八年级数学下册拓展资源

今夕何夕

古欧洲人在远航、引力和图像方面的成就  



王利公



十六世纪的欧洲，工商贸易迅速发展，促进了航海事业的大发展。



远洋航行的船只随时需要确定自己在茫茫大海中的位置，所以准确的时钟就成了必不可少的重要工具。船只在海上的位置是由所在的纬度和经度来表示的。自古以来，许多科学家根据日月星辰的情况，制作了许多观像仪，可以用来确定任何一点所在的纬度。要想定出船只所在的经度，最好的办法是用所在地的时间和家乡港口的时间作比较。



为什么这样可以确定经度呢？我们知道，地球一天二十四小时由西往东转动一周是360°，就是一小时转动15°，一分钟转动0.25°。这样，要是知道了船只所在地的时间比家乡港口早了一小时四分，那船只就在家乡港口东16°的经线上。



曾经有人用古观象仪得到过非常近似的当地时间。但是要确定另一地点的时间，用两地的时间差来求出两地的经度差，却几乎是毫无办法。



从哥伦布发现新大陆到麦哲伦绕地球以后的很长时期里，因为没有准确的时钟，所有的航海家都面临确定经度这个生死攸关的大事。一旦经度和航向有了偏差，就可能引起人员的大量死亡和船只的沉没。



古代使用过日规、滴漏、烛时计，以后是教堂里用的重力钟等。这些计时工具显然已经过时了，人们要求的是能精确测量分和秒的计时工具。



1583年，意大利科学家伽利略第一个发现了精确测量微小时间的线索。在比萨大教堂做弥撒的人群中，伽利略细心地观察来回摇摆的灯，他以脉搏的跳动计算摆动的时间，发现每一次摆动都用同样的时间。



后来，伽利略用一个自制的滴水钟来检验这个观测的准确性。摆在摆动时，他让水通过一个大水桶底部的小孔，流到下面的小杯内。如果两次摆动流出的水的重量一样，那两次摆动用的时间就是一样的。检验的结果是肯定的。



实验还表明，摆动的时间只和摆的长度有关系。要想使摆动时间加倍，必须让摆长扩大为四倍；要想使摆动时间加为三倍，摆长必须扩大为九倍，即摆长与摆动时间的平方成正比。现在我们知道这个规律对于小角度的摆动才成立，当摆动弧度过大时就不大准确了。1657年，荷兰科学家惠更斯利用伽利略的发现，首先制出了精确的摆钟。



到了十八世纪中期，当航船配备了六分仪和经线仪之后，确定经度的问题才完全得到解决。六分仪可以精确地提供当地时间；经线仪能时刻给出家乡时间。最初的经线仪就是一个能在远洋航行中保持精确时间的钟，它是一个自学的英国木匠哈里森发明的。



一个世纪以后，世界各国一致同意以格林威治时间为标准，定时计表，并且把通过伦敦格林威洽天文台的经线作为划分经度的起点，从此人们又有了统一的时间和经度了。



十六世纪以前，人们一直认为物体降落的快慢是和物体的重量有关的。在伽利略以前，学校的教师总是这样对学生讲：物体降落的速度是跟它的重量成正比的。伽利略的摆动实验否定了这个看法，他发现，摆底部的摆锤重量对于摆动周期没有影响。



为了无可争辩地解决这个问题，伽利略在比萨斜塔上当众做了著名的落体实验。他从斜塔上同时落下几个不同重量的金属球和一个象牙球，观众亲眼看到它们一齐下落，同时到达了地面！



伽利略还发现，重物下落时，速度是在不断增加的，或者说在加速。但是，由于他那个时候还没有按秒计时的停表，所以直接测量加速度是有困难的。



伽利略意识到，球体在斜面向下滚和在空中下落一样，都是重力作用的结果，只不过斜面减慢了球体的速度罢了。于是，他让一个光滑的、完全标准的青铜小球，顺着一条充分光滑的斜槽滚下来，研究小球的运动。尽管斜槽中的斜面减缓了小球的速度，但是重力对它的作用相对下落重物的作用是完全一样的。他发现，小球在两秒钟里滚过的距离为第一秒钟里滚过的四倍；在三秒钟里滚过的距离为第一秒钟里滚过的九倍。啊！滚动距离与滚动时间的平方成正比，伽利略找到了匀加速运动的规律！



根据这个发现，就可以算出炮弹在空中飞行的弹道了。炮弹离开炮口时，如果没有重力以匀加速度向下拉它的话，就会沿着炮筒的方向直线前进。正是由于重力的吸引，它经过的才是一条曲线，叫做抛物线。



伽利略以前的数学家，曾试图帮助炮兵根据目标的距离来确定炮的仰角，一直没有成功。搞清楚重力对炮弹飞行的作用后，就可以根据目标的距离来决定炮身的仰角了。因为目标的距离和炮弹的速度决定了炮弹的飞行时间，也决定了重力作用于炮弹的时间。



十七世纪的军事工程师依据伽利略的研究，设计出了防御炮击的新式堡垒。它不再修在山头上，而是建在低凹的地方，并且用地面的泥土工事作掩护。这种堡垒好防守，又同样能有效地打击敌人。



早在十六世纪的时候，海员们就开始在标有经纬线的地图上记录航船每天的位置；联接所有这些位置点的线，就是船的航线。数学家曾不只一次地试图以同样的方法在坐标图上描绘动点的轨迹，可惜都没有取得令人满意的结果。



法国数学家笛卡儿最早认识到轨迹的重要意义。他是第一个建立平面坐标，引入变数，开创解析几何的人。他也是最早使用现代字母和符号来书写方程的数学家之一。



根据笛卡儿的思想和方法，我们就好用图像的方法来解决阿溪里斯和乌龟赛跑的问题了：如果以竖轴表示时间，横轴表示距离，分别以两个动点表示阿溪里斯和乌龟，那就可以简单明白地表示出它们赛跑的情况来。



两个动点的轨迹是两条直线。两条直线交点的横坐标，就是阿溪里斯追上乌龟的距离，纵坐标就是追上乌龟的时间。



人们从很早以前就开始了对天体的研究。希腊的托勒密认为，地球是宇宙的中心，太阳、月亮和行星、恒星都围绕地球运动。当时的天文学家，除了阿斯塔恰斯和费劳鲁斯等极少数的几个人外，都承认这种地球中心说。



托勒密的学说非常符合基督教对宇宙结构的解释，它受到教会的竭力宣扬和扶持。因此，在中世纪的欧洲保持了长时期的统治地位。后来，波兰科学家哥白尼指出：地球和其它行星，都是围绕太阳运动！到了十七世纪，哥白尼的理论被更多的人，包括丹麦天文学家第谷、德国天文学家开普勒和伽利略所接受。



开普勒在第谷详细观察的基础上，经过长期的分析研究，指出行星围绕太阳的运动轨道不是精确的圆，而是椭圆，太阳是在这些椭圆的一个焦点上。



开普勒发现了行星绕太阳运动的椭圆轨道，却不知道行星这样运动的原因。伽利略知道用重力解释炮弹飞行的弹道，却没有认识到重力可以解释行星的轨道。



抽气机的发明推动了科学研究的发展。通过真空里的落体试验，人们得到了引力的更精确的数据。笛卡儿指出：任何运动的物体，如果不受到外力使它停止或者改变方向，它会永远沿直线运动。



这也就是说，关于行星运动的问题，需要解释的不是为什么它们能保持运动，而是运动的轨道为什么是闭合曲线，而不是直线。牛顿总结了许多世纪以来的观察、推理和分析，终于给出了万有引力定律。



牛顿指出：任何两个物质质点都是相互吸引的，引力的大小，跟两个质点的质量乘积成正比，跟它们的距离平方成反比。这就是说，整个宇宙中的吸引力，都遵守和在地球上一样的规律。太阳把行星拉向它的中心，就象地球把重物拉向它的中心一样。如果没有这种引力时，行星也会象重力消失时的炮弹一样沿直线运动。正是太阳的引力，使它离开了直线轨道。牛顿论证了行星的速度和太阳的吸引如何一起使行星保持在它们运动的闭行曲线上。



　　生产和技术的发展推动着力学和天文学的前进，也推动着数学的前进。那时候，欧洲普遍建立了科学院，空前丰富的名种科学成果，在那里得以汇集交流。正是在这样的基础上，十七世纪后半叶，莱布尼茨在德国、牛顿在英国，几乎同时建立了微积分。这一理论的产生，是数学史上具有重大意义的创造。它对近代自然科学的进步，产生了革命化的影响。

今夕何夕

古印度人和阿拉伯人在数字、零和代数方面的成就  



王利公



印度在亚洲的南部。春天到来的时候，北边喜马拉雅山上的积雪开始融化，聚集成五条急流，汇总流入印度河。很早以前，在富饶的印度河谷地就出现了上古的居民达罗毗托人，世界最古老的文化之一就发源在这里。



在一些方面，达罗毗托人的文化比埃及和苏马连文化高。他们有自己的独特的文字，有十进制的算法。大约公元前两千年的时候，印度人就已经使用51个字母组成的文字，数学在印度曾被认为最重要的科学之一。和许多古老的民族一样，它的头一批数学家也是僧侣。



直到两千年前，印度人还使用由横划组成的数字。后来，他们开始用干棕榈叶做写字的材料，并且发展了草体书法，于是由一到九的各不相同的数字符号就这样日趋成形了。古印度人也用美索不达米亚商人的算盘来进行计算，每个数字符号都能很方便地表示算盘上任何一行的石子数。



印度人新的数字符号要是到此为止不再发展，那意思就不大了。事实上，ZZ只能表示在任意两行沟里的两个石子，它可以是22，也可以是202、2020等等。这就是说，人们不仅要知道沟里有几个石子，还要知道它们各在那一行里。



不知什么时候什么人，在前人智慧和成就的基础上，总结出了这样一个办法：用最右面的数字表示个位行里的石子数，左面相邻的数字表示十位行里的石子数。其它则以此类推，用点表示空行。这样，ZZ就只表示22，Z.Z．就只表示2020，而没有其它的意思了。表示空位的“.”，后来改用“0”代替。



有了这个记数法，人们就可以用同一个符号记录算盘上任何一行上的同一个数字，简单清楚，书写方便。印度记数法的最大优点是能用数字来进行计算，这是一个了不起的进步！



我们知道，古老的书写系统，包括埃及的、巴比伦的、希腊的、罗马的都是用不同的符号来表示算盘上不同行里的相同的石子数，不像我们今天可以用同一个“1”，在不同的数位上表示一、十和一百。因此每一位行都得用不同的加法表相乘法表，用它们做笔算或心算是很麻烦的。如果只有九个不同的符号，其中每一个都可以表示任何一行的石子数，零表示空行，那每一行上的计算就都是一样的了。这样，人们只要掌握一个表就行了，好懂、好背、好用。



我国古代计算是用算筹。算筹为了避免相邻两位数码混淆，采用了纵横相间的办法，而是每一行的加法表和乘法表，一直都是一样的。



印度人创造的这套数码1、2、3、4、5、6、7、8、9、0，是对数学知识的非常宝贵的贡献！它很快就引起了计算艺术的革命。



印度数学家还研究了分数，并且能象我们今天这样书写它们。到公元五百年，伏拉罕密希拉能通过计算，预告行星的位置；阿耶波多论述了确定平方根的法则，给出了圆周率的近似值为3.1416。



公元七世纪初期，伊斯兰教的创始人穆罕默德统一了整个阿拉伯地区。他死后的三百多年间，他的门徒带着这种新教，往西经过整个北非，进入西班牙和葡萄牙；往东越过印度河进入了亚洲的广大地区。



大约在762年，穆斯林们建立了帝国首都巴格达城。四十年后，它成为世界著名的学术中心，就象希腊和罗马时期的亚历山大城一样。



在公元八百年到九百年这一个世纪里，东西方的知识在巴格达得到了交流。东方来的商人和数学家带来了新的数字符号，印度算术和中国的算学成就；从西方选出来的异教徒带来了亚历山大强盛时期的科学著作，其中包括天文学和地理学的论文，还有欧几里得几何学。穆斯林学者把这些著作译成了阿拉伯文。



穆斯林的天文学家发展的制图学，远远超过了亚历山大时期的水平。在巴格达的学校里，三角学盛行起来。由于掌握了印度的新算术，穆斯林数学家能更为完满地研究和应用欧几里得和阿基米得的几何学成就。航海家装备和改进了航海设备；地理学家也有了新的更好的大地测量工具。穆斯林世界的科学技术，取得了很高的成就。



公元一千年，古罗马帝国的大部分地区被置于穆斯林的统治之下。在西班牙的穆斯林大学里，学生们可以学习希腊几何学、印度算术、天文学、三角学和地理学，而这些科学，巴格达学者都作了很大的改进。



从十二世纪开始，穆斯林世界的科学知识逐渐传到欧洲各地。到了公元一千四百年，意大利、法国、德国和英国的商人们开始使用新数字，教授新算术的学校开始在整个欧洲兴起。半个世纪后，渐渐有了印刷术。算术教科书和航海历是主要的印刷品。



新数字从一个地方传到另一个地方，常常一方面变形走样，一方面又保持着九个符号和一个零的样式。但是，如此先进的数字也并不是一开始就能在所有地方被接受的。十三世纪时，一项法令禁止佛罗论萨的银行业者使用新数字。一百年后，意大利的派丢厄大学还坚持书籍的价格表必须用罗马数字。直到十五世纪末，印度数字才在西欧的航海和商业中普遍使用。几个世纪后，虽然还有人坚持用算盘和计算板上的计算方法，但是越来越多的人热衷于学习新算术了。



在早期印刷出版的教科书中，不少列表和解决加减乘除问题的简便方法，现在虽然已经成为博物馆里的东西了，但是这些教科书把新的简写符号，比如“十、—”等引进算术中却是十分重要的，尽管这些符号最早很可能是表示包裹超重和缺重用的，不是数学上的有意的发明。由于这些符号显示了作用，随后，另一些符号“×、÷、∴、＝”，也逐渐被引了进来。



对于我们现在用代数求解的某些问题，印度和穆斯林的数学家也早就发现了解它们的妙法，“代数”一词就是阿拉伯语。但是穆斯林数学家那时讲授的代数和我们现在学的代数是不一样的。他们的代数式都是文字写的，唯一的简写的符号是表示平方根的符号。



代数学大约到十七世纪初才逐渐形成。下面我们来作一个简单的题目，看看代数学是怎样变化发展的：题目：一个数，乘以2，除以3，等于40，问这个数是多少? 印度和穆斯林的数学家是这样解的：因为这个数的三分之二是四十，它的三分之一就是四十的一半，即二十；又因为这个数是二十的三倍，得这个数是六十。引进一些数学符号以后，早期的算法是这样来求解的：(2×某数)/3＝40，某数/3＝1/2×40＝20，某数＝3×20＝60。



我们现在的代数，以字母n代替了“某数”，并且省去了乘号“×”。解法如下： 2n/3＝40，n/3＝20，n＝60。



公元一千二百年的穆斯林教师肯定能给出解这类问题的法则，但是语句势必冗长繁琐：如果你已经知道一个数，乘以第二个数，再除以第三个数，结果为已知的话，那么你就可以把这个结果乘以第三个数，再被第二个数来除，把原数求出来。



　　现在，我们可以用n表示任意数，s表示第二数，t表示第三数，a表示得数，如果sn/t＝a，那n＝ta/s。写成这样的形式，法则就一目了然，清楚好记了。

今夕何夕

古中国人在筹算、观天和算法方面的成就  



王利公



我国是世界上最早的文明国家之一。很早以前，我们的祖先在渔猎农事活动中就接触到了计算和测量，并在这方面积累了大量的知识。



万里长城和大运河是我国古代文明的伟大成就。战国时期战争连绵，燕、赵、秦三国为了抵御来自北方的侵扰，建筑了长城；秦始皇统一全国，把它们连接起来。后来，汉朝和明朝都大规模修筑过长城。长城由西至东，在险峻起伏的山岭上绵延数千公里，是世界上仅有的巨大土石建筑。沟通南北的大运河，长达一千七百多公里，朴实壮观，是非常杰出的水利工程。我国人民在长城和运河的建造过程中积累了大量的几何测量、数字计算和土木工程方面的知识。



我国古代的计算不是用记数文字直接进行，而是用算筹，很有特色。在开始的时候，人们是用一些小树枝来计数，一根小树枝代表一头牲畜、一堆谷物或者一件农具。后来，逐渐形成了一套计算方法，小树枝也慢慢变成了竹制、铁制、牙制的小棍，外形规格齐整，这就是算筹。



筹算可以进行整数和分数的加、减、乘、除、开方等各种运算。直到元、明以前，筹算一直是我国的主要计算方法。



筹算的记数法既是十进，又按位值分别表示不同单位，和现代记数法相似。著名的数学著作《九章算术》，大约编于公元四、五十年间的东汉初期。这部书是采用问题集的形式编的，共有二百四十六个问题，分成方田、粟米、衰分、少广、商功、均输、盈不足、方程和勾股九章。



方田章讲的是各种分数计算和方田、梯形田、斜方形田、圆田、半圆形田、弧田、环形田等的面积计算；粟米章讲的是粮食交易的简单比例计算；衰分章讲的是一些按比例分配的问题；少广章讲的是由已知面积和体积，反求边的长短和面的宽广的问题，其中总结出了开平方和开立方的方法；商功章讲的是计算各种体积的方法，主要解决筑城、建堤、挖沟、修渠等实际工程问题；均输章讲的是粮食运输均匀负担的计算方法；盈不足章讲的是盈亏计算法和它的应用；方程章讲的是正负数算法，还有各种三元一次和四元一次联立方程的解法。勾股章叙述了勾方、股方的和等于弦方的勾股定理，以及相似直角三角形解法的问题。



《九章算术》的内容丰富多彩，包括了许多算术、几何、代数和三角的知识，是一部非常杰出的数学专著，它对我国数学的发展影响深远。



《九章算术》不只在中国数学史上占有十分重要的地位，而且影响远及国外。朝鲜和日本都曾经用它作为教科书。欧洲在中世纪的一些算法，比如分数和比例就很可能是从中国传入印度、再经阿拉伯传入欧洲的。在阿拉伯和欧洲的早期数学著作中，把“盈不足”称为“中国算法”就是一个证明。现在，《九章算术》已作为世界科学名著，被译成许多种文字出版。



《周牌算经》是我国另一部有名的天文学、数学著作，大约时在公元前一百年前后的西汉年间成书。书里明确给出了勾股定理的一般形式，即勾?＋股?＝弦?。



书中介绍了在两地利用标杆测出日影、再进一步利用勾股定理，算出太阳高度的方法，即书中还谈到了用一根直径一寸、长八只的中空竹管观测太阳，太阳的圆影正好与竹管的视线吻合，再进一步利用勾股定理推算出太阳的直径来。这说明我们的祖先至少在西汉年间，就能正确地应用直角三角形的勾股定理了。



等到三国时代，吴国人赵爽用几何方法对勾股定理进行了相当严格的论证。公元前五百年，春秋战国时代的学者已经有了相当丰富的数学知识。庄子《天下篇》中有“一尺之捶，日取其半，万世不竭”的记载。意思是一根一只长的木棍，每天截掉一半，千年万载也截不完。直到今天，人们还常把“日取其半”作为了解“极限”思想的典型例子。



大约在四千五百到三千五百年前的这段时期里，我国发明了第一辆车子。另外，从我国出土的许多殷代以前的陶器上也能看到不少圆形图案。这说明很早以前，我们的祖先就认识圆了。



在《周辨算经》周公和商高的对话中，谈到“周三径一”，这是我国最初的圆周率，被称为古率。后来，圆周率数值的精确性不断得到提高。



我国最早用严密的数学方法来求算圆周率数值的是刘徽。他认为古率为3，是圆内接正六边形的周长对直径的比值，这比圆周长对直径的比值要小得多。



刘徽把圆内接正六边形各边所对的弧平分，做出圆内接正十二边形，利用勾股定理求出它的边长。同理，可以求出圆内接正二十四、四十八、九十六边形的边长。内接正多边形的边数越多，求出的圆周率数值也就越准确。这就是刘徽的“割圆术”。



　　“割圆术”用折线逐步逼近曲线，用圆内接正多边形的面积逐步逼近圆面积，这种用有限来逼近无限的方法，不仅提供了比较精确的圆周率的数值，而且为后来计算圆周率的人们奠定了坚实可靠的理论基础。