除数和被除数前几位的关系，要求学生能看着横式很快说出商是几位数。比如，3024÷24，根据30＞24就可知商是三位数；3024÷42，根据30＜42就可知商是两位数。这样，对于每次除得的商应写在哪一位以及怎样去调商等，都不容易发生错误。

　　二是利用乘除法的关系，加强乘除法的口算训练，特别是一些不常见的，容易被忽视的口算，如17×3=？，51÷3=？，51÷17=？，以及13×7=？，91÷7=？，91÷13=？等几组题目。这样，一方面可以让学生对乘除法的关系有一个初步的感性的认识；另一方面又可以提高试商的速度。

　　三是通过观察比较，提高学生的判断能力，学会用灵活方法试商的本领。例如，让学生观察230÷24和230÷26，判断它们的商各是几，并且要求学生说出其中的道理。让他们懂得230与24的10倍相差10，10小于24，所以230÷24应该商9；而230与26的10倍相差30，30大于26而又小于26的2倍，所以230÷26应该商8。经常这样训练，学生就可以提高试商的本领，逐步达到试商正确、迅速的目的。

　　练习还要针对学生容易产生错误的地方进行，以克服干扰，形成技能。例如，在多位数乘法或将带分数化成假分数时，经常要用到一位数乘、加的两步计算的口算；而在这样的口算中，学生最感困难和最容易出错的是在乘得的积加上进上来的数又要进位的情况，比如，



　　我针对学生的这一实际情况，把多位数乘法计算过程中属于这种情况的两步口算题全部排了出来，一共有100道题(见下页表)，有计划地安排在每节课上经常训练，使学生计算多位数乘法的正确率和速度都有了提高。

(三)练习分层次、有坡度，促进认识的深化，体现训练的过程

　　

　　学生对知识的理解，一般都是经历从未知到已知，从不确切的知到比较确切的知，从直接的表面的理解到间接的内部的理解这样的过程。在这学习的过程中，学生的数学技能技巧的形成，也是由简单到复杂，由低级到高级逐步发展的。所以，数学练习的安排就要适应这一过程，先易后难，先模仿后独立，先单项后综合，先基本后变式，有坡度，有层次地进行。这种练习的层次性，有助于沟通知识之间的联系，推动理解的发展，促进认识的不断深化。例如，我在教学工程问题时，在各个教学环节安排了这样几组练习题。

　　单项训练题：

　　(1)修建一项工程，用5天可以完成。平均每天完成几分之几？

　　

　　基本题：

　　(1)一项工程，由甲队修建需要12天，由乙队修建需要20天。两队共同修建需要多少天？




　　(2)一件工作，由一个人单独做，甲要12小时，乙要10小时，丙要15小时。如果三人合做，多少小时可以做完？(这题由两人合作发展到三人合作)

　　变式题：

　　一项工程，由甲队修建需要20天，由乙队修建需要30天。

　　(1)甲队独修了4天，还剩下几分之几没有修？剩下的由乙队来修，乙队需要多少天完成？(考虑到学生初次接触这类变化题，这里连续用两问来过渡，以减小思考的坡度)

　　(2)乙队先单独修4天，剩下的由甲乙两队合修，还要几天完成？

　　(3)两队先合修4天，剩下的由甲队单独修。甲队还要修几天？

　　通过这样几个层次的练习，学生对工程问题的结构特征和解题方法，掌握得比较全面，沟通了工程问题和一般的工作问题的应用题之间的联系，并且有利于思维能力的培养。

　　在练习中我经常注意以旧引新，以新带旧。在旧有知识的练习中带出新知识，激发学生学习新知识的动机。在学习新知识后的对比练习、混合练习和综合练习中，经常带着练习已有的知识，使学生把掌握的知识和技能纳入到已形成的知识技能的系统中去，形成较完整的认知结构。

(四)阶段性复习重点是对所学的内容进行系统整理

　　

　　数学的逻辑性很强，各部分知识之间联系十分紧密。由于受着学生年龄特点的制约，数学知识往往是分散在不同年级、不同阶段逐步出现的，学生对这些知识的理解也容易被割裂。所以，学习一个阶段以后，必须安排一些必要的阶段性复习，把平时分散学习的知识进行系统整理，沟通它们的内在联系，形成网络。这样，学生对知识的理解就不再是个别的概念，而是循序地经历了一个完整的链条似的一系列环节，从整体上把握知识的结构。

　　例如，我在复习数的整除知识这一单元时，在复习各概念意义的基础上，抓住各概念之间内涵的差异，帮助学生建立起有关数的整除的概念系统(如下图)。




　　这样，学生就可以弄清楚这些概念的来龙去脉，清楚地看到质数、合数的概念是从约数的概念引出的，所以看一个数是质数还是合数，要以这个数的约数的个数来判断；奇数和偶数的概念是从能被2整除的知识引出的，所以看一个数是偶数还是奇数，要以这个数能不能被2整除这一特定的条件来判断；而互质数的概念则是从公约数的概念引出的，所以看两个数是不是互质数，要以它们的公约数是不是只有1来判断。这几个很容易混淆的概念，在概念系统中就能清楚地显示出质的区别，学生也就容易理解和记忆。

　　再例如，在学习了体积单位后，我将常用的各个长度单位、面积单位和体积单位归类整理，帮助学生找到各类单位名称之间的联系和区别，以及单位名称与相邻单位间进率的对应规律，以避免应用时的混淆(如下表)。

　　由于平时加强了课堂练习和阶段性的复习，注意调动全体学生学习数学的主动性和积极性，努力提高课堂40分的利用率，使




　　学生能较好地理解和巩固所学的知识，并且使课外负担得到减轻。1984年上半年，南通市教育局来校视察，对我所教的班级连续进行了3天的跟踪观察，并在没有准备的情况下对前面所教的三个单元的教学内容进行了抽测，结果巩固率达90%以上。

　　人类的认识运动是没有止境的。我们对于大纲和教材的钻研，对于教法的改进，对于小学数学教学规律的探讨，也是没有止境的。展望21世纪我国的数学教育，将有更加深入的改革。为了迎接和适应这种改革，我们还应作出更大的努力。