小学数学实例论文集

真诚天下

运用份数 巧妙解题

有些分数应用题,用一般方法进行解答比较麻烦,如果考虑用份数进行解答,则能迅速求出答案.

例1、某工人在二天内加工完一批零件，第一天完成了这批零件的9/20  ，第二天比第一天多加工了2/9  ，比第一天多加工了30个，问第二天加工了几个？

分析与解：这题的一般解法是求出这批零件的个数再进行求解，但也可运用份数巧妙进行求解。因为第二天比第一天多加工了2/9  ，即为将第一天加工的零件平均分成9份，第二天比第一天多加工了2份，正好多加工了30个，因此可得，第二天加工的零件个数为：30÷2×（9 + 2）=135（个）。

例2、甲、乙两辆汽车用同样的速度同时从A、B两地相向开出，行了4小时后，两车还相距离120千米，正好两车还相距全程的 3/11 ，求甲、乙两车每小时行几千米？

一般解法：A、B两地的距离：120÷ 3/11＝440（千米），甲、乙两车4小时共行的路程为：440－120＝320（千米），甲、乙两车的速度和为：320÷4＝80（千米）。甲、乙两车每小时行的速度为：80÷2＝40（千米）。

巧妙解法：因为两车行了4小时，正好相距全程的  3/11   ，因此可将A、B两地的全程平均分成11份，两车还没有行的路程占其中的3份，刚好是120千米，每份则为：120÷3＝40（千米）。因为在4小时内两车共行了其中的8（11－3）份，且甲、乙两辆汽车的速度相同，因此可知，每辆汽车在4小时内各行了4份，即为每辆汽车每小时正好行了其中的1份，所以可得，甲、乙两辆汽车每小时行的速度即为40千米。

例3、一批零件共1200个，平均分给甲、乙两人加工，经过8小时，甲完成了任务，已知乙的工作效率是甲的 5/6 ，问乙还剩下几个零件尚未加工？

分析与解答：这题的一般解法是，先求出甲、乙每小时各加工几个零件，然后再求出乙已加工了几个零件，最后再求出乙还剩下几个零件未加工。但我们也可换个角度思考，并运用份数进行巧妙求解。

因为由题目的已知条件可知，乙的工作效率是甲的 5/6   ，因为两人同时加工，到甲完成自己的任务，两人所用的时间相同，工作时间一定，工作总量同工作时间成正比例，因此可得乙加工的零件总个数也是甲的  5/6  。因此可得，甲加工的零件为6份，乙加工的为5份，这批零件的总个数为：6×2 =12（份）。当甲完成了任务，甲、乙两人共加工了11（6+5）份，还剩下1（12－11）份，这1份即正好是乙尚未加工的，所以可求出，甲加工完这批零件，乙还剩下的零件个数为：1200÷12=100（个）。

例4、在一个盒子里原来有黑白两种棋子各若干只，现在如果增加10个黑棋子，则白棋子占总数的60%；如果再增加30个白棋子，则白棋子占总数的75%。问盒子中原来有白棋子和黑棋子各多少只？

分析与解答：因为增加了10个黑棋子，这时白棋子占总数的60%，即白棋子占总数的 3/5 。这时，黑、白棋子的总数为5份，黑棋子占其中的2份，白棋子占其中的3份。后来再增加30个白棋子，这时白棋子占总数的75%，即白棋子占总数的 3/4 。这时黑、白棋子的总数为4份，黑棋子占其中的1份，白棋子占其中的3份，白棋子是黑棋子的3倍。这时，黑棋子不变，仍为2份，白棋子则为6份，比原来多了：6-3=3份，正好是30个，因此可得每份棋子的数量即为：30÷3=10（个）。这时黑棋子为：10×2=20（个），白棋子为：10×6=60（个）。所以可知，原来黑棋子的个数为：20-10=10（个），白棋子的个数为：60-30=30（个）。

例5、一批零件共1200个，平均分给甲、乙两人加工，经过8小时，甲完成了任务，已知乙的工作效率是甲的 5/6 ，问乙还剩下几个零件尚未加工？

分析与解答：这题的一般解法是，先求出甲、乙每小时各加工几个零件，然后再求出乙已加工了几个零件，最后再求出乙还剩下几个零件未加工。但我们也可换个角度思考，并运用份数进行巧妙求解。

因为由题目的已知条件可知，乙的工作效率是甲的 5/6  ，因为两人同时加工，到甲完成自己的任务，两人所用的时间相同，工作时间一定，工作总量同工作时间成正比例，因此可得乙加工的零件总个数也是甲的 5/6  。因此可得，甲加工的零件为6份，乙加工的为5份，这批零件的总个数为：6×2 =12（份）。当甲完成了任务，甲、乙两人共加工了11（6+5）份，还剩下1（12－11）份，这1份即正好是乙尚未加工的，所以可求出，甲加工完这批零件，乙还剩下的零件个数为：1200÷12=100（个）。

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运用反比解题

有些应用题，有时用一般方法进行求解会感到较为麻烦，如能运用反比进行求解，则能灵活处理并迅速求出答案。

例1、甲、乙两人要植一批树，若两人各自单独植这批树，甲比乙要多用 1/3   的时间，若两人共同植这批树，完成任务时，乙比甲共多植树50棵，问这批树有几棵？

分析与解答：因为单独植这批树，甲比乙需多用 1/3   的时间，即甲与乙工作时间的比为：（1+  1/3   ）∶1 =  4∶3 。因为工作总量一定，工作效率与工作时间成反比例，因此可得，甲与乙的工作效率比为3∶4 。又因为两人从开始植树到结束，所用的时间相同，因此两人完成植树总棵数的比也为3∶4，因此可得，这批树的棵数为：50÷（4 - 3）×（4 + 3）= 350（棵）。

例2、甲、乙两列火车单独行驶，从A到B地所用的时间比为4∶5，两列火车同时从A、B两地相对开出，相遇时，甲车行了300千米，求A、B两地的距离。

分析与解答：因为路程一定，速度和时间成反比例。甲、乙两列火车单独行完全程用的时间比为4∶5，因此甲、乙两列火车的速度比是5∶4 。因甲、乙两列火车行的时间相同，因此甲、乙两列火车行的路程比也为5∶4。

解：设A、B两地相距X千米，则：

        300∶X = 5∶（5 + 4）

                 X = 540

即A、B两地的距离是540千米。

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用分解质因数法解题

例1：一个整数A与7920的乘积是某一个数的平方，求A的最小值及这个数。

分析与解答：这题显然只能用分解质因数的方法进行求解。因为7920×A= 2 4×3  2 ×5×11×A= 4 2 ×3 2 ×5×11×A，因此可知，A的值只能为5×11=55。这个数则为：4×3×55=660，即这个数为660。

例2：有一个长方体，打算将它切成两个长方体，如果切面与前后面平行，则切成两个长方体后表面积增加174平方厘米；如果切面与左右面平行，则表面积增加138平方厘米，如果切面与上下面平行，则表面积增加1334平方厘米，求这个长方体的体积。

分析与解答：解这题的关键是求出长方体的长、宽和高。可用分解质因数的方法进行分析与解答。

设这长方体的长、宽和高分别为A、B和H。如果切面与前后面平行，增加的是前后面的面积，前（或后）面的面积则为：174÷2=87（平方厘米）。即A×H = 87；同理，左（或右）面的面积为：138÷2 = 69（平方厘米），即B×H = 69；上（或下）面的面积为：1334÷2=667（平方厘米），即A×B=667。

因为87 =29×3，69=3×23，667= 29×23，因此可知这长方体的长、宽和高分别为29厘米23厘米和3厘米。

因此可求得这长方体的体积为：29×23×3 = 2001（立方厘米）。

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运用假设法解题

有些数学习题如果能用假设的方法,可以解得更巧妙.

例1、某部战士乘车外出执行任务，原计划每辆车坐30人，则多出7人，后来又增加了100人，而原先准备的车又调走了一辆，因此每辆车改乘36人，这样还多出5人，问原计划多少人执行任务？

分析与解答：这题数量关系较为复杂，可考虑用假设的方法进行求解。

假设原先准备的那辆车不调走，又增加了100人，可得，每辆车坐30人，则多出：7+100=107（人）；每辆车坐36人，则少：36-5=31（人）。因此可知，原先准备的车辆数为：（107+31）÷（36-30）=23（辆）。所以可知原计划执行任务的人数为：30×23+7=697（人）。

例2、快、慢两车同时分别从甲、乙两地相对开出。4小时后，快车距乙地还有120千米，慢车距甲地还有全程的40%。已知快车每小时比慢车多行20千米。求甲、乙两地相距多少千米？

分析与解答：这题中因为快车和慢车虽然同时开出，但两车没有相遇，按相遇问题的一般思路求解有一定的难度，我们可转换角度进行思考并求解。

假设快车和慢车同时从甲地开往乙地，行了4小时，这时快车距乙地还有120千米，慢车距乙地还有全程的40%，因为快车比慢车每小时多行20千米，因此可得，这时慢车与快车之间的距离是：20×4＝80（千米），这样即可得，慢车距乙地的距离是：80＋120＝200（千米），正好是全程的40%，因此可知，甲、乙两地的距离是：200÷40%＝500（千米）。

例3：一个圆锥体的体积是一个圆柱体体积的25%，已知圆锥体和圆柱体和底面直径均为18厘米，圆柱体的高为12厘米，求圆锥体的高为 几厘米？

一般解法：先求出圆锥体的体积：3.14×（18÷2）2×12×25%＝763.02（平方厘米）；再求圆锥体的高：763.02×3÷[3.14×（18÷2）2 ]＝9（厘米）。

巧妙解法：假设圆锥体的体积和圆柱体的体积相等，则圆锥体的高应为：12×3＝36（厘米）。而圆锥体的体积是圆柱体体积的25%，因此可得，圆锥体的高为：36×25%＝9（厘米）。

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换个角度进行思考

有些数学应用题，用常规思路解答有时会感到无从下手，如果掉换一个角度进行分析，则能巧妙进行解答。

例1、某人有甲、乙、丙三个容器，若将水注满甲容器后，再把甲容器的水倒入乙容器，乙容器倒满后，甲容器还剩下原来水的  2/7  ，若把乙、丙二个容器注满水后，再将乙、丙二个容器的水全部倒向甲容器，这时甲容器尚差10升水才能满，已知甲、乙、丙三个容器的容积和是270升，求甲、乙、丙三个容器的容积各是多少升？

分析与解答：这道题的数量关系较为复杂，我们可根据题目中的已知条件，换个角度进行分析与解答。因为由题知道，将甲容器注满水再倒向乙容器，乙容器倒满后，甲容器还剩下2/7  ，因此可知，乙容器的容积是甲容器容积的：1－2/7 = 5 /7   ，若设甲容器的容积是7份，乙容器的容积则为5份。又因为乙、丙二个容器注满水后全部倒向甲容器，这时甲容器尚差10升水才能满，因此可以知道，乙、丙二个容器的容积和比甲容器的容积少10升，假设乙、丙二个容器共再多装10升水，这时可得，乙、丙二个容器的容积和与甲容器的容积相等，这时三个容器的容积和是：270＋10 = 280（升）。因此可得，甲容器的容积是：280÷2 = 140（升）；乙容器的容积是：140÷7× 5   = 100（升）；丙容器的容积是：270－140－100 = 30（升）。或：140－10－100 =  30（升）

例2、 一辆汽车以每小时50千米的速度从甲地开往乙地，行了4小时后，还距中点20千米，求这辆汽车行完全程要用几小时？

分析与解答：这题的一般解法是求出甲、乙两地的路程，再进而求解。但可利用题目中的中点这个特殊条件，采用对折法巧妙求解。

因为汽车行了4小时距中点还有20千米，行2个20千米要用：20×2÷500=  0.8（小时）。行了2个20千米，还要再行4小时，才能到达乙地。因此可得，这辆汽车行完全程要用的时间为：4×2+ 0.8 =8 .8 （小时）

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深挖条件 巧妙解题

有些习题在解答时，有的条件未必全有用，只有深挖题目中的条件，则能化难为易，巧妙求解。

例1、某校六年级（1）班有学生40人，其中女生占1/4 ，后来又转来一些女同学，这时女生占全班人数的2/5  ，问转进女生几人？

分析与解答：因为男生原来占全班人数的：1－1/4 =3/4  ，转来了一些女生后又占全班学生的：1－2/5 =3/5  。因为男生人数前后未发生变化，一直为3份。但因为转进了女生，前班人数发生了变化，原来全班人数是4份，现在则是5份，比原来多了1份，多的正好是女生的人数。因此可知，转进的女生人数为：40÷4=10（人）。

例2、甲、乙两人要加工一批零件，甲每小时加工25个，他加工了4.8  小时后，乙才开始加工，因为乙采用了新工艺，用了1.6 小时以后，就加工了与甲同样多的零件，问乙每小时加工几个零件？

分析与解答：因为甲、乙两人加工的零件个数相等，而加工数量相等的零件，乙用的时间是甲的：1.6 ÷（1.6 +4.8 ）=1/4 ，因此可知，乙每小时加工的零件个数应是甲的4倍。所以可得，乙每小时加工的零件个数是：25×4=100（个）。

例3：小张步行从甲村到乙村去，小李骑自行车从乙村到甲村去，他们同时出发，1小时后在途中相遇，他们继续分别前进，小李到达甲村后就立即返回，在第一次相遇后40分钟，小李追上了小张，他们又分别继续前进，当小李到达乙村后又马上折回，问追上后多少分钟，他们再次相遇？

分析与解答：这题既象是工程问题，又象是行程问题，因此会感到无从下手，其实只要认真进行分析，找出解题的关键，这道题目即能迅速求解。

解这道题的关键是求出小张和小李两人一共行了几个全程。小张和小李两人分别从甲、乙两村同时出发，1小时后两人在途中第一次相遇，这时两人共行了一个全程；因此可得，小张和小李两人共行一个全程要用60钟；小李到达甲村后立即返回，40分钟后追上了小张，这时两人又共行了一个全程，这时两人共行了二个全程；两人继续分别前进，当小李到达乙村后又马上折回，如果小李同小张再次相遇时，两人又行了一个全程，这时小李和小张两人共行了三个全程。因为两人共行一个全程要用60分钟，两人共行三个全程要用：60×3 = 180（分）。因为两人从同时相向出发到各自分别返回再到小李追上小张，已用了：60 + 40=100（分）。因此可得，当小李到达乙村后又马上折回，他们再次相遇用的时间为：180 - 100 = 80（分）。

例4：甲、乙两个工程队合做6天完成了一项工程的一半，这时乙队调走，余下的工作由甲队单独做10天完成。求甲队的工作效率比乙队多百分之几？

分析与解答：这题目的一般解法是先求出乙队的工作效率，再求乙人的工作效率是甲队的几分这几，但也可用比巧妙求解。

由题知，甲、乙两队的工作效率和与甲队的工作效率的比是：1/6  ∶1/10= 5∶3，乙队的工作效率即为：5 - 3 = 2。因此可得，甲队的工作效率比乙队多：（3 - 2 ）÷2 = 50%。

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运用份数巧解题

有些应用题如用一般方法进行求解时较为麻烦，这时可考虑用份数进行求解。

例1、一辆汽车从甲地到乙地，每小时行40千米，5小时到达，返回时速度提高了 1/4，问返回时比去时少用几小时？

分析与解答：因为返回时速度提高了1/4 ，可设去时的速度为4份，则回来时的速度为5份。因为甲、乙两地的路程一定，因此速度和时间成反比例。所以可知，去时的时间为5份，返回时的时间为4份，每份即为1小时，返回时用的时间为4小时。因此可得返回时比去时少用的时间为：5－4=1（小时）。

例2、一辆汽车从一辆自行车分别从甲、乙两地同时相向而行，汽车每小时行50千米，自行车每小时行10千米，两车上遇后各自仍沿原方向行驶，汽车到达乙地后立即返回，行到刚才两车相遇地点时，自行车在前面10千米处，求甲、乙两地的距离？

分析与解答：因为汽车的速度是自行车的：50÷10=5倍，设自行车行1份，汽车则行5份。因此可得，第一次两车相遇时，汽车行了5份，自行车行了1份，甲、乙两地的距离为：5+1=6份，当汽车到达乙地后立即返回，并行到刚才两车相遇地点时，汽车又行了2份，距乙地则为1份。在汽车行2份的时间过程中，自行车行了10千米，自行车行10千米，汽车应该行：10×5=