小学数学创新教学论文

真诚天下

发现法与小学数学教学
       
　
　        

近年来，有些教师在小学数学课试验用发现法进行教学，这是小学数学教法改革的一项新的尝试。随着教法改革的深入，不少教师提出这样的问题：什么是发现法？在小学数学教学中如何运用发现法？作为一种教学方法，必须具有某些独有的特征，能与其他教学方法相区别。为了便于教师进行研究，现根据所了解的一些材料，对发现法的特点及其在小学数学教学中的运用做一简单介绍，以供参考。

一 发现法的特点

　　发现法是近二十多年来国外倡导的一种教学方法，也有人称为探究问题法。五十年代末六十年代初，根据科学技术的迅猛发展和培养人才的需要，国外在提出改革传统教材的同时，相应地要求改革传统的教学方法。有些心理学家和教育工作者倡导“发现”的学习方法，强调要让学生自己发现和创造知识。例如，瑞士心理学家皮亚杰就提出：“要引导儿童去重新发明他们能够发明的事物。”美国心理学家布鲁纳更完整地提出发现学习的理论。他强调，学习是发现知识、理解一个学科的基本认识结构、运用直观和分析推理以及依靠内在动机的过程。他认为，“发现不限于寻求人类尚未知晓的事物，确切地说，它包括用自己的头脑亲自获得知识的一切方式。”因此，他提倡在教学中广泛运用发现法。

　　倡导者们认为发现学习的优点主要是：1.发挥学生主动性和创造性，发展他们的智力；2.可以较深地理解知识，并且较好地保持在记忆中；3.使学生更容易迁移，并且提高学习和研究较难的教材和问题的兴趣和信心；4.学生获得探究知识的技能，从而提高学生独立学习的能力。

　　运用发现法的一般步骤如下：1.创设问题的情境，提出要解决的问题；2.拟出解决问题的方法和途径，收集资料；3.提出假设；4.检验假设；5.总结，做出共同的结论。

　　可以看出，发现法教学的过程与科学家发现新知识的过程基本上是一致的。照布鲁纳所说，两者属于同一类的活动，差别仅在程度而不在性质。

　　纯发现法的教学，自始至终强调儿童自己独立进行活动。这种方法，国外的学前教育工作者运用得多一些，在学校教育中也有运用。但是，纯发现法存在较大的缺点，它只适用于介绍新教材，有时儿童有困难，不能保证达到预期的目的和获得系统完整的知识。因此有人（如美国的柯尔士）提出引导发现法，即在拟定解决问题的途径或提出假设时，教师可以适当予以提示和帮助。这样，学生做起来比较容易，可以有效地控制学生的学习活动，并保证达到预期的目的。

二 发现法在小学数学教学中的运用

　　自从倡导发现法以来，在国外的小学数学教学中有一些教师运用了发现法，但不普遍。最早在六十年代初，布鲁纳曾和美国数学家狄因斯合作，研究试用发现法教小学数学。他曾在小学三年级试用发现法引导儿童根据正方形的边长求面积，发现（x+ 1）（x＋1）=x2+2x+1。以后一些数学教学法研究人员在这方面做了不少的研究。现在从国外书籍中选几个例子来说明。

　　例1：一位数除两位数的教学。

　　给出一道题如39÷3。学生可以先拿39个物品，每3个一份，把它们分成13份。做几个这样的题目以后，可以让他们把物品组成10个一组。例如，给出这样一道题：“哈利买了4条糖果，每条有10块。他吃了1块，把剩下的每3块包成一包，分给同学，分给了几个同学？”

　　学生可能有以下几种解法：

　　1.每3个分成一堆，然后数出分得的堆数；

　　2.从三个10中各先拿出1个，剩下的每9个分给3个同学，再把其余的也每3个分成一堆。

　　3.与2.相似，但他们看出有4个9。

　　4.他们看出3个10正好分给10个人，剩下的每3个分成一组。

　　5.与4.相似，但他们看出剩下的9个正好够分给3个人。

　　在学生得出解法之后，全班进行讨论。教师对不同的算法不给出评价。再出一道题，许多学生会选用比他第一次用的更为简便的方法。进一步教师提出引导性问题，促使学生找出更为有效的计算方法，形成一般的竖式计算。

　　例2：乘法分配律的教学。

　　给出一道一个数乘以和的应用题，例如：“有3个男孩和4个女孩，分给每人2块饼干，一共需要多少块饼干？”让各小组研究这道题可能有几种方法。学生想出下面的解法：

　　每人的块数×（男孩数+女孩数）=2×（3＋4），（每人的块数×男孩数）＋（每人的块数×女孩数）=（2×3）＋（2×4）。

　　还可以用长方形阵列的方法（即按照已知数画几行点子，再导出算式）。每个小组可以自己设数，排成大小不同的阵列。让学生写出积，然后在其中某两行之间或某两列之间折叠一下，把阵列分成两部分，重新写出算式，求出积来。以4×7为例，可以写成如下的形式：

　

　　学生找到分配律以后，可以用它去发现新的事实。

　　例3：三角形内角和的教学。

　　开始先让学生各拿一张正方形纸，沿对角线折叠，发现每个三角形的三个角是由一个直角和两个半个直角组成的。随后让学生拿一张长方形纸，沿对角线剪开，再试试能不能发现每个三角形的内角和是多少。有的学生很快发现三角形内角和等于2个直角，因为一个长方形有4个直角，而剪成的两个三角形是完全相等的。

　　教师还收集了一些等边三角形容器。儿童发现可以把6个这样的容器拼成一个新的图形。而且可以把三个拼在一起立在桌子上（右图）。这说明每个角（根据已学的图形的对称很快发现等边三角形的三个角相等）等于2个直角的三分之一。这再一次说明三角形的内角和等于2个直角。

　　然后教师向学生提问，能不能发现任意三角形的内角和是多少。教师建议学生各画几个不同的三角形，给每个角标上号。有的学生折叠三个角，使它们对在一起；有的学生撕开三个角，把它们拼在一起。他们发现拼成的角的边形成一条直线。有些学生试图发现三角形的内角和是否有不等于2个直角的。

　　最后教师建议，在一个球面上画一个三角形。学生很高兴地发现，在球面上画的三角形有些内角和是2个直角，还有一些却大于2个直角。

　　从上面的几个例子可以看出，在小学数学教学中运用发现法，基本上符合前面介绍的几个步骤。几个例子突出的共同点是激发儿童动脑筋想办法发现规律。解决问题；不同的是，有的教师引导多一些，有的教师引导少一些。

三 对发现法的评价

　　自发现法问世以来，国外对这种方法有各种各样的评价。除了象前面介绍的发现法的倡导者所指出的一些优点以外，也有不少人提出意见。

　　有些人对发现法持反对的态度。例如，美国心理学家加涅不相信只要使学生掌握思考方法，就可以培养起能力。他强调教学要使学生掌握大量有组织的知识，教师要给以充分指导，使学生按照规定的程序进行学习。美国另一心理学家奥苏博则认为，大多数学习应当是学生主动解决问题，但必须由教师建立一个系统的序列和方式。他认为听讲也可以是一个智力上主动的过程，而在探究的情境中学生也可能是被动的。

　　也有人认为发现法有它的适用范围，不能作为唯一的一种教学方法。苏联教学法专家巴班斯基曾指出，这种方法花的教学时间多，在培养一些不复杂的技能技巧时作用是不大的。美国的小学数学教学法研究工作者恩德希尔认为，在教学新概念和一般概括性知识时可以用这种方法，而关于概念的名称、符号表示法仍需要教师予以讲解，而且在发现新知识以后，还要适当地通过讲解法复述概念，指出它的属性，以及计算方法的一些细节（如进位加法要说明竖式具体怎样加，注意哪些事项）等。日本福冈大学秋山俊夫根据日本的试验，认为发现法对于具体运思阶段后期至形式运思阶段前期的学生（十岁左右——十二岁左右）比较有效，但也认为要花费时间和劳力。

　　结合我国具体情况如何在小学数学教学中运用发现法，还没有完整的经验，有待于进一步试验研究。

真诚天下

在小学数学教学中培养学生解答分数应用题能力的研究
       
　
　        

一 研究目的

　　本文所说的分数应用题主要是指由于分数乘法的意义的扩展而出现的应用题。这些分数应用题历来是小学数学教学中的一个难点，也是一个争论比较大的问题。一种看法认为，只要教算术解法，强调分类型，教结语，给解题模式就可以了；另一种看法认为，有关用除法解的分数应用题，要教方程解法，强调分析数量关系，使算术解法与方程解相辅相成。现行通用教材已在这方面做了一些改进，但还不够完善。近年来一些实验进一步表明，采用后一种教法，效果优于前一种教法。分数应用题的教学是一个比较复杂的问题，涉及如何体现小学数学教学的培养目标问题，学生学习分数应用题的心理特点问题，以及为了培养学生的解题能力，如何改革教材教法问题。为此，进行了一些改革实验对上述几个问题做了一些分析研究。

二 研究要点和实验过程

　　（一）实验研究的指导思想

　　以培养学生解答应用题的能力，促进学生思维的发展为目标，以探索学生解答分数应用题的思维特点为依据，建立合理的分数应用题的教材结构，相应地改进教学方法，使学生既便于掌握，又为中学进一步学习做较好的准备。

　　（二）实验研究的要点

　　主要探讨以下五方面改革对培养学生解答分数应用题能力的影响：

　　1.分数应用题的教学范围：在现行通用教材的基础上适当加强分数乘、除法两步应用题，并在不增加负担的情况下使应用题稍有一些变化。

　　2.分数应用题的教材结构：在编排时既注意与分数乘、除法计算密切配合，又注意分数应用题之间的内在联系，同时注意与已学的有关的应用题的联系。

　　3.解题方法：对求一个数是另一个数的几分之几的应用题，（教学用除法计算）；对已知一个数的几分之几是多少求这个数的应用题（包括稍复杂的），采取方程解法和算术解法并重，同时加强两种解法的联系。

　　4.加强基本训练：主要是加强单位“1”的判断和数量关系的分析；并加强根据分数乘、除法的意义来选定运算方法的练习。

　　5.改进教学方法：重视启发引导学生分析数量关系，紧密联系分数乘、除法的意义列式解答，不教给学生应用题类型和解题公式。

　　（三）实验过程

　　本实验先在两所较好的小学五年级各一个班进行，初步探索改革的可行性。然后又在一所普通小学的五年级一个班深入进行研究，在实验过程中进行了4 次专项笔试，并对12名不同程度的学生进行了面试。为了便于弄清本实验对学生所产生的影响和问题，有部分内容在另一所较好的小学六年级普通班中进行了相同的测试。

三 实验结果与分析

　　（一）实验结果表明，五年级学生开始学习分数应用题还是比较难的，需要一个较长的过程才能逐步培养起解答分数应用题的能力。下面是实验班各阶段的测试结果。

表1 五年级实验班上学期解答分数应用题的测试情况

　　从表1可以看出，每一部分应用题教学后进行测试，列式的错误率都在20％上下，教学后经过较长时间的练习，到期末才有较大的下降。

　　（二）实验表明，影响学生正确解答分数应用题主要有以下几个因素：

　　1.正确判断单位“1”。分数应用题涉及两个数量的比较问题。

　　在比较时就有以哪个数量为标准，或者说把哪个数量看作单位“1”的问题。在解答整数应用题时，也有涉及两个数量的比较问题。但是在比较两个数量差或倍数关系时，以哪个数量为标准比较具体，也容易理解。而在分数应用题中，要根据一个数量是另一个数量的几分之几来确定哪个数量作标准（或单位“1”）就比较抽象，难于理解。根据实验，在一步的分数应用题教学后测试中，由于判断单位“1”而做错题的约占20％左右。而且随着分数应用题范围的逐步扩大，关于两个数量的比较的说法也多种多样。例如，有时说甲是乙的几分之几，有时说甲比乙多（或少）几分之几；在表示一个数量是另一个数量的几分之几时，有时用真分数，有时

　　增加了困难。下面是实验班有关判断单位“ 1”的测试结果。

表2 一步应用题教学后判断单位“1”的测试情况

　　从表2可以看出以下几点：

　　（1）给出一个条件比给出一道应用题，判断单位“1”要容易些。这是因为在一道应用题中，有其他条件和问题的干扰。例如，一个中等生，凡给出一个条件的，判断单位“1”都正确；但给出一道应用题时，如“商店

　　为单位“1”。在测试成绩最差的5个学生中，给出一个条件，判断正确的养牛多少头？”判断正确的只有20％。由于条件的叙述不是按正常应用题的叙述顺序，把“养羊300头”移到了后面，造成了一些干扰，使得初步形成的“ ×是×的几分之几”和“以×作单位‘1’”之间的联系遭到破坏。

　　（2）改换叙述方式会降低判断的正确率。因为基本型的叙述方式固定，有规律可循，学生容易掌握；改变叙述方式后，往往比较难理解，从而增加

　　判断为单位“1”。

　　（3）用假分数表示两个数量的关系时，判断的正确率最低。例如，“全

　　时，大都回答说，“因为全班人数多。”显然他们错误地认为数量多的就要看作单位“1”。

　　此外，在了解学生判断的根据时，存在着明显的差异。在抽问实验班的

　　析，如说“要把小华的身高平均分成10份，取这样的9份是小红的，所以要把小华看作单位‘1’”。但是在另外一个班里调查，有些学生能回答哪个数量是单位“1”，却不会分析。还有些学生死记一些“规律”，如说“是”

　　这样的条件时，出现较多的判断错误。很明显，这对于培养学生解答分数应用题的能力起了极大的阻碍作用。

　　2.正确分析题里的数量关系。解答分数应用题同解答整数应用题一样，能否正确地分析数量关系，对于能否正确地解答出来具有十分重要的影响。分数应用题的数量关系比整数应用题的要复杂。在实验中发现有以下几方面影响着分析数量关系的正确性。

　　（1）根据所给的条件，能否变换一种说法来表示两个数量间的关系。这一点不仅反映学生对分数应用题中数量关系的理解的程度，也是解答稍复杂的分数应用题的必要基础。为了了解学生在这方面的掌握情况，曾进行了专项测试，结果如下表。

表3 变换说法表示两个数量间关系的测试情况

　　注：五年级实验班是在教学两步应用题后测试的，六年级普通班是在教学两步应用题后又教学其他内容后测试的。

　　推出“梨的个数是桃的（ ）”，或反过来推理。这种变换的特点是，前后两个判断是等价的，而且都以同一个数量作标准（或单位“1”），因此学生

　

　　还没有真正理解。

　　后两题属于基本型的横向和逆向的复合变换。例如，第3题：“牛的头

　　这样的错误，实验班有5.3％，普通班有25.7％。这些学生把整数中比较两个数量的差（如甲比乙少3，反过来乙比甲多3）错误地类推到分数中来。

　　生知道一个数量比另一个数量少几分之几，反推时不能按照整数的方法直接

　　推算出来。

　　（2）根据所给的条件能否写出两个数量间的关系式。例如，“已知苹

　　题，也可以反映学生对分数应用题中数量关系的理解程度，同时也是解答分数应用题的必要基础。这项测试也是在一个五年级实验班和一个六年级普通班中进行的，测试前两个班都没有做过这样的练习。结果实验班的正确率为76％，普通班为61.4％。由于实验班比较重视结合题意分析数量关系，正确率较高。在错误的答案中，有些是两个班共同

　　位1+多的率）”等。这表明，普通班有些学生不会用所给的具体条件来表达数量间的关系，而是用统一的模式来套。他们采用这种方法也能解答一些分数应用题，但是一旦应用题的条件和叙述有了变化，他们就分析不清楚数量间的关系，导致解答的错误。

　　（3）两步计算的分数应用题，在分析数量关系时顺思考和逆思考的难易程度有不同，下面是实验班的一些两步分数应用题的测试结果。

表4 两步的分数应用题教学后测试情况

　　注：逆思考的分数应用题的正确率都是按算术解法统计的。为了简便，每道题列式用字母表示。

　　从表4可以看出，分析数量关系时需要顺思考（即解答时用乘法计算）的应用题，比较容易；而分析数量关系需要逆思考（即解答时用除法计算）的应用题，比较困难。容易出错的原因可能有以下几点：①在逆思考时，需

　　前两个条件各该判断哪个数量是单位“1”，已知大班的30人与单位“1”

　　思考时，容易发生混淆。例如，“学校买来故事书60本，相当连环画本数的
　　

　　个条件判断单位“1”不是很困难，但是由于在前半部分单位“1”是未知的，而在后半部分单位“1”是已知的，容易造成混淆，增加了判断单位 “1”和确定算法的复杂性。学生解答时，有的第一步算错，有的第二步算错，还有的两步都算错。③有些需要逆思考的分数应用题，容易受整数应用题中数

　　得白兔是40只。显然，这时有些学生还没有养成先判断单位“1”再分析题里的数量关系的习惯。在测试之后经过一段训练，分析数量关系的正确率有了提高。

　　3.正确选择运算方法。一般来说，解答分数应用题，如果能正确地判断单位“1”和分析题里的数量关系，选择运算方法就不容易出错。但是学生在开始学习解分数应用题时，往往出现彼此分离的现象。下面分别进行一些分析研究。

　　（1）判断单位“1”与选择运算方法的关系。下面以一步应用题为例。

表5 解一步分数应用题时判断单位“1”与

选择运算方法的错误率的比较

　　从表5看出。判断单位“1”的错误率与选择运算方法的错误率，平均值比较接近，没有大的差异；解乘法应用题的错误率，两者基本一致；但是解除法应用题，两者有较大的差异。这说明，一方面，在解一步分数应用题时，正确选择运算方法与正确判断单位“1”有密切联系；另一方面，在解某些应用题时，两者存在着分离现象。产生这种现象的原因，可以从以下两方面分析：

　　①判断单位“1”的正确率高于选择运算方法的正确率，可能是学生不知怎样根据判断的结果来选择算法和列式。由于初学，学生在这两者之间还

　　运来萝卜多少筐？”多数错误是列式时用了乘法，但其中有部分学生判断单
　　

　　②判断单位“1”的正确率低于选择运算方法的正确率，往往是由于题

　　　

　　　　　　

　　误认为女工人数多，就是单位“1”。但是在选择运算方法时，他们却撇开了刚才的判断，把两个已知条件联系起来，分析出男工

　　样的错误大都是中上等学生。

　　（2）分析数量关系与选择运算方法的关系。这在解答两步的分数应用题时看得比较明显。下面是实验班的测试情况。

表6 解两步分数应用题时分析数量关系与

选择运算方法的正确率的比较

　　注：表中第一行为两步分数应用题选择运算方法的得分情况，测试6道题、每题按1分计算。表中第二行为分析数量关系的得分情况，也测试6道题，每题也按1分计算。表中第三、四、五行是分别统计得每种分数的学生选择运算方法与分析数量关系的正确率的比较。

　　从表6可以看出，总的来说，分析数量关系的正确率低于选择运算方法的正确率，但是差异不是很大，这说明多数学生在教学后对一、两步分数应用题的数量关系是比较清楚的。但是也要看到，正确选择运算方法和正确分析数量关系不是完全同步发展的，这与解答整数应用题时有相似之处，因此应该说属正常现象。

　　从后三行的统计可以更清楚地看出：选择运算方法与分析数量关系的正确率相一致（a=b）的学生只占全班的29.7％，还是少数；而前者高于后者（a＞b）的学生占48.6％，接近一半。他们大多是中上等学生，基本上掌握了两步分数应用题的解答方法，但在分析数量关系时还不是完全清楚。在抽样面试时就遇到这种情况。例如，前面

　　示什么时，他却说“是黑兔比白兔多的。”另外，还有21.6％的学生，选择运算方法的正确率低于分析数量关系的正确率（a<b）。从表中看到他们都是中下生。这可能是因为分析数量关系的题目比较单纯，比较容易做对；而解答一道两步应用题，还会受其他因素的影响。

　　下面对这个问题进行分析研究。

　　4.影响正确解答分数应用题的其他因素。

　　在实验中发现有以下几点：

　　（1）应用题的情节是学生熟悉的就容易解答，如果离学生生活较远的

　　少吨？”由于原计划与实际收的数量关系离学生生活较远，教学后测试，错误率较高，为23.6％。有些学生在分析数量关系时特别困难，甚至说不清楚

　　“是超过原计划的几分之几”；还有一个中上等生说“原计划占收玉米的几分之几”。

　　（2）有联贯地叙述应用题的条件，比较容易分析和解答；如果有联系的条件相离较远，分析和解答起来就比较困难。例如，“商店运来桔子的筐

　　全班错题率为18.9％。而另外一道解法完全相同的应用题，有联系的条件相离较远，学生分析数量关系时需要重新排列它们的顺序，结果错题率为32.4％。

　　（3）有多余条件的应用题容易做错。例如，“学校种树的总棵数中，

　　是多少？”这实际上是一道一步应用题。但由于第二个条件是多余的，致使很多学生误认为是必要条件，按两步来计算，结果错题率高达70％。很多学

　　树，因此求出杨树的棵数后，再加上柳树的棵数，得到种树的总棵数。还有些学生把这道题误认为是用连乘或连除来计算的应用题。

　　（4）已知条件较少，解答时需要重复使用的，比较难于分析和解答。这同具有反复结构的整数应用题，颇有相似之处。例如，“一个工厂去年生

　　三步应用题，在一个班中测试，错误率高达42.8％。有的学生误认为是两步

　　上述一些因素虽然不是影响解分数应用题的主要因素，但是它们与影响解题的主要因素有密切联系，有时还可能对判断单位“1”和分析应用题的数量关系产生严重的干扰作用，从而导致错误地选择运算方法和列式，因此在教学中也是不容忽视的。

　　（三）实验表明，建立合理的分数应用题的教材结构，对于培养学生解答分数应用题的能力具有重要的作用。在建立教材结构时有以下几点值得注意。

　　1.分数应用题同整数应用题一样，一步计算的应用题是基础，两步及两步以上的应用题都是由一步应用题扩展而成的，因此必须切实打好一步应用题的基础。在教学一步应用题时，关键是加强判断单位“1”和分析数量关系的教学，加强解法与运算意义的联系，引导学生在分析数量关系的基础上联系运算的意义正确地选择运算方法，从而使学生摆脱传统地机械地套结语、搬公式的不良习惯。实验表明，这一点取得了较好的效果（见表1）。

　　2.加强乘、除法两步应用题，对于巩固所学的一步应用题，进一步学习稍复杂的两步应用题都起着重要的作用。因为连乘、连除以及乘除复合的两步应用题，它们的共同特点是分析和解答时需要两次判断哪个数量是单位“1”，这对于培养学生判断单位“1”和分析数量关系的能力有很大帮助。从教学后的测试结果看，解答的正确率稍低于一步应用题（见表1），说明这些应用题并不是很难掌握的。而且开始学习这些两步应用题，由于数量关系稍复杂一些，解答的正确率稍低一些，也属正常现象。

　　3.加强分数应用题之间的内在联系，对于学生形成有关分数应用题的认知结构，培养学生分析和解答分数应用题的能力起着十分重要的作用。从实验的结果来看，主要应加强以下几方面的联系：

　　（1）加强一步的分数应用题之间的内在联系。通过典型的例子，可以使学生理解到，随着分数乘法意义的扩展，相应地出现三种一步计算的分数应用题。原型题是求一个数量的几分之几是多少（与分数乘法的意义直接联系），而求一个数量是另一个数量的几分之几以及已知一个数量的几分之几是多少求这个数量（都用除法），是原型题的变型（逆思考的）。通过联系、比较，学生理解这三种应用题属于同一个数量关系，只是已知和未知的不同，从而解答方法也不同。

　　（2）加强一步的分数应用题与一步的整数应用题之间的联系。通过典型的例子，可以使学生明确地理解：求一个数量的几分之几是多少的应用题是求一个数量的几倍是多少的应用题的发展，它们的算法相同；求一个数量是另一个数量的几分之几的应用题与求一个数量是另一个数量的几倍的应用题在算法上也相同，只是作为标准的数量（即单位“1”）正好相反；而已知一个数量的几分之几是多少求这个数量的应用题与已知一个数量的几倍是多少求这个数量的应用题，也是算法相同，而且都是求作为标准的数量（即单位“1”）是多少。由于加强了整数应用题与分数应用题的联系，在学生的头脑中形成了完整的认知结构，从而利用联想比较容易地掌握分数应用题的解答方法。

　　（3）加强稍复杂的两步分数应用题与一步的分数应用题之间的联系。这要从两方面来做。一是开始教学两步应用题时从与它有联系的一步应用题引入；二是在教学两步应用题之后，再进行对比练习。这样有助于学生理解两步应用题是由一步应用题扩展而成的，不同的在于两个数量间的关系是以

　　的条件转化为直接叙述的条件，就容易找到两步应用题的解答方法。

　　（4）加强稍复杂的两步分数应用题之间的内在联系。通过典型的例子进行联系和比较异同，使学生弄清它们的已知条件和问题不尽相同，但是具有共同的解题思路。解答时既要按照共同的思路去分析数量关系，又要根据每种应用题已知和未知的不同来确定解答的步骤和选择运算方法。实验表明，通过联系对比，学生不仅提高了解稍复杂的两步分数应用题的正确率（见表1），而且提高了分析、推理能力。

　　（5）安排少量的比较容易分析数量关系的两步以上的分数应用题，有利于培养学生灵活的解题能力。由于这些应用题都是在已学的应用题的基础上增加一个条件，在一定程度上起着复习已学的应用题和综合运用所学知识解决实际问题的作用。但是实验表明，必须严格限制应用题的范围和难度，否则会给学生加重学习负担。

　　（6）在分数除法的最后教学比的概念，并在分数应用题中增加比的应用，有助于加深学生对分数应用题中数量关系的理解，培养学生灵活地解答分数应用题的能力。例如，在两步应用题教学后测试中出现了这样一道题：“五年级男生和女生人数的比是7：5，男生有21人，女生比男生少多少人？”解答的正确率为92.2％，其中用分数计算的为84.2％，而且有5种不同解法，显示了大多数学生建立起比与分数两个概念间的联系，并且在解题中能够灵活运用。

　　（四）实验表明，在教学一些需用除法解答的分数应用题时，采取算术解法和方程解法并重，并且加强两种解法的内在联系，收到较好的效果。

　　1.在实验中看到，由于加强算术解法与方程解法的联系，学生较好地理解当单位“1”是未知的，算术解法为什么用除法计算，并且善于联系方程解法推想出算术解法。

表7 解分数除法应用题时选用算术解法和方程解法的情况

　　解一步的分数应用题和解稍复杂的两步分数应用题是分别测试的，每次都要求能用两种解法的用两种解法。从表7看出，实验班的学生在解一步分数应用题时，由于比较容易，多数学生（60.9％）先写算术解法，后写方程解法。但是在解两步应用题时，则多数学生（64.4％）先写方程解法，后写算术解法。这一方面是因为方程解法把逆思考变成顺思考，比较容易推想，正如一个中等生回答的，“难的想不出来就用方程”；另一方面是因为学生在头脑中对算术解法与方程解法建立起联系，想出方程解法后，就容易推想出算术解法。而普通班虽然也教了两种解法，但是它们的联系不紧密，而且强调用算术解法，测试结果正好相反，大多数学生（81.4％）先写算术解法，后写方程解法，而且不会用方程解的比率超过了实验班。这说明教材采取不同的处理方法，教学时采取不同的训练，对学生解题思路的影响也大不相同。特别值得注意的是，加强了方程解法的教学，还为中学学习一元一次方程打下较好的基础，从而加强了中小学的衔接。

　　2.加强方程解法的教学，减少了分数应用题的难度，提高了解答分数应用题的正确率。

表8 解分数应用题采用两种解法的正确率的比较

　　从表8看出，实验班开始做一步应用题，用方程解法的正确率低于算术解法。因为开始教学方程解法，学生看不到方程解法的优越性。另外还有些学生用算术解法已成习惯，或没有掌握方程解法，如上面测试的两题未列方程的分别为18.9％和29.7％。

　　以后加强了这方面的训练有所好转。教学两步应用题，虽然数量关系比一步应用题复杂，但是学生掌握方程解法的思路比较容易，两道题的测试结果都是方程解法的正确率高于算术解法。在做较容易的三步应用题时，两种解法的正确率趋于平衡，而且正确率都有较大的提高。另外，普通班由于强调算术解法，在两三步应用题的测试中，除第1题的算术解法的正确率高于实验班外，其他各项的正确率都低于实验班，这也可以说明加强方程解法对于提高解题的正确率起了一定的作用。

　　3.加强方程解法的教学，还有助于促进知识的迁移，培养学生灵活的解题能力。在教学少量的较容易的三步应用题之后，进行了一次测试，其中有3道与解过的应用题相近，另有3道是学生没有遇到过的。测试结果如下。

表9 灵活解分数应用题能力的测试情况

　　*第3题要求写出方程解法和算术解法两种。

　　**（）里面的都是解错的人数百分比。

　　从表9看出，无论是每题正确率或是平均正确率，实验班都高于普通班，这说明实验班的灵活解题能力和迁移能力优于普通班。重要原因在于实验班学生能够根据题目具体情况灵活地选择解答方法。例如第1、5两题，实验班有相当多的学生选用方程解法，而且错误率较低；而普通班全用算术解法，而且错误率较高。再看第2、4两题，实验班学生能够根据题目的特点选用算术解法（第2题只个别学生选用方程解法），普通班全用算术解法，但是实验班的正确率也高于普通班。至于第6题，由于比较难，两个班都有学生选用不同解法，但实验班选用方程解法的大大高于普通班，而且用方程解法的正确率（33.3％）已经超过普通班的全班正确率；普通班88.2％的学生用算术解法，而正确率却只有20.6％。这也说明，实验班在一定程度上得益于较好的掌握方程解法，并能灵活运用。另外第3题要求写出两种解法，两个班的正确率差异不大。但是两个班在解题思路上还是有差别的。据统计，实验班有63.9％的学生先用方程解，而普通班只有14.7％的学生先用方程解。这也反映实验班多数学生善于由方程解法推想出算术解法，而普通班多数学生是从算术解法推想出方程解法。

　　（五）学生解分数应用题的过程存在着一定差异。

　　从上面的实验结果已经看到，从整体上说，分数应用题的教学效果是比较好的。但是在实验中也看到，学生在学习解答分数应用题的过程中存在一定差异。

　　1.在判断单位“1”和分析数量关系上自始至终存在着差异。这在前面的测试结果中已经有所反映。下面再抽出实验班上、中、差各4名学生，对他们的期末测试结果进行一些分析研究。

　　从表10看出，解答两步应用题，上、中、差生的差别不是很大；但是解答较容易的三步应用题，差生的正确率很低；而判断单位“1”，中、差生

　　全校人数看作单位“1”。尽管经过较长时间的练习，题目稍有变化，他们还会受非本质特征的干扰。就连一部分中等生也存在着一种思维定势，认为全校人数总是要看做单位“1”。这不仅反映一些学生的概念不清，也反映他们的思维灵活性较差。在分析数量关系方面，如“甲数是乙数的1.5倍，

表10 上、中、差生（12名）期末有关分数应用题的测试结果

　

　　判断单位“1”和分析数量关系上有缺欠，势必妨碍他们灵活地解答稍有变化的应用题。

　　2.在灵活解答分数应用题方面有较大差异。下面是上、中、差各4名学生灵活解分数应用题的测试结果。

表11 上、中、差生（12名）灵活解分数应用题的测试情况

　　从表11看出，上、中、差生在灵活解分数应用题方面的差异比表10中掌握分数应用题的分析和解答方法方面的差异更大一些。

　　（1）差生对于具有明显的固定模式的题基本能够解答，但是一有变化，往往感到困难。例如第5题，虽然是三步应用题，但原有的模式比较明显，只是问题稍有变化，75％的差生能够解答。而第1题也是由已学的两步应用题改变问题而成的。据统计，原来这样的两步题，75％的差生也能解答；但是改变问题后原有的模式不明显，只有25％的差生能够解答。

　　（2）中、差生灵活解题能力较差反映在审题和分析数量关系的能力比

　　中、差生解答正确率很低，主要错在后两个条件没有分清。有的看成是“少

　　等等。这反映出中、差学生收集和加工信息的能力比较差。

　　（3）中、差生迁移能力和综合运用知识的能力比较差。例如第6题，表面是一道相遇的行程问题，但是实际上是一道稍复杂的分数应用题。学生需要既熟悉两个物体相向运动的数量关系，又要熟悉分数应用题的数量关系，善于把行程问题转化为分数应用题。测试结果表明，上等生都能做到这一点，中等生有少部分能做到，而差生都做不到。

　　3.在解题过程中分析推理存在较大差异。根据对12名学生面试情况，发现大致有以下特点：

　　上等生：大多能正确分析题里的数量关系，连贯地说明解答步骤，并对选择的运算方法说明理由。

　　中等生：多数对一些比较容易的题目能正确分析数量关系，对一些较难的题目则说不清楚。少数能连贯地说明解答步骤，多数只能解释每一步求的是什么；有时尽管解答正确，但解释不清楚。如前面举的求原计划产玉米多

　　差等生：即使是做对的题目，约有半数不能正确分析数量关系，大多数不能连贯地说明解答步骤，解释每一步求的是什么也常

　　“这是借出的本数吗？”答：“不是，是借出的量。”

　　从上面的分析更清楚地看出，学习分数应用题时，一部分中等生和全部差生在分析推理与正确解答这两方面不是同步发展的，这同低年级学生解答整数的两步应用题有相似之处。这一方面在一定程度上反映了学生学习解答应用题的客观规律，另一方面也表明在教学中对培养中、差生分析应用题的能力还有待加强。

四 结 论

　　（一）实验结果表明，培养学生解答分数应用题的能力是一个比较复杂的问题。根据学生的年龄特点和认知规律，恰当地选定应用题的范围，合理地编排应用题的教学顺序，教学时加强分数应用题的数量关系的分析，采取算术解法与方程解法并重，可以用较少的时间达到较好地培养学生解答分数应用题能力和发展学生思维的目的。

　　（二）实验结果表明，五年级学生（平均年龄10岁半）能够较好地掌握两步计算的分数应用题。适当拓宽两步计算的分数应用题的范围，有利于培养学生解答分数应用题的能力。学生也能够解答一些比较容易的三步计算的分数应用题，但是数量关系不能复杂，综合性不能很强，题量不能很多，否则会加重学生特别是差生的学习负担。

　　（三）实验结果表明，合理地编排分数应用题，特别是加强分数应用题与分数运算意义的联系，加强分数应用题与整数应用题的联系，加强分数应用题之间的联系，加强方程解法及其同算术解法的联系，对于学生形成分数应用题的认知结构，掌握分数应用题的解答方法，培养学生正确地较灵活地解答分数应用题的能力，降低分数应用题的学习难度，减轻学生的学习负担，促进中小学的衔接，都具有重要的意义。

　　（四）实验结果表明，影响学生顺利地解答分数应用题的因素主要有：正确地判断单位 “1”，正确地分析题里的数量关系，联系运算的意义正确地选择运算方法（包括列算式或方程）。只要加强这几方面的教学，就不需要教给学生什么解题公式。这样教学还有力地促进了学生灵活的解题能力和思维能力的发展。至于影响学生解答分数应用题的其他因素，如应用题情节的叙述，应用题条件的叙述顺序，应用题条件的多少等，也往往在一定程度上给学生增加解题的困难。教学时注意应用题适当有些变化，有利于提高学生灵活地分析问题和解决问题的能力。

　　（五）在实验中明显地看到，学生在学习解答分数应用题的过程中，在理解和掌握解分数应用题的方法方面，灵活地和综合运用知识解应用题方面以及口头分析数量关系和说明解题思路方面，都存在着较大的差异。在教学时，要加强对差生的辅导，并允许他们经过一段较长的时间逐步理解和掌握，最后达到教学的基本要求。特别要重视对中、差生的分析、推理的训练，给他们口头表达的机会，以便既提高他们解题的正确率，又提高他们分析问题的能力。要坚持因材施教，对于差生，只要使他们学会解答大纲、课本中共同要求的题目就可以了；对于学有余力的学生，则可以出一些稍费思考的题目，让他们选做，但是也要避免出一些过于繁难的脱离实际的对于进一步学习没有多大意义的题目。

真诚天下

在小学数学中教学简易方程的研究
       
　
　        

ˉ 前 言

　　小学数学中增加代数初步知识是在60年代从国外开始的，它是数学教育现代化的一个重要组成部分。在我国，很早也进行了这方面的实验研究。如 1958年中国科学院心理研究所刘静和曾在小学进行试教代数的实验研究，证明“小学五年级可以接受代数概念，并巩固地用来解答四则应用题”；认为“混合教学代数与算术可以使现在中学某些教材‘下放’小学”。当时由于多种原因，这项研究成果没有得到顺利推广。1977年，教育部重新编写各科教学大纲，提出把先进的科学知识充实到中小学中，开始研究小学增加代数初步知识问题。1978年教育部制订的《全日制十年制学校小学数学教学大纲（试行草案）》中，四年级列入了用字母表示数和简易方程，五年级列入了正、负数四则计算。随后编写了简易方程的教材，在个别学校进行实验。在此基础上编写了通用教材，供全国各地使用。至于正、负数四则计算，在个别地区也进行了实验，并收到较好的效果。但根据各地意见，为了减轻教学负担，在修改教学大纲时，删掉了这部分内容。

二 1978年以来教学简易方程的情况

　　为了实现教学大纲的要求，1978年小学数学通用教材编写组开始编写四年级实验教材，1979年春在一所五年制普通小学四年级2个班中进行实验。教学内容包括：用字母表示数，解简易方程[x±a=b，ax＝b，x÷a=b，ax±b=c，ax±bx=c，a（x±b）=c等类型]和列方程解应用题。五年级教学分数应用题（逆思考的），先用方程解，在此基础上，出现用算术方法解。实验结果如下。

表1 四年级实验班教学简易方程后测试结果

表2 实验班与普通班解应用题测试比较

　　实验初步表明，在四年级教学简易方程是可行的，而且实验班的解应用题能力明显高于普通班。用方程解不仅可以使一些应用题化难为易，还有助于学生根据应用题的特点灵活地选用解法。据统计，在上面的对比测试中，实验班学生解整、小数应用题时，用方程解的占总题数的45.2％。学生认为列方程解应用题容易的占75.5％，认为稍难的占18.5％，认为难的只占6％。

　　为了便于全国小学生接受，编写全国通用教材时，对简易方程的内容适当加以调整。删去ax±bx=c型的方程以及用这样的方程解应用题；在三年级教学加、减、乘、除法算式中各部分间的关系后，提早出现x±a=b，ax=b，x÷a=b型的方程，但不出“方程”的术语。先在个别的省进行试教，取得较好效果后，再推广到全国。现在这套通用教材已经使用10年，普遍反映教学简易方程是可行的。1985年以后，少数省、市编写的六年制小学数学教材中增加了方程ax±bx=c和用这样的方程解应用题，也取得较好的效果。此外，还有少数单位如北京师范大学教育系和景山学校进行加强代数初步知识的实验，也取得一定经验。

三 80年代末加强简易方程教学的研究

　　70年代末以来，在小学数学中增加简易方程虽然取得较好的效果，但仍有不足之处：首先，简易方程的教学主要集中在五年制小学四年级（或六年制小学五年级），其他年级安排的内容较少，不利于巩固和提高所学的知识和解题技能。其次，教学分数应用题虽出现列方程解，但是主要还是反映算术解法的思路，与初中列方程解应用题的思路联系不够紧密。为了加强简易方程的教学，课程教材研究所从1987年春开始新的实验探索。主要有以下几点：

　　（一）三年级结合加、减、乘、除法算式中各部分间的关系和求未知数x，增教列含有未知x的等式解一步应用题（逆思考的）。

　　（二）四年级增教ax±bx=c型的方程和用来解有关的应用题。

　　（三）五年级适当增加含有分数的简易方程，解分数应用题（逆思考的）时在解题思路上加强与初中代数的衔接，并重视算术解法与方程解法的联系。例如：

　

　　1987ˉ1989年上述改革实验先在两所较好的学校各一个班中进行，取得较好的效果。1989ˉ1991年又在全国城市、农村小学约200个班进行实验，也取得较好的效果。部分实验结果如下。

表3 全国实验班三年级下学期列含未知数X的等式

解一步应用题测试结果

表4 某省实验班五年级上学期分数应用题测试结果

表5 实验班与普通班学生灵活运用两种解法的比较

　　*（）里都是解错的人数的百分比。

　　从表3看出，在三年级试教列含未知数X的等式解应用题，取得较好的成绩。从表4看出，某省城、乡小学实验班解分数应用题的正确率也是比较高的，学生既能用方程解又能用算术方法解。从表5进一步看出：（1）当要求学生用两种方法解时，普通班大多数学生先写算术解法，而实验班多数学生先写方程解法；实验班学生会用两种解法的略高于普通班。（2）当要求选用一种解法解三步应用题时，普通班都用算术解法，错误率较高（29.4％）；实验班多数学生能根据题目选用适当解法，错误率较低（总计16.7％）。这说明五年级加强用方程解应用题，对提高学生解分数应用题能力以及培养学生思维的灵活性起了重要作用。

四 结论

　　十多年来中国的教学改革经验表明，在小学数学中增加用字母表示数和简易方程具有以下几方面的功能：1.有助于巩固和加深理解所学的一些算术知识，如运算定律、常见的计算公式等。2.使一些整数、小数、分数应用题化难为易，提高学生解决简单的实际问题的能力。3.促进学生的抽象思维能力以及思维灵活性的发展。4.有利于加强中小学的衔接。近几年的实验进一步表明，在已有的基础上加强简易方程的教学是必要的，它有助于进一步发挥上述四个功能；同时也是可能的，学生不仅能够接受，而且不增加学习负担。目前，我们正根据新的实验研究成果编写义务教育小学数学教科书，供全国试用。这将进一步提高我国小学数学教学质量，为提高全民族素质，起到一定的作用。

真诚天下

20以内加、减法教材改革的初步实验研究
       
　
　        

一 研究目的

　　20以内数的认识和加、减法是小学数学中最基础的内容之一；它又是学习数学的起点，因此还带有启蒙教育的性质。儿童刚入学，通过这一部分内容的学习，获得20以内数的比较明确的概念，初步理解加、减法的意义，能够熟练地计算20以内的加、减法，同时发展他们的智力，培养良好的学习习惯和对数学的兴趣，就可以为进一步学习打下较好的基础。因此，编好这部分教材，对于提高小学数学教学质量，为培养人才打好基础，具有十分重要的意义。

　　如何编好这部分教材，一直是教学研究工作者和教师不断探索的一个问题。古今中外，有各种各样的处理方法。现行通用教材第一册是在总结过去改革经验的基础上编写成的。采取了认数和计算结合，加法和减法穿插编排的形式，注意加、减法之间的联系，比以前的教材容易掌握。但是也存在一些缺点。主要是：1.10以内数的认识，分散出现，拖的时间长，落后于多数儿童认数能力的发展；在建立数的概念时对数的序数含义重视不够。2.进位加法按照得数是11、12、13、……的顺序编排，由于每次教学的式题得数单一，不能很好地调动儿童的学习积极性，容易造成不用思考，死记式题的得数；所学的凑十的计算方法得不到有效地运用和迁移。3.退位减法是根据加减法的关系用加法来计算的，有些儿童初学时有些困难，在编排上不便于教师用不同的方法进行教学。近几年来有些教学研究工作者和教师对这一部分教材的编排和教法进行了不同的实验。例如，20以内的进位加法和退位减法，按照9加几和相应的减法，8加几和相应的减法，……的顺序来编排；或者把加减法分开，先教加法凑十的计算方法，随后进行大量的练习，再教减法破十的计算方法，随后进行大量的练习。这些实验克服了上述的一部分缺点，但是也还有一些值得研究的问题。现在的问题是：20以内加、减法教材具有什么样的结构比较好，使初入学的儿童既能够顺利地掌握这部分基础知识和计算技巧，又能使他们的智力获得初步的发展？这就是本实验研究的主要目的。

二 改革要点和实验过程

　　（一）本实验对教材主要做的几点改进：

　　1.在准备课中出现1到10的数字，以及等号、大于号和小于号。

　　2.认识1到10各数时，加强数的组成练习，增加数的大小比较，加强数的序数含义。

　　3.10以内加、减法采取如下的编排方式：认识3以后，出现加法的初步认识和减法的初步认识；从认识4开始，每次都把加法和减法结合起来（如把得数是4的加法和4减几放在一节课内）进行教学，再通过练习逐步达到计算熟练。

　　4.20以内的进位加法和退位减法采取加减穿插的编排方式：先出9加几，随后出十几减9；再出8加几，随后出十几减8；……以后逐步对有联系的算式加以综合整理。

　　5.在教学认数和计算时，加强儿童的实际操作和其他活动。

　　（二）实验过程

　　1.本实验进行了两次。1984年秋先在两所较好的学校的三个班中进行实验，由教学水平较高的教师任教。1985年秋又在较好的学校的一个班中进行实验，由具有一般教学水平的教师任教。学生基本上是就近入学的。由于某些原因，实验时没有对照班，但通过其他方式进行了一些对比。

　　2.第一次实验时，只就改革方案中某些新课编了实验教材，其他一些课仍用现行教材，做了一些调整。第二次实验时，在总结前次经验的基础上编了全部实验教材。10以内数的认识和加减法按照上述方案实验了两次，20以内进位加法和退位减法只在第二次按照上述方案进行实验。

　　3.实验前进行了摸底测验。以1984年秋的一个班为例，基本情况如下：

　　* 这里不管用什么方法，用数手指的方法算出正确结果的也算在内。

　　4.一般每小节教学之前与实验教师备一次课。第一次实验时，由于只编一部分实验教材，未能完全按照预先计划的课时进行教学；第二次实验时，完全按照预先计划的课时进行教学。

　　5.对实验情况的收集和研究，主要采取以下几种方法：做听课记录，阶段测试，个别查问，对比测试，专项调查，对记录、测试结果进行分析、讨论。

三 实验结果与分析

　　着重分析以下几个问题。

　　（一）关于提早出现等号、大于号、小于号

　　在现行通用教材中，等号是在开始教加法时出现的，大于号、小于号是在第二册教学求两个数相差多少的应用题时出现的。实验教材改在准备课中教比较两组物体多少时出现，以后结合数的认识和计算，做一些数的大小比较的练习，如7＞6，5+3＜9等。（圈里的符号要求儿童填）

　　从实验情况看，开始教学大于号、小于号，多数儿童能掌握，有少部分儿童不知开口朝向较大的数。学完10以内加减法，绝大多数掌握得比较好。测试结果如下：

　　提早出现大于号和小于号，是近20年来小学数学教学发展趋势之一。如苏联、民主德国在一年级认l、2时都出这两个符号，英、法两国也出得比较早。从实验情况看，提早出现这两个符号是完全可能的。因为儿童已经有了比较物体的数量多少的经验，这里只是把这种比较符号化；而这两个符号形象易懂，儿童只要记住开口朝向较大的数就不难掌握。在实验中还看到出现这两个符号有以下好处：1.在以后认数时便于用来表示比较数的大小，从而有利于弄清数的概念。2.有助于理解“相等”的概念。正如赞科夫所说，只有跟“不等”进行比较，才能掌握“相等”这个概念。3.经常利用对应关系比较实物多少和数的大小，可为以后教学求两数相差多少等应用题做较好的准备。4.出现大于号和小于号以后，可以使练习形式增加变化，有助于培养儿童思维的灵活性。例如，学完10以内加减法，出了一道思考题，3+□＜5，1985年实验班填对的达91.6％。教学时有一点值得注意，最初几节课只要让学生初步认识大于号、小于号，不要求全班一下都掌握，而要在以后的反复练习中逐步掌握。

　　（二）关于10以内加、减法的编排

　　这部分教材进行实验时，由于加强操作，把加、减法结合着教学，儿童的学习积极性高，掌握知识的质量好。实验的结果如下：

　

　　1985年实验班后来参加本校一年级各班统一测验，结果正确率和速度都是最好的。

　　根据实验情况初步分析，实验教材的编排有以下几点好处：

　　1.使儿童更清楚地理解加减基本式题之间的关系，便于利用联想算出加、减法式题的得数。现行通用教材中加、减法虽然穿插编排，但是相互联系较少，只是通过少数练习题反映它们之间的联系。实验教材从得数是4的加法和相应的减法开始，每次都把加减法对照排列，在儿童操作的基础上由用一幅图表示两个算式（如在4个白木块和2个黑木块下面出现4+2=6和2+4=6，在4个绿苹果和2个红苹果下面出现6-2=4和6-4=2），逐步过渡到用一幅图表示四个算式（如在8个白木块和1个黑木块下面出现8+1=9，1+8=9，9-1=8，9-8= 1），儿童对10以内加、减法逐渐形成明确的认知结构，计算时联系数的组成和加减法的关系，能较快地算出结果。在给一幅图要求儿童看图写出两个加法算式和两个减法算式时，1984年三个实验班除了一人不清楚外，其他都明确加减法的关系，1985年实验班则全都写出正确答案。

　　2.加、减法结合在一起教，减少了单教加法时得数单一的练习，调动了儿童学习的积极性。同时，由于儿童在头脑中逐步形成加、减法的内在联系，以后学到得数是8、9、10的加法与相应的减法，他们自己就能把这种规律性的联系运用于新的问题之中，这样就初步培养了儿童的类化、迁移的能力。

　　3.由于新知识的教学相对集中，加强了联系，儿童又初步有一些类化、迁移的能力，相对地缩短了讲授时间，加强了课内练习，从而也减轻了学习负担。实验这部分教材时，虽然增加了大于号、小于号，加减混合式题以及用图画表示的应用题，而教学的课时数比现行通用教材的计划课时数还稍有减少。

　　（三）关于20以内进位加法和退位减法的编排

　　1984年实验时，进位加法按照9加几、8加几、……的顺序编排，同时出现交换加数位置的式题；退位减法结合着进位加法，每次出现相应的减法的所有情况。第二次则按照前述改革要点（4）进行实验。两次实验结果如下：

　　可以看出，根据1985年教实验班的教师的实际情况，教学成绩却接近1984年实验班的成绩，在计算速度方面还超过了1984年的成绩。这个班参加本校统一的期末考试，成绩也都优于其他两个普通班。

　　下面根据第二次实验情况，也联系第一次实验情况，着重分析第二次实验教材的特点。

　　1.新课的内容单一，思路单一，规律突出，儿童比较容易掌握。如9加几，都先把第二个加数分成1和几，用1和9凑成10；8加几，都先把第二个加数分成2和几，用2和8凑成10；算十几减9，在熟练9加几的基础上，都想9加几等于被减数；算十几减8，在熟练8加几的基础上，都想8加几等于被减数；……大多数儿童都能较快地学会推想方法，并达到熟练。少数儿童开始学减法有些困难，主要是在计算十几减9、减8时不会用加法逆向联想算出减法的得数；也有少数儿童虽然能用加法推想，但由于加法不熟练而想错了得数；还有个别儿童在想未知的加数时与凑十的加法混淆，如算15-9想成9+（4）=15，算16-9想成9+（5）=16，误认为想出的数比和的个位数少1。（第一次实验也有类似情况）经过及时的辅导，一方面借助逆向联想的卡片[如15-9=（ ），9+（）=15]教会儿童推想的方法，另一方面加强相应的进位加法的练习，儿童逐步都掌握了，以后计算就比较顺利，有的后进生进步还较快。下面列举1985年实验班的几个儿童的进步情况：

　　从表中看出，儿童接受新知识的快慢程度是有明显差别的。有些儿童理解和掌握新知识要经历一个较长的过程。这些儿童暂时处于落后状态，但并不都是差生。只要教师明确这一点，及时地、耐心地和有针对性地给以帮助，这个暂时困难可以逐步克服，最后还能取得较好成绩。

　　2.新的编排方式有助于发展儿童智力。在实验中看到，多数儿童在学8加几时能把已经掌握的凑十方法迁移到新的情况中去。教学时实验教师有意识地提问：计算9加几和计算8加几时都用凑十法，有什么不同的地方？很多儿童能正确地回答。这会促进儿童分析、比较能力的发展。教学退位减法时，运用加法推算减法的得数（如15-9，儿童要想9加几得15，因为9加6得15，所以15减9等于6）这种训练本身就是培养儿童初步推理能力的过程，而且用加算减带有逆向思维的性质，而培养逆向思维是培养思维能力的一个重要方面。前面所举的少数儿童感到困难的也正是这一点。但是儿童通过实际操作、观察演示以及借助逆向联想的卡片练习，逐渐掌握了推想的方法，后面的学习就比较顺利。这时儿童不但计算能力明显提高，类化、迁移的能力也获得发展。

　　3.新的编排便于逐步简缩思维过程，提高计算速度，最后形成熟练的计算技巧。开始教学9加几、8加几……的凑十方法，只是教给儿童推想的一般步骤，儿童大都按照思考步骤来计算。经过一些练习，教师引导儿童简缩思维的中间环节。如9+ 3，只要想3拨过1（省略“和9凑成10，3还剩2，合起来”）得12；8+5，只要想5拨过2，得13。儿童掌握这个规律以后，计算速度有较明显的提高。再经过一定的练习，达到看见式题不假思索地很快说出得数。至于退位减法，开始按照9加几得12，8加几得13等来推想12-9、13-8等的计算结果。以后在掌握基本推想方法的基础上，对于减数较大的情况，也适当启发儿童找规律，有助于简缩思维过程。如减9所得的差比被减数的个位数都多1，等等。实验表明，这种简缩思维过程、探索规律的工作不能进行得太早，在儿童还没掌握基本推想方法时教这种简便的方法，容易造成混乱，欲速则不达。另外，注意加减法之间的联系仍然很重要。开始为了便于儿童掌握，只限一个加法算式和一个减法算式建立联系，如9+2和11-9，8+3和11-8，……随着学习的进展，逐步建立两个加法算式和两个减法算式的联系，最后还加以综合整理。这不仅使儿童进一步明确加减法的关系，而且便于儿童运用多方面联想，促进思维过程的简缩，较好地掌握20以内的进位加法和退位减法。

　　4.新的编排方式便于教师采用不同的推想方法。近年来有些教师由于看到部分儿童用加法逆向联想来计算20以内退位减法比较困难，改教“破十法”，或进行了实验。但是这样教学时需要改变现行通用教材的编排顺序。这次实验教材改变了编排方式，为教师采用不同的推想方法提供了方便。（有关“破十法”问题将在后面加以讨论。）

四 结论与讨论

　　（一）当前，数学教材改革的一项重要任务，就是如何使儿童容易理解和掌握数学基础知识，减轻学习负担，同时又促进儿童智力的发展。要完成这项任务，研究和处理好数学教材的结构具有十分重要的意义。正如美国心理学家布鲁纳所说的，“不论我们选教什么学科，务必使学生理解学科的基本结构。”苏联教育家斯卡特金在《现代教学论问题》一书中也强调要确定学科的结构，以适应普通教育的目的。本实验表明，在小学数学中，即使是一年级最简单的内容也存在着研究教材结构的问题。良好的教材结构便于教师教和学生学，可以促进教学质量的提高。

　　（二）20以内加、减法教材的结构可以是多种多样的。但是良好的教材结构，一方面必须反映数学的基本概念和基本原理，另一方面要符合儿童的认知特点。美国G.F.格林认为，“应当成组地讲解基本式，而不要单个地讲，”它的好处是可以 “减少要学习的各自独立的内容的数目，便于从结构上做出概括结论并教儿童如何应用它们。”多年实践和本实验证明这种看法是正确的。但是如何分批分组，要对具体内容进行具体分析。苏联心理学家赞科夫在论教科书的系统结构时，强调要注意教育功能的多方面性，不仅使儿童掌握数学知识和技巧，而且要促进他们的一般发展。本实验结果表明，10以内加、减法把两种运算结合起来教学，20以内进位加法和退位减法穿插编排，以后逐步加以综合整理，能使儿童较好地掌握基础知识和计算技巧，又促进他们智力的发展。

　　（三）本实验表明，初入学儿童学习20以内加、减法时，无论在已有的经验，领会的速度，把已学的知识迁移到新问题中的能力，识记的能力等方面，都存在很大差异。因此编写教材，确定要求和进行教学都要注意适应这一点，改变那种“一刀切” 的教育思想和教学方法。在教学某一新知识时不能要求所有儿童当堂都掌握，要容许一些后进儿童经过必要的辅导和较长时间的学习实践逐步掌握。只要教学得法，暂时后进的儿童，能够逐步达到基本的教学要求，甚至能够取得较好的成绩。

　　（四）本实验虽然初步取得较好结果，但是教材的结构和其他方面的安排是否普遍适合各地情况，还有待进一步实验研究。其中20以内退位减法，实验表明，用加法逆向联想来算，仍是比较好的一种方法。它对于使进位加法进一步熟练，深刻理解加减法的关系，发展儿童智力，都有一定的促进作用。少数儿童开始学习会有一些困难，但只要多利用操作、直观，及时给以帮助，是能够逐步掌握的。实验教材的编排也为教师采用其他方法（如“破十法”）提供了方便。关于“破十法”，由于某些原因没有进行对比实验，仅在采用这种方法的学校进行了一些调查。初步看到，采用“破十法”，儿童比较容易理解和掌握，经过练习也能达到熟练的程度；有些儿童能够简缩思维步骤（如13-8，很快想8的补数2，加3得5）。但是也有很多是分步算的。特别是在计算两位数减法时（如61-7，72-36），有些儿童要用铅笔或手指先点着被减数的十位和减数的个位，再点着减数的个位和被减数的个位，少数儿童甚至往返几次，才算出得数，因而速度很慢。另外，采用“破十法”，削弱了加减法之间的联系，不利于培养儿童通过多种联想运用旧知识解决新问题。这个问题还有待进一步研究，并进行一些追踪调查。

　

真诚天下

在小学数学中培养学生的思维能力问题
       
　
　        

在小学数学中培养学生的思维能力问题

　　培养学生的思维能力是现代学校教学的一项基本任务。第二次世界大战以后，科学技术迅猛发展，知识激增，知识的更新加快，随之对教育提出了新的要求，就是要提高年轻一代的素质。不仅要教给学生现代科学技术知识，而且要把学生培养成勇于思考、勇于探索、勇于创新的人，从而强调教学要注重发展学生的智力。从心理学角度来看，智力的核心是思维能力。思维能力增强了，智力水平也就提高了。因此各国的小学数学都把培养学生思维能力作为教学的一项基本任务。

　　培养学生思维能力是一个很复杂的问题，它涉及到逻辑学、心理学、教育学等多学科的知识。同时，逻辑学和心理学都研究思维，但它们的侧重面有所不同。逻辑学主要从思维的结果（或产物）如概念、判断、推理等方面来研究，而且着重研究正确思维的规律及形式，以及这些认识结果之间的关系。心理学则主要从思维过程本身来研究，着重研究思维过程中的规律，以及导致形成某些认识结果的内在的隐蔽的原因。由于思维过程与思维结果是密切联系着的，所以心理学与逻辑学对思维的研究也要紧密联系，并且相互补充。我们在研究小学数学教学中发展思维能力也同样要注意思维过程和思维结果紧密联系这一特点，忽视哪一方面都不可能收到良好的教学效果。

一 人类思维发展的阶段

　　思维活动是多种多样的。根据人的不同发展阶段的思维特点来划分，可以分为以下几个阶段。

　　（一）直观行动思维：这是婴儿期（1岁以后）的思维特点。这个阶段的思维是在对物体的感知、动作中进行的。婴儿离开动作就不能进行思考，也不能计划自己的动作或预见动作的结果。这阶段婴儿只能概括事物的一些外部特征。以后长到成人，直观行动思维继续发展成操作思维。例如运动员的技能就需要操作思维。

　　（二）具体形象思维：幼儿期的思维特点，一般从3岁延续到小学低年级。儿童思维时可以摆脱对动作的直接依赖，而凭借事物的具体形象或具体形象的联想（即在头脑中形成表象）。这阶段儿童能进行一些初步概括，但概括出的特征很多是外部的、形式的。

　　（三）抽象逻辑思维：它是以抽象概念为基础的思维。又可以分为两个阶段。

　　1.形式逻辑思维：简称逻辑思维。它是以同一律为核心规律，进行确定的、无矛盾的、前后一贯的思维。它要求在同一思维过程中的每一个概念必须是确定的。例如，A就是A，不能既是A又是非A。在小学数学中每一个概念也都必须是确定的。例如教学约数、倍数时，把0排除，否则公倍数、最小公倍数也要包括0了。

　　形式逻辑思维的特点主要是从思维形式（概念、判断、推理）上进行思维。它是抽象逻辑思维发展的初级阶段，因此也称为普通思维，形式逻辑也称普通逻辑。一般地说，10—11岁是过渡到逻辑思维的关键年龄。这时学生的概括能力有了较显著的变化。

　　2.辩证逻辑思维：简称辩证思维。它是以对立统一为核心规律而进行的思维。它着重从事物内部的矛盾性，概念的矛盾运动来进行思考。它把思维形式和思维内容联系起来，对事物的发展变化、相互联系、相互转化的过程进行思考。它是抽象逻辑思维发展的高级阶段，必须在形式逻辑思维的基础上才能形成。据心理学家研究，9—11岁学生的辩证思维才开始萌芽。

　　从个体发展来说，上述几种思维活动虽然是分阶段逐步发展的，但每发展到后一阶段时，前一阶段的思维特点并不因此而停止发展或消失，在一定条件下，还向更高的水平发展。例如，文学家、艺术家、建筑学家等的具体形象思维获得了高度的发展。

二 在小学数学教学中对发展思维能力的基本要求

　　新中国成立以来，历届小学数学教学大纲中有关发展学生思维能力的规定基本相同，即培养学生初步的逻辑思维能力。这里所讲的逻辑思维主要是指形式逻辑思维。从国家教委1992年颁发的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》中看得更清楚。其中明确提出，“结合有关内容的教学，培养学生进行初步的分析、综合、比较、抽象、概括，对简单的问题进行判断、推理，逐步学会有条理、有根据地思考问题；同时注意思维的敏捷和灵活。”这表明，在小学阶段主要是培养学生初步的形式逻辑思维能力，同时也注意培养学生的一些良好的思维品质。

　　为什么在小学以培养初步的形式逻辑思维能力为主呢？个人体会有以下两点。

　　（一）从数学的特点看：数学具有抽象性和逻辑严密性。数学本身是由许多判断组成的确定体系。这些判断都是由数学术语和逻辑术语以及相应的符号所表示的语句来表达的，并且借助逻辑推理由一些判断形成新的判断。而这些判断的总和就构成了数学这门科学。小学数学内容虽然比较简单，也没有严格的推理论证，但都是经过人们抽象、概括、判断、推理、论证得出的真正的科学结论，只是不给学生进行严密的合乎逻辑的论证。即使这样，一时一刻也离不开判断、推理。这就为培养学生的逻辑思维提供了十分有利的条件。

　　（二）从小学生的思维特点看：小学生正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。特别是中、高年级，学生的抽象思维发生了“飞跃”或“质变”。具体地说，10—11岁学生开始能逐步分出概念的本质特征，能初步掌握比较科学的定义，能领会概念之间的逻辑关系，也能独立进行一些简单的逻辑分析，并进行间接的推理（即由几个判断推出新的判断）。因此可以说，这一阶段正是发展学生形式逻辑思维的有利时期。

　　由此可以看出，小学数学教学大纲中提出培养学生初步的逻辑思维能力，既符合数学学科的特点，又符合小学生的年龄特点。

　　有人一度提出，小学数学的教学目的之一是发展学生的创造思维。这一点值得商榷。第一，根据心理学研究，创造思维是人们思维活动的高级过程。它有普通思维的特点，例如在解问题时，也有提出问题、明确问题、提出假设、检验假设等阶段。但是不同之处在于有想象的参与。另外，创造思维往往是逻辑思维的简缩。从多数学生来说，如果没有良好的逻辑思维的训练，很难发展创造思维。也就是说，发展创造思维首先要有逻辑思维做基础。其次，人们的一般思维活动中也具有一定的创造性思维的因素。可以说，发展逻辑思维，在一定程度上也包含着发展思维的创造性品质。但是如果把创造思维作为基本要求提出来，对小学生说就要求太高了。此外，由于创造思维这一过程本身比较复杂，心理学的分析研究还很不充分，还难以具体说明它的内涵，要在小学里提出明确具体的教学要求就更困难了。

　　也有人强调小学数学应着重发展辩证思维。这也值得商榷。如前所述，辩证思维是抽象逻辑思维发展的高级阶段，需要有一定的形式逻辑思维做基础。而且从小学数学内容来说，虽然有些内容能够反映辩证思维的某些规律，但有很多内容受到一定的局限。例如，对加与减，可以说是相反的运算，两种运算相互依存，但是在一定条件下可以互相转化就不好讲，因为还没有学过负数。另外从小学生的年龄特点来说， 9—11岁才开始萌发辩证思维，显然比形式逻辑思维发展得晚。因此在小学把发展辩证思维作为教学的基本要求，还为时过早。在小学只能结合某些内容适当渗透一些唯物辩证观点的因素，给学生积累一些感性材料，而不是讲辩证法。例如，讲整数加法与减法时，可以通过实例说明它们是相反的运算，是相互依存的；讲分数乘除法时，可以通过实例说明两种运算在分数中可以相互转化。

三 小学数学中培养初步的逻辑思维能力的内容和教法

　　下面基本按照《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》中所提的内容分别加以阐述，同时分别提出一些教学建议供参考。

　　（一）培养学生初步运用分析、综合、比较、抽象、概括等能力

　　这些内容，从逻辑学上说都是逻辑的方法；从心理学上说都是人们进行思维活动必不可少的过程。

　　1.培养初步的分析、综合能力。

　　分析是在思维中把事物的整体分解成个别部分、要素或特性；综合是把个别部分或特性结合成一个整体。分析与综合是密切联系着的，人们一方面不断进行分析，另一方面对分析的结果不断加以综合。

　　分析与综合在小学数学中有广泛的应用。通过分析可以理解某一数学知识的要素，新旧知识间的联系；通过综合又对数学知识有了全面的和整体的理解。

　　从一年级开始就用到分析与综合，而且贯穿在各年级各部分数学知识的教学之中。下面举几个例子。

　　（1）教学10以内的数时，要了解每个数的分解和组成。如

　　（2）任何一个计算，几乎都可以分解成几个已学的基本计算。如20

　　（3）在进行概括的时候，一般都先经过分析，然后再综合。例如，讲除法的意义，先通过具体例子分析除法中各组成部分与乘法中各组成部分的联系，在此基础上概括出除法的意义。

　　（4）解答简单应用题时，根据问题找出所需的已知条件就是分析的过程，根据已知条件提出所能解的问题就是综合的过程。解答复合应用题时，分析、综合就较为复杂。先把复合应用题分解为几个有联系的简单应用题，进一步分析解每个简单应用题所需的已知条件，然后把已知条件成对的结合，连续地解答几个简单应用题，最后得到问题的答案。例如：

　　两步应用题：“同学们做了12朵红花，8朵黄花。送给幼儿园15朵，还剩几朵？”

　　想：要求还剩几朵，须知道什么？——一共做多少朵，送了多少朵。（分析）

　　一共做多少朵知道吗？那么要先算什么？

　　要求一共做多少朵，须知道什么？——做了几朵红花，几朵黄花。（分析）

　　题里告诉了什么？怎么求一共做多少朵？（综合）

　　知道一共做20朵，现在可以求什么？怎么求？（综合）

　　（5）教学几何初步知识也同样运用着分析与综合。例如，教学长方体特征时，引导学生观察、分析它们的面、校和顶点，然后加以综合，总结出长方体有6个面、12条棱和8个顶点，以及其他特征。

　　小学生的分析与综合，在不同年龄段具有不同的水平。低年级学生能进行简单的分析与综合，但是一般都要结合动作和直观来进行，而且主要是进行部分的分析，即能分析某个事物的个别部分或个别特征。中年级学生在教学的影响下有所发展，但多数还是部分分析，而进行综合的分析能力还很差。解答两步应用题时，有近50％的学生能正确分析出第一步先求什么，多数能列综合算式解答。高年级学生的分析、综合能力有较大的发展。他们能进行稍复杂的分析与综合。解答整、小数两步应用题时，近80％的学生能正确分析出第一步先求什么。但解分数的两步应用题时，还有较多学生对分析感到困难。在用不同方法解答应用题时，需要把原有条件重新组合分析，然后列综合算式，从而使学生的综合分析能力也得到了发展。

　　教学生进行分析、综合时要注意以下几点：

　　（1）研究的事物都有许多部分、要素和特性，其中有些是重要的、本质的，教学时要引导学生分析重要的和本质的东西。例如，12×3，口算时可以把12分解成任意两个数的和，但是要着重引导学生把12分解成10和2，先算整十数乘以3，再算2乘以3，最后把两个积合并起来。

　　（2）要随着学生的年龄逐步提高分析、综合的要求。例如，低年级教学10以内数的组成要结合动作、直观来进行分析；解答应用题也借助动作、直观来分析数量关系。到了高年级，有的就可脱离直观，但较抽象的内容还要适当利用直观。如教学约数、公约数、倍数、公倍数等可以让学生摆一摆计数板，以加深对分解公有的质因数的理解。

　　（3）分析的深刻、详细的程度注意适当划分层次。例如，低年级教学长方形、只分析出它有4条边、对边相等，有4个角，都是直角。较高年级教学平行以后再分析出它的对边平行。

　　（4）为了培养学生分析、综合的能力，注意适当让学生口头表述分析、综合的过程，可以让同桌的学生经常互相说给对方听。

　　2.培养初步的比较能力。

　　比较就是确定所研究的事物之间的相同点和不同点。有比较才能鉴别，通过比较可以加深对事物的理解。比较与分析、综合有着密切的联系。通过分析，把事物的个别部分、个别特性区分出来，才有可能加以比较，确定它们的异同。

　　比较在小学数学学习中有广泛的应用，它有助于正确理解概念和法则。从一年级开始就学习比较。如比较两组物品的个数是同样还是不同样多，哪组多，哪组少。教学计算方法或法则时，通常都要出现不同的算式进行比较。例如，5+1=6，1+5 =6；6-1=5，6-5=1；31+15=36，31+50=81等。教学一些概念时，也都要进行比较。如质数和互质数，分数和除法，正比例和反比例，长方形、正方形和平行四边形等。有关联的易混的应用题要进行比较。如比较乘、除法应用题，算术解法和方程解法等。

　　小学生的比较能力也是逐步发展起来的。低年级学生往往只能在直接感知的条件下区分一些直观、具体的事物的异同，或区分个别部分的异同，还不善于区分本质的异同。随着年龄和年级的增长，学生逐步发展到能区分抽象事物的异同，许多部分的异同，并且对简单的事物能区分本质的异同。研究还表明，小学生开始比较容易发现事物的相异点，逐步也能发现事物的相同点或相似点。而且开始发现事物的相异点都是比较明显的，以后逐步能比较细微的差异点。

　　教学生进行比较时要注意以下几点：

　　（1）要比较的事物和对比较的要求必须适合上述小学生在比较方面的年龄特点。例如，低年级要多利用直观，并且多加引导；高年级则要更多地放手让学生进行抽象事物的比较，遇到较难的知识仍可利用直观。开始着重比较明显的相异点，以后逐步练习比较细微的差异点。

　　（2）明确要比较的项目，必须在同一种属性、特点或关系上进行比较。有时在几方面有相同点或不同点，就要引导学生分项依次进行比较。例如引导学生比较长方形和正方形时，先比较它们的边，再比较它们的角，然后综合起来说出它们有什么相同点和不同点。

　　（3）要引导学生抓住本质的属性。特别是分析不同点时，往往有很多非本质的不同点，不要在这些方面花很大力量。例如，方程解应用题和用算术方法解应用题，在解题时有很多相同点和不同点，但最重要的不同点是：用方程解时把未知量当作已知量直接参加列式，算术解法则把未知量作为解答的目标而不参加列式。学生明确这一点，就抓住用方程解应用题的本质。

　　（4）对于易混的概念和法则要着重比较它们的相异点。例如1分米、1平方分米和1 立方分米，要通过比较，使学生明确它们的实际长短或占空间的大小，弄清它们分别是长度单位、面积单位和体积单位，它们分别与1米、1平方米和1立方米的进率是10、100和1000，从而获得明确的长度单位、面积单位和体积单位的概念。

　　3.培养初步的抽象、概括能力。

　　抽象是在思维中揭示出事物的本质特征，舍弃其非本质特征。有时本质或非本质特征要根据研究的方向和目标而定。例如：下面的几个形体，可以分别研究它们的形状特征。大小特征，颜色特征或制作的材料特征等。

　　概括则是在思维中把某些事物所抽取出的共同本质特征结合起来，并推广到同类的事物上去。例如，研究大小不同、放的位置也不同的三角形，抽取出它们的共同本质特征，并得出一般结论，即三角形都由三条线段围成的，都有3个角。这就是概括。

　　显然，抽象、概括与分析、比较、综合有着密切的联系。它们是在分析事物的各自特征的基础上，舍弃其中一些非本质的对我们没有意义的特征或属性，分出本质的对我们有意义的特征或属性，并且通过比较不同的事物，找出它们的共同特征或本质属性，再加以综合。因此可以说，这几种逻辑方法是相互联系、相互渗透的。

　　抽象、概括在小学数学中有着广泛的应用。任何一个数学概念都是抽象、概括的结果。例如，认数3时，先数3个杯子，数的时候舍弃了杯子的形状、大小、颜色等特征，区分出数量来；再数3支铅笔、3个球，也同样舍弃其他的特征，只区分出数量的特征。经过比较，可以看到这三种物体具有共同的数量特征，即都是3个，于是概括出数目3。认识形也是一样，先拿一个小圆筒，舍弃它的数量、大小、颜色等特征，而抽取出它的形状特征。那么就看到它有上下两个圆面，还有一个侧面是曲面。如果再拿几个小圆筒，大小、颜色虽然不同，但是形状上具有同样的特征，那么就根据它们具有形状的共同特征把它们归为一类，做出概括。

　　小学生的抽象、概括能力也因年龄和年级的不同而有不同的层次和水平。据心理学家研究，低年级学生主要处于直观形象水平阶段。如认数1、 2、 3， 4、 5……以及认识加、减、乘、除运算的含义等，都是通过操作、直观而抽象、概括出来的。学生在抽象、概括时，他们往往只注意到或概括出事物的直观形象和外部特征。例如，在一年级教学圆柱的认识，有的学生说它的形状是“直上直下的，像个大柱子，圆乎乎的。”在教师的指导下，学生逐步能离开直观，理解一些抽象的数概念，概括出简单的计算法则。中年级学生则发展到形象抽象水平阶段。其特点是：学生注意和区分事物的直观的和外部的特征逐渐减少，而注意和区分事物的内部的和本质的特征逐渐增加。到了高年级，进一步发展到初步的本质抽象水平。其特点是：大多数学生能对事物的本质特征或属性以及事物的内部联系和关系进行抽象、概括。例如，给学生出示几个不同的菱形（来教过），四年级除了一些学生能抽象概括出它们都有 4个角或 4条边外，有 8％的学生能指出它们的四边相等或对角相等。而五六年级除了一些学生能抽象概括出它们都有4个角或4条边外，有21％的学生能指出它们的四边相等或对角相等，还有33％的学生能指出它们是对称图形或有对称轴。高年级学生还能初步理解用字母表示数。但是学生的本质抽象水平的发展还是不完全的，对于离学生生活远的事物或高度的抽象、概括，还感困难。例如分数、小数、质数、合数的本质特征，还需要通过操作或直观来理解。

　　教学生进行抽象、概括时要注意以下几点：

　　（1）要通过直观、具体的材料进行抽象。抽象是与具体相对应的，因此要按照由具体到抽象的原则，提供丰富的直观、具体的材料，并引导学生抽象。直观、具体的程度可根据学生的年龄特点以及平时积累的感性经验多少而定。低年级要多运用一些直观、具体的材料，到高年级遇到过于抽象的概念，如质数、合数、分解质因数、分数等概念，也要注意适当运用直观教具。

　　（2）注意抽象、概括的科学性。进行抽象、概括时，要注意引导学生区分出事物的本质特征，舍弃其非本质特征，以便达到正确理解所学的知识。另外要注意从多个事物进行抽象、概括，避免从一个事例作出概括，以防止得出片面的不正确的结论。即使是通过几个事例进行抽象概括，有时也难免得不到正确的一般概括，因此所举的事例要具有典型性、代表性。例如，低年级教学长方形时，要出不同的放置位置的长方形，特别要注意出现斜着放

　　误认为只有底边是水平放置的长方形才是长方形。

　　（3）进行抽象、概括之后还要注意具体化。具体化和抽象、概括是相反的过程，在抽象、概括出事物的本质的一般特征之后，还要引导学生回到单独的个别的事物上去，以作为对抽象、概括出的结论的应用和验证。通过这一活动还可以加深学生对所学的知识的理解，使学生的思维生动、灵活。例如，教学乘法的初步认识后，可以出现算式3×4，让学生用小圆片摆出这个算式表示的是几个几。另外，如果有些差生对抽象、概括出的概念的本质特征不易理解，还要再回到具体的事例中去以帮助理解。

　　（二）培养学生初步的判断、推理能力

　　前面讲的是思维的过程和方法，但人们在进行思维时，以什么形式表现出来呢？这就是通常所说的概念、判断和推理。无论逻辑学或心理学，都把这三者看作基本的思维形式。

　　1.重视概念的教学。

　　概念是对事物的一般属性和本质特征的反映形式。任何一个概念都是对事物进行抽象、概括的结果。概念与知觉、表象不同。知觉、表象都是事物的具体的映象，具有直观的性质。而概念具有抽象、概括的性质。

　　概念是用词来表达的，它以词的意义的形式而存在。在小学数学中概念有很多，也都是用词来表示的，如整数、分数、小数、约数、倍数、直线、长方形、圆等。

　　（1）概念的定义。

　　任何一个概念都反映事物的本质特征，通常叫做概念的内涵。例如，平行四边形这个概念，它的内涵就是两组对边分别平行的四边形。一个概念还反映了某一类事物的总和或范围，通常叫做概念的外延。例如，三角形的外延就是指所有的三角形，其中包括锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。可以看出，概念的内涵是说明概念的含义的，概念的外延是说明它的适用范围的。这两者相互联系、相互依赖。每个概念都有确定的内涵和外延，不能混淆。

　　概念一般都要加以定义。通过定义来揭示概念所反映的事物的本质特征。这在小学数学中例子也很多。给概念下定义的方法也有多种，下面举出几种常见的下定义的方法。例如，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。（关系定义，说明平行四边形是四边形中的一种，它的本质特征是两组对边分别平行。）

　　已知两个数的和及其中一个加数求另一个加数的运算叫做减法。（也是关系定义。）

　　一条线段绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角。（发生定义，说明这种角的由来。）

　　两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。（条件定义，通常有“如果……那么……”）

　　此外，在某些情况下，概念不好下定义，就采取描述、说明的方法。这在小学数学中还比较多。例如，物体表面或围成平面的大小叫做它们的面积。（描述）

　　把一个合数表示成若干个质数的乘积，叫做分解质因数。（说明、解释）

　　1、2、3、4、5……叫做自然数。（指出概念的外延）

　　有些初始概念是不定义的，如集合。（在小学不讲）

　　（2）小学生对概念的掌握。

　　小学生掌握概念有一个逐步提高的过程。低年级学生掌握的概念大部分是具体的；如果是比较抽象的概念，那么必须是通过直观可以了解其本质特征的。据心理学家研究，儿童对概念的掌握的水平是与其概括的发展水平相适应的。低年级学生掌握概念的水平主要是描述型和功用型，如果给概念下定义，学生还较难接受。另外，学生往往对概念的本质特征不很清楚，也不易全面掌握。例如，有的学生误认为，只有水平放置的长方形才叫长方形。中年级学生可以初步理解和掌握一些概念的本质特征，但是由于抽象、概括水平的限制，对某些概念的本质特征的理解和掌握还有困难，而且往往不能脱离直观形象的支持。例如，中年级学生掌握亿以内的数比较容易，对亿以上的数就比较困难。分数、小数的概念，还需要通过操作、直观来逐步理解它们的含义。另据研究，四年级学生能识别垂线、直角三角形、平行四边形、正方形、梯形、圆这6种图形的平均正确率可达62.3％，但是能说明图形特征的平均正确率只有28.3％。这说明要掌握几何图形的本质特征还是比较难的。到了高年级，学生能够掌握一些概念的本质特征，理解一些概念的抽象定义。据测试，五年级能正确掌握所学平面图形特征的可达50％。但是有些概念还需要通过直接的经验或感性的表象来掌握。例如教学分数时，仍需要借助一些直观材料来说明概念的意义。高年级学生还能理解和掌握一些概念间的逻辑联系或概念系统，如平行四边形、长方形和正方形之间的联系和区别。但对概念的本质特征的理解和掌握也有不完全、逻辑性差等缺点，有时甚至发生混淆。例如，学生往往难以区分质数、互质数和质因数的含义，在计算时还往往用错术语。

　　（3）教学数学概念时要注意的几点。

　　①正确说明所教概念的意义，首先教师要弄清概念的意义。要把数学的科学概念与日常生活中的概念的含义区别开来。例如“角”在数学中指的是平面的角，与日常生活“角”的含义不同。

　　要防止不适当地扩大或缩小概念的内涵或外延。例如教学“整数”不能只包括0和自然数。

　　教学概念的意义时避免同一词语的反复。例如不能说“求两个数加在一起是多少叫做加法”。

　　不能任意解释一个概念。例如教学体积概念时，用粉笔盒说明装多少支粉笔就是体积的大小。

　　要注意在理解的基础上给学生分析概念的定义。例如教学平行四边形，首先说明它是一个四边形，再说明它与一般的四边形的差别在于两组对边分别平行。

　　②注意形成概念要符合儿童的认知特点。由于数学概念都是抽象的，一般要按照如下的认知顺序进行教学：动作、感知→表象→概念、符号。如教学数目3，先出数量是3的各种实物图（可让学生自己摆），然后出点子图，最后出数字“3”。教学质数和合数，可以先引导学生对20以内数的约数的多少进行分析，找出它们的特点，然后进行分类，把2、3、5、7、11、13、17、19归为一类，把4、 6、8、9、10、12、14、15、16、18、20归为另一类，最后概括出质数和合数的概念。

　　③注意概念的具体化。概念的形成是把具体事物进行抽象化的过程，形成概念以后还要回到具体化，以利于学生正确理解并加深理解概念的意义。例如教学乘法的含义后，给出一个乘法算式，让学生用小棒摆出它表示的是几个几。教学分数的意义后，让学生举实例说明它的含义。

　　④注意概念间的联系和区别。这对于加深学生对概念的理解有重要的作用。

　　了解概念的联系也就是了解概念间的关系。概念间的关系一般有以下几种。

　　从属关系：如四边形、平行四边形和长方形的从属关系可以用下图表示。

　　同一关系：说明两个概念完全相同。如等边三角形和等角三角形，质数和素数。

　　矛盾关系：如加法和减法，正比例和反比例。

　　并列关系：如直角三角形、锐角三角形和钝角三角形，奇数和偶数。

　　交叉关系：如等腰三角形和直角三角形，可以用下图表示。

　　了解概念间的区别，就是要精确地掌握概念的内涵，弄清各概念的本质特征有什么不同。如长方形的周长和面积，要通过操作和直观使学生弄清楚各指长方形的哪一部分，用的计量单位和计算方法各有什么不同。

　　对于一些有联系的概念，到适当时候可以引导学生把所学的概念纳入概念系统中去，使知识系统化。例如，整数四则运算通过下表可把知识系统化。

　　⑤重视概念的应用和巩固。牢固地掌握一个概念，必须是能识别和应用它，理解概念的意义，而不是一字不差地背出概念的定义。

　　为了使学生识别和理解概念，可以出现如下的练习，让学生判断是否正确。

　　最小的自然数是0。（ ）

　　角的两边越长，角就越大。（ ）

　　为了使学生学会应用概念，可以出现如下的练习。

　　用加法的意义说明下面的应用题为什么用加法算：

　　“小明有15张邮票，小强比小明多3张，小强有多少张邮票？”

　　能整除120的质数有_____。

　　2.培养初步的判断能力。

　　判断是对事物具有某种特征或属性的肯定或否定的思考。例如，“自然数和0都是整数”，“含有质因数3的数不能化成有限小数”，都是判断。很明显，判断是用语句来表达的。而语句是由词联结成的，因此判断是由概念联结成的。也可以说，判断是反映概念间的联系的形式，它反映一个概念是不是包含于另一个概念之中。例如，“减法是加法的逆运算”这个判断，它首先说明减法是一种运算，同时又说明是加法的逆运算。它表示了减法这个概念与加法概念的联系。

　　小学数学中有关概念的定义，法则，定律和公式等一般都用判断形式来表示。

　　（1）判断的分类。

　　①简单判断：指一个判断中不包含其他的判断。根据事物的数量、各种性质以及不同的关系，简单判断可以分成很多种。这里结合小学数学举出常见的几种。

　　按照肯定或否定某一种性质来分，有：

　　肯定判断：如，能被2整除的数都是偶数。

　　否定判断：如，0不是自然数；分母含有2、5以外的质因数的分数，不能化成有限小数。

　　按照事物的数量来分，有：

　　单称判断：判断中只关系到一个事物。如，1不是质数，也不是合数。

　　特称判断：判断中关系到某些事物。如，有些质数是奇数。

　　全称判断：判断中关系到某一类事物的全部。如，任意三角形的内角和是180°。

　　按照判断中所确定的事物与事物间的关系来分，有：

　　对称性的：如，3加2等于5；1米等于100厘米。

　　非对称性的：如，5大于3。

　　传递性的：如，小明比小华高，小华比小林高，小明比小林高。

　　②复合判断：它是由几个简单判断结合而成的。常见的有：

　　联言判断：它是断定几个事物情况同时存在的判断。如，3和5都是质数；15既是3的倍数，又是5的倍数。

　　选言判断：它是断定几个可能的事物情况至少有一个存在的判断。如，互质的两个数，或者一个是质数一个是合数，或者两个都是质数，或者两个都是合数。

　　假言判断：它断定的是在某一条件下事物才具有某种属性。如，如果一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除；（如果）小数的小数点向右移动一位，小数就扩大10倍。

　　（2）小学生判断能力的发展。

　　小学生的判断能力也是逐步发展的。低年级学生已能作一些简单判断，但是大多属于感知形式的直接判断。例如，教师出示5朵红花，学生点数后说出“红花是5朵”。在学生所进行的简单判断中，很多是对事物是否具有某种属性的直接断定。如“红花是5朵”，“正方形的四条边是相等的”。还有大量的判断是反映事物间的关系的。如“5比3大”，“红花比黄花少3朵”，“羊的头数是牛的2倍”，“3加 2等于5”，“1米等于100厘米”等。这些判断，在教学的影响下，学生一般都能掌握。有时还用到一些稍复杂的判断。例如，“在没有括号的算式里，有乘法和加、减法，要先算乘法。这实际上是一个假言判断，只是在法则中把“如果……那么……”给省略了。通过实际例子，低年级学生还是能够理解和运用的。进入中年级，学生的判断能力有了一定的发展。有些学生能够离开直观进行一些抽象的判断。例如，对“两个加数的和一定比每个加数大”，有43.9％能做出正确的判断。但有些比较难的问题，判断的正确率比较低。有些学生能对所做的判断提出根据，但仍是少数。例如，在出示x×3=24，让学生求未知数x时，大多数学生能做对，但只有9.6％的学生能说出根据什么用除法计算。中年级学生能理解和掌握比较容易的假言判断。在数学课上通过具体事例，多数学生能理解和掌握积的变化规律和商不变的规律。例如，“一个数和35相乘，积是7000，如果这个数缩小10倍，积变成（）。”正确率达76.7％。高年级学生的判断能力有较大的发展。多数学生能进行抽象的判断。例如，对“一个近似数是350，它可以表示的准确数里，最小的是351。”64.5％的学生能做出正确的判断。多数学生还能对做出的判断提出简单的论证或说明根据。例如，在解x×3=24时，68.7％的学生能回答出计算的根据。据心理学家研究，高年级学生还能论证一些比较复杂的或然判断，提出各种可能的原因，并从中确定正确的原因或主要原因。但是根据数学测试，当一道题有不同的判断时，学生能答出几个可能的判断的只占12.4％，大多数学生只做出一种判断。这可能与平时教学解题时只有一个正确答案有关。尽管如此，这些事例已能说明高年级学生具有一定的逻辑判断能力。

　　（3）培养学生初步的判断能力要注意的几点。

　　①要正确理解数学知识中的每个判断，能从逻辑角度弄清它属于哪类判断，挖掘数学知识中的逻辑因素，才便于教学中有意识地引导学生做出合乎逻辑的判断。例如，三角形的内角和是180°，这是一个全称判断，因此教学时要对直角三角形、锐角三角形、钝角三角形分别加以考察、分析，然后再做结论。教学后还要问一问学生，为什么能做出结论说“任意三角形的内角和是180°”呢？

　　②要根据学生的年龄特点，通过具体例子引导学生做出正确的判断。在低年级还要多运用操作、直观，在高年级对一般的判断可以脱离直观，但对比较抽象又难理解的判断，如有关分数大小的比较，还要适当运用直观。

　　③要使学生正确理解判断中所确定的量，事物间的关系以及所具有的属性的特点。首先要分清一个判断是单称的、特称的或是全称的。其次要分清判断中概念间的关系。有些可通过画图来说明（如下图）。

　　对于假言判断，要使学生弄清条件。如小数点移位引起小数大小的变化，要弄清什么条件下小数的大小发生变化，怎样变；什么条件下小数的大小不变（即小数的基本性质）。

　　④设计好判断的练习。这是培养学生判断能力的重要途径。做一些判断是否正确的题目很有好处。例如，

　　所有的偶数都是合数。（ ）

　　分数都比1小。（ ）

　　互质的两个数一定都是质数。（ ）

　　对于学生的回答，要注意引导学生检查和纠正其判断中的逻辑错误。也可进行这样的练习。例如，

　　任意两个等底等高的三角形可以拼成一个平行四边形。（“任意”两字应改为“有些”，即把全称判断改成特称判断。）

　　不同一。）

　　不能化成有限小数？

　　3.培养初步的推理能力。

　　推理是从一个或几个判断得出一个新判断的思维形式。推理所依据的判断叫做前提，推出的新判断叫做结论。

　　人们在实践中常常运用逻辑推理的方法获得新知识。推理在学习数学知识方面起着极其重要的作用。大部分数学知识是由一些基本判断推导出来的。

　　根据前提的数目来分，推理有两种：

　　直接推理：是以一个判断作前提的推理。例如，由“5比3大”推出“3比5小”。

　　有些直接推理也并不是很容易掌握的。例如，由“自然数和0都是整数”推出“整数就是自然数和0”，就错了。

　　间接推理：是有两个或两个以上的判断作前提的推理。例如，

　　各位上的数的和能被3整除的数都能被3整除；

　　375各位上的数的和能被3整除；

　　所以，375能被3整除。

　　（1）几种常用的间接推理。

　　①归纳推理：它是从特殊判断到一般判断的推理。这种推理又分为完全归纳和不完全归纳两种。

　　完全归纳是根据某类事物的每一种特殊情况（即对所有情况都一一考察）做出一般结论。这在小学数学中是少见的。下面可以算作接近完全归纳的例子。例如，通过直观得出，

　　直角三角形的内角和是180°；

　　锐角三角形的内角和是180°；

　　钝角三角形的内角和是180°；

　　所以，任意三角形的内角和是180°。

　　不完全归纳是仅根据某类事物中的部分情况具有某种属性做出一般性结论。这在小学数学中有广泛的应用。例如，教学0的乘法、运算定律、分数的基本性质等，一般举几个例子，分别做出个别结论（即单称判断），然后做出一般结论（即全称判断）。

　　应用不完全归纳推理，有时根据不多的几个事实，会得出不正确的结论。例如，

　　3是质数，也是奇数；

　　7是质数，也是奇数；

　　11是质数，也是奇数；

　　所以，所有的质数都是奇数。（2是质数，却是偶数。）

　　因此使用不完全归纳推理必须十分谨慎，所举事实必须注意代表性，做出结论后要进一步加以验证。

　　②演绎推理：它是从一般判断到特殊判断的推理。演绎推理中最常用的是三段论形式。例如，

　　分数的分子、分母是互质数的是最简分数；（大前提）

　　

　　

　　可以看出，三段论是由3个判断组成的，前两个判断分别叫大前提和小前提，最后是结论。在大前提中提供了一般原理原则，在小前提中提供了一个特殊情况（即特殊判断）。三段论通常都是从大前提开始的。但在实际中也往往从小前提开始，然后再提出大前提。因此在思维时两个前提可以颠倒顺序。但必须分清哪个是大前提，哪个是小前提。

　　在小学数学中应用法则、公式、定律等解决具体问题时，都运用了演绎推理。但往往不是严格按照三段论形式，而采取了简略的推理形式。例如，

　　375各位上的数的和能被3整除；

　　所以，375能被3整除。

　　（这里省略了大前提。）

　　另外，在说明算理或论证的时候，实际上是先说了结论，再补充前提。例如，

　　判断下面哪些数能被3整除：375，……

　　回答：375能被3整除。（这是结论。）

　　为什么？—因为375各位上的数的和能被3整除。（只说出小前提，省略了大前提。）

　　也可能答：因为各位上的数的和能被3整除的数都能被3整除。（只说出大前提，省略了小前提。）

　　③类比推理：是根据两个事物在一系列属性上有相似之点，已知其中一个事物还有其他属性，由此做出另一个事物也具有同样的其他属性的结论。它的推理方式如下。

　　事物A具有属性 a、b、c、d；

　　事物B具有属性 a、b、c；

　　所以，事物B也具有属性d。

　　可以看出，这是从特殊判断到特殊判断的推理。

　　类比推理在小学数学教学中也有一些应用。例如，

　　整数的计数单位间进率是10，做加法要相同数位对齐，从低位加起；

　　小数的计数单位间进率是10，做加法要相同数位对齐(就是小数点对齐）；

　　所以，小数加法也要从低位加起。

　　有关平面图形的许多判断通过类比推理可推到立体图形上去。例如，

　　长方形的面积等于相邻两条边的乘积；长方体的体积等于相邻三条棱的乘积。

　　圆可以分成一些相等的扇形，再拼成一个近似的长方形，从而导出圆面积计算公式；直圆柱的两底面是半径相等的圆，因此可以把圆柱底面分成一些相等的扇形，按底面扇形大小切开，再拼成一个近似的长方体，从而导出圆柱体体积计算公式。

　　必须注意，用类比推理所得的结论不总是真实的。因为进行类比推理的两个事物虽有许多相似之点，但仍有一些差异，如果遇到有差异的属性，或者在第二个事物中根本没有这种属性，而仍使用类比推理，就会出现错误。例如，

　　各位上的数的和能被3整除的数，能被3整除；

　　9是3的3倍，各位上的数的和能被9整除的数，能被9整除；

　　27是9的3倍，各位上的数的和能被27整除的数，却不一定能被27整除。（这里的27是两位数）

　　由于类比推理所得的结论有或然性，它不能代替科学论证，所以在推出结论后，需要进一步论证或在实践中检验。

　　（2）小学生推理能力的发展。

　　小学生的推理能力，是随着年龄的增长以及教学的影响逐步发展起来的。低年级学生首先掌握的是简单的直接推理，如由“5比3大”直接推出“3比5小”。遇到带有逆思考性质的推理，则有些学生感到困难。例如，一年级算14-9，要求用加法想出得数，有些中、下学生开始感到困难，要通过操作、直观和多次练习才能逐步掌握。低年级学生也开始初步发展了间接推理，当然只限于简单易懂的，而且要借助直观或熟悉的事例。例如，配合直观出示6+0=6，8+0=8，0+5=5……学生在教师的引导下能归纳出一个数加上0还得原来的数。又如，加法的交换性质，一年级结合直观进行归纳也不困难。实验表明，低年级学生由几个例子归纳出一条法则比较容易，如果要归纳两条或更多条法则就比较困难。低年级学生的演绎推理能力也获得初步发展，因为在数学课上经常要把归纳出的法则用到具体的计算中去。但是学生的演绎推理往往不是严格地按照三段论的形式进行的。例如计算 8+9，学生知道用9+8来计算，但不会都想到调换两个加数的位置和不变这个大前提。往往经过教师提问，学生才把大前提补上。低年级解两步应用题时，开始学习多步的演绎推理，多数感到困难，经过较长时间的训练，能掌握的也还达不到半数。但是列式解答比较容易的两步应用题，一般没有困难。这也说明，学习解答两步应用题的能力和口头分析两步应用题的能力不是同步发展的。进入中年级，学生的推理能力有了一定的发展。多数学生能进行比较容易的间接推理。他们能结合直观进行归纳推理，但进行抽象的归纳推理还感困难。学生单独归纳一般规律也比较困难，而且表述时也往往不够确切。例如，加法结合律，学生还不善于从几个特殊判断上升到一般判断，需要教师加以引导。中年级学生大都能进行简单的演绎推理，但是在数学课上把已学的法则运用到个别问题中去时，往往是不自觉的。在解答两三步计算的应用题时，学生口头分析、推理的能力比低年级有较大的提高。中年级学生的类比推理能力也有了一些发展。据研究，具有正确类推能力的学生约占 35％，有很多新知识可以在已学的基础上类推出来，但往往需要加以引导。总的来看学生独立类推的能力还较差。到了高年级，学生的推理能力有较大发展。据心理学家研究，12岁学生归纳推理的正确率比10岁的有较大增加。从数学教学来看，多数学生能从几个具体例子归纳出一般结论，但是能从特殊结论合乎逻辑地逐步上升到一般结论，仍占少数。高年级学生的演绎推理也比中年级有了较大发展。例如给出一个未学过的法则，让学生按照所给的法则对某个式子进行运算。四年级学生能做对的只有13.2％，五年级做对的达45.9％，六年级则达58.3％。学生综合运用归纳和演绎推理的能力还较差。从测试情况看，问题中所反映的规律是比较简单明显的，学生容易推出，规律比较复杂和不明显的，则感到困难。例如，给出一列数：7，8，13，15，20，23，（），（），要求找出数的排列规律并在括号里填数，做对的只有16.5％。高年级学生的类比推理也有进一步发展。据心理学家研究，高年级能正确类推的达59％。在高年级数学教学中较多运用类比推理，不仅为加快理解和掌握数学知识提供了有利条件，也促进了学生类比推理的发展。但是学生也容易出现类比推理的错误。例如，在低年级学过甲比乙多20，反过来就推出乙比甲少20。到高年级学过分数，多数学生易把这种方法错误地类推到分数中去，即如果甲比乙多20％，反过来就推出乙比甲少 20％。

　　（3）培养学生初步的推理能力要注意的几点。

　　①在引导学生进行归纳推理时，注意要举几个事例，避免只举一个事例就做出一般结论。同时要引导学生对每一事例的属性或特征做出正确的特殊判断，最后再上升到一般判断。例如，教学加法交换律，先就每个等式做出特殊判断：

　　3+5=5+3 3和5这两个加数调换位置，和不变；

　　10+8=8+10 10和8这两个加数调换位置，和不变；

　　129+46=46+129 129和46这两个加数调换位置，和不变；

　　所以，加法中两个加数调换位置，和不变。

　　另外，由于不完全归纳所得的结论不一定真实，在这之后还要引导学生把一般结论应用于个别例子中加以检验。

　　②为了培养学生的初步推理能力，每教一个新的法则、性质、公式后，再应用于具体情况时，要注意让学生说根据。在这时并不要求学生严格按照三段论的形式来回答，但是当学生回答时缺少大前提，教师要通过提问，使学生明确补上所缺少的大前提。

　　③应用演绎推理必须遵循一定的规则，否则会出现逻辑错误。例如，

　　凡9的倍数都是3的倍数；

　　20不是9的倍数；

　　所以，20不是3的倍数。

　　这个例子的结论是对的，但推理不正确。因为有一条规则是大前提必须是全称的，小前提必须是肯定的。而这里的小前提是否定的。因此要真正掌握好，还需要深入研究一些逻辑规则。

　　④注意综合运用归纳、演绎推理。一方面，在归纳出新的法则、公式之后要应用于具体情况中去；另一方面，注意安排一些富于思考的题目，引导学生运用归纳推理探索出规律，再运用所得规律解决新的问题。例如，

　　（a）先找出数的排列规律，再在（ ）里填适当的数。

　　15 16 18 19 21 20（ ）（ ）
（b）找出下面每个三角形中的线段的条数与所含的三角形的个数有什么关系。算一算，在三角形中加5条线段可以有多少个三角形。 s

　　⑤在解答复合应用题的时候，充分注意培养学生推理能力。解答应用题时，既应用了分析、综合，又应用了判断、推理。如解答两步应用题时实际上是应用了多步的演绎推理。例如，“一个食堂原有煤200吨，用去3/5，还剩多少吨？”推理的步骤如下：

　　要求还剩多少吨，必须知道原有的吨数和用去的吨数；

　　这道题知道原有200吨，不知道用去的吨数；

　　所以，必须先求出用去的吨数。

　　要求用去的吨数，必须知道原有的吨数和用去的占原有的几分之几；

　　所以，可以求出用去的吨数。

　　根据分数乘法的意义，可以求一个数的几分之几；

　

　　……

　　当然只在开始时这样一步一步地推理，以后可以适当简缩推理过程。

　　⑥使用类比推理时，要注意学生是否有乱用类比推理的错误，发现后要及时纠正。例如，

　　错把加法的分别对位计算的方法类推到乘法。（开始学两位数乘法，学生容易出现这样的错误。）

四 在小学数学中培养学生的思维品质

　　《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》除了强调发展学生初步的逻辑思维能力外，还注意培养思维的敏捷性和灵活性。这属于培养思维品质问题，也称智慧品质，有人也称这些为科学思维素质。心理学关于思维品质的研究是从50年代才开始的。国内外一些心理学家认为，“在构成人的特殊的、个体的各种个性品质中，智慧品质起着重要的作用”。“思维品质的实质，是人的思维能力的差异的表现，亦即智力差异的表现。”由此看出，思维品质是思维能力中不可缺少的组成部分。在各科教学中都要始终注意在发展学生逻辑思维的同时，培养学生的思维品质。近来我国心理、教育工作者也开始注意这方面的研究。

　　关于思维品质包括哪些内容，还没有一致的看法。一般来说包括思维的独立性、敏捷性、灵活性、创造性，还有人提出思维的深刻性、批判性等。结合小学数学的学科特点，我认为主要是培养思维的敏捷性和灵活性，而这两者与思维的创造性又有密切的联系。

　　（一）小学生思维品质的发展

　　低年级学生的思维品质已经有了一些发展。其特点是：1.思维的自觉性还很差。由于低年级学生的逻辑思维刚刚开始发展，一方面还不会思考问题，另一方面还不能意识到自己的思维过程。往往学生做完一道题，答不出他是怎样想的。至于自觉地检查、调整或论证自己的思维过程就更差。但是通过有意识地培养，可以逐步提高学生思维的自觉性。2.学生间的思维速度差异比较大。一般思维快的和思维慢的能够相差几倍。但是在正确的教育下，特别是针对学生的不同特点，及时地有区别地采取一些措施，可以逐步提高学生思维的敏捷性。3.思维的灵活性一般都比较差，思维的惰性比较大。这与儿童的生理发展，特别是与脑的成熟的程度有关。另一方面，由于个体发展的差异，以及环境教育的影响，学生之间也存在着一定的差异。例如，对一年级出了这样一道题，“5个相同加数的和是20，这个相同加数是几？”由于学生没学过除法，只能根据乘法的含义运用口诀想出答案。较好的班级做对的可达70％，而较差的班级做对的仅有30％。又例如，在二年级教过一位数除多位数商中间有0的简便算法，有极少数学生一下掌握不了，宁愿照前边学过的方法一步不漏地去除。

　　中年级学生的思维品质有所发展。具体表现在：1.在教学的影响下，学生思维的自觉性有提高。有些学生明显地表现出对数学的兴趣，喜欢做一些稍费思考的题目，有些学生还喜欢看数学课外读物。2.学生思维的敏捷性和灵活性有所发展。在数学课上学生能够选用简便的方法进行计算，能用不同的方法解答应用题。但是学生之间往往有很大差异。实验说明，如果教学得法，差异还是可以缩小的。3.学生思维的创造性也有一些发展。例如，用小棒连续摆成6个正方形（不出图），要求学生列式计算小棒的根数。结果四年级有21％的学生列出各种综合算式（连加除外），有7.9％的学生能在前面计算的基础上概括出一般的计算公式，还有少数学生做出初步概括，但表述不完善或使用述语不确切。这表明已有少数学生在探究能力和思维的创造性方面有一定的发展。

　　高年级学生的思维品质进一步发展，特别是思维的敏捷性和灵活性有较大的发展。在教学的影响下，学生的计算速度有进一步提高，灵活运用简便算法的能力有所增强；对一道题想出不同解法的能力也有发展。据心理学家研究，高年级学生一般都能用两种方法解答一道应用题，能用三种方法解答的学生可达80％以上。教学实践表明，有些分数应用题，一般学生选用两种方法解答不大困难；但用三种方法解答，中、差生感到困难。学生思维的创造性比中年级也有较大发展。据测试，上述用小棒摆正方形的问题，能概括出一般计算公式的达30.2％，其中有些学生还能用字母公式表示。这表明，一部分学生在探究能力和思维的创造性方面有较好的发展。

　　（二）对培养学生思维品质的几点建议

　　1.培养思维的敏捷性。

　　培养思维敏捷很重要。要提高民族素质，其中重要的一条是人人讲求工作效率，对临时遇到的问题能及时进行思考，正确判断，迅速做出结论或决策。思维敏捷要与思维轻率严格区别开来。思维敏捷不仅在速度上要求快，而且注意考虑周密。

　　从一年级就要注意思维敏捷的培养，但是不能要求过高、过急。教学时首先要注意留给学生思考的时间，引导学生去想，逐步要求学生注意很快地想出问题解决的方法，并对想得快的又想得对的给以鼓励。同时注意防止学生单纯地为了求快，思考轻率而不够周密。计算要在正确的基础上适当提出速度要求，注意适当安排限定时间的练习。有些计算或应用题的分析，要在适当时候引导学生简缩思维。例如9+3，经过一些练习和掌握口算步骤以后，引导学生想，“9加1是10，还有2，得12”。中年级以后要注意适当教一些简便算法。如，被乘数、乘数中间、末尾有0 的乘法，要启发学生想有什么简便算法，并在计算中自觉地运用。

　　2.培养思维的灵活性。

　　思维的灵活性的特点主要表现在，善于从不同角度、不同方向来思考问题，能用多种方法解决问题；能根据具体情况，灵活地运用知识来处理问题。

　　从低年级起就要注意培养学生思维的灵活性。但是开始不能要求很高，要随着年级的增长逐步提高要求。例如，在低年级，某些计算可在教师的指导下想出不同的计算方法，中年级以后就鼓励学生自己想出不同的计算方法，而且要找出简便的算法。要培养思维的灵活性，首先要加强算理教学，使学生切实理解和掌握规律性知识和一般计算方法，通过练习逐步巩固并加深理解，避免死记硬背。学生切实掌握了，就为灵活运用奠定了基础。教师在教学计算步骤、解题过程以及书写格式等做出一些规定是必要的，但在一定条件下要允许学生灵活，不宜统得过死。例如，中年级学过乘法交换律以后，在算式中就要允许被乘数、乘数交换位置书写。分数混合运算只要求适当保留运算的过程，不必强调把每一步计算都完整地写出来。在练习中要注意适当出现一些概念或习题的变式，还要安排一些逆思考的题目，以利于培养思维的灵活性。例如，低年级出加法应用题，要避免每问都出现“一共”二字。各年级都要注意变换叙述方式。例如，“桃比梨少40千克，梨和桃的重量比是5∶4，求梨、桃各有多少千克。”通过这题把比和分数联系起来，虽然出现比的形式，但仍可用分数来计算，从而培养学生思维的灵活性。此外，适当安排一些有多个答案的开放型的题目，也有助于培养思维的灵活性。例如，“3□4，如果这个数能被6整除，十位上可以填几？”

　　3.培养思维的创造性。

　　它与创造思维有联系又有区别。创造思维强调的是思维过程，或把它看作一种能力。而思维的创造性强调把它作为一种思维品质。作为品质来说，它的特点是假设、方案、结论独特新颖，包含新的因素。具有思维创造性品质的不仅限于少数创造发明者，也可以是小学生。小学生的独特新颖的解法也同样具有创造性。心理学家克鲁捷茨基认为，学生的创造性虽然没有客观的价值，但对学生自己说，从主观上看是新的，研究过程是创造性的。

　　发展学生思维的创造性，首先要给学生探索发现的机会。从低年级就要注意这一点。例如，让学生看20以内进位加法表，看看它的排列有什么规律；教学口算时，让学生想出不同的口算方法，等等。随着年级的增高，可以适当增加这方面的内容。例如，中年级探索积、商的变化规律，高年级探索小数点移动位置引起小数大小的变化规律等。除了教学新知识外，还要适当安排一些练习题。要适当加强发散思维的练习。从低年级起就要安排一些题目，要求学生用不同的方法计算或解答。随着年级的增高，还要引导学生从不同的角度，运用不同的知识来解同一个问题。例如， “豆腐坊用50千克黄豆做200千克豆腐，照这样计算，125千克黄豆可以做多少千克豆腐？”开始只要求用整数计算，以后可以要求分别用小数或分数计算，还可要求用比例知识来解。在较高年级，适当发展学生的直觉思维，对于培养学生思维的创造性有一定好处。直觉思维是在对所研究的问题作整体的了解，应用自己的经验，一下子做出直接的判断，找出解决问题的方法。进行直觉思维时，人们意识不到赖以求得答案的过程，缺少清晰的确定的步骤。但是由于对有关的基础知识及其结构的了解，使得思维产生了飞跃，迅速地越过某些个别细节和步骤。因此这种思维有时在一定程度上具有创造件成分。例如，

　　求上面两个长方形的面积一共是多少？这道题一般列式为：6×8+4×6=72（平方米）。但是有的学生经过总体观察，很快答出72平方米。因为他们不仅发现两个长方形有一边同样长，而且发现大长方形的另一边是小长方形的另一边的2倍，从而很快想到它们的面积和应是小长方形面积的3倍。当然进行这样的练习不一定作为共同的基本要求。

五 在小学数学教学中培养学生思维能力应注意的几个问题

　　最后简单谈谈在小学数学中培养学生思维能力应注意的几个问题，也可以说是应遵循的几个原则。

　　（一）培养学生思维能力要与数学知识的教学紧密结合

　　这一点新大纲已明确指出，“学生初步的逻辑思维能力的发展，……要有意识地结合教学内容进行。”因为数学基础知识的教学与思维能力的培养是相辅相成的。基础知识为培养思维能力提供富有逻辑性的素材，反过来培养了思维能力又为很好地掌握数学基础知识创造有利的条件。把两者分离开来教学，无论对学习数学基础知识或培养思维能力都不会有好的效果。为此，备课时要认真研究教材，弄清数学知识本身的科学性、系统性和逻辑性，分析教材中含有哪些培养学生思维能力的因素。制订一节课的教学计划时，不仅要明确数学知识方面的教学目的要求，而且要明确在培养思维能力上侧重哪些方面，达到什么要求，并且力求在教案中有所体现。教学时要考虑选定什么样的方法，既能做到使学生较好地理解和掌握数学知识，又有助于激发学生思考，培养学生的思维能力。

　　（二）要把培养学生思维能力贯穿在各年级数学教学的始终

　　这一点也是新大纲中明确指出的，“要把发展智力和培养能力贯穿在各年级教学的始终。”小学生正处在由具体形象思维向抽象逻辑思维逐渐过渡的阶段，思维能力需要一个长期的逐步培养和训练的过程，因此就要求数学教学适应儿童年龄发展的特点，有计划有步骤地培养学生的思维能力，并且贯穿在小学数学教学的全过程。为此，每个年级，每节课，每个教学环节都要考虑在学习数学基础知识的同时，如何发展学生的思维能力。如果低年级忽视思维能力的培养，就会给中、高年级增加教学的困难；反过来，如果低、中年级重视发展思维能力，到高年级有所忽视，也会给进一步发展思维造成不利的影响。为了很好地贯彻这一条原则，就要很好地研究各年级学生的思维发展特点，适应学生的年龄特点，紧密结合知识内容，提出适当的发展思维能力的要求。例如，同样是培养分析能力，低年级就要多结合操作、直观，引导学生分析；高年级则要逐步离开直观，着重培养学生独立进行抽象分析的能力，只在必要的时候才结合直观来进行具体分析。

　　（三）适应小学生心理特点，注意把操作、思维和言语表达结合起来

　　这里有两层意思。一是适应小学生特点，注意把思维与操作、直观结合起来。二是适应小学生特点，把思维与言语表达结合起来。关于第一点，是由小学生的思维特点决定的。低年级学生的思维特点仍以具体形象思维为主，中、高年级学生的思维虽然逐步向抽象逻辑思维过渡，但是在许多情况下，特别是遇到较抽象的数学知识，仍需要适当借助操作和直观。为了使学生较好地理解和掌握数学知识，同时也为了逐步发展学生的抽象思维，激发学习兴趣，在一定条件下适当利用操作和直观来引导学生思维是必要的。但是无论操作和直观，都是学习的手段，在适当时候要逐步脱离操作和直观，过渡到抽象思维，避免学生过多地依靠操作和直观。关于第二点也很重要。思维和语言是密切联系着的。语言是思维的工具。人们借助语言，才能对事物进行抽象、概括，反过来又借助语言对人们的思维进行调节，使思维逐步完善。因此发展学生的思维，必须相应地发展学生的言语。学生的言语也是逐步发展的，所以在发展学生的思维和言语时，都要考虑到学生言语发展的特点。例如，低年级学生的口头言语有了一定的发展，但是书面言语的学习还刚开始，因此在这个阶段应着重训练学生用口头言语表达自己的思维。到中年级，一方面继续发展学生的口头言语表达能力，另一方面要适当发展学生的书面言语，其中包括默读课本内容和应用题。到了高年级，一方面提高学生的口头言语表达能力，如说明算理、口头分析应用题以及口头论证等，另一方面加强发展书面言语，如少数题可以训练学生写出思考过程。在发展儿童言语时还要注意适应学生的差异，不能一刀切。例如，在低年级同一班学生，可以有一小部分学生能独立说明算理，有一部分学生则只要求在教师引导下说明算理，还可能有一小部分学生在教师引导下说明算理还有困难。但只要坚持训练，逐步提高要求，学生的言语表达能力和思维都会逐步有所发展。

　　（四）既重视思维过程，又重视思维结果

　　传统的教学只重视思维的结果，忽视思维的过程。现代教学论则十分重视思维的过程，这样有利于发展学生的思维能力。为此新大纲也明确提出“要重视学生获取知识的思维过程。”其目的在于纠正过去只重视思维的结果的片面做法。但是反过来也不能因此只重视思维过程，而忽视思维的结果。特别是数学，计算或解答是否正确还是很重要的。为了加强对思维过程的重视，首先要加强算理的教学，说明一种算法或一个公式的来源。解应用题要重视分析数量关系。做练习时要多让学生说明自己是怎样想的，必要的时候要说出论据，而不是简单地对一下得数。学生在练习中出现错误，要引导他们找出错误的原因，检查在分析、推理方面存在什么问题。低年级学生还要注意结合操作、直观来说明算理、分析数量关系，使学生的思维过程具体形象化，更便于理解、掌握和检查。还要注意逐步培养学生认真听别人叙述的思维过程，并能评价别人的思维过程是否正确、合理，从而提高表达思维过程的能力。

　　（五）加强教师的示范和指导

　　培养学生的思维能力，教师加强示范和指导具有十分重要的作用。

　　加强教师的示范，首先要求教师在讲授数学知识时注意正确运用逻辑方法，揭示每一逻辑思维过程。例如，在教学加法结合律时运用了不完全归纳推理，教师的整个讲述过程，要符合不完全归纳推理的顺序和思维过程，这样就为学生的思维树立了良好的范例，对学生的思维起了潜移默化的作用。其次在练习时教师还要继续给学生示范，引导学生有顺序地合乎逻辑地思考。例如，演绎推理如何按照三段论的形式来思考，以后如何简缩思维，还是比较难的，就需要教师做出示范，使学生便于模仿。

　　加强教师的指导，首先要求教师有计划有步骤地设计教学，每次明确在逻辑思维方面的要求和训练步骤。其次在练习中注意给以必要检查和指导。要了解学生的思维过程，思考的方法是否符合逻辑，有没有逻辑的错误，在适当时候要引导学生共同分析、订正。例如，学过质数和质因数以后，有的学生把两个概念弄混，这时有必要从本质特质上分清两个概念的联系和区别。特别要明确不能孤立地说某个数是质因数，必须说某个数是×的质因数。

　　最后，教师要做到加强示范和指导，最根本的是要提高自己的逻辑学和心理学水平，不断研究和总结发展学生思维能力的经验。这样才能切实完成新大纲规定的有关这方面的教学任务。

真诚天下

在小学数学中培养学生的思维能力问题
       
　
　        

在小学数学中培养学生的思维能力问题

　　培养学生的思维能力是现代学校教学的一项基本任务。第二次世界大战以后，科学技术迅猛发展，知识激增，知识的更新加快，随之对教育提出了新的要求，就是要提高年轻一代的素质。不仅要教给学生现代科学技术知识，而且要把学生培养成勇于思考、勇于探索、勇于创新的人，从而强调教学要注重发展学生的智力。从心理学角度来看，智力的核心是思维能力。思维能力增强了，智力水平也就提高了。因此各国的小学数学都把培养学生思维能力作为教学的一项基本任务。

　　培养学生思维能力是一个很复杂的问题，它涉及到逻辑学、心理学、教育学等多学科的知识。同时，逻辑学和心理学都研究思维，但它们的侧重面有所不同。逻辑学主要从思维的结果（或产物）如概念、判断、推理等方面来研究，而且着重研究正确思维的规律及形式，以及这些认识结果之间的关系。心理学则主要从思维过程本身来研究，着重研究思维过程中的规律，以及导致形成某些认识结果的内在的隐蔽的原因。由于思维过程与思维结果是密切联系着的，所以心理学与逻辑学对思维的研究也要紧密联系，并且相互补充。我们在研究小学数学教学中发展思维能力也同样要注意思维过程和思维结果紧密联系这一特点，忽视哪一方面都不可能收到良好的教学效果。

一 人类思维发展的阶段

　　思维活动是多种多样的。根据人的不同发展阶段的思维特点来划分，可以分为以下几个阶段。

　　（一）直观行动思维：这是婴儿期（1岁以后）的思维特点。这个阶段的思维是在对物体的感知、动作中进行的。婴儿离开动作就不能进行思考，也不能计划自己的动作或预见动作的结果。这阶段婴儿只能概括事物的一些外部特征。以后长到成人，直观行动思维继续发展成操作思维。例如运动员的技能就需要操作思维。

　　（二）具体形象思维：幼儿期的思维特点，一般从3岁延续到小学低年级。儿童思维时可以摆脱对动作的直接依赖，而凭借事物的具体形象或具体形象的联想（即在头脑中形成表象）。这阶段儿童能进行一些初步概括，但概括出的特征很多是外部的、形式的。

　　（三）抽象逻辑思维：它是以抽象概念为基础的思维。又可以分为两个阶段。

　　1.形式逻辑思维：简称逻辑思维。它是以同一律为核心规律，进行确定的、无矛盾的、前后一贯的思维。它要求在同一思维过程中的每一个概念必须是确定的。例如，A就是A，不能既是A又是非A。在小学数学中每一个概念也都必须是确定的。例如教学约数、倍数时，把0排除，否则公倍数、最小公倍数也要包括0了。

　　形式逻辑思维的特点主要是从思维形式（概念、判断、推理）上进行思维。它是抽象逻辑思维发展的初级阶段，因此也称为普通思维，形式逻辑也称普通逻辑。一般地说，10—11岁是过渡到逻辑思维的关键年龄。这时学生的概括能力有了较显著的变化。

　　2.辩证逻辑思维：简称辩证思维。它是以对立统一为核心规律而进行的思维。它着重从事物内部的矛盾性，概念的矛盾运动来进行思考。它把思维形式和思维内容联系起来，对事物的发展变化、相互联系、相互转化的过程进行思考。它是抽象逻辑思维发展的高级阶段，必须在形式逻辑思维的基础上才能形成。据心理学家研究，9—11岁学生的辩证思维才开始萌芽。

　　从个体发展来说，上述几种思维活动虽然是分阶段逐步发展的，但每发展到后一阶段时，前一阶段的思维特点并不因此而停止发展或消失，在一定条件下，还向更高的水平发展。例如，文学家、艺术家、建筑学家等的具体形象思维获得了高度的发展。

二 在小学数学教学中对发展思维能力的基本要求

　　新中国成立以来，历届小学数学教学大纲中有关发展学生思维能力的规定基本相同，即培养学生初步的逻辑思维能力。这里所讲的逻辑思维主要是指形式逻辑思维。从国家教委1992年颁发的《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》中看得更清楚。其中明确提出，“结合有关内容的教学，培养学生进行初步的分析、综合、比较、抽象、概括，对简单的问题进行判断、推理，逐步学会有条理、有根据地思考问题；同时注意思维的敏捷和灵活。”这表明，在小学阶段主要是培养学生初步的形式逻辑思维能力，同时也注意培养学生的一些良好的思维品质。

　　为什么在小学以培养初步的形式逻辑思维能力为主呢？个人体会有以下两点。

　　（一）从数学的特点看：数学具有抽象性和逻辑严密性。数学本身是由许多判断组成的确定体系。这些判断都是由数学术语和逻辑术语以及相应的符号所表示的语句来表达的，并且借助逻辑推理由一些判断形成新的判断。而这些判断的总和就构成了数学这门科学。小学数学内容虽然比较简单，也没有严格的推理论证，但都是经过人们抽象、概括、判断、推理、论证得出的真正的科学结论，只是不给学生进行严密的合乎逻辑的论证。即使这样，一时一刻也离不开判断、推理。这就为培养学生的逻辑思维提供了十分有利的条件。

　　（二）从小学生的思维特点看：小学生正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段。特别是中、高年级，学生的抽象思维发生了“飞跃”或“质变”。具体地说，10—11岁学生开始能逐步分出概念的本质特征，能初步掌握比较科学的定义，能领会概念之间的逻辑关系，也能独立进行一些简单的逻辑分析，并进行间接的推理（即由几个判断推出新的判断）。因此可以说，这一阶段正是发展学生形式逻辑思维的有利时期。

　　由此可以看出，小学数学教学大纲中提出培养学生初步的逻辑思维能力，既符合数学学科的特点，又符合小学生的年龄特点。

　　有人一度提出，小学数学的教学目的之一是发展学生的创造思维。这一点值得商榷。第一，根据心理学研究，创造思维是人们思维活动的高级过程。它有普通思维的特点，例如在解问题时，也有提出问题、明确问题、提出假设、检验假设等阶段。但是不同之处在于有想象的参与。另外，创造思维往往是逻辑思维的简缩。从多数学生来说，如果没有良好的逻辑思维的训练，很难发展创造思维。也就是说，发展创造思维首先要有逻辑思维做基础。其次，人们的一般思维活动中也具有一定的创造性思维的因素。可以说，发展逻辑思维，在一定程度上也包含着发展思维的创造性品质。但是如果把创造思维作为基本要求提出来，对小学生说就要求太高了。此外，由于创造思维这一过程本身比较复杂，心理学的分析研究还很不充分，还难以具体说明它的内涵，要在小学里提出明确具体的教学要求就更困难了。

　　也有人强调小学数学应着重发展辩证思维。这也值得商榷。如前所述，辩证思维是抽象逻辑思维发展的高级阶段，需要有一定的形式逻辑思维做基础。而且从小学数学内容来说，虽然有些内容能够反映辩证思维的某些规律，但有很多内容受到一定的局限。例如，对加与减，可以说是相反的运算，两种运算相互依存，但是在一定条件下可以互相转化就不好讲，因为还没有学过负数。另外从小学生的年龄特点来说， 9—11岁才开始萌发辩证思维，显然比形式逻辑思维发展得晚。因此在小学把发展辩证思维作为教学的基本要求，还为时过早。在小学只能结合某些内容适当渗透一些唯物辩证观点的因素，给学生积累一些感性材料，而不是讲辩证法。例如，讲整数加法与减法时，可以通过实例说明它们是相反的运算，是相互依存的；讲分数乘除法时，可以通过实例说明两种运算在分数中可以相互转化。

三 小学数学中培养初步的逻辑思维能力的内容和教法

　　下面基本按照《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》中所提的内容分别加以阐述，同时分别提出一些教学建议供参考。

　　（一）培养学生初步运用分析、综合、比较、抽象、概括等能力

　　这些内容，从逻辑学上说都是逻辑的方法；从心理学上说都是人们进行思维活动必不可少的过程。

　　1.培养初步的分析、综合能力。

　　分析是在思维中把事物的整体分解成个别部分、要素或特性；综合是把个别部分或特性结合成一个整体。分析与综合是密切联系着的，人们一方面不断进行分析，另一方面对分析的结果不断加以综合。

　　分析与综合在小学数学中有广泛的应用。通过分析可以理解某一数学知识的要素，新旧知识间的联系；通过综合又对数学知识有了全面的和整体的理解。

　　从一年级开始就用到分析与综合，而且贯穿在各年级各部分数学知识的教学之中。下面举几个例子。

　　（1）教学10以内的数时，要了解每个数的分解和组成。如

　　（2）任何一个计算，几乎都可以分解成几个已学的基本计算。如20

　　（3）在进行概括的时候，一般都先经过分析，然后再综合。例如，讲除法的意义，先通过具体例子分析除法中各组成部分与乘法中各组成部分的联系，在此基础上概括出除法的意义。

　　（4）解答简单应用题时，根据问题找出所需的已知条件就是分析的过程，根据已知条件提出所能解的问题就是综合的过程。解答复合应用题时，分析、综合就较为复杂。先把复合应用题分解为几个有联系的简单应用题，进一步分析解每个简单应用题所需的已知条件，然后把已知条件成对的结合，连续地解答几个简单应用题，最后得到问题的答案。例如：

　　两步应用题：“同学们做了12朵红花，8朵黄花。送给幼儿园15朵，还剩几朵？”

　　想：要求还剩几朵，须知道什么？——一共做多少朵，送了多少朵。（分析）

　　一共做多少朵知道吗？那么要先算什么？

　　要求一共做多少朵，须知道什么？——做了几朵红花，几朵黄花。（分析）

　　题里告诉了什么？怎么求一共做多少朵？（综合）

　　知道一共做20朵，现在可以求什么？怎么求？（综合）

　　（5）教学几何初步知识也同样运用着分析与综合。例如，教学长方体特征时，引导学生观察、分析它们的面、校和顶点，然后加以综合，总结出长方体有6个面、12条棱和8个顶点，以及其他特征。

　　小学生的分析与综合，在不同年龄段具有不同的水平。低年级学生能进行简单的分析与综合，但是一般都要结合动作和直观来进行，而且主要是进行部分的分析，即能分析某个事物的个别部分或个别特征。中年级学生在教学的影响下有所发展，但多数还是部分分析，而进行综合的分析能力还很差。解答两步应用题时，有近50％的学生能正确分析出第一步先求什么，多数能列综合算式解答。高年级学生的分析、综合能力有较大的发展。他们能进行稍复杂的分析与综合。解答整、小数两步应用题时，近80％的学生能正确分析出第一步先求什么。但解分数的两步应用题时，还有较多学生对分析感到困难。在用不同方法解答应用题时，需要把原有条件重新组合分析，然后列综合算式，从而使学生的综合分析能力也得到了发展。

　　教学生进行分析、综合时要注意以下几点：

　　（1）研究的事物都有许多部分、要素和特性，其中有些是重要的、本质的，教学时要引导学生分析重要的和本质的东西。例如，12×3，口算时可以把12分解成任意两个数的和，但是要着重引导学生把12分解成10和2，先算整十数乘以3，再算2乘以3，最后把两个积合并起来。

　　（2）要随着学生的年龄逐步提高分析、综合的要求。例如，低年级教学10以内数的组成要结合动作、直观来进行分析；解答应用题也借助动作、直观来分析数量关系。到了高年级，有的就可脱离直观，但较抽象的内容还要适当利用直观。如教学约数、公约数、倍数、公倍数等可以让学生摆一摆计数板，以加深对分解公有的质因数的理解。

　　（3）分析的深刻、详细的程度注意适当划分层次。例如，低年级教学长方形、只分析出它有4条边、对边相等，有4个角，都是直角。较高年级教学平行以后再分析出它的对边平行。

　　（4）为了培养学生分析、综合的能力，注意适当让学生口头表述分析、综合的过程，可以让同桌的学生经常互相说给对方听。

　　2.培养初步的比较能力。

　　比较就是确定所研究的事物之间的相同点和不同点。有比较才能鉴别，通过比较可以加深对事物的理解。比较与分析、综合有着密切的联系。通过分析，把事物的个别部分、个别特性区分出来，才有可能加以比较，确定它们的异同。

　　比较在小学数学学习中有广泛的应用，它有助于正确理解概念和法则。从一年级开始就学习比较。如比较两组物品的个数是同样还是不同样多，哪组多，哪组少。教学计算方法或法则时，通常都要出现不同的算式进行比较。例如，5+1=6，1+5 =6；6-1=5，6-5=1；31+15=36，31+50=81等。教学一些概念时，也都要进行比较。如质数和互质数，分数和除法，正比例和反比例，长方形、正方形和平行四边形等。有关联的易混的应用题要进行比较。如比较乘、除法应用题，算术解法和方程解法等。

　　小学生的比较能力也是逐步发展起来的。低年级学生往往只能在直接感知的条件下区分一些直观、具体的事物的异同，或区分个别部分的异同，还不善于区分本质的异同。随着年龄和年级的增长，学生逐步发展到能区分抽象事物的异同，许多部分的异同，并且对简单的事物能区分本质的异同。研究还表明，小学生开始比较容易发现事物的相异点，逐步也能发现事物的相同点或相似点。而且开始发现事物的相异点都是比较明显的，以后逐步能比较细微的差异点。

　　教学生进行比较时要注意以下几点：

　　（1）要比较的事物和对比较的要求必须适合上述小学生在比较方面的年龄特点。例如，低年级要多利用直观，并且多加引导；高年级则要更多地放手让学生进行抽象事物的比较，遇到较难的知识仍可利用直观。开始着重比较明显的相异点，以后逐步练习比较细微的差异点。

　　（2）明确要比较的项目，必须在同一种属性、特点或关系上进行比较。有时在几方面有相同点或不同点，就要引导学生分项依次进行比较。例如引导学生比较长方形和正方形时，先比较它们的边，再比较它们的角，然后综合起来说出它们有什么相同点和不同点。

　　（3）要引导学生抓住本质的属性。特别是分析不同点时，往往有很多非本质的不同点，不要在这些方面花很大力量。例如，方程解应用题和用算术方法解应用题，在解题时有很多相同点和不同点，但最重要的不同点是：用方程解时把未知量当作已知量直接参加列式，算术解法则把未知量作为解答的目标而不参加列式。学生明确这一点，就抓住用方程解应用题的本质。

　　（4）对于易混的概念和法则要着重比较它们的相异点。例如1分米、1平方分米和1 立方分米，要通过比较，使学生明确它们的实际长短或占空间的大小，弄清它们分别是长度单位、面积单位和体积单位，它们分别与1米、1平方米和1立方米的进率是10、100和1000，从而获得明确的长度单位、面积单位和体积单位的概念。

　　3.培养初步的抽象、概括能力。

　　抽象是在思维中揭示出事物的本质特征，舍弃其非本质特征。有时本质或非本质特征要根据研究的方向和目标而定。例如：下面的几个形体，可以分别研究它们的形状特征。大小特征，颜色特征或制作的材料特征等。

　　概括则是在思维中把某些事物所抽取出的共同本质特征结合起来，并推广到同类的事物上去。例如，研究大小不同、放的位置也不同的三角形，抽取出它们的共同本质特征，并得出一般结论，即三角形都由三条线段围成的，都有3个角。这就是概括。

　　显然，抽象、概括与分析、比较、综合有着密切的联系。它们是在分析事物的各自特征的基础上，舍弃其中一些非本质的对我们没有意义的特征或属性，分出本质的对我们有意义的特征或属性，并且通过比较不同的事物，找出它们的共同特征或本质属性，再加以综合。因此可以说，这几种逻辑方法是相互联系、相互渗透的。

　　抽象、概括在小学数学中有着广泛的应用。任何一个数学概念都是抽象、概括的结果。例如，认数3时，先数3个杯子，数的时候舍弃了杯子的形状、大小、颜色等特征，区分出数量来；再数3支铅笔、3个球，也同样舍弃其他的特征，只区分出数量的特征。经过比较，可以看到这三种物体具有共同的数量特征，即都是3个，于是概括出数目3。认识形也是一样，先拿一个小圆筒，舍弃它的数量、大小、颜色等特征，而抽取出它的形状特征。那么就看到它有上下两个圆面，还有一个侧面是曲面。如果再拿几个小圆筒，大小、颜色虽然不同，但是形状上具有同样的特征，那么就根据它们具有形状的共同特征把它们归为一类，做出概括。

　　小学生的抽象、概括能力也因年龄和年级的不同而有不同的层次和水平。据心理学家研究，低年级学生主要处于直观形象水平阶段。如认数1、 2、 3， 4、 5……以及认识加、减、乘、除运算的含义等，都是通过操作、直观而抽象、概括出来的。学生在抽象、概括时，他们往往只注意到或概括出事物的直观形象和外部特征。例如，在一年级教学圆柱的认识，有的学生说它的形状是“直上直下的，像个大柱子，圆乎乎的。”在教师的指导下，学生逐步能离开直观，理解一些抽象的数概念，概括出简单的计算法则。中年级学生则发展到形象抽象水平阶段。其特点是：学生注意和区分事物的直观的和外部的特征逐渐减少，而注意和区分事物的内部的和本质的特征逐渐增加。到了高年级，进一步发展到初步的本质抽象水平。其特点是：大多数学生能对事物的本质特征或属性以及事物的内部联系和关系进行抽象、概括。例如，给学生出示几个不同的菱形（来教过），四年级除了一些学生能抽象概括出它们都有 4个角或 4条边外，有 8％的学生能指出它们的四边相等或对角相等。而五六年级除了一些学生能抽象概括出它们都有4个角或4条边外，有21％的学生能指出它们的四边相等或对角相等，还有33％的学生能指出它们是对称图形或有对称轴。高年级学生还能初步理解用字母表示数。但是学生的本质抽象水平的发展还是不完全的，对于离学生生活远的事物或高度的抽象、概括，还感困难。例如分数、小数、质数、合数的本质特征，还需要通过操作或直观来理解。

　　教学生进行抽象、概括时要注意以下几点：

　　（1）要通过直观、具体的材料进行抽象。抽象是与具体相对应的，因此要按照由具体到抽象的原则，提供丰富的直观、具体的材料，并引导学生抽象。直观、具体的程度可根据学生的年龄特点以及平时积累的感性经验多少而定。低年级要多运用一些直观、具体的材料，到高年级遇到过于抽象的概念，如质数、合数、分解质因数、分数等概念，也要注意适当运用直观教具。

　　（2）注意抽象、概括的科学性。进行抽象、概括时，要注意引导学生区分出事物的本质特征，舍弃其非本质特征，以便达到正确理解所学的知识。另外要注意从多个事物进行抽象、概括，避免从一个事例作出概括，以防止得出片面的不正确的结论。即使是通过几个事例进行抽象概括，有时也难免得不到正确的一般概括，因此所举的事例要具有典型性、代表性。例如，低年级教学长方形时，要出不同的放置位置的长方形，特别要注意出现斜着放

　　误认为只有底边是水平放置的长方形才是长方形。

　　（3）进行抽象、概括之后还要注意具体化。具体化和抽象、概括是相反的过程，在抽象、概括出事物的本质的一般特征之后，还要引导学生回到单独的个别的事物上去，以作为对抽象、概括出的结论的应用和验证。通过这一活动还可以加深学生对所学的知识的理解，使学生的思维生动、灵活。例如，教学乘法的初步认识后，可以出现算式3×4，让学生用小圆片摆出这个算式表示的是几个几。另外，如果有些差生对抽象、概括出的概念的本质特征不易理解，还要再回到具体的事例中去以帮助理解。

　　（二）培养学生初步的判断、推理能力

　　前面讲的是思维的过程和方法，但人们在进行思维时，以什么形式表现出来呢？这就是通常所说的概念、判断和推理。无论逻辑学或心理学，都把这三者看作基本的思维形式。

　　1.重视概念的教学。

　　概念是对事物的一般属性和本质特征的反映形式。任何一个概念都是对事物进行抽象、概括的结果。概念与知觉、表象不同。知觉、表象都是事物的具体的映象，具有直观的性质。而概念具有抽象、概括的性质。

　　概念是用词来表达的，它以词的意义的形式而存在。在小学数学中概念有很多，也都是用词来表示的，如整数、分数、小数、约数、倍数、直线、长方形、圆等。

　　（1）概念的定义。

　　任何一个概念都反映事物的本质特征，通常叫做概念的内涵。例如，平行四边形这个概念，它的内涵就是两组对边分别平行的四边形。一个概念还反映了某一类事物的总和或范围，通常叫做概念的外延。例如，三角形的外延就是指所有的三角形，其中包括锐角三角形、直角三角形和钝角三角形。可以看出，概念的内涵是说明概念的含义的，概念的外延是说明它的适用范围的。这两者相互联系、相互依赖。每个概念都有确定的内涵和外延，不能混淆。

　　概念一般都要加以定义。通过定义来揭示概念所反映的事物的本质特征。这在小学数学中例子也很多。给概念下定义的方法也有多种，下面举出几种常见的下定义的方法。例如，两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。（关系定义，说明平行四边形是四边形中的一种，它的本质特征是两组对边分别平行。）

　　已知两个数的和及其中一个加数求另一个加数的运算叫做减法。（也是关系定义。）

　　一条线段绕它的端点旋转一周所成的角叫做周角。（发生定义，说明这种角的由来。）

　　两种相关联的量，一种量变化，另一种量也随着变化，如果两种量中相对应的两个数的比值（也就是商）一定，这两种量就叫做成正比例的量。（条件定义，通常有“如果……那么……”）

　　此外，在某些情况下，概念不好下定义，就采取描述、说明的方法。这在小学数学中还比较多。例如，物体表面或围成平面的大小叫做它们的面积。（描述）

　　把一个合数表示成若干个质数的乘积，叫做分解质因数。（说明、解释）

　　1、2、3、4、5……叫做自然数。（指出概念的外延）

　　有些初始概念是不定义的，如集合。（在小学不讲）

　　（2）小学生对概念的掌握。

　　小学生掌握概念有一个逐步提高的过程。低年级学生掌握的概念大部分是具体的；如果是比较抽象的概念，那么必须是通过直观可以了解其本质特征的。据心理学家研究，儿童对概念的掌握的水平是与其概括的发展水平相适应的。低年级学生掌握概念的水平主要是描述型和功用型，如果给概念下定义，学生还较难接受。另外，学生往往对概念的本质特征不很清楚，也不易全面掌握。例如，有的学生误认为，只有水平放置的长方形才叫长方形。中年级学生可以初步理解和掌握一些概念的本质特征，但是由于抽象、概括水平的限制，对某些概念的本质特征的理解和掌握还有困难，而且往往不能脱离直观形象的支持。例如，中年级学生掌握亿以内的数比较容易，对亿以上的数就比较困难。分数、小数的概念，还需要通过操作、直观来逐步理解它们的含义。另据研究，四年级学生能识别垂线、直角三角形、平行四边形、正方形、梯形、圆这6种图形的平均正确率可达62.3％，但是能说明图形特征的平均正确率只有28.3％。这说明要掌握几何图形的本质特征还是比较难的。到了高年级，学生能够掌握一些概念的本质特征，理解一些概念的抽象定义。据测试，五年级能正确掌握所学平面图形特征的可达50％。但是有些概念还需要通过直接的经验或感性的表象来掌握。例如教学分数时，仍需要借助一些直观材料来说明概念的意义。高年级学生还能理解和掌握一些概念间的逻辑联系或概念系统，如平行四边形、长方形和正方形之间的联系和区别。但对概念的本质特征的理解和掌握也有不完全、逻辑性差等缺点，有时甚至发生混淆。例如，学生往往难以区分质数、互质数和质因数的含义，在计算时还往往用错术语。

　　（3）教学数学概念时要注意的几点。

　　①正确说明所教概念的意义，首先教师要弄清概念的意义。要把数学的科学概念与日常生活中的概念的含义区别开来。例如“角”在数学中指的是平面的角，与日常生活“角”的含义不同。

　　要防止不适当地扩大或缩小概念的内涵或外延。例如教学“整数”不能只包括0和自然数。

　　教学概念的意义时避免同一词语的反复。例如不能说“求两个数加在一起是多少叫做加法”。

　　不能任意解释一个概念。例如教学体积概念时，用粉笔盒说明装多少支粉笔就是体积的大小。

　　要注意在理解的基础上给学生分析概念的定义。例如教学平行四边形，首先说明它是一个四边形，再说明它与一般的四边形的差别在于两组对边分别平行。

　　②注意形成概念要符合儿童的认知特点。由于数学概念都是抽象的，一般要按照如下的认知顺序进行教学：动作、感知→表象→概念、符号。如教学数目3，先出数量是3的各种实物图（可让学生自己摆），然后出点子图，最后出数字“3”。教学质数和合数，可以先引导学生对20以内数的约数的多少进行分析，找出它们的特点，然后进行分类，把2、3、5、7、11、13、17、19归为一类，把4、 6、8、9、10、12、14、15、16、18、20归为另一类，最后概括出质数和合数的概念。

　　③注意概念的具体化。概念的形成是把具体事物进行抽象化的过程，形成概念以后还要回到具体化，以利于学生正确理解并加深理解概念的意义。例如教学乘法的含义后，给出一个乘法算式，让学生用小棒摆出它表示的是几个几。教学分数的意义后，让学生举实例说明它的含义。

　　④注意概念间的联系和区别。这对于加深学生对概念的理解有重要的作用。

　　了解概念的联系也就是了解概念间的关系。概念间的关系一般有以下几种。

　　从属关系：如四边形、平行四边形和长方形的从属关系可以用下图表示。

　　同一关系：说明两个概念完全相同。如等边三角形和等角三角形，质数和素数。

　　矛盾关系：如加法和减法，正比例和反比例。

　　并列关系：如直角三角形、锐角三角形和钝角三角形，奇数和偶数。

　　交叉关系：如等腰三角形和直角三角形，可以用下图表示。

　　了解概念间的区别，就是要精确地掌握概念的内涵，弄清各概念的本质特征有什么不同。如长方形的周长和面积，要通过操作和直观使学生弄清楚各指长方形的哪一部分，用的计量单位和计算方法各有什么不同。

　　对于一些有联系的概念，到适当时候可以引导学生把所学的概念纳入概念系统中去，使知识系统化。例如，整数四则运算通过下表可把知识系统化。

　　⑤重视概念的应用和巩固。牢固地掌握一个概念，必须是能识别和应用它，理解概念的意义，而不是一字不差地背出概念的定义。

　　为了使学生识别和理解概念，可以出现如下的练习，让学生判断是否正确。

　　最小的自然数是0。（ ）

　　角的两边越长，角就越大。（ ）

　　为了使学生学会应用概念，可以出现如下的练习。

　　用加法的意义说明下面的应用题为什么用加法算：

　　“小明有15张邮票，小强比小明多3张，小强有多少张邮票？”

　　能整除120的质数有_____。

　　2.培养初步的判断能力。

　　判断是对事物具有某种特征或属性的肯定或否定的思考。例如，“自然数和0都是整数”，“含有质因数3的数不能化成有限小数”，都是判断。很明显，判断是用语句来表达的。而语句是由词联结成的，因此判断是由概念联结成的。也可以说，判断是反映概念间的联系的形式，它反映一个概念是不是包含于另一个概念之中。例如，“减法是加法的逆运算”这个判断，它首先说明减法是一种运算，同时又说明是加法的逆运算。它表示了减法这个概念与加法概念的联系。

　　小学数学中有关概念的定义，法则，定律和公式等一般都用判断形式来表示。

　　（1）判断的分类。

　　①简单判断：指一个判断中不包含其他的判断。根据事物的数量、各种性质以及不同的关系，简单判断可以分成很多种。这里结合小学数学举出常见的几种。

　　按照肯定或否定某一种性质来分，有：

　　肯定判断：如，能被2整除的数都是偶数。

　　否定判断：如，0不是自然数；分母含有2、5以外的质因数的分数，不能化成有限小数。

　　按照事物的数量来分，有：

　　单称判断：判断中只关系到一个事物。如，1不是质数，也不是合数。

　　特称判断：判断中关系到某些事物。如，有些质数是奇数。

　　全称判断：判断中关系到某一类事物的全部。如，任意三角形的内角和是180°。

　　按照判断中所确定的事物与事物间的关系来分，有：

　　对称性的：如，3加2等于5；1米等于100厘米。

　　非对称性的：如，5大于3。

　　传递性的：如，小明比小华高，小华比小林高，小明比小林高。

　　②复合判断：它是由几个简单判断结合而成的。常见的有：

　　联言判断：它是断定几个事物情况同时存在的判断。如，3和5都是质数；15既是3的倍数，又是5的倍数。

　　选言判断：它是断定几个可能的事物情况至少有一个存在的判断。如，互质的两个数，或者一个是质数一个是合数，或者两个都是质数，或者两个都是合数。

　　假言判断：它断定的是在某一条件下事物才具有某种属性。如，如果一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除；（如果）小数的小数点向右移动一位，小数就扩大10倍。

　　（2）小学生判断能力的发展。

　　小学生的判断能力也是逐步发展的。低年级学生已能作一些简单判断，但是大多属于感知形式的直接判断。例如，教师出示5朵红花，学生点数后说出“红花是5朵”。在学生所进行的简单判断中，很多是对事物是否具有某种属性的直接断定。如“红花是5朵”，“正方形的四条边是相等的”。还有大量的判断是反映事物间的关系的。如“5比3大”，“红花比黄花少3朵”，“羊的头数是牛的2倍”，“3加 2等于5”，“1米等于100厘米”等。这些判断，在教学的影响下，学生一般都能掌握。有时还用到一些稍复杂的判断。例如，“在没有括号的算式里，有乘法和加、减法，要先算乘法。这实际上是一个假言判断，只是在法则中把“如果……那么……”给省略了。通过实际例子，低年级学生还是能够理解和运用的。进入中年级，学生的判断能力有了一定的发展。有些学生能够离开直观进行一些抽象的判断。例如，对“两个加数的和一定比每个加数大”，有43.9％能做出正确的判断。但有些比较难的问题，判断的正确率比较低。有些学生能对所做的判断提出根据，但仍是少数。例如，在出示x×3=24，让学生求未知数x时，大多数学生能做对，但只有9.6％的学生能说出根据什么用除法计算。中年级学生能理解和掌握比较容易的假言判断。在数学课上通过具体事例，多数学生能理解和掌握积的变化规律和商不变的规律。例如，“一个数和35相乘，积是7000，如果这个数缩小10倍，积变成（）。”正确率达76.7％。高年级学生的判断能力有较大的发展。多数学生能进行抽象的判断。例如，对“一个近似数是350，它可以表示的准确数里，最小的是351。”64.5％的学生能做出正确的判断。多数学生还能对做出的判断提出简单的论证或说明根据。例如，在解x×3=24时，68.7％的学生能回答出计算的根据。据心理学家研究，高年级学生还能论证一些比较复杂的或然判断，提出各种可能的原因，并从中确定正确的原因或主要原因。但是根据数学测试，当一道题有不同的判断时，学生能答出几个可能的判断的只占12.4％，大多数学生只做出一种判断。这可能与平时教学解题时只有一个正确答案有关。尽管如此，这些事例已能说明高年级学生具有一定的逻辑判断能力。

　　（3）培养学生初步的判断能力要注意的几点。

　　①要正确理解数学知识中的每个判断，能从逻辑角度弄清它属于哪类判断，挖掘数学知识中的逻辑因素，才便于教学中有意识地引导学生做出合乎逻辑的判断。例如，三角形的内角和是180°，这是一个全称判断，因此教学时要对直角三角形、锐角三角形、钝角三角形分别加以考察、分析，然后再做结论。教学后还要问一问学生，为什么能做出结论说“任意三角形的内角和是180°”呢？

　　②要根据学生的年龄特点，通过具体例子引导学生做出正确的判断。在低年级还要多运用操作、直观，在高年级对一般的判断可以脱离直观，但对比较抽象又难理解的判断，如有关分数大小的比较，还要适当运用直观。

　　③要使学生正确理解判断中所确定的量，事物间的关系以及所具有的属性的特点。首先要分清一个判断是单称的、特称的或是全称的。其次要分清判断中概念间的关系。有些可通过画图来说明（如下图）。

　　对于假言判断，要使学生弄清条件。如小数点移位引起小数大小的变化，要弄清什么条件下小数的大小发生变化，怎样变；什么条件下小数的大小不变（即小数的基本性质）。

　　④设计好判断的练习。这是培养学生判断能力的重要途径。做一些判断是否正确的题目很有好处。例如，

　　所有的偶数都是合数。（ ）

　　分数都比1小。（ ）

　　互质的两个数一定都是质数。（ ）

　　对于学生的回答，要注意引导学生检查和纠正其判断中的逻辑错误。也可进行这样的练习。例如，

　　任意两个等底等高的三角形可以拼成一个平行四边形。（“任意”两字应改为“有些”，即把全称判断改成特称判断。）

　　不同一。）

　　不能化成有限小数？

　　3.培养初步的推理能力。

　　推理是从一个或几个判断得出一个新判断的思维形式。推理所依据的判断叫做前提，推出的新判断叫做结论。

　　人们在实践中常常运用逻辑推理的方法获得新知识。推理在学习数学知识方面起着极其重要的作用。大部分数学知识是由一些基本判断推导出来的。

　　根据前提的数目来分，推理有两种：

　　直接推理：是以一个判断作前提的推理。例如，由“5比3大”推出“3比5小”。

　　有些直接推理也并不是很容易掌握的。例如，由“自然数和0都是整数”推出“整数就是自然数和0”，就错了。

　　间接推理：是有两个或两个以上的判断作前提的推理。例如，

　　各位上的数的和能被3整除的数都能被3整除；

　　375各位上的数的和能被3整除；

　　所以，375能被3整除。

　　（1）几种常用的间接推理。

　　①归纳推理：它是从特殊判断到一般判断的推理。这种推理又分为完全归纳和不完全归纳两种。

　　完全归纳是根据某类事物的每一种特殊情况（即对所有情况都一一考察）做出一般结论。这在小学数学中是少见的。下面可以算作接近完全归纳的例子。例如，通过直观得出，

　　直角三角形的内角和是180°；

　　锐角三角形的内角和是180°；

　　钝角三角形的内角和是180°；

　　所以，任意三角形的内角和是180°。

　　不完全归纳是仅根据某类事物中的部分情况具有某种属性做出一般性结论。这在小学数学中有广泛的应用。例如，教学0的乘法、运算定律、分数的基本性质等，一般举几个例子，分别做出个别结论（即单称判断），然后做出一般结论（即全称判断）。

　　应用不完全归纳推理，有时根据不多的几个事实，会得出不正确的结论。例如，

　　3是质数，也是奇数；

　　7是质数，也是奇数；

　　11是质数，也是奇数；

　　所以，所有的质数都是奇数。（2是质数，却是偶数。）

　　因此使用不完全归纳推理必须十分谨慎，所举事实必须注意代表性，做出结论后要进一步加以验证。

　　②演绎推理：它是从一般判断到特殊判断的推理。演绎推理中最常用的是三段论形式。例如，

　　分数的分子、分母是互质数的是最简分数；（大前提）

　　

　　

　　可以看出，三段论是由3个判断组成的，前两个判断分别叫大前提和小前提，最后是结论。在大前提中提供了一般原理原则，在小前提中提供了一个特殊情况（即特殊判断）。三段论通常都是从大前提开始的。但在实际中也往往从小前提开始，然后再提出大前提。因此在思维时两个前提可以颠倒顺序。但必须分清哪个是大前提，哪个是小前提。

　　在小学数学中应用法则、公式、定律等解决具体问题时，都运用了演绎推理。但往往不是严格按照三段论形式，而采取了简略的推理形式。例如，

　　375各位上的数的和能被3整除；

　　所以，375能被3整除。

　　（这里省略了大前提。）

　　另外，在说明算理或论证的时候，实际上是先说了结论，再补充前提。例如，

　　判断下面哪些数能被3整除：375，……

　　回答：375能被3整除。（这是结论。）

　　为什么？—因为375各位上的数的和能被3整除。（只说出小前提，省略了大前提。）

　　也可能答：因为各位上的数的和能被3整除的数都能被3整除。（只说出大前提，省略了小前提。）

　　③类比推理：是根据两个事物在一系列属性上有相似之点，已知其中一个事物还有其他属性，由此做出另一个事物也具有同样的其他属性的结论。它的推理方式如下。

　　事物A具有属性 a、b、c、d；

　　事物B具有属性 a、b、c；

　　所以，事物B也具有属性d。

　　可以看出，这是从特殊判断到特殊判断的推理。

　　类比推理在小学数学教学中也有一些应用。例如，

　　整数的计数单位间进率是10，做加法要相同数位对齐，从低位加起；

　　小数的计数单位间进率是10，做加法要相同数位对齐(就是小数点对齐）；

　　所以，小数加法也要从低位加起。

　　有关平面图形的许多判断通过类比推理可推到立体图形上去。例如，

　　长方形的面积等于相邻两条边的乘积；长方体的体积等于相邻三条棱的乘积。

　　圆可以分成一些相等的扇形，再拼成一个近似的长方形，从而导出圆面积计算公式；直圆柱的两底面是半径相等的圆，因此可以把圆柱底面分成一些相等的扇形，按底面扇形大小切开，再拼成一个近似的长方体，从而导出圆柱体体积计算公式。

　　必须注意，用类比推理所得的结论不总是真实的。因为进行类比推理的两个事物虽有许多相似之点，但仍有一些差异，如果遇到有差异的属性，或者在第二个事物中根本没有这种属性，而仍使用类比推理，就会出现错误。例如，

　　各位上的数的和能被3整除的数，能被3整除；

　　9是3的3倍，各位上的数的和能被9整除的数，能被9整除；

　　27是9的3倍，各位上的数的和能被27整除的数，却不一定能被27整除。（这里的27是两位数）

　　由于类比推理所得的结论有或然性，它不能代替科学论证，所以在推出结论后，需要进一步论证或在实践中检验。

　　（2）小学生推理能力的发展。

　　小学生的推理能力，是随着年龄的增长以及教学的影响逐步发展起来的。低年级学生首先掌握的是简单的直接推理，如由“5比3大”直接推出“3比5小”。遇到带有逆思考性质的推理，则有些学生感到困难。例如，一年级算14-9，要求用加法想出得数，有些中、下学生开始感到困难，要通过操作、直观和多次练习才能逐步掌握。低年级学生也开始初步发展了间接推理，当然只限于简单易懂的，而且要借助直观或熟悉的事例。例如，配合直观出示6+0=6，8+0=8，0+5=5……学生在教师的引导下能归纳出一个数加上0还得原来的数。又如，加法的交换性质，一年级结合直观进行归纳也不困难。实验表明，低年级学生由几个例子归纳出一条法则比较容易，如果要归纳两条或更多条法则就比较困难。低年级学生的演绎推理能力也获得初步发展，因为在数学课上经常要把归纳出的法则用到具体的计算中去。但是学生的演绎推理往往不是严格地按照三段论的形式进行的。例如计算 8+9，学生知道用9+8来计算，但不会都想到调换两个加数的位置和不变这个大前提。往往经过教师提问，学生才把大前提补上。低年级解两步应用题时，开始学习多步的演绎推理，多数感到困难，经过较长时间的训练，能掌握的也还达不到半数。但是列式解答比较容易的两步应用题，一般没有困难。这也说明，学习解答两步应用题的能力和口头分析两步应用题的能力不是同步发展的。进入中年级，学生的推理能力有了一定的发展。多数学生能进行比较容易的间接推理。他们能结合直观进行归纳推理，但进行抽象的归纳推理还感困难。学生单独归纳一般规律也比较困难，而且表述时也往往不够确切。例如，加法结合律，学生还不善于从几个特殊判断上升到一般判断，需要教师加以引导。中年级学生大都能进行简单的演绎推理，但是在数学课上把已学的法则运用到个别问题中去时，往往是不自觉的。在解答两三步计算的应用题时，学生口头分析、推理的能力比低年级有较大的提高。中年级学生的类比推理能力也有了一些发展。据研究，具有正确类推能力的学生约占 35％，有很多新知识可以在已学的基础上类推出来，但往往需要加以引导。总的来看学生独立类推的能力还较差。到了高年级，学生的推理能力有较大发展。据心理学家研究，12岁学生归纳推理的正确率比10岁的有较大增加。从数学教学来看，多数学生能从几个具体例子归纳出一般结论，但是能从特殊结论合乎逻辑地逐步上升到一般结论，仍占少数。高年级学生的演绎推理也比中年级有了较大发展。例如给出一个未学过的法则，让学生按照所给的法则对某个式子进行运算。四年级学生能做对的只有13.2％，五年级做对的达45.9％，六年级则达58.3％。学生综合运用归纳和演绎推理的能力还较差。从测试情况看，问题中所反映的规律是比较简单明显的，学生容易推出，规律比较复杂和不明显的，则感到困难。例如，给出一列数：7，8，13，15，20，23，（），（），要求找出数的排列规律并在括号里填数，做对的只有16.5％。高年级学生的类比推理也有进一步发展。据心理学家研究，高年级能正确类推的达59％。在高年级数学教学中较多运用类比推理，不仅为加快理解和掌握数学知识提供了有利条件，也促进了学生类比推理的发展。但是学生也容易出现类比推理的错误。例如，在低年级学过甲比乙多20，反过来就推出乙比甲少20。到高年级学过分数，多数学生易把这种方法错误地类推到分数中去，即如果甲比乙多20％，反过来就推出乙比甲少 20％。

　　（3）培养学生初步的推理能力要注意的几点。

　　①在引导学生进行归纳推理时，注意要举几个事例，避免只举一个事例就做出一般结论。同时要引导学生对每一事例的属性或特征做出正确的特殊判断，最后再上升到一般判断。例如，教学加法交换律，先就每个等式做出特殊判断：

　　3+5=5+3 3和5这两个加数调换位置，和不变；

　　10+8=8+10 10和8这两个加数调换位置，和不变；

　　129+46=46+129 129和46这两个加数调换位置，和不变；

　　所以，加法中两个加数调换位置，和不变。

　　另外，由于不完全归纳所得的结论不一定真实，在这之后还要引导学生把一般结论应用于个别例子中加以检验。

　　②为了培养学生的初步推理能力，每教一个新的法则、性质、公式后，再应用于具体情况时，要注意让学生说根据。在这时并不要求学生严格按照三段论的形式来回答，但是当学生回答时缺少大前提，教师要通过提问，使学生明确补上所缺少的大前提。

　　③应用演绎推理必须遵循一定的规则，否则会出现逻辑错误。例如，

　　凡9的倍数都是3的倍数；

　　20不是9的倍数；

　　所以，20不是3的倍数。

　　这个例子的结论是对的，但推理不正确。因为有一条规则是大前提必须是全称的，小前提必须是肯定的。而这里的小前提是否定的。因此要真正掌握好，还需要深入研究一些逻辑规则。

　　④注意综合运用归纳、演绎推理。一方面，在归纳出新的法则、公式之后要应用于具体情况中去；另一方面，注意安排一些富于思考的题目，引导学生运用归纳推理探索出规律，再运用所得规律解决新的问题。例如，

　　（a）先找出数的排列规律，再在（ ）里填适当的数。

　　15 16 18 19 21 20（ ）（ ）
（b）找出下面每个三角形中的线段的条数与所含的三角形的个数有什么关系。算一算，在三角形中加5条线段可以有多少个三角形。 s

　　⑤在解答复合应用题的时候，充分注意培养学生推理能力。解答应用题时，既应用了分析、综合，又应用了判断、推理。如解答两步应用题时实际上是应用了多步的演绎推理。例如，“一个食堂原有煤200吨，用去3/5，还剩多少吨？”推理的步骤如下：

　　要求还剩多少吨，必须知道原有的吨数和用去的吨数；

　　这道题知道原有200吨，不知道用去的吨数；

　　所以，必须先求出用去的吨数。

　　要求用去的吨数，必须知道原有的吨数和用去的占原有的几分之几；

　　所以，可以求出用去的吨数。

　　根据分数乘法的意义，可以求一个数的几分之几；

　

　　……

　　当然只在开始时这样一步一步地推理，以后可以适当简缩推理过程。

　　⑥使用类比推理时，要注意学生是否有乱用类比推理的错误，发现后要及时纠正。例如，

　　错把加法的分别对位计算的方法类推到乘法。（开始学两位数乘法，学生容易出现这样的错误。）

四 在小学数学中培养学生的思维品质

　　《九年义务教育全日制小学数学教学大纲（试用）》除了强调发展学生初步的逻辑思维能力外，还注意培养思维的敏捷性和灵活性。这属于培养思维品质问题，也称智慧品质，有人也称这些为科学思维素质。心理学关于思维品质的研究是从50年代才开始的。国内外一些心理学家认为，“在构成人的特殊的、个体的各种个性品质中，智慧品质起着重要的作用”。“思维品质的实质，是人的思维能力的差异的表现，亦即智力差异的表现。”由此看出，思维品质是思维能力中不可缺少的组成部分。在各科教学中都要始终注意在发展学生逻辑思维的同时，培养学生的思维品质。近来我国心理、教育工作者也开始注意这方面的研究。

　　关于思维品质包括哪些内容，还没有一致的看法。一般来说包括思维的独立性、敏捷性、灵活性、创造性，还有人提出思维的深刻性、批判性等。结合小学数学的学科特点，我认为主要是培养思维的敏捷性和灵活性，而这两者与思维的创造性又有密切的联系。

　　（一）小学生思维品质的发展

　　低年级学生的思维品质已经有了一些发展。其特点是：1.思维的自觉性还很差。由于低年级学生的逻辑思维刚刚开始发展，一方面还不会思考问题，另一方面还不能意识到自己的思维过程。往往学生做完一道题，答不出他是怎样想的。至于自觉地检查、调整或论证自己的思维过程就更差。但是通过有意识地培养，可以逐步提高学生思维的自觉性。2.学生间的思维速度差异比较大。一般思维快的和思维慢的能够相差几倍。但是在正确的教育下，特别是针对学生的不同特点，及时地有区别地采取一些措施，可以逐步提高学生思维的敏捷性。3.思维的灵活性一般都比较差，思维的惰性比较大。这与儿童的生理发展，特别是与脑的成熟的程度有关。另一方面，由于个体发展的差异，以及环境教育的影响，学生之间也存在着一定的差异。例如，对一年级出了这样一道题，“5个相同加数的和是20，这个相同加数是几？”由于学生没学过除法，只能根据乘法的含义运用口诀想出答案。较好的班级做对的可达70％，而较差的班级做对的仅有30％。又例如，在二年级教过一位数除多位数商中间有0的简便算法，有极少数学生一下掌握不了，宁愿照前边学过的方法一步不漏地去除。

　　中年级学生的思维品质有所发展。具体表现在：1.在教学的影响下，学生思维的自觉性有提高。有些学生明显地表现出对数学的兴趣，喜欢做一些稍费思考的题目，有些学生还喜欢看数学课外读物。2.学生思维的敏捷性和灵活性有所发展。在数学课上学生能够选用简便的方法进行计算，能用不同的方法解答应用题。但是学生之间往往有很大差异。实验说明，如果教学得法，差异还是可以缩小的。3.学生思维的创造性也有一些发展。例如，用小棒连续摆成6个正方形（不出图），要求学生列式计算小棒的根数。结果四年级有21％的学生列出各种综合算式（连加除外），有7.9％的学生能在前面计算的基础上概括出一般的计算公式，还有少数学生做出初步概括，但表述不完善或使用述语不确切。这表明已有少数学生在探究能力和思维的创造性方面有一定的发展。

　　高年级学生的思维品质进一步发展，特别是思维的敏捷性和灵活性有较大的发展。在教学的影响下，学生的计算速度有进一步提高，灵活运用简便算法的能力有所增强；对一道题想出不同解法的能力也有发展。据心理学家研究，高年级学生一般都能用两种方法解答一道应用题，能用三种方法解答的学生可达80％以上。教学实践表明，有些分数应用题，一般学生选用两种方法解答不大困难；但用三种方法解答，中、差生感到困难。学生思维的创造性比中年级也有较大发展。据测试，上述用小棒摆正方形的问题，能概括出一般计算公式的达30.2％，其中有些学生还能用字母公式表示。这表明，一部分学生在探究能力和思维的创造性方面有较好的发展。

　　（二）对培养学生思维品质的几点建议

　　1.培养思维的敏捷性。

　　培养思维敏捷很重要。要提高民族素质，其中重要的一条是人人讲求工作效率，对临时遇到的问题能及时进行思考，正确判断，迅速做出结论或决策。思维敏捷要与思维轻率严格区别开来。思维敏捷不仅在速度上要求快，而且注意考虑周密。

　　从一年级就要注意思维敏捷的培养，但是不能要求过高、过急。教学时首先要注意留给学生思考的时间，引导学生去想，逐步要求学生注意很快地想出问题解决的方法，并对想得快的又想得对的给以鼓励。同时注意防止学生单纯地为了求快，思考轻率而不够周密。计算要在正确的基础上适当提出速度要求，注意适当安排限定时间的练习。有些计算或应用题的分析，要在适当时候引导学生简缩思维。例如9+3，经过一些练习和掌握口算步骤以后，引导学生想，“9加1是10，还有2，得12”。中年级以后要注意适当教一些简便算法。如，被乘数、乘数中间、末尾有0 的乘法，要启发学生想有什么简便算法，并在计算中自觉地运用。

　　2.培养思维的灵活性。

　　思维的灵活性的特点主要表现在，善于从不同角度、不同方向来思考问题，能用多种方法解决问题；能根据具体情况，灵活地运用知识来处理问题。

　　从低年级起就要注意培养学生思维的灵活性。但是开始不能要求很高，要随着年级的增长逐步提高要求。例如，在低年级，某些计算可在教师的指导下想出不同的计算方法，中年级以后就鼓励学生自己想出不同的计算方法，而且要找出简便的算法。要培养思维的灵活性，首先要加强算理教学，使学生切实理解和掌握规律性知识和一般计算方法，通过练习逐步巩固并加深理解，避免死记硬背。学生切实掌握了，就为灵活运用奠定了基础。教师在教学计算步骤、解题过程以及书写格式等做出一些规定是必要的，但在一定条件下要允许学生灵活，不宜统得过死。例如，中年级学过乘法交换律以后，在算式中就要允许被乘数、乘数交换位置书写。分数混合运算只要求适当保留运算的过程，不必强调把每一步计算都完整地写出来。在练习中要注意适当出现一些概念或习题的变式，还要安排一些逆思考的题目，以利于培养思维的灵活性。例如，低年级出加法应用题，要避免每问都出现“一共”二字。各年级都要注意变换叙述方式。例如，“桃比梨少40千克，梨和桃的重量比是5∶4，求梨、桃各有多少千克。”通过这题把比和分数联系起来，虽然出现比的形式，但仍可用分数来计算，从而培养学生思维的灵活性。此外，适当安排一些有多个答案的开放型的题目，也有助于培养思维的灵活性。例如，“3□4，如果这个数能被6整除，十位上可以填几？”

　　3.培养思维的创造性。

　　它与创造思维有联系又有区别。创造思维强调的是思维过程，或把它看作一种能力。而思维的创造性强调把它作为一种思维品质。作为品质来说，它的特点是假设、方案、结论独特新颖，包含新的因素。具有思维创造性品质的不仅限于少数创造发明者，也可以是小学生。小学生的独特新颖的解法也同样具有创造性。心理学家克鲁捷茨基认为，学生的创造性虽然没有客观的价值，但对学生自己说，从主观上看是新的，研究过程是创造性的。

　　发展学生思维的创造性，首先要给学生探索发现的机会。从低年级就要注意这一点。例如，让学生看20以内进位加法表，看看它的排列有什么规律；教学口算时，让学生想出不同的口算方法，等等。随着年级的增高，可以适当增加这方面的内容。例如，中年级探索积、商的变化规律，高年级探索小数点移动位置引起小数大小的变化规律等。除了教学新知识外，还要适当安排一些练习题。要适当加强发散思维的练习。从低年级起就要安排一些题目，要求学生用不同的方法计算或解答。随着年级的增高，还要引导学生从不同的角度，运用不同的知识来解同一个问题。例如， “豆腐坊用50千克黄豆做200千克豆腐，照这样计算，125千克黄豆可以做多少千克豆腐？”开始只要求用整数计算，以后可以要求分别用小数或分数计算，还可要求用比例知识来解。在较高年级，适当发展学生的直觉思维，对于培养学生思维的创造性有一定好处。直觉思维是在对所研究的问题作整体的了解，应用自己的经验，一下子做出直接的判断，找出解决问题的方法。进行直觉思维时，人们意识不到赖以求得答案的过程，缺少清晰的确定的步骤。但是由于对有关的基础知识及其结构的了解，使得思维产生了飞跃，迅速地越过某些个别细节和步骤。因此这种思维有时在一定程度上具有创造件成分。例如，

　　求上面两个长方形的面积一共是多少？这道题一般列式为：6×8+4×6=72（平方米）。但是有的学生经过总体观察，很快答出72平方米。因为他们不仅发现两个长方形有一边同样长，而且发现大长方形的另一边是小长方形的另一边的2倍，从而很快想到它们的面积和应是小长方形面积的3倍。当然进行这样的练习不一定作为共同的基本要求。

五 在小学数学教学中培养学生思维能力应注意的几个问题

　　最后简单谈谈在小学数学中培养学生思维能力应注意的几个问题，也可以说是应遵循的几个原则。

　　（一）培养学生思维能力要与数学知识的教学紧密结合

　　这一点新大纲已明确指出，“学生初步的逻辑思维能力的发展，……要有意识地结合教学内容进行。”因为数学基础知识的教学与思维能力的培养是相辅相成的。基础知识为培养思维能力提供富有逻辑性的素材，反过来培养了思维能力又为很好地掌握数学基础知识创造有利的条件。把两者分离开来教学，无论对学习数学基础知识或培养思维能力都不会有好的效果。为此，备课时要认真研究教材，弄清数学知识本身的科学性、系统性和逻辑性，分析教材中含有哪些培养学生思维能力的因素。制订一节课的教学计划时，不仅要明确数学知识方面的教学目的要求，而且要明确在培养思维能力上侧重哪些方面，达到什么要求，并且力求在教案中有所体现。教学时要考虑选定什么样的方法，既能做到使学生较好地理解和掌握数学知识，又有助于激发学生思考，培养学生的思维能力。

　　（二）要把培养学生思维能力贯穿在各年级数学教学的始终

　　这一点也是新大纲中明确指出的，“要把发展智力和培养能力贯穿在各年级教学的始终。”小学生正处在由具体形象思维向抽象逻辑思维逐渐过渡的阶段，思维能力需要一个长期的逐步培养和训练的过程，因此就要求数学教学适应儿童年龄发展的特点，有计划有步骤地培养学生的思维能力，并且贯穿在小学数学教学的全过程。为此，每个年级，每节课，每个教学环节都要考虑在学习数学基础知识的同时，如何发展学生的思维能力。如果低年级忽视思维能力的培养，就会给中、高年级增加教学的困难；反过来，如果低、中年级重视发展思维能力，到高年级有所忽视，也会给进一步发展思维造成不利的影响。为了很好地贯彻这一条原则，就要很好地研究各年级学生的思维发展特点，适应学生的年龄特点，紧密结合知识内容，提出适当的发展思维能力的要求。例如，同样是培养分析能力，低年级就要多结合操作、直观，引导学生分析；高年级则要逐步离开直观，着重培养学生独立进行抽象分析的能力，只在必要的时候才结合直观来进行具体分析。

　　（三）适应小学生心理特点，注意把操作、思维和言语表达结合起来

　　这里有两层意思。一是适应小学生特点，注意把思维与操作、直观结合起来。二是适应小学生特点，把思维与言语表达结合起来。关于第一点，是由小学生的思维特点决定的。低年级学生的思维特点仍以具体形象思维为主，中、高年级学生的思维虽然逐步向抽象逻辑思维过渡，但是在许多情况下，特别是遇到较抽象的数学知识，仍需要适当借助操作和直观。为了使学生较好地理解和掌握数学知识，同时也为了逐步发展学生的抽象思维，激发学习兴趣，在一定条件下适当利用操作和直观来引导学生思维是必要的。但是无论操作和直观，都是学习的手段，在适当时候要逐步脱离操作和直观，过渡到抽象思维，避免学生过多地依靠操作和直观。关于第二点也很重要。思维和语言是密切联系着的。语言是思维的工具。人们借助语言，才能对事物进行抽象、概括，反过来又借助语言对人们的思维进行调节，使思维逐步完善。因此发展学生的思维，必须相应地发展学生的言语。学生的言语也是逐步发展的，所以在发展学生的思维和言语时，都要考虑到学生言语发展的特点。例如，低年级学生的口头言语有了一定的发展，但是书面言语的学习还刚开始，因此在这个阶段应着重训练学生用口头言语表达自己的思维。到中年级，一方面继续发展学生的口头言语表达能力，另一方面要适当发展学生的书面言语，其中包括默读课本内容和应用题。到了高年级，一方面提高学生的口头言语表达能力，如说明算理、口头分析应用题以及口头论证等，另一方面加强发展书面言语，如少数题可以训练学生写出思考过程。在发展儿童言语时还要注意适应学生的差异，不能一刀切。例如，在低年级同一班学生，可以有一小部分学生能独立说明算理，有一部分学生则只要求在教师引导下说明算理，还可能有一小部分学生在教师引导下说明算理还有困难。但只要坚持训练，逐步提高要求，学生的言语表达能力和思维都会逐步有所发展。

　　（四）既重视思维过程，又重视思维结果

　　传统的教学只重视思维的结果，忽视思维的过程。现代教学论则十分重视思维的过程，这样有利于发展学生的思维能力。为此新大纲也明确提出“要重视学生获取知识的思维过程。”其目的在于纠正过去只重视思维的结果的片面做法。但是反过来也不能因此只重视思维过程，而忽视思维的结果。特别是数学，计算或解答是否正确还是很重要的。为了加强对思维过程的重视，首先要加强算理的教学，说明一种算法或一个公式的来源。解应用题要重视分析数量关系。做练习时要多让学生说明自己是怎样想的，必要的时候要说出论据，而不是简单地对一下得数。学生在练习中出现错误，要引导他们找出错误的原因，检查在分析、推理方面存在什么问题。低年级学生还要注意结合操作、直观来说明算理、分析数量关系，使学生的思维过程具体形象化，更便于理解、掌握和检查。还要注意逐步培养学生认真听别人叙述的思维过程，并能评价别人的思维过程是否正确、合理，从而提高表达思维过程的能力。

　　（五）加强教师的示范和指导

　　培养学生的思维能力，教师加强示范和指导具有十分重要的作用。

　　加强教师的示范，首先要求教师在讲授数学知识时注意正确运用逻辑方法，揭示每一逻辑思维过程。例如，在教学加法结合律时运用了不完全归纳推理，教师的整个讲述过程，要符合不完全归纳推理的顺序和思维过程，这样就为学生的思维树立了良好的范例，对学生的思维起了潜移默化的作用。其次在练习时教师还要继续给学生示范，引导学生有顺序地合乎逻辑地思考。例如，演绎推理如何按照三段论的形式来思考，以后如何简缩思维，还是比较难的，就需要教师做出示范，使学生便于模仿。

　　加强教师的指导，首先要求教师有计划有步骤地设计教学，每次明确在逻辑思维方面的要求和训练步骤。其次在练习中注意给以必要检查和指导。要了解学生的思维过程，思考的方法是否符合逻辑，有没有逻辑的错误，在适当时候要引导学生共同分析、订正。例如，学过质数和质因数以后，有的学生把两个概念弄混，这时有必要从本质特质上分清两个概念的联系和区别。特别要明确不能孤立地说某个数是质因数，必须说某个数是×的质因数。

　　最后，教师要做到加强示范和指导，最根本的是要提高自己的逻辑学和心理学水平，不断研究和总结发展学生思维能力的经验。这样才能切实完成新大纲规定的有关这方面的教学任务。

真诚天下

优化教学过程提高小学数学教学效率
       
　
　        

提高教学效率问题，近十多年来才被人们重视，并加以研究。长期以来，无论是国内或国外，教师采用传统的教学方法，对学生缺少合理的学习方法的指导，结果大都形成死记硬背，浪费时间，课业负担重。这样的教学结果，不仅不能适应现代科学技术发展的需要，而且造成人力和物力的极大浪费。随着现代教学论的研究和发展，有些教育家提出优化教学过程，提高课堂教学效率，要求教师不仅做一个好的教师，而且要做一个有效率的教师。此后，一些数学教育工作者也针对数学教学中存在的问题提出要求。例如，1980年美国全国数学教师协会拟定的《80年代行动计划》，第四条提出“必须把既讲效果又讲效率的严格标准应用于数学教学”。前苏联教育部在80年代初关于中学（五至十年级）数学教学的一份文件中也讲到提高课堂教学效率，强调“不能容许把学生应当在课堂上完成的作业安排为家庭作业，以致造成学生负担过重。”近年来我国也开始重视提高小学数学教学效率问题。义务教育小学数学教学大纲中指出，“教学要讲求实效，注意提高课堂教学效率。”解决好这个问题，不仅对于我国顺利地推行义务教育，全面地提高民族素质，具有重要的现实意义，而且对于培养21世纪人才打好基础具有深远的历史意义。

　　优化教学过程，提高小学数学教学效率，是一个巨大的复杂的系统工程，涉及的面很广，其中有理论问题，也有实践问题。教学过程优化和教学效率高的标准可以概括为两条：一是教学效果好，二是时间消耗少。下面试从小学数学教学过程的几个基本成份如何优化，以促进小学数学教学整体质量的提高，谈一些看法。

一 教学目标和要求要全面、适当

　　教学目标和教学要求非常重要。它不仅体现国家和社会对小学数学教学的要求，而且是备课和上课需要明确的首要问题。它决定着一个学期、一个单元、一节课的教学内容、结构、教学方法和教学组织形式，起着小学数学教学的导向作用。

　　（一）教学目标和要求要全面

　　进行小学数学课堂教学，不仅要考虑数学基础知识方面的目标和要求，还要考虑结合本节课的数学基础知识培养哪些能力，结合本节的内容进行哪些思想品德教育和培养哪些良好的学习习惯。此外还要重视情感方面的要求，如培养学生学习数学的兴趣，对数学学习的积极态度等。这样可以使几方面的教学任务起到相辅相成的作用。

　　（二）教学目标和要求要适当

　　这是优化教学目标和要求的重要方面。教学目标和要求过高或过低，或者主次分不清楚，都会影响一节课圆满地完成教学任务。

　　1.要根据所教教材的地位、前后编排的顺序以及学生的接受程度提出适当的目标和要求。

　　从一个单元来说，如10以内数的认识和加、减法，主要是使学生对10以内数的概念和数的组成有清楚的认识，会写数字，初步知道加、减法的含义，能比较熟练地计算10以内的加、减法。至于应用题教学还处于准备阶段，只出现一些用图画表示的应用题。要求学生能看图按教师的问话回答：图里告诉了什么，求什么，怎样计算。如果要求学生能独立口编完整的应用题，很多学生就会感到困难，势必要占用大量时间，反而削弱了10以内加、减法的基本训练。

　　从一节课来说，如教学9加几第一节课，主要要求学生能掌握凑十的方法，正确地算出 9加几的得数。不宜要求学生计算迅速，更不宜比赛谁算得快。这样会使后进生心理紧张，本来能做对的也会做错。应该在后继课中学生已掌握方法和计算正确的基础上逐步提高计算速度的要求。即使这样，在速度上也不能要求过高，如第一学期末绝大多数学生达到每分钟做10道题（只写得数）就可以了。

　　2.教学目标和要求要符合儿童认知的规律和发展水平。

　　根据心理学家研究，儿童的一个重要的认知规律是从动作、感知→表象→概念、规律，而且不同年龄的儿童有不同的认知水平。例如，低年级学生以具体形象思维占优势，抽象概括能力发展的水平还比较低。教学应用题时，主要是通过操作、直观来理解题意和分析数量关系，不宜教给学生抽象概括的术语和解题公式。否则，学生不理解，不仅增加学习的困难，浪费时间，还容易形成死记硬套的不良习惯。又例如，中、高年级教学整数、小数、分数四则混合运算，不宜过繁。随着现代计算工具的发展，不仅没有必要做笔算步数过多的混合运算式题，而且实践表明，每增多一步运算，学生的计算错误增加很多，要达到比较熟练，需要花费很多的时间。义务教育小学数学教学大纲规定，四则混合运算以二、三步的为主，一般不超过四步，是比较适当的。

　　3.教学目标和要求要根据数学内容的特点和教育心理规律适当划分层次。

　　据教育心理学研究，知识的学习基本上是按照以下的顺序进行的：理解、保持和应用。这里的理解，在不同的学习阶段，可以有不同的程度、不同的水平。一般地说，要经历一个从低水平的简单理解（也可以说初步认识）到高水平的复杂的理解的过程。然后在理解的基础上，经过一些练习和复习使学得的知识保持下来。进一步再应用所学的知识去解问题。有的心理学家把学习的阶段分得更细一些，如美国的加涅分成8个阶段，顺序与前述的基本相同。这一教学规律基本上适合小学数学的学习，但是也有其自己的特点。这主要是知识的理解和保持都与练习密不可分。美国格林在《小学数学——教学活动和材料》一书中就指出，“熟练，特别是牢记，只有在相当多的练习之后才能达到。”“……认为如果学生充分理解了一种计算方法，熟练就会自动地产生。现也已证明这是不恰当的观点。”“应当用练习作为加强已经理解了的概念的手段。”这说明，无论理解或牢记小学数学知识都有一个逐步发展的过程，而这个过程是同练习紧密联系着的。因此在划分小学数学教学目标和要求的层次时既要符合教育心理规律，又要考虑小学数学的学习特点。义务教育小学数学教学大纲中对知识的教学要求分为知道、理解、掌握、应用四个层次，对技能的教学要求分为会、比较熟练、熟练三个层次是比较合适的。有些地区对知识的教学目标的第一个层次定为“识记”①，这样的提法值得研究。它不符合教育心理的学习阶段的划分，也不符合数学的学习特点，还容易引导学生死记硬背概念的定义、法则、公式，不利于提高小学数学教学质量。

　　4.教学目标和要求注意适应学生的个别差异。

　　据心理学研究，儿童由于先天、环境、教育等方面条件的不同，在能力、性格和兴趣等方面都存在着差异。表现在数学的学习上，不仅理解和掌握数学知识的过程有快有慢，而且在计算和解题的能力上也有高有低。因此在拟订教学目标和要求时，一方面按照义务教育小学数学教学大纲提出共同的基本要求；另一方面注意适当有些弹性，以适应学生的个别差异。例如，对较差的学生，在共同的基本要求不变的情况下，要允许他们比一般学生经过较多的课时的学习逐步达到教学基本要求。特别是有些较难的知识，要求一节新授课100％的学生都能理解和掌握，是比较困难的。教师可以根据知识的难易以及学生的具体情况，提出不同的要求。同时在教学中注意了解差生的学习情况，做到心中有数，并适当给以帮助、辅导，力求缩短与一般学生的差距，逐步达到共同的基本要求。对于学有余力的学生，还可以适当提高一些要求。例如，教学这样的应用题：“小华有5本故事书，小明的故事书的本数是小华的3倍，两人一共有多少本书？”讲了一般解答方法，进行练习时，可以让学有余力的学生想一想，还有什么不同的解法。这样根据学生的差异，适当提出不同的要求，有利于调动全体学生学习数学的积极性，从而可以用较少的时间较好地完成教学任务。

二 合理地确定和组织教学内容

　　在确定适当的教学目标和要求之后，合理地确定和组织教学内容就成为优化教学过程的一个重要问题。小学数学教材已经提供了每单元和每节课的基本教学内容，但是教师教学前需要深入钻研和领会教材是如何体现教学目标和要求的，明确教学要点有哪些，教学的顺序是怎样安排的等，此外往往还要根据本班的具体情况进行一些必要的调整或补充，使课堂教学的内容更符合实际，从而促进教学过程的优化。

　　（一）合理地确定教学内容的广度和深度

　　所谓教学内容的广度，是指知识的范围或知识的量。从信息论的角度说就是一节课传输给学生的信息量。一节课的信息量过大，知识点过多，学生难以接受；而一节课的信息量过少，知识点过少，也会浪费时间，不利于调动学生学习的积极性。教学内容的广度要确定得合理，与知识的难易和学生的条件有密切关系，一般来说，难理解的知识要少一点，容易理解的知识可适当多一些；对低年级学生教学的步子要小一点，对高年级学生教学的步子要大一点。例如，低年级教学连减的两步应用题，一节课要使学生掌握两种解法就比较紧，有的学生往往分不清两种解法，如果分成两节课来教学，效果就好一些。中年级教学分数的初步认识，对学生来说新概念比较难建立，也可以步子小一点，第一节课教学几分之一，第二节课再教学几分之几，以利于通过较多的操作、直观给学生形成分数的正确表象。到了高年级再讲分数概念，学生已经有了一定基础，进行抽象概括时可以适当加快进度。有些教学内容，从知识点上看并不一定难，但是所选的数目大小往往会影响知识的难易。例如，在中年级教学四则混合运算，如果数目过大，步数过多，就会增加知识的难度。高年级教学最大公约数和最小公倍数，如果数目比较大，也会增加知识的难度。因此，大纲、教材中对上述内容的教学都限定数目的大小和运算步数的多少，是非常必要的。

　　教学内容的深度一般是指知识的抽象概括的水平。同样的教学内容可以有不同的深度，选择什么样的深度往往是根据学生的思维发展水平来确定的。例如，低年级教学加、减法的认识，只要通过操作、直观使学生了解，把两个数合并在一起求一共是多少，用加法算；从一个数里去掉一部分求剩下的是多少，用减法算。到高年级教学加、减法就可以采用定义的形式说明加、减法的意义。又例如，中年级教学简单的同分母分数加、减法，主要通过操作、直观使学生初步学会同分母分数的加、减法，如

　　母分数加、减法的法则。这样做一方面符合学生的思维发展水平，另一方面有助于加深学生对分数意义的理解。

　　（二）明确教学的重点、难点和关键

　　当一节课的教学内容有几个知识点时，往往需要确定哪些是重点，哪些是难点，以免在教学时抓不住主要的基本的内容，而在次要的或者学生容易接受的内容上多花时间，或者面面俱到平均使用力量，影响重点、难点的理解和掌握，而达不到预定的教学效果。例如，一年级教学5的认识，由于学生入学前一般都能按实物点数，就不宜在主题画上用过多的时间去练习数数，而应把5的组成和写数字5作为教学的重点。一般地说，数学的基本概念、法则、公式、性质都是教学的重点，学生必须掌握好这些基础知识。但是其中也有主从的关系，而弄清主从关系，教学时可以更好地发挥学习的迁移作用，从而能节省教学时间，提高教学效率。例如，教过除数是整数的小数除法，再教学除数是小数的小数除法时，引导学生应用除法商不变的性质和小数点移动引起小数大小的变化等知识把它转化为除数是整数的小数除法，就不难解决。这样可以着重做一些把除数的小数点移动位置，使它变成整数，再把被除数的小数向右移动相同位数的练习。

　　有时一部分知识或一个知识点需要弄清教学的关键，它对所学的知识能否掌握好起着决定性的作用。例如，教学用两位数除，关键是使学生掌握用两位数除两、三位数商一位数的试商方法，至于商多位数的可以依此类推。又例如，教学长方体的表面积，关键在于通过操作、直观使学生弄清一个长方体有哪3组相对的长方形面，根据长方体的长、宽、高确定每组长方形面的长、宽各是多少。这是发展学生空间观念的问题。有些教师抓住这个关键，收到很好的教学效果。如果采取另外的方法，如通过例子给学生总结各种不同情况的计算表面积的公式，而忽视学生空间观念的发展，教学效果就比较差，教学时间也用得多。

　　这里还要着重谈一点，教学时要十分重视教学内容的科学性问题，要保证教给学生的数学概念、法则、规律是正确的，同时使学生对这些数学概念、法则、规律的理解也是正确的。从信息论的角度来说，在教学过程中，教师传输给学生的教学信息，往往发生变异和损耗。发生的原因，有时是教师教漏了或者教错了；有时是教师教对了，而学生没有理解或理解错了；有时可能两种原因都有。但是一般地说，学生出现错误往往与教师抓不住重点、关键等有关系。例如，在一个班里，教学用两位数乘两位数，学后测试结果，全班学生38人，全对的占39.5％，两部分积算对而未加的占23.7％，两部分积加错的占15.8％，两部分积乘错的占21％。其中大部分错误是由于对乘的顺序和对位的算理不理解而产生的，而这些错误又是与教师教学时算理不突出有密切联系。由此可见，教给学生一个概念或计算法则，不仅概念、法则的叙述是正确的，还要算理清楚，才能保证学生顺利地、正确地理解和掌握。

　　（三）合理地安排教学顺序

　　这一点也很重要。美国心理学家布鲁纳十分强调教学要详细规定所出示的教材的最有效的序列。他认为这样的序列是由多种因素决定的，学生过去的学习基础，发展的阶段，教材的性质和个别差异等。前苏联教育家斯卡特金认为，课程的教学顺序，不仅要以相应的科学的逻辑为根据，而且要以学生形成概念和一般发展的规律性为根据。就小学数学教学来说，就是要把数学知识的逻辑顺序与小学生的认知发展顺序恰当地结合起来。

　　关于小学数学的教学顺序，一般在教材中已经有所安排。但是教材中设计的教学顺序是最基本的，不能太细，教师教学时往往还需要根据教材的内在联系和学生的具体情况做更细致的安排。例如，一位老师教学面积的概念时在教材设计的教学顺序的基础上做了以下几点补充：1.教学面积的意义以后，补充几个图形，让学生识别哪几个是用线段围成的平面图形。2.教学比较长方形面积大小的时候，先让学生把两个不同的长方形纸重叠起来，当学生感到不好比时，再让学生用小正方形分别去量两个长方形的面，说明用这种方法不仅可以找出哪个图形的面积大，而且知道大多少。3.让两个学生用不是同样大的小正方形量同一个长方形的面积，结果得到不同的数量，说明必须用统一的正方形去量，从而引出统一的面积单位。由于教师做了以上的补充，使学生更清楚地理解面积的概念、面积单位的作用和确定统一的面积单位的必要性。当然在补充讲解的内容时，要考虑是十分必要的，防止步骤过于细碎，失去应有坡度，结果不能调动学生学习的积极性，反而浪费时间。

　　有时一部分知识可能有不同的教学顺序，这时要考虑哪种顺序更便于学生理解和掌握。例如，现行教材讲正、反比例，一般是先出正比例概念，然后出用正比例解应用题，再出反比例概念和用反比例解应用题。有的教师改为先教学正、反比例概念，再教学用正、反比例解应用题。这样便于联系对比，使学生加深对概念的理解，加强解应用题时对数量关系的分析和判断，不仅教学效果好，而且减少了教学时间，还为教材的改革提供了实践依据。

　　（四）加强知识间的联系，重视知识的系统化

　　加强知识间的联系对于学生掌握知识的结构具有十分重要的意义。布鲁纳指出，“学习结构就是学习事物是怎样相互关联的。”他还说，“获得的知识，如果没有完满的结构把它联在一起，那是一种多半会被遗忘的知识。”通过知识的联系和系统整理可以使学生所获得的知识在头脑中形成完整的认知结构。

　　小学数学知识的特点是系统性强，前后联系密切。但是由于学生思维发展水平和接受能力的限制，有些知识的教学往往分几节课或分几个学期来完成，这样难免在不同程度上削弱知识间的联系。因此，就更需要有意识地注意知识间的联系和系统化，以便收到良好的教学效果。

　　1.教学后面的新知识，注意与前面有关的旧知识的联系。美国奥苏贝尔认为，在教学过程中学习活动是否有效，主要看新的学习内容能否与学习者认知结构中原有的适当的知识系统建立实质性的联系。因此教学前要及时唤起与当前新知识有关联的旧知识，特别是要抓住新旧知识的连接点。例如，教学三位数的乘法，可以在复习用两位数乘的基础上引导学生类推，着重研究乘数百位上的数怎样去乘被乘数，积的末位应写在什么地方，这样学生很容易掌握，还可节省教学时间。又例如，教学两步应用题，由复习有关的一步应用题开始，使学生容易看到两步应用题与一步应用题的结构有什么不同，在分析数量关系和解答步骤上又有什么联系和不同点，从而较快地掌握两步应用题的分析和解答方法。

　　2.加强某些概念之间或法则之间的联系和比较，可以使学生加深对概念、法则的理解，并且防止混淆。如长方形的周长与面积，通过联系、比较，使学生分别在概念上、计算方法上和使用的计量单位上弄清它们有什么不同点。

　　3.对一些有联系的概念或法则，到一定阶段进行系统的整理，使学生在头脑中建立起知识的网络，形成良好的认知结构。例如，有的教师教过100以内的加减口算，通过复习整理，不仅使学生对所学的口算（25＋3， 25＋8， 25＋30， 38-3， 38-9， 38-20）的计算方法弄得更清楚，而且探讨怎样算得快，简缩思维过程，进一步提高了口算能力。又如教学长方形、正方形、平行四边形、梯形之后，把几种四边形加以整理，使之系统化，可以使学生加深理解每种图形的特征以及图形之间的关系。

三 合理地组织课堂教学

　　优化教学过程，除了优化教学目标和教学内容外，优化教学组织是一个十分重要的方面。教学是通过一定的组织形式来进行的。当前，无论在国内或国外，课堂教学是教学的基本组织形式。要提高小学数学教学质量，从组织课堂教学来看，主要有以下两个问题。

　　（一）选择适当的课堂教学结构

　　课堂教学结构主要是指一节课的组成部分和各组成部分进行的顺序以及时间的分配。一节数学课主要有以下几个组成部分：检查复习，教学新知识，巩固新知识和练习，质疑和研讨，小结本课内容，检查和评价，布置家庭作业等。但是每节数学课不一定包括上述所有的组成部分，可以根据课的主要教学任务，划分课的类型，选择一些必要的组成部分。从优化教学过程考虑，选择课的类型和教学结构要注意以下几点：

　　1.课的类型和教学结构应根据教学目的要求、教学内容和学生具体情况而定，不宜固定化、模式化。

　　前苏联莫罗著《小学数学教学法》中指出，“不可能有据以订出任何课的结构的现成的药方。”不仅是不同教学任务（如以教学新知识为主或以练习为主）的课，它们的结构不可能相同，就是具有相同教学任务的课的结构也不一定都相同。例如，同是教学新知识的课，对低年级学生，需要步子小一些，练习要与教学的新知识点配合得更紧密些，而且要从教师指导下的练习逐步过渡到独立练习。而对高年级学生，教学的步子可以大一些，练习可以集中一些，更放手一些。另外，教学内容的难易，新的教学信息量的多少，也都在不同程度上影响着教学步骤的安排。例如，教学小数的意义的课，新知识点较多，练习可以适当分散与新知识的教学密切配合；而教学小数乘以整数，比较容易理解，教学新知识后可以集中进行练习。

　　2.无论哪一种课都要安排一定的练习。

　　这是数学课的一个重要特点。特别是低年级，要尽量在课堂上多安排一些练习。一年级的练习按照规定要完全在课内进行。这样有助于在教师的指导下提高练习的效果，减轻学生课外作业负担。还要注意复习经常化。有经验的老师注意分散练习不断线，在一节课内以旧知识为基础的技能训练和新知识的巩固、新技能的培养适当配合进行，不仅加强新旧知识的联系，而且促进所学知识技能的巩固和提高。当然，与练习相伴随的就是要重视练习的反馈，根据反馈信息，一方面对有进步的予以鼓励，另一方面对出现的错误及时指导学生改正，从而进一步调动学生学习数学的积极性。

　　3.合理地分配教学时间，并注意节约时间。

　　这不仅是组织课堂教学的一个必要步骤，而且是优化教学过程，提高课堂教学效率的一个重要标准。前苏联教育家巴班斯基谈到优化教学过程的标准，就强调不仅要看教学效果，还要看教师和学生的时间和精力消耗是否是最优值。美国数学教师协会在八十年代《行动计划》中也强调，“教学时间是非常宝贵的，必须合理使用。教师必须按照课的重要性分配教学时间。”由此可见，课堂教学是否优化，不能单看教学效果好不好，还要看教学时间是不是符合规定的标准或低于标准。我国有些教师已经注意到这个问题，如提出“向40分钟要质量”，并且已经积累一些经验。首先要根据目的要求，内容多少，重点难点，学生的条件，以及教学设备等，合理地分配教学时间。其次，要注意节省时间，特别是在讲授新知识时，要抓住重点，不能企图一下讲深讲透。要安排一定的练习时间。通过练习的反馈，再采取必要的讲解或补充练习。再次，要注意尽量安排全班学生的活动，如操作、口算、笔算练习，解应用题等，避免由少数人代替全班学生的思维活动，使大多数学生成为旁观者。要注意在一节课内提高学生的平均做题率。此外，还要注意选择有效的练习方式和收集反馈信息的方式，以便节约教学时间，并能及时发现问题，解决问题。

　　（二）选择适当的教学组织形式

　　上面谈到，课堂教学是教学的基本组织形式。但它并不是唯一的教学组织形式。小学数学教学绝大部分是要在课堂内进行的。但是有些教学内容，如测量，要想收到好的教学效果，就要让学生到操场或校外进行实际观察和测量活动。还有些教学内容，如利息和保险的计算，有的教师组织学生到银行、信用社、保险公司去访问、调查。把数学教学活动社会化，虽然多花一些时间，但是能收到很好的教育效果。

　　即使是课堂教学，教学组织形式也不应是一成不变的。目前课堂教学一般都采取班级授课制，其特点是拉平取齐，按照统一进度教学，容易忽视学生的个别差异，从而不能使每个学生得到充分发展。为了克服这一缺点，现代教学论提出加强分组教学和个别教学。前苏联《小学数学教学法》强调把班级教学、小组教学和个别教学紧密结合起来。美国恩德希尔在《小学数学教学》一书中还设计了一个大组（全班）、小组和个人相结合的教学示意图，（如下图）。

　　近年来我国也有些教师根据本班的具体情况采取适当分组教学。例如，有的教师把全班按照数学水平分为甲、乙、丙3组。对甲组学生鼓励独立学习，在达到大纲要求的基础上适当做一些带有综合性、富有思考性的题目。对乙组学生要求掌握好大纲规定的基础知识和基本技能，对有困难的适当予以帮助。对丙组学生则多加辅导，使他们逐步达到大纲规定的基本要求。这样教学的结果，全班的数学水平得到了整体的提高。由此可见，改进教学组织形式，对于提高教学效率，起着重要的作用。

四 选择适当的教学方法

　　选择合适的教学方法，对于提高课堂教学效率也起着十分重要的作用。巴班斯基认为，“选择对某节课最有效的教学方法，是教学过程最优化的核心问题之一。”近些年来，无论在国外或国内研究新的教学方法很多。怎样选择好呢？下面谈几点看法。

　　（一）要选择有助于调动学生认识活动的积极性和发展能力的教学方法

　　前苏联莫罗著《小学数学教学法》一书中就强调，“对那些促进调动学生认识活动积极性的教学方法要给以更大的注意。”现代教学论认为，学生是学习的主体，教师要发挥主导作用，不再是向学生传授知识，而是为提高学生认识活动的积极性创造条件，培养学生独立的工作能力。具体地说，就是教师要着重创设问题情境，组织学习过程，掌握学习方向，帮助学生探究。要做到这几点，就要慎重地选择教学方法。例如，在小学数学课上，选用讲解、说明等方法，教师的活动较多，而学生的活动较少，就不如采用问答、研讨、探究、引导发现等方法。后几种方法，学生的活动在不同程度上有所增加，能较好地调动学生学习的积极性，并促进学生思维的发展。但是也不能排斥使用讲解、说明等方法。例如，在较高年级教学统计图表的制作方法时就可以使用。现代教学论认为，任何一种教学方法都不是万能的，要根据不同内容、不同年级、不同条件来选择适当的教学方法。义务教育小学数学教学大纲（试用）中也强调，“要根据教学内容和学生的具体情况，灵活运用教学方法，不要生搬硬套。”即使是同一个教学内容，由于班级学生情况不同，教学方法也不一定完全一样。例如，在学生独立活动能力较强的班上，可以更多地放手让学生去探究；而在学生独立活动能力较差的班上，就需要教师多给以启发、引导。有时在一节课内还可以把几种教学方法配合起来，以弥补单一的教学方法的不足。例如，教学长方形面积的计算，可以通过操作，采用引导发现法，然后再辅以教师的概要的讲解。

　　（二）无论采用哪种教学方法，都要重视激发学生的学习动机

　　这是推动学生学习，提高教学效果的重要条件。上面谈到有些教学方法本身就容易调动学生学习的积极性，但是也有激发学习动机的问题。有些教学方法，如讲解法，相对地说在调动学生学习的积极性方面较差，就更需要重视这个问题。另外，在低年级学生学习的自觉性还比较差的情况下，也需要注意不断地激发学生学习的动机。很多教师在这方面积累了不少经验。例如，说明学习新知识的目的，通过直观激发学习兴趣，创设情境引起学生思考，精心设疑促使学生探究等。

　　（三）无论采用哪种教学方法，都要遵循儿童认知规律

　　前面研究教学目标时谈到了儿童认知规律。在选用教学方法时也要认真考虑这个问题。这是提高教学效果的一个重要方面。按照这一规律，教学某些内容时要组织学生进行适当的操作。特别是遇到数学知识比较抽象，而学生又缺少感性经验的时候，更要注意通过操作，给学生建立表象，激发学生思考，促进对抽象的概念、法则的理解。例如，教学20以内的进位加法，要通过操作使学生掌握凑十的方法。教学长方形、正方形的认识时，要通过实际量它们的边长，用三角板的直角比量它们的角，并且进行一些拼、摆活动，来认识它们的特征。教学简单应用题时，也可以通过操作来分析数量关系。例如下图，通过摆学具，使学生理解白圆片比黑圆片多，白圆片可以分成两部分，一部分是跟黑圆片同样多的，另一部分是比黑圆片多的；从 8个白圆片里去掉跟黑圆片同样多的5个，剩下的3个就是比黑圆片多的，所以要用减法计算。不仅在低年级要注意操作，在高年级教学一些抽象难理解的知识，如质数、合数、分解质因数、最大公约数、最小公倍数，也要重视操作。为了提高教学效果，进行操作时要注意以下几点：

　　1.要选择最容易揭示所学概念或法则本质特征的学具，使学生操作简便省时。课前要设计好操作的步骤。

　　2.进行操作要同思维和言语表达紧密结合起来。例如，教学34+2和34+20，要通过摆小棒，引导学生思考，从整捆的和整捆的相加，单根和单根的相加，抽象概括出要几个十和几个十相加，几个一和几个一相加。如果只用操作来验证一下计算的结果是不是正确，那就失掉操作的重要意义。但是也要明确这样一点，操作、直观是认识概念和理解法则的手段，教学时要注意逐步脱离操作、直观，以利于发展学生的抽象思维能力。

　　3.重视操作、直观，并不意味着教学任何内容都从操作、直观开始。有些新知识学生可以在已学的基础上类推的，就要引导学生应用已学的知识迁移类推。

　　（四）无论采用哪种教学方法，都要注意启发学生思考，有计划有步骤地培养学生逻辑思维能力

　　这是有效教学的一个重要目标。另外，在教学中处理好知识和能力的关系，学生的思维得到发展，学会思考问题，就为进一步顺利地学习新知识创造了有利的条件。选用好的教学方法可以促进学生思维的发展，但是还需要教师在有计划有步骤地发展学生思维方面做出努力。为了顺利而有效地发展学生思维，以下几点值得注意：

　　1.发展思维、培养能力，要贯穿在全部教学过程中。义务教育小学数学教学大纲（试行）强调要“贯穿在各年级教学的始终。”就是说每节课每个环节都要考虑如何发展学生思维。

　　2.紧密结合教学内容来发展思维能力。为此，教学每一个概念、法则、应用题时都要分析其发展思维的有利因素，根据其特点有侧重地发展思维的某些方面。例如，结合教学100以内的数，加、减、乘、除法的意义，可以侧重培养学生初步的抽象、概括能力；结合两位数加、减一位数的口算，两位数乘法的笔算以及应用题的教学，可以侧重培养学生初步的分析、推理能力；结合运算定律的教学，可以侧重培养学生初步的判断和归纳、演绎推理能力。还可以结合一些内容教给学生一些常用的思考方法。例如，结合除数是小数的除法可以教学转化的思考方法，即把新知识转化为已学的旧知识；结合计算和应用题的解答教给学生检验的方法等。

　　3.适应学生思维发展的年龄特点，重视思维过程。小学生正处在从具体形象思维向抽象逻辑思维逐步过渡的阶段。不同年龄的学生有其不同的思维特点，教学时要根据学生思维发展特点有意识有计划地培养思维能力，才能收到良好的效果。例如，低年级学生年龄小，生活经验少，具体形象思维仍占优势，抽象思维能力还很弱，往往不能分出事物的本质特征，解答应用题时往往不能说出自己是怎么想的，或者不能完整地表述解题思路。教学时就要多结合操作、直观，提出启发性问题，引导学生一步一步地分析、比较，找出规律性知识或解题的方法。学生有时不会正确地表述，教师要适当给以帮助，解答应用题时要教给学生分析解题的思路。课堂上要多给学生叙述自己思考过程的机会。还可以组织学生分组说，通过互相说给同学听，便于培养学生检查和调节自己思维的能力，从而使思维和言语表达能力得到较快的发展。随着年级的增高，学生抽象思维的发展，可以更多地放手让学生独立思考，互相评价，发表不同意见，活跃思路，并且注意培养学生有条理有根据地思维。例如，中年级教学x＋5=12，学生算出“x=12-5，x=7”以后，可以提问，“你根据什么这样算？”教学25×13×4，要求学生不仅能说出简便算法，还要能说出根据。还要注意学生判断的逻辑严密性。例如，高年级教学约数和倍数时可以提问，“12能被3整除，我们就说12是倍数，3是约数。这个判断对不对？”学生回答后要说明理由。总之，教学时要重视学生的思维过程，但是又要根据学生的年龄特点提出不同的要求，逐步提高学生的思维能力。

　　4.重视思维品质的培养。这也是发展学生思维能力的一个重要方面。巴班斯基研究证明，思维品质与思维能力有很高的相关度。良好的思维品质对于培养创造型人才打好基础起着重要的作用。学生思维敏捷、灵活等也是课堂教学效率高的一个重要标志。义务教育小学数学教学大纲（试用）明确提出了这方面的要求。

　　思维的敏捷性从低年级起就要注意培养。如教学口算时要逐步提出适当的速度要求。教给学生一种计算方法，经过一定练习后要引导学生简缩思维过程，以便于进一步提高计算的速度。例如，教9加几、8加几后，可以引导学生观察、比较，找出得数与第二个加数有什么变化规律，在此基础上想一想怎样能很快算出得数。培养思维敏捷性，要注意要求适当，向学生提问要留给学生思考的时间，不能使学生过分紧张。

　　思维的灵活性也要从低年级起有意识地加以培养。可以采取以下一些途径：（1）对于一些有联系又有区别的知识，可以加强对比练习和混合练习。例如，加强两位数加、减一位数和整十数的对比练习，使学生能够随着数目和运算符号的变化迅速地确定解题的方向。（2）加强变式练习，既可加深学生对概念、法则的正确理解，又有助于培养学生思维的灵活性。例如，低年级教学长方形的认识，要出现摆放的位置不同的长方形；中年级教学分数的初步认识，要有把不同的图形平均分成几份的情况，还要有一些不均分的情况。（3）引导学生探寻规律的练习，如低年级让学生找出加法表、减法表、100以内数目表的排列规律，有助于培养学生从一个角度迅速转向另一个角度观察、分析问题的能力。（4）鼓励学生想出不同的解题方法。如教学20以内退位减法时，教师教给某一种计算方法，同时也鼓励学生说出或使用自己的算法。有些应用题，鼓励学生想出不同的解法，并且比较哪种简便。有些题还可以让学生找出多个答案，如5＋（）＜9。这些练习在不同程度上具有发散思维的成分，不仅有助于培养学生思维的灵活性，还培养了学生思维的创造性。但是教学时要注意把发散思维与集中思维恰当地结合起来，不必要求学生举全，而要弄清和掌握基本的、简便的方法，否则会浪费时间，反而得不到好的教学效果。

　　（五）选择教学方法要注意适应面向全体和因材施教的不同需要

　　巴班斯基指出，教学效果最优化的第一个标准，是每个学生在该时期内的学生成绩、教育和发展程度上，达到实际可能达到的水平。这就是说，要使每个学生都得到充分的发展。但是学生之间是存在着差异的，要达到上述要求，除了前边谈到教学目标定得适当，教学组织形式选得合适外，还要考虑选择适当的教学方法。因为学生间的差异是多方面的，不仅有生活经验和数学基础的差异，还有智力、认知方式以及性格等的差异，所以，教学方法也不能千篇一律。当面向全体进行教学时要根据大多数学生水平选择教学方法，而因材施教时就要针对不同学生的特点选择适当的教学方法。如对后进生要更多地运用操作、直观帮助他们理解新知识，一般不能采用独立活动强的教学方法。进行练习时也要多加检查与辅导。但是对于独立思考差的依赖型的学生，也要注意适当引导学生学习独立思考，避免都直接告诉学生怎样想，怎样做，以便逐步提高他们的学习能力。对于数学基础较好和思维能力较强的学生，则要更多地放手，不断提高他们独立思考和学习的能力。

五 积极创设良好的教学条件

　　创设良好的教学条件，是提高教学效率必不可少的因素之一。

　　（一）创设良好的物质条件

　　巴班斯基认为，“创设必要的教学物质基础，显然是有效地和高质量地发挥教学教育过程作用的条件。”特别是使用教具、学具、电化教学手段，不仅增加学生的感性经验，有助于理解和巩固所学的概念、法则，而且激发学生思考，提高学生学习的兴趣。研究表明，只采用教师口授学生耳听，教学后3小时能记得60％，教学后3天能记得15％；而采用视、听结合的方法，教学后3小时能记得91％，教学后 3天能记得 75％。由此可以看出教学效果有显著的差异。如果增加学生的亲手操作，由于多种感官参加活动，教学效果更好。义务教育小学数学教学大纲（试用）特别强调 “在教学中要重视运用教具、学具和电化教学手段。”为了创造良好的物质条件，教学时一方面充分利用学校已有的教学设备，如挂图、教具、投影仪等，另一方面要注意根据教学内容，收集和制作一些必要的教具、学具、幻灯片等。提倡就地取材，利用废物，尽量少花钱，讲实效。有条件的学校还可以适当利用计算机进行辅助教学。

　　（二）创设良好的精神心理条件

　　这是提高课堂教学效率的一个很重要的条件。近年来现代教学论、教育心理学以及教育社会学都重视这方面的研究。过去研究教学过程往往看重在认识活动方面，即研究它的认识功能。实际上教学过程还有其社会功能。从社会学的观点看，一个班就是一个小社会。因此，教学过程有两个侧面：一个是与掌握学习内容有关的主体活动（认识活动）过程，另一个是与掌握学习内容有关的社会活动（人际交往）过程。教学过程中的人际交往是多方面的，多层次的。一般可分为师生间的交往和学生间的交往两种。

　　1.师生间的交往

　　师生间的交往包括教师与学生群体的交往和教师与学生个体的交往。从社会学的观点看，教师是学生个体社会化的承担者，要使学生的身心朝着与社会要求相一致的方向发展。结合小学数学教学来看，要使上述要求得到顺利的发展，有以下几点值得注意：

　　（1）教师要有正确的导向。在教学过程中教师要发挥主导作用，不仅在智育方面有正确导向，使学生获得大纲中规定的数学基础知识和数学基本技能，发展智力，培养能力，而且要注意培养良好的思想品德和学习习惯。

　　（2）建立良好的师生关系。在课堂教学中，要让学生学好数学，创设良好的精神心理气氛，使学生在轻松愉快的环境中学习非常重要。这就要求教师重视处理好师生间关系。首先是教师要树立良好的人格，如热情、和蔼、诚实、谦逊、守信等，使学生对教师产生信任感。其次要热爱学生，尊重学生，耐心帮助学生，对学生以朋友相待。特别是对一些后进生、回答错误或作业中出现错误的学生，要注意提高他们的自尊心和自信心。第三要正确运用评价手段。评价公正是非常重要的。对学生一次评价不公正往往会打击学生学习数学的积极性，降低学生学习数学的兴趣，同时还会丧失教师的威信。此外还应注意评价的时机要适当，评价的场合要适宜，评价的方式要合适，评价的强度要适中。

　　（3）采用合理的控制方式。从社会学的观点来看，教师对学生的教学工作是一种社会控制。控制的方式可以有两种：一种是显形控制方式，即直接向学生提出明确要求，明言规定不准做什么，往往采用批评、指责等方法来处理出现的问题。另一种是隐形控制方式，即用间接引导、诱发学生的学习积极性的活动，如提问、组织比赛等来限制和消灭某些不良的习惯或活动，并且多采用鼓励、表扬等方法。有经验的教师往往采取两者相结合的方式，收到较好的教学效果。例如，一位教师对一个原来数学基础较差而学习数学不够认真的学生，一方面提出要求，另一方面发现有进步就给以表扬，使这个学生逐步提高学习数学的自信心，达到了中等水平。另一位教师对一个数学基础较差的学生，虽然注意给以辅导，但是往往不耐心，有时甚至加以训斥，结果使得这个学生上数学课心情紧张，丧失学好数学的信心，以致成绩反而下降。

　　2.学生间的交往

　　课堂教学是师生共同的集体活动，不断地进行着频繁的信息交流活动，不仅教师和学生之间在交流，学生与学生之间也在交流，其中包括学生个体与学生个体间的交流和学生个体与学生集体间的交流。传统的课堂教学不重视学生相互间的交流，致使课堂的气氛沉闷，学生的思维的积极性不能充分发挥。实验研究表明，加强小组活动，有助于在学生之间增加交往、沟通，为学生提供更多的参与机会；通过小组讨论，互相启发，可以把个人独立思考的成果转化为全组共同的认识成果；通过组内帮助，往往可以纠正教师无法一一纠正的错误；通过小组活动还有助于培养学生参与、尊重他人、合作等社会意识，自我观察、监督、控制、评价等自我意识，理解、表达、协作等社会能力，以及友谊感、集体荣誉感等社会情感。总之，通过加强学生间的交往，使全班学生为一个共同目标互相协作，互相帮助，互相影响，才能把班级组成一个有效的学习集体，从而普遍地提高学生的学习成绩，并有效地提高学生的社会化水平。

　　近年来我国有些教师在小学数学课上注意加强学生间的交往，适当安排一些小组活动，如操作、实验、讨论、质疑释疑等，收到较好的效果。还有的教研人员在这方面进行专门研究，在一些学校的数学课上进行人际交往的实验，也初步收到较好的效果，促进了课堂教学效率的提高。

六 重视数学教学评价

　　教学评价是教学过程中的一个必不可少的组成部分。它调节、控制着整个教学过程，使教学能朝着预定的目标前进，最终达到教学目标。

　　教学评价的范围较广：狭义的只限于学生学习效果的评价，广义的还包括教师教学质量的评价和课程、教材的评价。从优化教学过程来看，至少要进行前两方面的评价。而这两方面又有密切的联系。

　　（一）教师教学质量的评价

　　过去比较重视学生学习结果的评价，而对教师教学质量的评价往往有所忽视。实际上，在教学过程中，教师起着重要作用，学生的学习动机、学习方法以及学习效果，都与教师的课堂教学质量有密切的关系。因此，通过教师教学质量的评价，可以使教师了解课堂教学的水平、优缺点、实现教学目标的程度，为进一步改进教学提供依据。近几年我国已有一些地区开始制订小学数学教学课堂教学质量的评价标准，这对优化教学过程，提高小学数学教学质量能起一定的促进作用。

　　制订正确的评价标准是十分重要的，它起着导向的作用。要以现代教学论、教育心理学、教育社会学理论作指导，还要结合数学学科的特点，使它切实有利于促进小学数学教学效率的提高。根据一些教学评价专家的看法，可着重在以下几个项目进行评价：

　　1.课堂教学的各个环节是否适当：其中包括目的要求是否全面、适当；教学内容的科学性和教学顺序是否合适；教学方法是否适当并充分调动学生学习的积极性；教学组织是否合适，是否处理好面向全体和因材施教的关系；教师的教态以及和学生的关系如何，是否创设良好的课堂学习气氛等。

　　2.教学的效果如何：其中包括达到目的要求到什么程度；多少学生掌握所学的数学基础知识和基本技能；学生的能力发展如何；学生学习数学的兴趣是否增加等。

　　3.教学的效率如何：其中包括时间的分配是否适当，有无时间浪费；学生的作业量如何，有无增加学生课外负担；教学活动是不是低成本的等。

　　评价时要有一些量化材料来说明。评价可以由同事、领导来做，还可以让学生参加评价。但是更多的课还是由教师自己评价。因此，不断提高教师自我评价的能力是非常重要的。

　　（二）学生学习结果的评价

　　评价学生学习数学的结果，主要有两方面作用：一是使教师了解学生学习数学已取得的成绩和存在的问题，作为改进以后教学的参考。二是评定学生在一定阶段完了，掌握数学知识的程度和能力发展水平，便于学生、家长或其他人员了解学习的进步情况。

　　对学生学习数学结果的评价与考试的意义不完全相同。考试只是评价的方式之一，此外还可以采用平时观察、学生作业记录、平时考查（或单元练习）、交谈等方式。另外评价的范围也比考试的范围广，不仅重视认知方面，还重视情感（如对学习数学的兴趣）、操作技能等方面。如何做好学生学习数学结果的评价，目前还是一个有待研究、探讨的问题。从优化教学过程，提高小学数学教学效率来看，提出以下几点意见，供参考。

　　1.注意全面评价：不仅考查数学基础知识，还要适当考查能力，注意评价数学教学对学生思想品德和良好学习习惯的培养方面的作用和影响，学生学习数学的兴趣是否有所提高。

　　2.考查方式多样化，义务教育小学数学教学大纲（试用）提出，除笔试外，还可以口试，实际操作，还可以根据内容、目的要求，采取分项考查。例如，口算不仅要考查计算正确，还要注意速度。而考查测量、画图、制作统计图表就要实际操作。

　　3.严格按照大纲的要求：考查时不能超过或低于大纲的教学要求。但是大纲中的教学要求是就一学年讲的，因此不能设想几节课或单元末就都达到规定的教学要求。特别是有些后进生基础差，难免理解和掌握慢一些，要使学生逐步达到规定的教学要求。在评价时要考虑到这一点。

　　4.重视平时考查和学前评估：平时考查也可以说是形成性评价，主要目的在于了解学生每个单元或阶段掌握所学数学知识的情况，及时发现问题，及时解决。而学前评估带有诊断性，着重了解教学某部分知识前学生已有的基础、达到的水平和缺陷，使教学时更有针对性，从而进行更为有效的教学。是否进行学前评估要根据内容和需要来定，有时可以结合复习来进行。

　　5.重视学习结果的分析：这无论对教师或者对学生，都很重要。分析成绩好的原因，可以巩固已有的好经验；分析出现错误的原因，以便找出改进的适当途径。不仅教师进行分析，还要鼓励学生参加分析，从而增进学生自我了解的能力。教师宜以鼓励为主，指出学生的进步情况，同时指出努力的方向，以调动学生学习的积极性，提高学生学习数学的自信心，避免使学生感到挫折、焦虑。按分数多少排名次的办法，从教育学、心理学的角度说，有损一些学生的自尊心，而且过分强调竞争，还容易导致集体道德的削弱或破坏，不宜采用。