小学数学实例论文集

真诚天下

运用份数巧解题

有些应用题如用一般方法进行求解时较为麻烦，这时可考虑用份数进行求解。

例1、一辆汽车从甲地到乙地，每小时行40千米，5小时到达，返回时速度提高了 1/4，问返回时比去时少用几小时？

分析与解答：因为返回时速度提高了1/4 ，可设去时的速度为4份，则回来时的速度为5份。因为甲、乙两地的路程一定，因此速度和时间成反比例。所以可知，去时的时间为5份，返回时的时间为4份，每份即为1小时，返回时用的时间为4小时。因此可得返回时比去时少用的时间为：5－4=1（小时）。

例2、一辆汽车从一辆自行车分别从甲、乙两地同时相向而行，汽车每小时行50千米，自行车每小时行10千米，两车上遇后各自仍沿原方向行驶，汽车到达乙地后立即返回，行到刚才两车相遇地点时，自行车在前面10千米处，求甲、乙两地的距离？

分析与解答：因为汽车的速度是自行车的：50÷10=5倍，设自行车行1份，汽车则行5份。因此可得，第一次两车相遇时，汽车行了5份，自行车行了1份，甲、乙两地的距离为：5+1=6份，当汽车到达乙地后立即返回，并行到刚才两车相遇地点时，汽车又行了2份，距乙地则为1份。在汽车行2份的时间过程中，自行车行了10千米，自行车行10千米，汽车应该行：10×5=

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用“增补法”解题

有些数学习题，在求解时会感到较为麻烦，这时可考虑用增补的方法，即增加一部分条件或数字，使其解题简单化。

例1、有一箱苹果数量在40与50个之间，如果按8个一堆则多5个，如果按12堆一个，有3堆各少1个，问这箱苹果有几个？

分析与解答：这题按一般方法进行求解显然较麻烦，可这样分析：因为8个一堆就多5个，如再增加3个，则正好又是一堆；12堆一1个，有3堆各少1个，如再增加3个，则正好分成12堆。因此可将题目转化成，这箱苹果如再多3个，正好是12和8的公倍数。又因为苹果的数量在40与50个之间，即可得苹果的数量如增加了3个正好是48个，因此可知这箱苹果的数量是：48-3=45（个）。

例2、用甲、乙两个相同的瓶子装满酒精溶液，已知甲瓶中酒精与水的体积比是3∶1，乙瓶中酒精与水的体积比是4∶1，若把两瓶酒精溶液混合起来，求混合液中酒精与水的体积比是几比几？

分析与解答：这题直接列式似乎难以下手，可这样分析，设两个瓶子中的酒精溶液体积各为20毫升，这样可得甲瓶中有酒精：20×1/3＋1  =15（毫升），甲瓶中有水：20-15 = 5（毫升）；乙瓶中有酒精：20×4/4＋1=16（毫升），乙瓶中有水：20-16 = 4（毫升）。甲、乙两瓶溶液混合后酒与水的比是：（15+16）∶（5 + 4）=31：9。

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数学课堂教学体现学生主体地位的探索

关键词：重视过程  改革评价   增强自信  鼓励质疑

新数学课程标准已经开始实施。这给我们的教师带来了巨大的挑战和机遇。面对新的课程改革，不光需要有改革意识的数学教师认真研读，接受各种教师培训，从而体会新课程标准体系中所包含的思想，树立正确的教育观。但更重要的是要求我们每个教师要根据数学新课程标准的要求，改变自身的教学行为，除了把书本上知识教给学生，而且通过书本上知识、技能的传授，最大限度地发展学生的能力，在教学实践中，我从以下几方面进行了实践和探索。

一、让学生主体地位在教学行为中得以充分体现

叶圣陶说过，他并不称赞某老师讲课时有怎样的最高艺术，“最要紧的是看学生，而不是光看老师讲课。”一堂数学课究竟怎么上?传统数学教学中教师是课堂的主宰，教师领着学生去学。长此以往，学生习惯了被动地去学习，成为思维上懒惰者。显然，这种以教师“讲”为中心的数学教学，没有充分发挥学生学习的主观性和能动性，是不利学生的潜能开发和身心发展的。例如小学数学“比的基本性质”教学中，有的教师过多讲解、分析和说明比的基本性质，而不是让学生通过自己根据“商不变的性质”和“分数的基本性质”去探索并推导出“比的基本性质”的由来，这样会反而适得其反，学生有可能给教师说 “糊”了。因此，我通过让学生自主探索、合作交流与实践，从而培养学生了不但能够创造性的解决这样的问题，而且能够让学生掌握“比”、“除法”、“分数” 三者的不同。

二、重视学生的学习过程，努力培养学生多种思维方法。

用现代教育思想来看，课堂教学不仅要看教师如何教，而且要看学生学的怎么样。而且要从学生如何学这个出发点上来看教师怎样实施教学行为。

重学生学习的结果轻视学习过程，这是传统数学课堂教学中的弊端。教师在传统教学中，只重视知识的结论正确与否，缺少对学生的学习全过程的发掘，导致学生思考问题的方法的匮乏，同时有意无意压缩了学生对新知识学习的思维过程，而让学生去重点背诵“标准答案”。只注重结果的做法导致学生学习知识的一知半解，似懂非懂，很明显降低了学生学习数学的质量。有的教师喜欢直接告诉学生结论，并要求学生马上应用这种结论，再去解答各种变式题，出现严重“消化不良”，加重了学生学习负担。我在教学实践中，注意到了这个问题，并注重抓了学生的学习的过程，在数学教学中把重点放在揭示各个知识形成的方法，展示学习新知识的思维过程，让学生通过感知—概括—应用的思维过程去发现真理，掌握规律。使学生在教育教学过程中发展多种思维方法和有了多个模式学习方式。这样使学生既增长了知识，又发展了思维能力。

例如在教学“工程问题”时，我先出示这样一题：“甲、乙两个工程队修一条长30千米的公路，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成，两队合修几天完成？”我先要求学生用以前学过的方法进行求解，学生求解出答案以后，我将题目中的条件“一条长30千米的公路”中的30千米分别扩大2倍、3倍、5倍，再分别缩小2倍、3倍、5倍，其它条件和问题不变，让学生讨论并试着进行解答，求出这时两队合修要几天才能完成？等学生得出结论这条公路的长度的多少与两队合修的天数并无什么关系以后，我再出示例题：“甲、乙两个工程队修一条公路，甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成，两队合修几天完成？”然后再让学生进行讨论，这题目应该如何求解，我则适当进行提示：工作总量没有告诉，我们可用什么来表示工作总量。这样学生很快能掌握用工程问题的一般思路解答工程问题。学生掌握了会用工程问题的一般思路解题后，我再请学生思考，上面一道工程问题能否想出用其它方法进行求解。学生陷入了思考，我则适当进行提示：题目中工作总量没有告诉，我们根据甲、乙两队单独修要用的天数能否假设工作总量进行求解。并让学生进行讨论，有的学生提出，因为甲队单独修10天完成，乙队单独修15天完成，因此可设这条公路的全长为10和15的最小公倍数30，这样即可求出甲、乙两队合修的时间则为：30÷（30÷10＋30÷15）＝6（天）。这样通过将工程问题和整数四则应用题进行转化，使学生对工程问题的求解有了新的认识。接着我再出示了这样一题：“一个水池，有甲、乙两个进水管，单开甲管，12小时可以注满水池；单开乙管，20小时可以注满水池。（1）、甲、乙两管同时开放，几小可以注满水池？（2）、两管同时开放5小时后，剩下的由甲管注，还需要几小时可以注满？（3）两管同时开放，乙 因故障中途关闭了几小时，这样共 用9小时才注满水池，问乙中途关闭了几小时？”

这是一道典型的工程问题，如果熟练地掌握了工程问题的特点很快能列式求解，但如果未能熟练地掌握了工程问题的特点，则很容易列错算式或出现计算上的错误。如果把这类工程问题转化为整数四则应用题，无论列式或计算，都会变得比较简便。因此我提示学生，能否将工程问题转化为整数四则应用题进行求解。学生经过讨论，很快能进行求解：因为12和20的最小公倍数是60，这时可把全池水看作是60份，甲管每小时注入5（60÷12）份，乙管每小时注入3（60÷20）份，两管同时开放，每小时可注入（3＋5）份。

因此可得，（1）、两管同时开放注满这池水的时间数是：60÷（3＋5）＝7.5（小时）；（2）、两管同时开放5小时后，剩下的由甲管注，还需要的时间是：[ 60－（3＋5）×5 ]÷5＝4（小时）；（3）、乙管中途关闭的时间是：[（3＋5）×9－60 ] ÷3＝4（小时）。

三、数学课堂教学中改革评价学生的方法

让学生全面发展，并不是让每个学生，及其每个方面都要按统一规格平均发展。新的课程标准要求每个学生学习有价值、让个性差异不同的人在数学上得到不同的发展。备课用一种模式，上课用一种方法，考试用一把尺子，评价用什么样的标准是现行教育中存在的一个突出问题。　　

因此，在教学中，我注意首先应尊重学生在课堂学习过程中的个性差异。正如世界上寻不见完全雷同的一对树叶一样，人海茫茫、教海无边，我们既找不到两个完全相似的学生，也不会找到能适合任何学生的一种通用的教学方法。这就需要我们的教师去关注、去研究学生的差异，以便找到个性化教学的科学依据。因此我们教师在教学中应尊重每一个学生的个性差异，允许不同的学生从不同的角度认识问题，采用不同的知识与方法解决问题。

其次、在评价学生时，我注意面向全体学生。传统的教师以学生的学业成绩作为评价的惟一尺度，且具有甄别和选拔的“精英主义”功能倾向。这压抑了大部分学生的个性和创造潜能，使他们成为应试教育下潜在的牺牲品。因此我们教师要在课堂教学中关注每一个学生，特别是学习有困难的学生。通过评价帮助学生认识自我，建立学习数学的自信心。

最后、现代评价尺度和质量的提高。现代评价要求不仅要关注学生在语言逻辑和数理逻辑方面的发展，因此我注意在教学实践中通过建立新的评价指标和改革评价方法，发展学生其他各个方面的潜能，诸如与人交往的能力、适应环境的能力、实践中运用数学的能力等。

四、课堂教学中建立平等、和谐的新型师生关系

传统数学教学中，教师处于绝对的知识权威地位。学生被动地接受教师的灌输所有的知识。这种师生之间显然是不平等的。新课程体系要求建立平等、和谐的新型师生关系。新课程标准提出学生是学习的主人，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。因此我们每一个教师对学生回答过程的不完整，不应指责，而是加以指导补充；对学生思维受阻，不能置之不理，而是给予启发和诱导；对学生的“创造性”答案，应毫不掩饰自己的兴奋，给以热情的赞赏和鼓励等．从而把教学过程变成探求真理的、带有感情色彩的数学交流过程．

五、营造氛围，增强学生的自信心

“自信心是前进的内驱力”，所以在数学课堂中营造和谐氛围，有利于增强学生的自信心。

我们一定要使学生处于愉快的学习情境中，用激励的语言引导学生积极参与数学学习。如：“老师相信你们一定会做得很出色”；“看谁做得又对又快”；“这次我们比一比，看谁能得第一”…… ，在课堂教学时，我努力做到善于运用亲切的眼神、细微的动作、和蔼的态度、热情的赞语，让学生感到老师时刻在关注着他；同时善于运用语言的艺术及时作出积极正面的评价，不管结果怎样，首先对于学生积极的学习行为表示高兴、骄傲、自豪。“你回答得真好，听了你的回答老师很高兴……”对于结果不完全对时，“你努力想了，说得差不多；你说对了一半，再好好想想……”对于结果不正确时，我也绝不可训斥或贬低，而是委婉地说：“你动脑了，再听听别的同学的意见，好吗?”对与众不同的观点、做法，应调动学生为之喝彩。这样，学生体验到了成功的愉快，更增强了自信心。

六、鼓励质疑，培养创新意识

学贵知疑，教师不但应善于设疑答疑，更应善于鼓励学生质疑，提出一个问题往往比解决一个问题更为重要，有疑问才能促进学生去探索、去创新。心理学研究表明：疑，最易引起思维的不断深入。在教学中，我们应鼓励学生积极思考、大胆质疑，这是提高学生创新意识的有效手段。 我们应尊重和保护学生的好奇心，使学生产生成功感和自我满足感，从而引发学生在轻松愉快的氛围中敢于大胆提问。

人生的积极态度“贵在参与”，学习也不例外。因此，我们的老师在教学中也好，在研究中也好，首先应该关注什么，这是值得我们认真思考的一个问题。我认为我们每一个教师都应该记住六个字：一是“学生”，即心里有学生；二是“发展”，学生的发展，也包括教师自身的发展；三是“过程”，即学生的学习过程。我们教师要把课堂当做学生获取知识的海洋、培养能力的圣地、生动活泼发展的晴空，努力调动全体学生主动参与，增强数学学习的自信心。

新课程标准对我们教师提出了教育专业工作者的要求，即是要求我们教师要成为学生学习成长的引领者，学生潜能的唤醒者，教育内容的研究者，教育艺术的探索者，学生知识构建者，学校制度建设的参与者，校本课程的开发者……对照此要求，我们每一个教育工作者任重道远，确需不断努力。

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用分解质因数法解题

有些数学习题，在进行解答时，有时会感到难以下手，如能运用分解质因数的方法进行求解，则能化难为易，迎刃而解。

例1、已知360×A=B2，其中A、B均为自然数，求A的最小值是几？B的值又为几？

分析与解答：因为 360×A=B2，即为360×A也是一个完全平方数。而 360=5×3×3×2×2×2=（5×3×2）×（3×2×2），因此可得要使 360×A是一个完全平方数，A的值只能为：5×2=10。所以可得，A的值最小为10。这时B的值为60。

例2、A、B、C均为自然数，已知A×B=132，B×C=156，C×A=143。求A×B×C的值是几？

分析与解答：因为132=11×12，所以A×B =11×12。156=12×13，所以B×C =12×13。143=11×13，所以C×A =11×13。

比较以上各式可知，A=11；B=12；C=13。所以A×B×C=11×12×13=1716。

例3、把棱长1厘米的小正方体2100个，堆在 个实心的大长方体，这个长方体的高为10厘米，并且长、宽均大于高，求这个长方体的表面积。

分析与解答：根据题中的条件可知，这个长方体的体积为2100立方厘米，因为长方体的高为10厘米，所以长方体的底面积为：2100÷10=210（平方厘米）。又因为长方体的长、宽均大于10。而210=2×5×3×7=（3×5）×（2×7）=15×14。因此可得，这长方体的长为15厘米，宽为14厘米，高为10厘米。它的表面积为：（15×14+15×10+14×10）×2=1000（平方厘米）。

例4、把一个长16厘米，宽为14厘米，高为4厘米的长方体锯成若干个小正方体，然后拼成一个大正方体，求这个大正方体的表面积。

分析与解答：因为将一个长方体锯成若干个小正方体后，拼成的大正方体的体积同原来的长方体的体积是相等的。长方体的体积为：16×8×4=512（立方厘米）。而 512=2×2×2×2×2×2×2×2×2=8×8×8。所以可知，大正方体的棱长为8厘米。大正方体的表面积为：8×8×6=384（平方厘米）。

例5、两个自然数的乘积是2835，它们的最大公约数是9，求这两个数。

分析与解答：因为两个数的最大公约数是9，因此可知这两个数中都有因数9。因为2835=5×7×9×9=45×63。所以可知这两个自然数分别为45和63。

例6、有一个长方体，打算将它切成两个长方体，如果切面与前后面平行，则切成两个长方体后表面积增加174平方厘米；如果切面与左右面平行，则表面积增加138平方厘米，如果切面与上下面平行，则表面积增加1334平方厘米，求这个长方体的体积。

分析与解答：设这长方体的长、宽和高分别为A、B和H。如果切面与前后面平行，增加的是前后面的面积，前（或后）面的面积则为：174÷2=87（平方厘米）。即A×H = 87；同理，左（或右）面的面积为：138÷2 = 69（平方厘米），即B×H = 69；上（或下）面的面积为：1334÷2=667（平方厘米），即A×B=667。

因为87 =29×3，69=3×23，667= 29×23，因此可知这长方体的长、宽和高分别为29厘米23厘米和3厘米。这长方体的体积为：29×23×3 = 2001（立方厘米）。

例7：一个长方形的面积为350平方厘米，长与宽的比是7∶2，如果长减少5厘米，宽增加5厘米，面积增加或减少多少平方厘米？

分析与解答：这题只告诉长方形的面积，长方形的长与宽均未曾告诉，可运用分解质因数的方法，先求出长方形的长和宽再进而求解。

因为长方形的长与宽的比是7∶2，350= 2×5×5×7= （5×7）×（5×2）=35×10，35∶10=7∶2，因此可得原来长方形的长是35厘米，宽是10厘米。长减少5厘米后为：35-5=30（厘米），宽增加5厘米后为：10+5=15（厘米），这时长方形的面积为：30×15= 450（平方厘米），因此可知，长方形的长减少5厘米，宽增加5厘米后，面积比原来增加了：450－350＝100（平方厘米）。

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运用转化分析解题

有些数学应用题，因为数量关系较为复杂，在直接求解时会有一定的难度，这时可尝试将其进行转化进而求解。

例1：一列快车从甲地开往乙地，另一列慢车从乙地开往甲地，两车同时相对开出，8小时相遇。相遇后又各自继续向前行驶了2小时，这时快车距离乙地还有250千米，而慢车距甲地还有350千米。求甲、乙两地的铁路长多少千米？

分析与解答：这题中两列火车的速度都不知道，我们可假设快车和慢车都是从甲、乙两地的中点向相反方向行驶，并在到达甲、乙两地后立即返回，因为两车同时相对开出，8小时相遇，因此可得，这两列火车的速度和为 1/8 ，这两列火车在到达甲、乙两地后立即返回又行了2小时，这时正好行了全程的：1/8 ×2， 这时两列火车还相距600（250＋350）千米，因此可得，甲、乙两地的距离为：（250＋350）÷（1－1/8 ×2）＝800（千米 ）。

例2、甲、乙两人合做一项工程，如果甲单独做要30天完成，乙单独做要24天完成，现在甲先做了若干天，剩下的工作由乙做完，已知甲、乙两人共做了26天，问甲、乙各做了几天？

分析与解答：因为甲单独做要30天完成，乙单独做要24天完成，因此，我们可以把整个工作量平均分成120份，甲每天则做4份，乙每天做5份，如果这工作全部是由甲做的，则甲只能完成：4×26＝104份，而实际上这项工作量共为120份，因此可得，乙做的天数为：（120－104）÷（5－4）＝16（天）；甲做的天数则为：26－16＝10（天），或（1－      1/24×16）÷ 1/30 ＝10（天）

例3、一项工程，甲先做6小时，乙再接着做12小时可以完成；甲先做8小时，乙接着做6小时也可以完成。如果甲先做3小时，那么乙再做几小时就可以完成？

分析与解答：通过比较可知，甲2（8－6）小时的工作量乙要6（12－6）小时才能完成，因此可得，甲1小时的工作量乙要3小时才能完成。因为甲先做6小时，乙再接着做12小时可以完成，因此可得，甲先做3小时，即比先做6小时要少做3（6－3）小时，这3小时的工作量，乙要做9（3×3）小时才能完成，所以可知，如果甲先做3小时，乙要完成这项工程再接着做的时间为：12＋9＝21（小时）。

例4、一辆客车与一辆货车同时从甲、乙出发，相向而行。相遇时，客车行了全程的 5/9 ，已知客车每小时行60千米，又知货车行完全程要7小时18分，求货车每小时行几千米？

分析与解答：这题目的一般解法是要求出甲、乙的全程，再进而求出货车每小时行几千米。但仔细分析可发现，因为两车从同时出发到同时相遇，行的时间相同。因为相遇时，客车行了全程的 5/9 ，即可得，货车行了全程的：1－5/9 ＝4/9  ，因此可得， 货车行的路程是客车行的路程的：4/9 ÷5/9 ＝ 4/5 ，而两车从同时出发到同时相遇，行的时间相同，因此可得，货车每小时行的路程也是客车行的路程的4/5  ，而客车每小时行60千米，因此可得，货车每小时行：60× 4/5  ＝48（千米）

例5、一列货车与一列客车同时从甲、乙两地相向而行，客车行完全程的 7/12 时，与货车相遇，货车继续以原来每小时50千米的速度向前开去，用4小时行完余下的路程，求客车每小时行几千米？

分析与解答：因为客车行完全程的 7/12  时，与货车相遇，两车同时出发相遇行动，时间是相同的，客车行全程的 7/12 ，全程是12份，货车行了：12－7＝5份，客车与货车行的路程比是7∶5，因为两车行的时间是相同的，因此可得，客车与货车的速度比也是7∶5，因为货车每小时行50千米，因此可知，客车的速度为50÷5×7＝70（千米）

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培养学生主动探究的探索

关键词：过程  力度   方法

在未来的社会里，教育的真正意义不在于获得一堆知识，而在于掌握学习方法，学会学习。怎样使个体在有限的生命历程中去掌握无限增长的知识？这就要求我们教师教会学生“学会学习”。“教法”本身就包含着教会学生学习方法。而“主动探究”正是学生逐步理解和掌握获取数学知识的有效途径和方法。小学数学素质教育的基本特征就是将对知识的认识过程转化为对问题的探究过程，即学习中学生所遇到的知识，就是学生所要探究与解决的问题。我在小学数学教学中实践中注重了培养学生“主动探究”，并从以下几方面进行了探索和实践：

一、注重知识发生、形成的过程。

1 、在教学实践中，我尽可能向学生积极展示知识发生、形成的尽可能充分和丰富的历史和现实背景，使学生在这种背景中产生认知冲突，激发认知需要和探索欲望。

2、我注意立足于教材，适度地再现和引入数学家思维活动的过程，让学生的思维卷入问题被提出的过程、概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程等等。

3、引导学生通过展开独立的、充分的思维来获得知识，以至想“活”起来。我尽可能做到让学生有机会暴露自己在思维过程所必然要碰到的各种疑问、困难、障碍，同时给予时间加以解决，不贪图方便，不以讲解乃至直接的灌输代替引导和启迪。因为那样会导致学生以听讲代替思维，而结果是听起来好像什么都明白，事后自己动手做起来什么都不明白。

例如，在学习“三角形内角和”这个内容时，教学中最常见的学生动手操作方式就是学生在教师的提示或要求下，用量角器先量出三角形的每个内角，然后相加，从而得出“三角形内角和是180° 但如果让学生认识其他诸如四边形、五边形……边形的内角和，显然学生不能用动手量这一方法，因此在教学中，我不作要求或提示，只提供材料（大小不等的三角形和不同种类的三角形），由学生主动去解决所面临的问题。这样，学生不但会用量角的方法、可能也会用剪拼的方法。这样，学生不仅仅获得了所要的结论，使得以后学四边形内角和知识，完全可以化归为两个三角形，五边形内角和的认识，完全可以化归为三个三角形……

二、注重加强解题的思维力度

在教学中，我们教师要引导和训练学生养成对解题全过程进行分析的习惯。解题开始时，要引导学生对课题的结构、性质、难度，以及课题与以前解决的课题的联系进行有效的估计和判断，以保证解题沿着正确的、有意义的乃至最佳的思考路线进行；解题中，要引导学生随时根据解题的进展和要求，调控自己的思考过程和方向；解题后，要引导学生检查是否达到预期的目的，考虑有没有更好的解题方案，

例如在进行六年级数学总复习时，我出示了这样一题：“某品牌牙膏出口处直径为5毫米，小红每次刷牙时都挤出1厘米牙膏，一支牙膏可用36次。现在该品牌牙膏推出新包装，将出品处直径改为6毫米，其它保持不变，小红还是按习惯每次刷牙时挤出1厘米牙膏，问推出新包装后这支牙膏可用几次？”

对于这题学生的一般解法是先求出每次挤出牙膏的体积，再求出这支牙膏的容积，然后求出推出新包装小红每次挤出牙膏的体积，最后再求出可用的次数。这样显然较为麻烦，我启发能否考虑运用比进行求解。

学生进行了思考，并经过讨论，认为这种牙膏原来出口处的直径是5毫米，推出新包装后出口处的直径改为6毫米，这样可得，原来出口处的直径与推出新包装后出口处的直径的比为5∶6，即可得，原来出口处的半径与推出新包装后出口处的半径的比也为5∶6，而原来出口处的面积与推出新包装后出口处的面积的比为则为（5×5）∶（6×6）＝25∶36，又因为小红在牙膏推出新包装的前后每次均挤出1厘米，因此可得，小红在牙膏推出新包装的前后每次挤出的牙膏的体积比为：（25×1）∶（36×1）＝25∶36。因为在推出新包装时一支牙膏可用36次，因此可得，推出新包装后这支牙膏可用的次数次数则为：36÷36×25＝25（次）；或为：36×25/36＝25（次）。

有时，针对解题完毕，学生往往忽视对结论的监控，出现结果不符实际，数据出错等现象，我注意指导学生自觉检验结果，培养他们的自我监控意识。例如，小明带了8元钱去商店买铅笔，每支0.3元，最多买几支，还剩多少元？不少同学列式为：8÷0.3＝26……2（元），结论是：最多买26支，还剩2元。针对这一问题，我启发学生检验：（1）余2元是否符合实际？（2）2元还能买多少支铅笔？（3）26支铅笔是多少元？再加上2元是多少元？学生就能很快发现结论不对并反思错误的原因，随即立即进行纠正。

三、注重问题解决方法的掌握

1、使学生产生问题意识。在数学教学中，没有问题也就难以诱发和激起求知欲，感觉不到问题的存在，学生也就不会去深入思考，那么学习也就只能是表层和形式的。据此，我在教学中把数学教学内容（思想、方法、知识）转换成一连串具有潜在意义的问题（设置问题情境）。提供给学生一种自我探索、自我思考、自我创造、自我表现和自我实现的实践机会，从而有效地增强学生的自我意识和自信心，形成积极乐观进取的良好个性品质。具有强烈的问题意识才可以驱动学生不断地发现问题、提出问题、解决问题。

如教学“圆面积计算”，我先引导启发学生自己提出问题思考：（1）圆可转化成什么图形来计算面积？（2）转化前后图形有什么关系？让学生带着问题去探究。通过动手操作，学生自己发现了圆的面积公式。整个教学过程，教会了学生探求新知识的本领：（1）可以应用知识间的转化和联系；（2）动手操作也是解决问题的方法；（3）认真观察、比较，有序地思考问题可以顺利地解决问题等。

2、让学生掌握数学的思想方法。只有掌握了一定的数学方法，人们才能快速有效地解决相应的数学问题。这就要求我们教师在数学知识教学的同时，也要突出数学思想方法的教学。例如这样一题“有一个四位数，个位与千位上两个数字的平方和等于13，十位与百位上数字的平方和等于85，千位数字减去个位数字等于百位数字减去十位数字，若从该数中减去1089，所得的数仍为这四个数字组成，但顺序正好相反，求这个四位数是几？

这道题目用一般方法进行求解难以下手，就是用方程求解也显然较为麻烦，因此我引导学生用推理的方法法进行求解。

设这个四位数为ABCD，这个四位数减去1089后所得的四位数则为DCBA 。因为千位数字与个位数字的平方和等于13，则为：A2+D2=13，因此可知，A的值可能为2或3，D的值相应为3或2，由题又知，ABCD- DCBA = 1089，因此可得，A的值为3，D的值为2。又因为千位数字减去个位数字等于百位数字减去十位数字，即A - D=1，由此可知，B与C的差也只能为1，即B - C =1。因此可得，B和C的值相应为：9和8，8和7，7和6 ……2和1。  而6 2+52=61 ＜85，所以B的值只能大于6；同理C的值大于5，而 8 2+72=113 ＞85，所以B的值小于8，C的值小于7。如果B为7，C则为6，而7 2+62=85，符合题意。因此可得，这个四位数为3762。

在教学实践中，我注意不应充当知识的“授予者”，而努力使自己成为学生学习活动的促进者。我注意调动学生的学习积极性，鼓励学生主动地去寻找（提出）问题，并积极地承担起解决问题的责任。同时在整个学习过程中， 又帮助学生去承担起责任。成为学生学习活动真正的促进者，如在学生遇到困难时，成为一个鼓励者和有益的启发者；在学生间有不同意见的情况下，鼓励学生进行积极的思想交流和自我批评。我还努力尝试让其中每个人（包括学因生）都能得到应有的尊重和理解，而不是受到轻视或压制；真正使每个学生的积极性和创造性才能得到最充分的发挥。为学生的学习活动创造一个良好的环境。

交给学生数学思维的方法，犹如交给学生一把开启数学智慧之门的“金钥匙”，这就是人们所说的“授人以鱼，不如授人以渔”的道理。学生一旦科学地掌握了数学思维的方法，他们举一反三、触类旁通的学习能力便大大增强，他们就可以运用数学思维方法的“武器”，去探索数学世界的奥秘，去解决现实生活中遇到的数学问题。因此交给学生数学思维的方法，注重提高学生的数学能力，是在小学数学教育中实施素质教育最现实的目标和具体途径。

总之，“主动探究”旨在将学习更多地看作独立地获得问题的解决，让学生掌握探索思考的方法，由对知识的认识过程转化为对问题的探索过程；由对知识的认知掌握转化为对问题的探究解决。这样才能使学生学会在复杂的社会环境中不断地用探究科学的态度与方法去认识、发现、改变与创造，真正使今天的学习成为明天适应、参与和改造社会，从而获得发展的基础。

真诚天下

抓住关键 巧妙解题

有些数学习题，数量关系较为复杂，在进行解答时似乎较为麻烦，但只要抓住关键，即能迅速巧妙解答。

例1、制作一批零件，甲要10天完成，如果甲与乙一起做只要6天就能完成，乙与丙一起做，需要8天才能完成，现在三人一起做，完成后发现甲比乙多制作零件3000个，问乙制作了多少个零件？

分析与解答：这题的一般解法是运用工程问题的思路，先求出乙的工作效率和这批零件的个数，这样做显然较为麻烦。我们可运用比进行巧妙求解。

因为制作这批零件，甲要10天完成，因此可得甲的工作效率为1/10，又因为甲与乙一起做只要6天就能完成，因此又可得甲、乙两人的工作效率和为1/6，所以可求得甲的工作效率与甲、乙工作效率和的比为：1/10∶1/6＝3∶5。因此可求得甲的工作效率与乙的工作效率的比为：3∶（5－3）＝3∶2。因为三人从动手制作到完成这批零件时用的时间相等，因此可得，从开始制作到完成制作这批零件，甲与乙制作的零件个数比也为3∶2。因为甲比乙多制作了1（3－2）份，刚好多制作了3000个，因此可得，乙制作的零件个数为：3000×2＝6000（个）。

例2、某品牌牙膏出口处直径为5毫米，小红每次刷牙时都挤出1厘米牙膏，一支牙膏可用36次。现在该品牌牙膏推出新包装，将出品处直径改为6毫米，其它保持不变，小红还是按习惯每次刷牙时挤出1厘米牙膏，问推出新包装后这支牙膏可用几次？

分析与解答：这题的一般解法是求出每次挤出牙膏的体积，再求出这支牙膏的容积，然后求出推出新包装小红每次挤出牙膏的体积，最后再求出可用的次数。这样显然较为麻烦，我们可以考虑运用比进行求解。

因为这种牙膏原来出口处的直径是5毫米，推出新包装后出口处的直径改为6毫米，这样可得，原来出口处的直径与推出新包装后出口处的直径的比为5∶6，即可得，原来出口处的半径与推出新包装后出口处的半径的比也为5∶6，而原来出口处的面积与推出新包装后出口处的面积的比为则为（5×5）∶（6×6）＝25∶36，又因为小红在牙膏推出新包装的前后每次均挤出1厘米，因此可得，小红在牙膏推出新包装的前后每次挤出的牙膏的体积比为：（25×1）∶（36×1）＝25∶36。因为在推出新包装时一支牙膏可用36次，因此可得，推出新包装后这支牙膏可用的次数次数则为：36÷36×25＝25（次）；或为：36×25/36＝25（次）。

例3、甲、乙两人工加工一批零件，如果乙将要加工的零件给予甲300个，则为甲加工的比乙多40%，而甲计划加工的零件个数是乙计划加工零件个数的的5/7，求乙原计划加工几个零件？

分析与解答：因为如果乙将要加工的零件给予甲200个，则得甲加工的比乙多40%，因此可得，这时甲和乙加工的零件个数比为：（1＋40%）∶1＝7∶5，甲、乙两人共同加工的零件则为：7＋5＝12份，又因为甲计划加工的零件个数是而甲计划加工的零件个数是乙计划加工零件个数的的5/7，7＋5＝12，因此又可知道甲、乙两人原计划加工的零件分数也为12份，甲占其中的5份，乙则占其中的7份。因为甲原计划加工5份，当乙给予了甲200个零件后，甲占了其中的7份，多了2（7－5）份，所以可得，每份零件的个数则为：300÷2＝150（个）。因此可以求得，乙原计划加工的零件个数为：150×7＝1050（个）。

江苏省江阴市青阳镇旌阳小学：蒋仪

有些数学习题，数量关系较为复杂，在进行解答时似乎较为麻烦，但只要抓住关键，即能迅速巧妙解答。

例1、制作一批零件，甲要10天完成，如果甲与乙一起做只要6天就能完成，乙与丙一起做，需要8天才能完成，现在三人一起做，完成后发现甲比乙多制作零件3000个，问乙制作了多少个零件？

分析与解答：这题的一般解法是运用工程问题的思路，先求出乙的工作效率和这批零件的个数，这样做显然较为麻烦。我们可运用比进行巧妙求解。

因为制作这批零件，甲要10天完成，因此可得甲的工作效率为1/10，又因为甲与乙一起做只要6天就能完成，因此又可得甲、乙两人的工作效率和为1/6，所以可求得甲的工作效率与甲、乙工作效率和的比为：1/10∶1/6＝3∶5。因此可求得甲的工作效率与乙的工作效率的比为：3∶（5－3）＝3∶2。因为三人从动手制作到完成这批零件时用的时间相等，因此可得，从开始制作到完成制作这批零件，甲与乙制作的零件个数比也为3∶2。因为甲比乙多制作了1（3－2）份，刚好多制作了3000个，因此可得，乙制作的零件个数为：3000×2＝6000（个）。

例2、某品牌牙膏出口处直径为5毫米，小红每次刷牙时都挤出1厘米牙膏，一支牙膏可用36次。现在该品牌牙膏推出新包装，将出品处直径改为6毫米，其它保持不变，小红还是按习惯每次刷牙时挤出1厘米牙膏，问推出新包装后这支牙膏可用几次？

分析与解答：这题的一般解法是求出每次挤出牙膏的体积，再求出这支牙膏的容积，然后求出推出新包装小红每次挤出牙膏的体积，最后再求出可用的次数。这样显然较为麻烦，我们可以考虑运用比进行求解。

因为这种牙膏原来出口处的直径是5毫米，推出新包装后出口处的直径改为6毫米，这样可得，原来出口处的直径与推出新包装后出口处的直径的比为5∶6，即可得，原来出口处的半径与推出新包装后出口处的半径的比也为5∶6，而原来出口处的面积与推出新包装后出口处的面积的比为则为（5×5）∶（6×6）＝25∶36，又因为小红在牙膏推出新包装的前后每次均挤出1厘米，因此可得，小红在牙膏推出新包装的前后每次挤出的牙膏的体积比为：（25×1）∶（36×1）＝25∶36。因为在推出新包装时一支牙膏可用36次，因此可得，推出新包装后这支牙膏可用的次数次数则为：36÷36×25＝25（次）；或为：36×25/36＝25（次）。

例3、甲、乙两人工加工一批零件，如果乙将要加工的零件给予甲300个，则为甲加工的比乙多40%，而甲计划加工的零件个数是乙计划加工零件个数的的5/7，求乙原计划加工几个零件？

分析与解答：因为如果乙将要加工的零件给予甲200个，则得甲加工的比乙多40%，因此可得，这时甲和乙加工的零件个数比为：（1＋40%）∶1＝7∶5，甲、乙两人共同加工的零件则为：7＋5＝12份，又因为甲计划加工的零件个数是而甲计划加工的零件个数是乙计划加工零件个数的的5/7，7＋5＝12，因此又可知道甲、乙两人原计划加工的零件分数也为12份，甲占其中的5份，乙则占其中的7份。因为甲原计划加工5份，当乙给予了甲200个零件后，甲占了其中的7份，多了2（7－5）份，所以可得，每份零件的个数则为：300÷2＝150（个）。因此可以求得，乙原计划加工的零件个数为：150×7＝1050（个）。