小学数学创新教学论文

真诚天下

数学建模与小学数学研究性学习
数学建模与小学数学研究性学习
   

仓定志
一、问题的提出?
1、建立数学模型是数学教学本质特征的反映。?
数学模型是对客观事物的一般关系的反映，也是人们以数学方式认识具体事物、描述客观现象的最基本的形式。例如，工程问题的基本模型是：工作量＝工作效率× 时间。在具体问题解决时，需要对这个模型进行一次构建还是多次构建的问题。通过分析、比较、判断、推理等思维活动，来探究、挖掘具体事物的本质及关系，而最终以符号、模型等方式将其中的规律揭示出来，使复杂的问题本质化、简洁化，甚至将其一般化，使某类问题的解决有了共同的程序和方法。因此，数学模型可以有效地反映思维的过程，是将思维过程用语言符号外化的结果。显然，学生对数模型的理解、把握与构建的能力，在很大程度上反映了他的数学思维能力、数学观念和意识。?
2、建立数学模型是数学学习的重要任务。?
新的数学课程标准在学习内容上，安排了“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”
“实践与综合应用”四块学习领域，强调学生的数学活动，发展学生的数感、符号感、空间
观念、以及应用意识与推理的能力。这些内容中最重要的部分，就是数学模型。在小学阶段
，数学模型的表现形式为一系列的概系统、算法系统、关系、定律、公理系统等。可以这样
说，学生学习知识的过程，实际上是对一系列数学模型的理解、把握的过程。?
3、建立数学模型是数学研究性学习的有效形式。?
传统教学重视纯知识的教学，忽视能力的培养；重视书本知识和技能的训练，忽视社会实践能力的培养；重视学科课程的教学，忽视活动课程的开发；学生所学知识与实际应用之间严重脱节，对问题解决的方法习惯于单一化，灵活性多样性不够，对复杂的变化因素不能够准确深刻地把握，抑制思维，不利于培养创新精神和实践能力。?
数学模型是数学基础知识与数学应用之间的桥梁，建立和处理数学模型的过程，就是将数学理论知识应用于实际问题的过程。在建立模型，形成新的数学知识的过程中，学生能更加体会到数学与大自然和社会的联系，让学生从现实问题情景中学数学、做数学、用数学。只有这样，数学教学中的“问题解决”才有了相应的环境与氛围。建立数学模型，研究数学模型，正是问题解决过程中的中心环节，是决定问题解决程度如何的关键。?
二、数学建模的概念，原则及基本步骤?
1、概念?
数学模型是针对参照某种事物系统的特征或数量依存关系，采用数学语言，概括地或近拟地表述出的一种数学结构，这种数学结构是借助于数学符号刻划出来的某种系统的纯关系结构。从广义理解，数学模型包括数学中的各种概念，各种公式和各种理论。因为它们都是由现实世界的原型抽象出来的，从这意义上讲，整个数学也可以说是一门关于数学模型的科学。从狭义理解，数学模型只指那些反映了特定问题或特定的具体事物系统的数学关系结构，这个意义上也可理解为联系一个系统中各变量间内的关系的数学表达。?
而数学建模就是建立数学模型来解决问题的方法。首先要建立一个原型的数学模型，然后用对模型的研究来揭示原型的特征和规律。当然数学建模不限于解决实际问题，也用来理论问题。?
2、数学模型法的基本原则?
(1)简化原则——现实世界的原型都是具有多因素、多变量、多层次的比较复杂的系统，对原型进行一定的简化即抓住主要矛盾，数学模型应比原型简化，数学模型自身也应是“最简单”的。?
(2)可推导原则——由数学模型的研究可以推导出一些确定的结果，如果建立的数学模型在数学上是不可推导的，得不到确定的可以应用于原型的结果，这个数学模型就是无意义的。?
(3)反映性原则——数学模型实际上是人对现实世界的一种反映形式，因此数学模型和现实世界的原型就应有一定的“相似性”，抓住与原型相似的数学表达式或数学理论就是建立数学模型的关键性技巧。数学型和现实世界的关系如下图：
3、建立数学模型的基本步骤?
用数学模型法解决最重要的就是建立适合问题的数这模型。有以下几个基本步骤：
(1)提出问题并用准确的语言加以表述；?
(2)分析各种因素，作出理论假设；?
(3)建立数学模型；?
(4)按数学模型进行数学推导，得出有意义的数学结果；?
(5)对数学结论进行分析。若符合要求，可以将数学模型进行一般化和体系化按此解决问题若不符合，则进一步探讨，修改假设，重建模型，直止符合要求为止；?
(6)优化。对一个问题的假设和数学模型不断加以修改，进行最优化处理。因为对一个问题或一类问题也可能有几个模型，以对它们要进行比较，直到找到最优模型。???
   三、利用数学建模开展研究性学习?
1、在面向全体，在学科教学中渗透。?
数学教学 活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上，使数学教育面向全体学生，让学生成为学习的主体，教师成为活动的组织者、引导者和全作者，激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能，数学思想和方法，获得广泛的数学活动经验。例如在教学“平行四边形面积计算公式”一课时，抓住平行四边形与长方形的联系，建立“数方格”和“公式”算面积的方法，利用“公式”算面积的方法可建立如下模型：??
以上六种解法都能将平行四边形转化成长方形，但前四种解法方法简便，第①种解法最容易
使学生理清长方形和平行四边形的各种联系，从“长方形的面积＝长×宽”中，推导出“平
行四边形的面积＝“平行四边形的面积＝底×高”。?
2、因材施教，在活动课程中提高。?
数学学习的内容是现实的、有意义的、富有挑战性的，由于学生所处的文化环境、家庭背景和自身思维方式的不同，学生的学习活动应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程，动手实践自主探索和合作交流是学生学习的重要方式。例如，在学习“按比例分分配应用题”和“统计图表”后，让学生利用假日去调查生产、生活中一些事物的分布情况，作为假日小队的小课题研究内容。同学们分组深入医院、宾馆、街头、工地、厂房、车间……，通过调查、访问、咨询、实验，收集数据，统计分析，形成一份份有价值的调查报告，例如：“剧场路交通整治的策略”、“小洋河污水形成的原因”、“光明药店劣质药品剖析”、“城市110的作用”等。?
在利用数学建模进行教学 的过程中，要引导学生通过数学活动了解数学与生活的广泛联系，引导学生从不同的角度发现实际问题中所包含的丰富的数学信息，探索多种解决问题的方法。经“问题情境——建立模型——解释应用与拓展”过程，学会综合运用所学知识和方法解决简单的实际问题，获得运用数学解决问题的思考方法，并能与他人进行合作交流，同时兼顾让不同的学生获得不同的体验和发展，鼓励解决问题策略的多样色，满足多样化的学习需要。

真诚天下

人教版一册《数学》新教材实施中的体会、做法和思考
人教版一册《数学》新教材实施中的体会、做法和思考   


桐乡市茅盾实验小学      郑惠强
作为一名新教师，能够进入桐乡市提前一轮的新课程改革，无疑是幸运的。在实验过程中，我们发现：新教材在理念、体系、形式和内容等诸多方面都有了巨大的转变，体现了时代发展的要求和素质教育的宗旨，但新与旧之间总会产生摩擦与碰撞，新教材在带来新理念、新思维的同时，给小学课堂也是一次强烈的震撼，我们实施新教材的教师面临着更大的机遇和挑战。
一、新教材使用体会。
一年新课程实施下来，我觉得人教版新教材有如下一些显著的特点：
1、重视与学生生活情境的同步，根据学生的年龄特点、已有生活经验设计活动和教学内容。标准认为：数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。针对这一理念，新教材克服了过去课程繁、难、偏、旧的现象，使数学教学内容具有时代性，体现了密切联系学生生活实际，关注学生学习兴趣和经验，重视培养学生对数学学习的情感和态度。如教材第6页《比一比》是以小猪帮小兔盖房子的有趣故事引入，既符合学生的身心特点，而且有意识地将数学和其他学科紧密整合，极大的激发了学趣。再如教材96页《9加几》主题图，色彩明丽且极贴近学生自身的体验，学生在学习相对比较枯燥的“9加几”内容时，因为仍沉静在校运会夺奖牌的喜悦中所以就焕发出了亢奋的精神状态，使学生变得更加生动、活泼。最大的一个方面还表现在把贴近学生生活的《钟表》从第5册带到了第1册，是一种生活的需要。
    2、重视解决问题的策略多样，允许学生发扬个性。一年级上册教材中的例题或练习题很多都能现了开放性的特点，以利于学生尽快形成探索性学习方式。如本册第9页的例题，学生在探究比的方法时，可以从多种角度思考问题，学生的汇报令教师满意： “对折之后再比”的方法；借助第三者进行比较；一端对齐的方法；两端都不对齐的方法；数格子的方法；尺子量的方法……使学生了解同一问题可以有不同的解决办法。再如第28页《练习三》第9题用数学的“涂圆形”主题图，是一道开放式的练习题，通过让学生观察情景图，可以表现出不同的学生所提的问题及解决问题的方法的不同，体现了答案的不惟一性（相对老教材中4-3 =（  ）的设计思考空间更大）。这样的设计，容易激发学生的探索精神，发展了创新意识。
3、重视情感的熏染，达到“以情激情”。新的课程改革在目标的定位上，从“平面”转向了“三维”，呼唤教师们在考虑知识和技能目标的同时，要注重学生的情感，并且以自己的情感去感染学生。具体表现：首先应把“情感教学”吸纳进我们的数学课堂，多为学生创设“情”境，用动情的态势语、口头语和书面语去撞击他们的情怀，从而使学生真正体验到学习数学的乐趣，在师生之间架起一座情感的桥梁。如在教学《0的含义》时，让学生自己说“0”表示什么？有的说，“0”表示什么也没有；也有的说“0”表示起点……。我发现学生的情绪很高涨，就又创设了这样一个情境：把投影开启，屏幕上出现了“10、9、8、7……1、0” 倒记时的画面，学生跟着一起数，这样的动态呈现，为教师的质疑奠定了基础，我以写满不解的表情设疑：“这个0又是表示什么意思呢？”在这样特定基点的感染下，学生尝到了自己解决问题的愉悦，乐在其中。
4、重视图形的认识，发展空间观念。如教材32——41页《认识物体和图形》应为学生提供大量的学习素材，由浅及深，在观察、操作活动中，运用说一说、摸一摸、拼一拼、搭一搭、玩一玩、猜一猜等“十二聪明法”，建立初步的空间观念和感知图形的特点，而不是用一些概括性的语言硬塞给学生，把学生当“罐子” 使。
5、重视运用意识的培养，培养解决问题的能力。人教版第一册新教材在教学内容的安排上的另一个显著特点是安排了“用数学”的内容，在呈现方式上也由过去的文字形式转变成图画形式，培养学生自行获取有价值信息的能力。
6、重视思维训练，实现不同的人有不同的发展。思维的激荡也是新教材的一个特点（当然也不能走向另一个极端），学生对一个问题必须作出自己的思考，“跳一跳” 才能获得。如11页《公鸡鸭子图》、12页《蛇鄂鱼图》、90页《袋鼠图》、94页《过1小时是几时》……都需要学生有一定的思考才能作出决策，在活动中激发学生迸发思维的火花，从而培养良好的思维品质。
7、重视思品教育，完善学生人格。教材在设计例题和习题时，有意识的将一些具有现实教育意义和符合儿童特点的素材写进教材，如18页《购票图》渗透按秩序排队、讲文明的思品教育；59 页《连线题》渗透遵守交通规则、尊老的思品教育；67页《火箭图》渗透热爱科学、长大为国争光的思品教育；91页《主题图》渗透按时起床、上学的思品教育；99页《蚂蚁图》渗透团结就是力量的思品教育……这些素材学生感兴趣、易理解、易接受，在学习数学的同时品德、品行也在逐步完善。
二、实施中的一些做法。
内容丰富、素材新颖的同时，我们也应看到挑战，尤其是对教师的挑战，因为我们的教师也是教材的开发者。在实验过程中，我们有意识的将一些课标的新理念落实到自己的课堂，具体表现在：
1、创造性的使用教材，竭力从“教教材”转向“用教材”。这里我想引用《嘉兴第一期新课程实验》王晓红教研员关于新教材来了教师们的三种态度：a、“换汤不换药”。b、没有必要仔细研究，上级部门的事。c、来了再说，边教边学吧。显然这些老师的课程意识是淡薄的。
①改编情境。在教《减法的认识》的时候做了适当的调整。考虑到教材在引出“—”号时，所创设的情境与“加法的认识”一课雷同，因此我设计了“猪八戒吃西瓜”（教材74页情境图）的情境，先让学生深情地编编小故事，再引出学生早已熟悉的“—”号，我看学生好像根本“瞧不起”这个“—”号，就又带着疑惑的口气问道：“减号到底有什么本领？什么时候派上用场呢？” “一波未平，一波又起”，就这样在“角色的互换”中，我和学生融为了一体，一起探究着“数学的奥妙”，这样的情境学生非常喜欢。在举《0的认识》一例，课本呈现的主题图虽然直观、形象，但是我觉得仍不够生动，于是我把语文课中的小猫钓鱼情境带进课堂，力求感知、加深体验。

②教材重组。如《认识钟表》第一课时，转变传统的“至上而下”的做法，从学生的已有生活经验出发，先让学生尝试读时刻，再让学生通过自评、互评，逐步达到完善，而不是无视学生的现状（指学生的此年龄段的特点），教学生说一些不符年龄特点、概括性极强的“套话”（分针指着12，时针指着几就是几时。）教材重组小到这样一节课，大到整册教材（因为我们的课不能只仅仅停留在一节课上，还要注意前后的联系）。如82页《数学乐园》中的数学活动，都极具趣味性，学生怎能在这一课时中“尽兴”呢？所以我把这些活动都有意识的适当挪前，把他们细化到每一节新课教学内容中，而真正要上《数学乐园》时，我把重点放在了让学生玩“投掷游戏”，因为这一个活动中所隐藏的内涵是无穷的，这样一来平时的课和活动课风格就会相似，学生的兴趣培养也会“细水长流”。
③生活联系。学生、老师的生活经历都可以带进课堂，使学生感受到数学就在身边，数学无处不在。如我在教学《第几》的时候，由于学生熟悉了教材18页《全家福》，且有了对“第几”的初步认识，我就又拿出了我学生时代的照片，让他们找找我在第几排的第几个？学生很新鲜，甚至连我也好像回到了童年时代，思维的碰撞和情感的激荡，使我们都得到了升华。如111页这是第一次出现统计表，课前我随机抽了5名学生来进行了解，有近一半的学生说不清或是不会说，所以有必要让学生看懂这个表，另一方面，教材把这部分内容（5、4、3、2加几）安排了三个课时进行教学，所以本堂课“巩固和综合练习”就成了教学的重点。教材切口很小（只是进位加法巩固的一个实际例子），但是里面的学问却很大，我在教学时，把这个表作为了一课时的内容进行教学，旨在让学生体验和经历数据的整理和收集过程，从而获得初步的统计知识。再如114页《我们的校园》我安排了2课时进行教学，第二课时是联系学生的实际涂一年级各班运动会上获奖牌的情况，学生兴致昂然。
2、自助餐式的资料使用，竭力“以学生为本组织引导”。教师使用资料好比自助餐，自助餐十分丰富，顾客才能选择到最适合自己口味和消化功能及有利于身体健康的食物。教师使用资料越丰富，那么，根据学生实际情况的不同，教师才能作出相应的对策，选择到适合学生认识规律的资料使课堂教学收到理想效果。所以有必要有“一课多案”的尝试。
如第二册《找规律》一课，我不仅创造性的改编了教材，而且设计了很多种导入方法。教学时我先出示“桐乡地方特色的蓝印花布情景”，让学生仔细观察，然后谈想法，学生有的说：发现长短、发现可以分类、发现花纹有些乱有些不乱、发现颜色等直观感受……学生每一个发言都是精彩的，教师完全可以根据学生实际设计教学，而不是“刚性”的去约束他们。
3、学习方式的转变，竭力培养合作、交流、倾听的习惯。新教材努力体现自主探索、合作交流的学习方式。例如，例题、做一做等的插图，大都展现了小组活动、合作学习的学习方式，提示教师要组织学生动手实践、自主探索、合作交流，要不断创设有意义的问题情境或数学活动，激励每一个学生自己去探索数学，独立思考，并会产生与同伴交流的愿望，达到获得知识、发展能力的目的。当然合作交流的同时，学会倾听也是一种本领，如《9加几》学生在交流算法之后，教师有必要问问学生“你听懂了吗？”，而不是把算法硬塞给学生，让学生充当教师的角色，把“教”的权利给学生，势必需要学生也去听其他同学的发言，或同意或反驳。
4、评价激励机制的运用，竭力树立自信、体验成功。新课程标准提倡评价目标多元、方法多样，因此在对学生的作业进行评价时，教师要多动脑筋，做到以定性为主。我采用的是“五星式”和“图画式”相结合的方法，所谓“五星式”是指“一星、二星、三星、四星、五星”的评价方式。有一次，我给思考方法特别的学生打上了“五星”，以后有很多学生跑来，得意地对我说：老师我也想了很多方法，望着这般认真的学生，我又一次情不自禁地打上了“五星”，还画上了一张笑脸（这就是我的图画式评价）。见到了老师的笑脸，学生怎能不流露出雀跃的神情呢？当然学生也有遗漏作业的时候，那时我会画上一张哭丧的脸，眼泪哗啦哗啦地流着，仿佛在说：“你怎么把我给忘了？”学生看看老师“哭”了，也有点心疼，决心下次一定改好，这样的评价真是“此时无声胜有声”啊！当然低年级学生的评价一般要以定性为主，评价时不但要肯定其闪光点，而且教师也要明确学生今后努力的方向。
5、“关注”的两个转变，竭力展示过程、激发情感。新课程改革的核心理念是“一切为了每一位学生的发展”。因此新课程中的教学行为应从对“教”的关注转向对“学”的关注，从对“学”的关注进一步转向对“人”的关注，也即不仅重视教，更应关注学；不仅重视学，更应关注人，更多关注人的全面发展、主动发展、充分发展和个性发展。
①关注学生的学习的过程。教师“精打细算”式的教学带来的不良后果是：只重视“结论”而轻视“过程”，学习所得的知识也只不过是一些符号和数字的堆砌。如《分类》的教学，是极具操作性的学习内容，引导学生在过程的体验种初步感知分类的意义，学会分类的方法。因此我设计了将商品进行分类的实践活动，然后小组交流分的方法，只要讲的有道理、有说服力都行。当然过程的体验势必会削弱学习的效果，所以充分展示学习过程是过程体验之后必不可少的环节，教师要充分发现、挖掘学生的成果，将其展示，以达到“明朗化”的目的。
②关注学生的情感。布鲁纳说：学习最好的刺激乃是对所学教材的兴趣。有一次我的一位学生跑来对我说：我现在开始讨厌数学了，因为妈妈天天叫我练口算，我已经很快了，还想要我多快啊？……究其原因，学生缺乏的是一种兴趣，一种情感的体验。因此我们必须重视“三个维度”中“情感维度”的建构。如在学习第2页《数一数》时，教材设计了“美丽的校园”情景，给初入学的学生初步展示了校园生活，进行了很好的思品教育。在实际操作时，我有意识地增加了“找找我们校园里的数”这一环节。“美丽的桐乡，美丽的学校”，学生都睁着渴求的眼睛，开始深深地喜欢上了这个新学校。又如在让学生探究《比高矮》的时候，设计了这样的课堂活动：说说班里个子最高的（学生汇报出来的结果有好几个），说说班里个子最矮的（学生汇报出来的结果也有好几个），到底谁最高、最矮呢？我让这些同学上来比比，由于学生掌握了比的方法（前面已探究过），一眼或是通过比较马上就可以分辨出来，同时我又渗透了思品教育：让个子最高的说说他的经验，让大家给个子最矮的提提建议。这样的设计学生非常喜欢。
三、实施中的一些思考。
1、算法多样化的处理。“算法多样”是相对于整体来说的而非个体，教师如果由此而一味地用“还有不同的算法吗?”逼着学生挖空心思、转弯抹角地去想“不同算法”，那就欠妥了。提倡算法多样化应在学生已有知识与经验的基础上，尊重学生的想法，并鼓励学生独立思考，而不能以教师的思维方式为核心逼着学生想出教师所期望的答案。  
算法多样化到底怎样处理？个人认为“新授课要鼓励充分的展开、练习课要加大一些密度”，尽管如此但又觉得新授课为了追求培养学生的创新思维和数学素养，刻意地追求“多多益善”也是不对的。如教材24页和26页《5以内加减法》在交流算法时学生的想法就不会很多。这是因为学生已经会熟练口算5以内加减法，教师却又要把学生的起点重新拉回到不会的状态，这样的“回头路”是否要走、怎么走还值得研究。
虽然算法的展开学生也无多大困难，但是这般多的方法，学生的自我完善和自我优化也是参差不齐的，尤其是后进生，老师如果在课后辅导时不明确给予引导，那么这个知识就无法掌握或者说不能熟练地掌握，这些都是问题。
2、小组合作学习的处理。“新课程一来，小组合作泛滥”，小组合作的学习方式要考虑场合和时机，一般以下这些问题可以进行小组合作：操作性极强的素材、开放性的素材、有争议的富有挑战的素材。教师动不动就小组合作，事实上只是一些“花架子”同时，在合作时也要注意以下两个问题：①增加组员“个人劳动力”。我们发现小组合作往往有一个核心人物，一般能力极强，所以教师要明确分工（或让其分工），而不是“一把手、独唱天下”，小组内的每一个组员都应该有参与的热情和机会。②先听别人的，在说自己的。在交流各自的发现时，可让学生先说别人的发现，再说自己的，这样有利于倾听习惯的养成，从而将别人的“精华”进行吸纳，为自所用。
3、学习自主的处理。新课程标准中提出“学生是数学学习的主人”，不是说教师就可以任由学生在课堂学习活动中毫无目的地“东跑西撞”，而是要向学生提供充分的从事数学活动的机会，帮助他们在自主探索和合作交流的基础上，体现“学习的主人”。而且教师要努力使学生的学习转变成一种自主的行为，因为惟有自主才能获得“可持续发展”。
4、后进生的转化工作。很多实验区的老师认为“新课程指导下的课堂，好学生越学越好，后进生越学越差”，其实后进生的转化一直是我们研究的课题。只不过新教材下教学更开放，一旦教师“不下圣旨”，这部分学生就无从下手，这也是一个值得研究和探讨的问题。
总之，新教材的实施要避免“穿新鞋走老路”。课程改革，说到底是教学理念的改革，是教学方式的改革。教师是这一改革的生力军，起着至关重要的作用，相信每一位教师都有自己的理解和把握，以上这些仅供探讨。

真诚天下

《分米、厘米和毫米的认识》教学片断及反思
《分米、厘米和毫米的认识》教学片断及反思
   


秀洲区王江泾镇中心小学  费岭峰

  新的《数学课程标准》已颁布，而与新《课程标准》相配套的教材，2003年秋季才开始使用，并且也仅限于新入学的一年级新生。就小学而言，二至五年级学生仍然使用原有教材。这是不是说，使用新教材才需要新理念或者新标准理念仅适用于新教材呢？回答当然是否定的。新课程改革是在对原有的教育教学体系（包括课程与教材、教育教学方法等）中的诸多弊端的充分认识基础上进行的一项系统工程，是一项刻不容缓的改革工程。自新的《课程标准》颁布以后，在原有教材使用中渗透新的课程理念也应该是新课程改革过程中的一个重要部分。因此，如何在原有教材使用中渗透新的课程理念也是今后二至五年中，我们广大教师所必须面对的问题。最近我区教育局教研室就组织开展了一次“接轨新课程小学数学课堂教学研讨活动”，在展示新教材内容如何进行教学活动的同时，还力图体现如何在原有教材的使用中渗透新课程理念的指导思想，以引导我区广大数学教师更好地步入课程改革的行列中。其中我校陈超老师执教的《分米、厘米和毫米的认识》一课是四节研讨课中的一节，以下截取一个片断稍作分析。

[教学片断]：
1、谈话导出：
师：看来同学们对“米”这个长度单位比较熟悉，那你还知道其它长度单位吗？
生：还有分米、厘米、毫米。
师：你知道这么多，真了不起！（板书：分米、厘米、毫米）还有吗？
生2：还有千米。（师板书：千米）
2、操作体验：
师：同学们知道这么多的长度单位，那么你们会测量物体的长度吗？
生齐答：会
师：请小组长打开材料袋，量一量其中你感兴趣的东西。（材料袋中备有粉笔、火柴、筷子、磁带盒、一角硬币、胸卡、铅笔等。）
学生进行测量，教师巡视，了解测量情况。
反馈展示：
生1展示介绍：我量的是粉笔的长度。粉笔的一头对准0这里（师说明：这是0刻度线），再看另一头对准哪里。
师：那么，这根粉笔长多少？
生1：7厘米多2毫米。
师：你是怎么看出来的？
生1：一个大格代表1厘米，一个小格是1毫米，这儿有7个大格，2个小格。
学生鼓掌表示同意。
生2演示量胸卡的长度，并介绍：先把0刻度线对准一头，再看另一头对准哪里，量出来长是8厘米7毫米。
师：请问你又是怎么看出来的？
生2：因为1个大格就是1厘米，一个小格就是1毫米。
生3演示量磁带盒的长，介绍：先把磁带盒的一头对准0刻度线，再看另一头，它的长度是10厘米1毫米。
师：请对你的同桌说说看，你刚才量的是什么东西？怎么量的？它的长度是多少？
学生同桌交流。
……
3、沟通进率：
师：看来大家对这两位新朋友已经认识了，那你能不能找出它们之间的关系呢？大家同桌讨论一下。
学生讨论交流。
反馈：
生1：都是长度单位。
生2：一个厘米里有10个毫米。
师：你从哪里看出来的？
生2边投影演示边介绍：（指0—1）这样一大格是1厘米，（又指一小格）这样一小格就是1个毫米，（指小格小声数）1、2、3……9、10。

[反思]：
我认为，本片断从两个方面反映了新课程理念：
一、关注学生的经验。
《义务教育阶段数学课程标准》把“关注学生的经验”作为一个基本理念提了出来，明确指出：数学课程“不仅要考虑数学自身的特点，更应遵循学生学数学的心理规律，强调从学生已有的生活经验出发，……数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验的基础之上”。我们也不难看出，《标准》用“出发”和“基础”来表述“经验”的作用，强调学生的“经验”是其数学学习的起点。我们的数学教学需“关注学生已有的经验”，引导学生展示其已有的经验认知水平，然后把“经验”作为其认知发展的起点，通过有效的教学活动促进学生认知再发展。在本片断中，教师注意让学生展示以下三个方面的“经验认知”水平：
一是对长度及长度单位的了解。“分米、厘米、毫米的认识”是在学生学习了“米的认识”的基础上进行教学的。学生对长度和长度单位已经有了一定的了解。而且由于长度和长度单位学生在生活中接触比较多，生活经验也比较丰富。于是在教学的起始，学生能够一口气说出了“分米、厘米、毫米”以及“千米”这些长度单位是意料中的事情。
二是知道如何测量物体的长度。在测量过程中，学生知道以“0刻度线”为起点进行测量，且能量出物体的具体长度。
三是对“厘米”、“毫米”的认识基本达到了教材所要求的水平。许多学生知道在“学生尺”上“一大格表示1厘米、一小格表示1毫米”。
二、关注学生的学习方式。
《标准》指出：有效的数学学习活动不能单纯地依赖模仿与记忆，动手实践、自主探究和合作交流是学生学习数学的重要方式。在本片断中，教师正是以“实践探究——展示交流”的方式组织学生学习的，且整个过程突出了学生学习的自主性。
师：请小组长打开材料袋，量一量其中你感兴趣的东西。
这是学生动手操作前教师所提出的要求。此一要求有两大特点：一是测量对象的不确定性便于每一位学生进行独立操作，能够比较真实地反映其原有的经验认知水平；二来由于教师在测量方法上不作任何具体说明，学生缺少了模仿的基础，有利于学生自主探究，自主发现。
展示交流也是本片断的重要内容。学生经过动手实践、自主探究以后所获得的信息是否有价值，这需要学生通过展示来与大家进行交流，于是：
有学生展示了测量粉笔长度的过程：我量的是粉笔的长度，粉笔的一头对准0这里，再看另一头对在哪里；
有学生展示的是测量胸卡长度的过程；
还有学生展示的是测量磁带长度的过程。
而期间学生的鼓掌，则是给予这些展示成果肯定的评价。整个过程既和谐又富有成效。这也是本片断比较精彩的部分。而这样的教学过程也正是新课标所倡导的。

真诚天下

人教版数学第一册实验教材学习与思考
人教版数学第一册实验教材学习与思考
   




                                          

基础教育课程改革对广大教师而言，既是机遇，又是挑战。在新课程理念的指导下，熟悉、理解和正确把握新教材，是实验教师满怀信心步入课堂的基础，也是改革顺利实施和取得成功的重要保证。人教版数学第一册实验教材是以《数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）的基本理念和所规定的教学内容为依据，在总结现行教材研究和使用经验的基础上编写的，其教学目标、教学内容、教学方法等都发生了较大的变化。本文结合我们的学习、思考与实践，剖析新教材在教学目标、教学内容以及呈现方式等方面发生的变化，并提出在新教材实践过程中需注意的一些问题，以期从整体上把握教材。
一、教学目标的变化：体现了课程目标的多元性
1、增加
·初步了解分类的方法，会进行简单的分类；
·初步认识钟表，会认识整时和半时；
·通过实践活动体验数学与日常生活的密切联系。
2、降低
·10以内数的组成要求降低。省编：熟练地掌握10以内数的组成；人教版：掌握10以内各数的组成。
·计算要求明显降低。省编：熟练地口算20以内加法和减法，比较熟练地口算20以内的连加、连减和加减两步式题；人教版：比较熟练地计算一位数的加法和10以内的减法。
3、变化
应用题教学目标发生了很大变化。省编：根据加减法的含义，正确解答图画应用题和表格式应用题；正确解答用文字叙述的求总数、求剩余的应用题，能够说出题中的条件和问题，初步分析数量关系，正确列出算式，注明得数的单位名称，口述答案。人教版：初步学会根据加、减法的含义和算法解决一些简单的实际问题。

二、教学内容的变化：学生的学习领域有所拓展
1、增加
·增加了“认识钟表”（整时和半时的认识）。
·增加了“认识物体”（长方体、正方体、圆柱和球）。改变了几何初步知识的呈现顺序，先认识物体，再认识图形（长方形、正方形、三角形和圆）。
2、充实
·充实了原准备课的内容，细分成两个单元（数一数、比一比）3节课，充实了“比多少、长短、高矮”的内容。
·充实了“分类”这一内容（包括单一标准的分类和不同标准的分类）。在原省编教材中，“分类”不作为一项独立的教学内容，而仅作为一种数学思想方法在有关的教学中进行渗透。
3、变化
应用题教学内容发生了显著变化。省编教材安排了用图画表示的加法和减法应用题、用图画表示的减法应用题、图文结合的表格式应用题、求总数、求剩余的应用题、求总数、求另一个加数的应用题等内容。人教版教材中应用题不再单列章节，与数的运算紧密结合，第一册分别在6和7的认识和加减法，8和9的认识和加减法，9加几的进位加法，8、7、6加几的进位加法的教学后，安排“用数学”的内容。
传统“应用题”的教学内容的变化给我们带来了不少值得思考的问题，如“用数学”的教学目标如何把握？还要强调应用题的基本结构吗？还要强调应用题的基本数量关系吗？等等。
4、减少
·教材安排的总课时减少。原省编教材安排的总课时为72课时，人教版减少为61课时。
·“数与代数”部分课时数减少。1~10的认识和加减法，原省编教材为36课时，人教版减少为31课时；20以内的进位加法和退位减法，原省编教材为41课时，人教版减少为24课时。
·练习课课时数明显减少。以“20以内的进位加法和退位减法”为例，原省编教材安排了22节练习课，人教版减少为10课时，仅占原省编教材的45．5%。
·练习量明显减少。以“20以内的进位加法和退位减法”为例，原省编教材安排了191个大题的练习，人教版减少为77个大题，仅占原省编教材的40．3%。
     
三、学习材料呈现方式的变化：体现了学生学习方式的多样性
1、学习材料的呈现更富生活化。教材注意为学生提供富有儿童情趣且具有挑战性的数学探索活动，设计的情境、插图的内容贴近学生生活，图画的风格和色彩注意符合学生的年龄特点。
2、与原省编教材相比，删去了准备练习的内容，变“准备练习（搭脚手架）”为“创设情境（激发探索欲望）”。如“9加几”一课，原省编教材的准备题是：9 +（   ）=10；9+1+2=□。在教学实践中，教师往往还要设计一些富有针对性的练习，为学生的思维活动设置“通道”，为新知的学习作好铺垫。而人教版的实验教材展现的是运动会的场景，学生的学习从提出问题开始。教材不再提供准备性练习，有利于学生多角度、个性化地思考问题、解决问题。

    四、新教材实践过程中需要注意的几个问题
1、重视培养学生的“数感”
《标准》第一次明确地把培养学生的数感作为数学学习的内容提了出来，理解数感、让学生在数学学习过程中建立数感，是《标准》十分强调和重视的问题。如何在教学过程中培养学生的数感呢？《数学课程标准解读》指出，培养学生的数感，目的就在于使学生学会数学地思考，学会用数学的思维方法理解和解释现实问题。因此，我们认为，培养学生的数感可以有以下一些切入口：

（1）在数概念教学中培养学生的数感。如在“1~5的认识”一课的教学中，要引导学生看一看、数一数、想一想，在具体情境中体会到一头大象、一个太阳、一位老师……都可以用数字“1”表示，教师还可以引导学生说一说“1还可以表示什么”，从而使学生把抽象的数字与生动具体的事物建立联系，初步感知数是从数物体中抽象出来的。在数概念教学中，教师应引导学生学习用多种方法表示数，如具体物体（图）、抽象的数字、小棒、点子图等，教师还可以向学生介绍结绳计数等古人的计数方法。培养学生的数感，还需要引导学生在具体的情境中把握数的相对大小关系，为学生提供用数来表达和交流信息的机会。
（2）在数的运算教学中培养学生的数感。对运算方法的判断、运算结果的估计，都与学生的数感有密切的联系。教学中，要引导学生根据具体的问题选择适当的算法。如“8加几”一课，教材呈现一群小学生去公园买票的场景引入计算“一共有多少人”的问题，教学中，教师要引导学生根据具体的情境提出问题，然后让学生为选择适当的算法，从而使学生在探索实际问题的过程中，切实了解运算的意义。在运算教学中，教师还应培养学生估计运算结果，并对结果的合理性作出解释的习惯和能力。

2、处理好算法“多样化”与“优化”之间的关系
提倡算法多样化是《标准》关于计算教学的基本理念之一。根据这一理念，人教版第一册教材从加减法含义的教学开始就引进了算法多样化的思想，并在10以内的加减法和20以内进位加法的教学中，都努力体现算法的多样化。在教学实践与研究中，算法多样化同样是一个热点，鼓励学生采用不同的方法进行计算（多样化），引导学生比较各种算法的特点，并选择适合于自己的算法（优化），这样的观点已经逐渐被我们所认同。但是，在提倡多样化时，怎样进行算法优化呢？我们来看两个“9加几”的教学片段：
教学片段（一）：  
在呈现了多种方法后，师：你喜欢哪一种方法？喜欢第一种方法的举手（生举手，师统计），喜欢第二种的呢？……
师：看来喜欢第x种方法的人最多，以后我们就按照这样的方法算。
教学片段（二）：
在呈现了多种方法后，师：刚才的三位小朋友都说得很好，表扬他们。（生鼓掌）下面，让我们一起来看一看小博士（课件中的卡通形象）是怎样计算9+2的。
多媒体演示9+2的分解计算过程。
小博士：要算9+2呀，先把2分成1和1（屏幕演示），9和1凑成10，再加1得11。
师：小博士的算法好吗？（好！）那我们就向小博士学习。请小朋友跟着小博士说一说。（屏幕再现9+2的分解计算过程，全班同学跟着说，同时完成板书）
以上两个教学片段，教师简单地采用“少数服从多数”、“看一看小博士的算法”等方法进行优化，人为地缩短了算法优化的过程，忽视了学生在算法优化过程中的体验和感悟，这是我们所追求的优化过程吗？浙江教育学院吴卫东老师认为：“……优化的过程是学生不断体验与感悟的过程，而不是教师强制的过程”①。因此，我们认为，教师要有优化的意识，但同时要意识到优化的主体只能是学生，优化应该是一个学生思考、交流、比较、体验和感悟的过程。在“9加几”一课教学中，在学生提出多种算法后，教师没有必要马上组织学生讨论比较，进行算法优化，而可以在后续的练习过程中，让学生逐渐体验和感悟。比如，教师可以组织学生进行定时口算比赛，然后让算的又对又快的学生介绍他们的经验，让学生在具体的情境中自我感悟。
3、科学地对待练习量显著减少问题
人教版实验教材与原省编教材相比，在练习编排量上显著减少了。这固然是因为《标准》对计算的要求显著降低了，但进一步思考，我们还可以看到学习心理学理论发展带来的对学习本质认识差异的影响。纵观课程改革的历史，我们可以发现，课程改革是与学习心理学理论发展紧密联系的。在20世纪，数学学习理论经历了从行为主义到认知主义的发展历程。行为主义将学习简单地视为“刺激→反应”的联结，并认为这种联结需要反复的尝试才能形成，在行为主义理论的影响下，“精讲多练”成为教学的最佳方式，安排大量的练习成为必然的选择。认知主义（特别是建构主义）认为知识学习是一个积极主动的建构过程，课堂上师生的交互和共同的活动被置以突出重要的位置，建构主义同样重视练习在学习过程中的重要作用，但同时认为，知识的建构并不需要大量的重复、机械的训练。建构主义是本次课程改革的理论基础之一，与之相应，练习的大量减少就不足为奇了。
除此之外，我们认为这里面还有教材编写容量上的原因。翻开人教版实验教材，色彩鲜艳，内容丰富的画面占据了大量的版面，在课本总容量相对稳定的前提下，删减练习可能也是无奈的选择。从这个意义上说，教师在教学设计时适当增加练习并不违背教材编写的意图。
练习减少是把双刃剑，对学生而言，减少了机械、重复的训练，能够使他们更好地体验数学学习的乐趣，但我们也有顾虑：练习显著减少了，学生的计算能力是否也会显著降低呢？对教师而言，一方面，练习减少给教师的教学设计提供了更大的空间，教师可以自主选择、设计相应的练习；另一方面，它也增加了教师备课的工作量，对教师（特别是大量乡村教师）独立处理教材及把握教学教学目标的能力提出了更高的要求。
4、创造性使用“主题图”
我们发现，教材中部分主题图信息容量大，与学生注意力分配之间存在矛盾。如“9加几”一课，主题图是运动会的场景，画面内容丰富，信息量大。如果我们能将主题图制成多媒体课件，分层呈现有关内容，引导学生有序观察，当然能够取得理想的教学效果。但是否每个班级都有多媒体配备？每位教师都有制作课件的精力和能力？我们认为，这样的情境过于复杂了，要迅速从主题情境的观察中发现和提出问题，对一年级学生而言，绝非易事。当然，新课程理念告诉我们，教材无非是一种重要的教学资源，“主题图”并非不可更改。因此，教师在新教材使用过程中，在理解教材、把握教材的基础上，同样需要提高创造性使用教材的意识和能力。还有，在一个《标准》多套教材的大背景下，教师完全可以以一种教材为主，兼收不同教材的长处。

5、“实践活动”要体现实践性，更要上出数学味
安排实践活动，有利于学生在解决问题过程中应用数学，逐步培养学生的应用意识和实践能力。但教材编写的实践活动内容是以图文形式静态呈现的，如何将静态呈现的教学内容转化为学生的实践活动？这是一个令我们感到十分困惑的问题。《教师教学用书》在教学建议中提出：“小学低年级的实践活动宜采用模拟现实活动与数学游戏相结合的形式。”那么，模拟现实活动与数学游戏怎样组织？教学目标该如何把握？实践活动的数学味怎样体现？这些，都是我们将要面临的崭新课题，需要在教学实践中不断探索、研究与创新。
6、合理划分课时，恰当处理课时差
原省编教材的课时划分十分清晰，而人教版新教材的课时划分较为原则。有的章节内容，仅看教材，我们很难确定需要几课时以及课时的具体内容，教师用书也仅建议一共需要几课时，具体每一课时的内容也没有划分明确。这给我们对教材处理和教学设计带来了一定的困难。我们认为，合理划分课时，首先要正确理解教材内容、把握教学目标，其次，十分关键的要了解学生的基础，依据学生的不同的情况，灵活处理。
另外，人教版第一册实验教材一共安排了61个课时，而一年级数学课每周有5节，按一学期18周计算，将有90课时。29课时的课时差怎样处理？也是一个棘手的问题。我们认为，适当增加练习课课时，适当增加数学实践活动课时，适当补充地方教材或校本课程，是解决问题的可选方法。
   




                     


基础教育课程改革对广大教师而言，既是机遇，又是挑战。在新课程理念的指导下，熟悉、理解和正确把握新教材，是实验教师满怀信心步入课堂的基础，也是改革顺利实施和取得成功的重要保证。人教版数学第一册实验教材是以《数学课程标准（实验稿）》（以下简称《标准》）的基本理念和所规定的教学内容为依据，在总结现行教材研究和使用经验的基础上编写的，其教学目标、教学内容、教学方法等都发生了较大的变化。本文结合我们的学习、思考与实践，剖析新教材在教学目标、教学内容以及呈现方式等方面发生的变化，并提出在新教材实践过程中需注意的一些问题，以期从整体上把握教材。
一、教学目标的变化：体现了课程目标的多元性
1、增加
·初步了解分类的方法，会进行简单的分类；
·初步认识钟表，会认识整时和半时；
·通过实践活动体验数学与日常生活的密切联系。
2、降低
·10以内数的组成要求降低。省编：熟练地掌握10以内数的组成；人教版：掌握10以内各数的组成。
·计算要求明显降低。省编：熟练地口算20以内加法和减法，比较熟练地口算20以内的连加、连减和加减两步式题；人教版：比较熟练地计算一位数的加法和10以内的减法。
3、变化
应用题教学目标发生了很大变化。省编：根据加减法的含义，正确解答图画应用题和表格式应用题；正确解答用文字叙述的求总数、求剩余的应用题，能够说出题中的条件和问题，初步分析数量关系，正确列出算式，注明得数的单位名称，口述答案。人教版：初步学会根据加、减法的含义和算法解决一些简单的实际问题。

二、教学内容的变化：学生的学习领域有所拓展
1、增加
·增加了“认识钟表”（整时和半时的认识）。
·增加了“认识物体”（长方体、正方体、圆柱和球）。改变了几何初步知识的呈现顺序，先认识物体，再认识图形（长方形、正方形、三角形和圆）。
2、充实
·充实了原准备课的内容，细分成两个单元（数一数、比一比）3节课，充实了“比多少、长短、高矮”的内容。
·充实了“分类”这一内容（包括单一标准的分类和不同标准的分类）。在原省编教材中，“分类”不作为一项独立的教学内容，而仅作为一种数学思想方法在有关的教学中进行渗透。
3、变化
应用题教学内容发生了显著变化。省编教材安排了用图画表示的加法和减法应用题、用图画表示的减法应用题、图文结合的表格式应用题、求总数、求剩余的应用题、求总数、求另一个加数的应用题等内容。人教版教材中应用题不再单列章节，与数的运算紧密结合，第一册分别在6和7的认识和加减法，8和9的认识和加减法，9加几的进位加法，8、7、6加几的进位加法的教学后，安排“用数学”的内容。
传统“应用题”的教学内容的变化给我们带来了不少值得思考的问题，如“用数学”的教学目标如何把握？还要强调应用题的基本结构吗？还要强调应用题的基本数量关系吗？等等。
4、减少
·教材安排的总课时减少。原省编教材安排的总课时为72课时，人教版减少为61课时。
·“数与代数”部分课时数减少。1~10的认识和加减法，原省编教材为36课时，人教版减少为31课时；20以内的进位加法和退位减法，原省编教材为41课时，人教版减少为24课时。
·练习课课时数明显减少。以“20以内的进位加法和退位减法”为例，原省编教材安排了22节练习课，人教版减少为10课时，仅占原省编教材的45．5%。
·练习量明显减少。以“20以内的进位加法和退位减法”为例，原省编教材安排了191个大题的练习，人教版减少为77个大题，仅占原省编教材的40．3%。
     
三、学习材料呈现方式的变化：体现了学生学习方式的多样性
1、学习材料的呈现更富生活化。教材注意为学生提供富有儿童情趣且具有挑战性的数学探索活动，设计的情境、插图的内容贴近学生生活，图画的风格和色彩注意符合学生的年龄特点。
2、与原省编教材相比，删去了准备练习的内容，变“准备练习（搭脚手架）”为“创设情境（激发探索欲望）”。如“9加几”一课，原省编教材的准备题是：9 +（   ）=10；9+1+2=□。在教学实践中，教师往往还要设计一些富有针对性的练习，为学生的思维活动设置“通道”，为新知的学习作好铺垫。而人教版的实验教材展现的是运动会的场景，学生的学习从提出问题开始。教材不再提供准备性练习，有利于学生多角度、个性化地思考问题、解决问题。

    四、新教材实践过程中需要注意的几个问题
1、重视培养学生的“数感”
《标准》第一次明确地把培养学生的数感作为数学学习的内容提了出来，理解数感、让学生在数学学习过程中建立数感，是《标准》十分强调和重视的问题。如何在教学过程中培养学生的数感呢？《数学课程标准解读》指出，培养学生的数感，目的就在于使学生学会数学地思考，学会用数学的思维方法理解和解释现实问题。因此，我们认为，培养学生的数感可以有以下一些切入口：

（1）在数概念教学中培养学生的数感。如在“1~5的认识”一课的教学中，要引导学生看一看、数一数、想一想，在具体情境中体会到一头大象、一个太阳、一位老师……都可以用数字“1”表示，教师还可以引导学生说一说“1还可以表示什么”，从而使学生把抽象的数字与生动具体的事物建立联系，初步感知数是从数物体中抽象出来的。在数概念教学中，教师应引导学生学习用多种方法表示数，如具体物体（图）、抽象的数字、小棒、点子图等，教师还可以向学生介绍结绳计数等古人的计数方法。培养学生的数感，还需要引导学生在具体的情境中把握数的相对大小关系，为学生提供用数来表达和交流信息的机会。
（2）在数的运算教学中培养学生的数感。对运算方法的判断、运算结果的估计，都与学生的数感有密切的联系。教学中，要引导学生根据具体的问题选择适当的算法。如“8加几”一课，教材呈现一群小学生去公园买票的场景引入计算“一共有多少人”的问题，教学中，教师要引导学生根据具体的情境提出问题，然后让学生为选择适当的算法，从而使学生在探索实际问题的过程中，切实了解运算的意义。在运算教学中，教师还应培养学生估计运算结果，并对结果的合理性作出解释的习惯和能力。

2、处理好算法“多样化”与“优化”之间的关系
提倡算法多样化是《标准》关于计算教学的基本理念之一。根据这一理念，人教版第一册教材从加减法含义的教学开始就引进了算法多样化的思想，并在10以内的加减法和20以内进位加法的教学中，都努力体现算法的多样化。在教学实践与研究中，算法多样化同样是一个热点，鼓励学生采用不同的方法进行计算（多样化），引导学生比较各种算法的特点，并选择适合于自己的算法（优化），这样的观点已经逐渐被我们所认同。但是，在提倡多样化时，怎样进行算法优化呢？我们来看两个“9加几”的教学片段：
教学片段（一）：  
在呈现了多种方法后，师：你喜欢哪一种方法？喜欢第一种方法的举手（生举手，师统计），喜欢第二种的呢？……
师：看来喜欢第x种方法的人最多，以后我们就按照这样的方法算。
教学片段（二）：
在呈现了多种方法后，师：刚才的三位小朋友都说得很好，表扬他们。（生鼓掌）下面，让我们一起来看一看小博士（课件中的卡通形象）是怎样计算9+2的。
多媒体演示9+2的分解计算过程。
小博士：要算9+2呀，先把2分成1和1（屏幕演示），9和1凑成10，再加1得11。
师：小博士的算法好吗？（好！）那我们就向小博士学习。请小朋友跟着小博士说一说。（屏幕再现9+2的分解计算过程，全班同学跟着说，同时完成板书）
以上两个教学片段，教师简单地采用“少数服从多数”、“看一看小博士的算法”等方法进行优化，人为地缩短了算法优化的过程，忽视了学生在算法优化过程中的体验和感悟，这是我们所追求的优化过程吗？浙江教育学院吴卫东老师认为：“……优化的过程是学生不断体验与感悟的过程，而不是教师强制的过程”①。因此，我们认为，教师要有优化的意识，但同时要意识到优化的主体只能是学生，优化应该是一个学生思考、交流、比较、体验和感悟的过程。在“9加几”一课教学中，在学生提出多种算法后，教师没有必要马上组织学生讨论比较，进行算法优化，而可以在后续的练习过程中，让学生逐渐体验和感悟。比如，教师可以组织学生进行定时口算比赛，然后让算的又对又快的学生介绍他们的经验，让学生在具体的情境中自我感悟。
3、科学地对待练习量显著减少问题
人教版实验教材与原省编教材相比，在练习编排量上显著减少了。这固然是因为《标准》对计算的要求显著降低了，但进一步思考，我们还可以看到学习心理学理论发展带来的对学习本质认识差异的影响。纵观课程改革的历史，我们可以发现，课程改革是与学习心理学理论发展紧密联系的。在20世纪，数学学习理论经历了从行为主义到认知主义的发展历程。行为主义将学习简单地视为“刺激→反应”的联结，并认为这种联结需要反复的尝试才能形成，在行为主义理论的影响下，“精讲多练”成为教学的最佳方式，安排大量的练习成为必然的选择。认知主义（特别是建构主义）认为知识学习是一个积极主动的建构过程，课堂上师生的交互和共同的活动被置以突出重要的位置，建构主义同样重视练习在学习过程中的重要作用，但同时认为，知识的建构并不需要大量的重复、机械的训练。建构主义是本次课程改革的理论基础之一，与之相应，练习的大量减少就不足为奇了。
除此之外，我们认为这里面还有教材编写容量上的原因。翻开人教版实验教材，色彩鲜艳，内容丰富的画面占据了大量的版面，在课本总容量相对稳定的前提下，删减练习可能也是无奈的选择。从这个意义上说，教师在教学设计时适当增加练习并不违背教材编写的意图。
练习减少是把双刃剑，对学生而言，减少了机械、重复的训练，能够使他们更好地体验数学学习的乐趣，但我们也有顾虑：练习显著减少了，学生的计算能力是否也会显著降低呢？对教师而言，一方面，练习减少给教师的教学设计提供了更大的空间，教师可以自主选择、设计相应的练习；另一方面，它也增加了教师备课的工作量，对教师（特别是大量乡村教师）独立处理教材及把握教学教学目标的能力提出了更高的要求。
4、创造性使用“主题图”
我们发现，教材中部分主题图信息容量大，与学生注意力分配之间存在矛盾。如“9加几”一课，主题图是运动会的场景，画面内容丰富，信息量大。如果我们能将主题图制成多媒体课件，分层呈现有关内容，引导学生有序观察，当然能够取得理想的教学效果。但是否每个班级都有多媒体配备？每位教师都有制作课件的精力和能力？我们认为，这样的情境过于复杂了，要迅速从主题情境的观察中发现和提出问题，对一年级学生而言，绝非易事。当然，新课程理念告诉我们，教材无非是一种重要的教学资源，“主题图”并非不可更改。因此，教师在新教材使用过程中，在理解教材、把握教材的基础上，同样需要提高创造性使用教材的意识和能力。还有，在一个《标准》多套教材的大背景下，教师完全可以以一种教材为主，兼收不同教材的长处。

5、“实践活动”要体现实践性，更要上出数学味
安排实践活动，有利于学生在解决问题过程中应用数学，逐步培养学生的应用意识和实践能力。但教材编写的实践活动内容是以图文形式静态呈现的，如何将静态呈现的教学内容转化为学生的实践活动？这是一个令我们感到十分困惑的问题。《教师教学用书》在教学建议中提出：“小学低年级的实践活动宜采用模拟现实活动与数学游戏相结合的形式。”那么，模拟现实活动与数学游戏怎样组织？教学目标该如何把握？实践活动的数学味怎样体现？这些，都是我们将要面临的崭新课题，需要在教学实践中不断探索、研究与创新。
6、合理划分课时，恰当处理课时差
原省编教材的课时划分十分清晰，而人教版新教材的课时划分较为原则。有的章节内容，仅看教材，我们很难确定需要几课时以及课时的具体内容，教师用书也仅建议一共需要几课时，具体每一课时的内容也没有划分明确。这给我们对教材处理和教学设计带来了一定的困难。我们认为，合理划分课时，首先要正确理解教材内容、把握教学目标，其次，十分关键的要了解学生的基础，依据学生的不同的情况，灵活处理。
另外，人教版第一册实验教材一共安排了61个课时，而一年级数学课每周有5节，按一学期18周计算，将有90课时。29课时的课时差怎样处理？也是一个棘手的问题。我们认为，适当增加练习课课时，适当增加数学实践活动课时，适当补充地方教材或校本课程，是解决问题的可选方法。

真诚天下

帮你准确、快速地读数和写数
有些同学一见到大数目，就不知怎么读，还有的同学知道是从高位读起，于是就从个位数起，个位、十位 、……一直数到最高位，这样读，不但慢，而且易出错，只要数错一位，整个数就会读错。其实，读数很容易 ，会读四位数的同学，都能准确、快速地读出多位数。
  第一步：先把数从个位起每四位一级进行划分。第二步：先读万级的四位或四位以下的数，添上“万”字 后再读个级的四位数。记住：万级和个级的读法一样，但要添上单位“万”字。
  8765 8765
  例如：─────
  万级 个级
  读作：八千七百六十五万八千七百六十五
  8090 0000
  再如：─────
  万级 个级
  读作：八千零九十万
  你学会了吗？请用上述方法在30秒内准确读出下面各数。
  13579000 10003579
  20406080 20040608
  87650000 80000765
  写数也是一样，无论是几位数，我们都按“级”写，就不会出错，先看万级是多少，再看个级是多少。
  四百万 五千六百七十八
  例如：──── ─────────
  万级[△] ↓ 个级
  ↓
  400 5678
  ──── ────
  万级 个级
  再如：一个数是由8个千万，7个十万，5个千，4个一组成的，这个数是（ ）
  8个千万，7个十万 5个千，4个一
  ───────── ──────
  万级 个级
  ↓ ↓
  8070 5004
  ─── ───
  万级 个级
  这个数写作80705004
  注意：8个千万，7个十万，合起来就是（8000＋70）万，即8070万。
  请你用此方法在1分钟内写出下面各数。
  ①九千九百九十九万________________
  ②九千零九十万九千零九十________________
  ③5个千万，5个万和5个一组成的数_______________
  ④比最大的七位数多1的数____________________
  ⑤11个百万，3个百组成的数___

真诚天下

小学数学课堂练习设计技巧
课堂练习直接关系到教学效果。要使课堂练习做到适度、高效，让学生既掌握知识，又发展能力，就必须 精心设计好每堂课的练习。
  一、围绕教学重点设计课堂练习
  数学教学是分单元进行的，每一单元可划分为几个“知识块”，同一“知识块”的几个教学课时又有不同 的侧重点或叫“知识点”。课堂练习就是要围绕每堂课的教学重点进行设计。
  例如，教学“两位数的除法笔算”前两课时，重点、难点是试商。新课前的练习应为学习试商方法作知识 铺垫，可这样设计：1.括号里最大能填几：30×（）〈206；2.在○里填上〉或〈：32×5○150；3.估算：7 8×8＝□、206×3＝□。 讲授中的练习要为理解试商方法服务，可这样设计：1.说出试商过程：
  附图{图}
  2.如果把
  附图{图}
  中的27看作20来试商，要试几次？如果看作30来试商，要试几次？比较一下，怎样试商简便些。新课后的 练习要起到强化试商方法的作用，可这样设计：1.说一说
  附图{图}
  等题该把除数看作几十来试商，再算出来；2.不用竖式计算，很快说出下面各题商几：
  附图{图}
  3.在□里填上适当的数：□÷30＝8……15，300÷□＝7……20；4.下面的计算正确吗？ 把不正确的改正 过来：
  附图{图}
  二、遵循认知规律设计课堂练习
  每堂课的练习设计要根据知识的结构特征和学生的认知规律进行设计，做到由浅入深，有层次、有坡度， 一环套一环，环环相扣。
  例如，同分母分数加减法的教学，可设计以下几个层次的练习。
  1.基本练习：（1）口算：1／3＋1／3、5／7－2／7、5／11＋4 ／11、3／4－1／4、5／9＋2／9、3／8＋ 7／8、b＋a／＋c／a、a／b －c／b（a、b〉0，a〉c）。（2）笔算：7／18＋13／18、13／20－7 ／20。
2.综合练习：（1）填空：5＋7／（）／（）＝1、 （）／（）－2／5＝2／5、3／11＋（）／（）＝7／1 1、（）／（）－1／6＝5／6。（2）解方程：1／5＋x＝4／5、x－7／13＝5／13。
  3.发展练习：仿照7／11＝（）＋（）、7／11＝（）－（），分别编出5道加法和减法计算题。
  通过上述几个层次的练习，学生在简单运用、综合运用、扩展创新的过程中，理解和掌握了知识，同时也 照顾到全班不同层次学生的学习水平，使他们都有收益。
  三、根据智能目标设计课堂练习
  多途径、多角度地训练学生思维，开发学生智力，是提高学生个体素质的需要，是课堂练习设计的重要依 据。
  1.设计联想题，训练学生思维的敏捷性。教师可从引导学生进行横向、纵向和逆向联想等方面设计练习题。如看到“a是b的5／6”，要求学生联想到：（1）a与b的比是5∶6（横向）；（2）b与a的比是6∶5（逆向） ；（3）b是a的1 1／5倍（横向、逆向）；（4）a比b少它的1／6（纵向）；（5）b比a多它的1／5（纵向、逆向）；（6）a增加它的1／5与b相等（纵向）；（7）b减少它的1／6与a相等（纵向）。
  2.设计多解题，训练学生思维的变通性。例如，学习分数应用题后，教师可出示应用题：“一根长64米的 铁丝，剪去总长的5／8做了20个周长相等的方框架，余下的还可以做同样的方框架多少个？”并要求学生采用 不同的方法来求解：
  （1）用分数应用题解法求解：①20÷5／8－20＝12；②64×（1－5／8）÷（64×5／8÷20）＝12；③64 ÷（64×5／8÷20）－20＝12；④20÷〔5／8÷（1－5／8）〕＝12；⑤20÷（5／8÷1）－20＝12；⑥20×〔（1－5／8）÷5／8〕＝12；⑦20×（1÷5／8）－20＝12。
  （2）用比例方法求解：设还可以做x个方框架，得5／8∶20 ＝（1－5／8）∶x。
  （3）用工程问题解法求解：①（1－5／8）÷（5／8÷20）＝12；②1÷（5／8÷20）－20＝12。
3.设计多变题（或多问题），训练学生思维的多向性。“一题多问”和“一题多变”能引导学生从多角度 、多层次观察和分析问题、沟通知识的内在联系，培养创造思维能力。例如，给学生一组条件“西村小学五年级有男生50人，女生40人”，要求学生提出不同的问题。又如，提供下题：“小青买3支铅笔，付出2元钱，找 回0.5元，每支铅笔的单价是多少？让学生据题进行变题练习：①小青买铅笔和圆珠笔各3支，共付出5.5元钱 ，找回0.4元；每支铅笔0.5元，每支圆珠笔是多少元？②小青买铅笔和圆珠笔各3支，共付出5.5元钱，找回0 .4元， 每支圆珠笔比每支铅笔贵0.7元，铅笔和圆珠笔各多少元一支？ ③小青买铅笔和圆珠笔各3支，共付出 5.5元钱，找回0.4元，圆珠笔单价比铅笔单价的2倍还多0.2元，铅笔和圆珠笔各多少元一支？
  4.设计开放式习题，训练学生思维的广阔性。如在下面式中的（）内填上适当的分数：9／10 ＝（）＋（）＝（）－（）＝（）×（）＝（）÷（）。学生可根据四则运算各部分之间的关系进行思考：如果确定一个加数是1／2，则另一个加数是9／10－1／2＝2／5； 确定减数是1／15，则被减数是9／10＋1／15＝29／30；确定一个因数是1／3，则另一个因数是9／10÷1／3＝2 7／10；确定被除数是1／3，则除数是1／3÷9／10＝10／ 27。

真诚天下

在数学教育中培养幼儿思维过程的优势浅探
摘要：幼儿数学教育的重要任务之一是培养幼儿的思维能力，思维过程是思维的一个重要组成部分。本文 论述了在数学教育中培养幼儿思维过程的优势，为这一任务提供了某些理论上的依据和实践中的启示，并说明 了数学教育是发展幼儿思维过程的重要途径。
  关键词：数学教育 思维 思维过程 分析 综合 比较 抽象 概括
  ＊ ＊ ＊
思维是人类认识活动的核心。思维一旦发生，就不是孤立地进行活动。它参与感知与记忆等较低级的认识过程，而且使这些认识过程发生质的变化；它的发生和发展使情感、意志和社会性行为得到发展，促进了意识和自我意识的出现和发展。因此，思维的发生与发展对幼儿心理的发展起着重要的、积极的作用。
思维过程，即思维操作能力，它包括分析与综合、比较、抽象与概括等。这些思维过程是彼此联系的。分析与综合是这些过程的基础。在分析综合过程中，人们运用比较来确定事物之间的异同关系，进而为抽象和概括创造条件。抽象和概括实质上是更为高级的分析与综合，通过抽象与概括，人就能认识事物的本质，由感性认识上升到理性认识。思维过程是思维心理学的主要研究对象，是思维这个整体结构中一个不可缺少的组成部分，并占有极其重要的地位。因而，要培养幼儿的思维能力，就不可避免地要培养幼儿的思维操作能力，才能 提高幼儿的思维水平。
既然思维过程是思维的整体结构中一个重要的组成部分，而思维又对幼儿的心理发展具有积极的促进作用 ，我们就应在教给幼儿知识的同时发展幼儿的思维过程。发展幼儿的思维过程是多途径的。幼儿教育中的语言教育、数学教育、科学教育、艺术教育和体育都在不同程度、不同方面促进幼儿思维过程的发展。在此，我们仅仅探讨在数学教育中培养幼儿思维过程的优势，以此说明数学教育在培养幼儿思维过程方面的不可忽视的、 极其重要的作用。
一、数学教育能够促进幼儿分析与综合的发展
  分析与综合是思维的基本过程。“所谓分析就是在头脑中把事物的整体分解为各个部分、各个方面或不同 特征的过程。所谓综合是在头脑中把事物的各个部分、各个方面或不同特征结合为整体的过程。”［①］
  在认识发展的不同阶段，分析与综合具有不同的水平。幼儿期的分析与综合，主要是在实际动作中或利用表象进行的分析与综合。在传授幼儿数学知识的同时，如果教师注意了幼儿的分析与综合能力的培养，那么，数学教育的许多内容都能提高幼儿这两种水平的分析与综合，并能促使幼儿学会更高一级的分析与综合——凭借语言在头脑中的分析综合。下面我们就以分类、数的组成、几何形体这三方面的教学内容为例，做进一步的 说明。
  １、分类。分类是指把相同的或具有某一共同特征（属性）的东西归并在一起。分类能促进幼儿分析、综合的发展。这是因为，幼儿进行分类时，要通过辨认和归并这两个步骤。分类首先要按照一定要求，对物体逐一进行辨认，这一辨认的过程就是对物体的分析过程。在分析辨认的基础上，再将同一种特征（属性）的物体 归并在一起，这就是综合。
  小班幼儿一般只要掌握具体概念的分类即可。所谓具体概念的分类，就是指对同类同名称物体进行分类。 如从不同动物的卡片中将狮子、大象、长颈鹿等分别归类。这种分类只达到在实际运用中的分析与综合的水平 。
  中、大班幼儿在教师的引导下可达到一级类概念甚至二级类概念的分类。一级类概念是比具体概念更为抽象的概念，二级类概念又比一级类概念更为抽象一些。如从一堆画有各种水果、车辆的卡片中把水果的卡片挑出来，属于一级类概念的分类。又如把交通工具、玩具、植物等分类，属于二级类概念分类。一级类概念和二级类概念既然比具体概念更为抽象和概括，就需要幼儿的分析、综合水平更为高级。同时，由于这两种概念的分类都需要幼儿在头脑中具有对水果、车辆、交通工具、玩具、植物等概念的表象，因此，分类教学能够促进 幼儿利用表象进行的分析与综合。
  ２、数的组成。在数的组成教学中，幼儿必须在教师的引导启发下，通过自己的探索掌握１０以内除１以外的任何一个数都可以分成两个部分数，所分得的两个部分数合起来就是原来的数。因此，幼儿学习数的组成的过程，也就是学习将１０以内的任何一个数进行分析与综合的过程。在这个过程中，教师先引导幼儿从具体入手，运用直观材料，使幼儿获得初步的感性印象。在此基础上，教师通过进一步的讲解和幼儿的亲自动手操作，引导幼儿探索数的组成分解规律，使幼儿逐步摆脱具体事物的限制，达到表象水平的分析与综合。当幼儿真正了解了数的组成的三种关系（等量关系—总数可以分成两个相等或不相等的两个部分数，两个部分数合起来等于总数；互补关系——在总数不变的情况下，一个部分数逐一减少，另一个部分数就逐一增加；以及互换关系——两个部分数交换位置，总数不变）时，幼儿已经掌握了数的组成的实质。他们能够不需要实物，有顺序地说出某数全部组成形式，或者虽然不够熟练或有顺序，也能边思索边说出正确的答案。此时幼儿已经基本 达到在头脑中利用语言进行分析和综合的水平。
  ３、几何形体。在幼儿基本上认识几何形体以后，教师可以让幼儿对几何形体进行分割和拼搭，让幼儿认 识几何形体之间的关系，同时也提高他们对几何形体的兴趣，培养幼儿从不同方面思考问题，促进幼儿思维灵 活性的发展。
  几何形体的分割是指把一个几何形体分割成两个或两个以上相同或不同的几何形体，它实际上是对几何形 体进行分析的过程。如：
  （附图 {图}）
  几何形体的拼搭是指把两个或两个以上相同或不相同的几何形体拼搭成一个具有一定意义的图形。它实际 上对几何形体进行综合的过种。如：
  （附图 {图}）
  总之，几何形体的分割和拼搭能够促进幼儿在实际动作水平上的分析和综合。
  除了以上我们所谈的分类、数的组成和几何形体的教学能够促进幼儿的分析和综合的发展外，数学教育的其它一些内容，也能促进幼儿分析与综合思维过程的发展。如加减教学，和数的组成一样，既能促进幼儿在实际动作和利用表象进行的分析与综合，而且还能促进幼儿在头脑中用语言进行分析与综合。此外，“１”和“ 许多”的教学、时间认识的教学都能在不同程度上促进幼儿分析和综合能力的发展。
  二、数学教育能促进幼儿比较的发展
  “比较是在头脑中把事物和现象的个别部分、个别方面或个别特征加以对比，并确定它们之间的异同及其关系的过程。”［②］比较是抽象概括的必要前提。当幼儿通过比较，确定事物或现象的相同点、相异点及其关系之后，以此为基础，就可以在思想上进行抽象概括，把本质的东西和非本质的东西区别开来，把一般的东西概括起来，从而认识事物发展变化的内在联系和规律。因此，比较在幼儿认识客观事物的过程中具有极其重 要的作用。
  在数学教育中，许多内容都需要对物体进行比较。如感知集合中的比较、数的比较、量的比较、几何形体 的比较和空间方位的比较。下面我们举三方面的内容加以说明。
  １、感知集合。感知集合包括三个方面的内容：物体分类的教学，区别“１”和“许多”的教学和比较两 组物体相等和不相等的教学。这三个方面的内容都需要应用比较才能使幼儿更好地掌握。
  （１）分类。比较是分类的前提，通过比较才能进行分类和概括。如按物体量的差异分类，是指按物体的大小、长短、粗细、厚薄、宽窄、轻重等量的差异分类。要把重的东西和轻的东西分开，就必须进行比较，才能确定究竟哪些东西是重的，哪些东西是轻的，才能进行归类。又如按一级类概念分类。在画有水果、蔬菜的各种卡片中，要把水果的卡片拿出来，就要对水果和蔬菜的异同进行比较，才能正确分类。
  （２）区别“１”和“许多”。教师在教学中，首先要引导幼儿边观察边比较，看看什么东西是１个，什么东西是许多个。例如，１朵花和许多朵花，１条鱼和许多条鱼，１张桌子和许多本书等等。通过对各种１个和许多个物体的观察和比较，使幼儿初步理解“１”和“许多”都是表示物体数量的，从而学会区别１个物体和许多个物体。在这个基础上，才能进一步了解“１”和“许多”之间的关系。
  （３）比较两组物体的相等和不相等。它是指用一一对应的方法，比较两个集合中元素的数量，确定它们是一样多还是不一样多，以及哪个多和哪个少。这是不用数进行的数量比较活动，因此，幼儿如果不会运用比较，就不可能了解两组物体哪个多，哪个少，还是一样多。所以我们可以这样说，如果没有比较，幼儿就不可 能掌握比较两组物体的相等和不相等的教学内容。
２、数的比较。在数的比较中，相邻数的比较是较为典型的例子。如教师在引导幼儿对２的相邻数１和３的关系的认识中，首先需要对１和２的关系进行比较，再进行２和３关系的比较，最后再以２为中心与１和３进行比较，比较出２比１多１，２比３少１，使幼儿了解到３个相邻数之间的多１和少１的关系，从而认识到自然数列的等差关系（在自然数列中，除１以外的任何一个数，都比前面一个数多１，比后面１个数少１）。此外，幼儿在学习数的形成时，要知道某数添上１，形成后面一个数，这个新数比前面一个数多１。这时，幼儿必须对前面的数和后面的数进行比较，才能掌握这两个数的关系。
  ３、几何形体。在学习几何形体时，常常要运用比较来进行。如幼儿认识了正方形以后，学习长方形就要通过与正方形的比较来进行。教师要引导幼儿观察长方形与正方形的相同点（二者都是四个角，四条边，四个角一样大）和不同点（正方形四条边一样长；长方形上下两条边一样长，左右两条边也一样长，但四条边并不一样长）。通过比较，幼儿既学习了长方形，又弄清了它和正方形的区别，达到了教学目的，同时又复习巩固了已经掌握的教学内容，收效良好。此外，学习椭圆形可通过与圆形的比较来进行，学习梯形通过与长方形的比较来进行，学习圆柱体通过与圆形的比较来进行，学习长方体通过与长方形的比较来进行，学习正方体通过与正方形的比较来进行等等。其他的教学内容还有，在教幼儿区别容易混淆的形体时，也必须使用比较来进行。如大班幼儿在区别二面是正方形，四面是长方形的长方体时，常常与正方体相混淆。教师就要指导幼儿观察比较，使幼儿了解到六面是长方形的物体是长方体，而二面是正方形，四面是长方体的物体也是长方体，正方 体则六面都是正方形。
  需要说明的是，数学教育中常用的比较法，就是为了促使幼儿更好地掌握有关的数学知识，促使幼儿思维 过程的更好发展而设的。
  三、数学教育能够促进幼儿抽象与概括的发展
  “抽象是在头脑中分出事物或现象的共同的本质属性而舍弃个别的非本质属性的过程。概括是在头脑中把同类事物或现象的本质属性联合起来的过程。”［③］抽象和概括是很重要的两种思维过程，幼儿只有借助于抽象和概括，才有可能掌握概念，并逐渐摆脱表象的干扰，认识事物的本质。
  抽象和概括有两种不同的水平。一是初级形式的、经验的抽象和概括，是知觉和表象水平的概括。二是高 级形式的、科学的概括，是思维水平的抽象和概括。幼儿的抽象和概括主要处于第一种水平，但是也存在第二 种水平的抽象和概括。
  在数学教育中，分类、认识１０以内的数、认识相邻数及１０以内自然数列的等差关系、数的排序、数的组成、数的守恒、加减运算、量的比较、量的排序、量的守恒等许多内容都在不同程度上促进幼儿抽象和概括的发展。尤其是数概念的教学，不仅可以促进幼儿初级水平的抽象和概括，而且可以促进幼儿高级水平的抽象和概括。以幼儿对“３”这个数的认识为例。最初，幼儿点数３个物体后说出总数，标志着幼儿已经能够对数进行初步的抽象。因为这里幼儿说出的一共是３朵花，已经不是单指最后指点着的那朵花，而是概括了前面已经点数过的２朵在内，这就意味着幼儿已经初步掌握了对３这个数的抽象成份。以后，随着幼儿对１０以内数的逐渐认识，以及认识１０以内的相邻数之间的关系，再达到数守恒等，幼儿对数的认识的抽象成分日益增加 ，思维的抽象能力逐渐提高，直到完全无需以直观形象为依据，能直接用抽象的数进行思考或运算，如口头进 行数的组成或口头加减等，这时幼儿已经初步掌握了数概念。他们已经达到对数的较高级水平的抽象和概括。 下面我们就举几个例子来说明数学教育的内容是如何促进幼儿抽象和概括的发展的。
  １、数的守恒。数的守恒是指物体的数目不因物体外部特征和排列形式等的改变而改变。教师主要是通过对幼儿反反复复的操作练习的指导使幼儿达到数守恒。首先，教师用同样颜色、形状、大小的物体，改变排列形式的方式来进行。这个步骤使幼儿排除排列形式的影响，只注意到数目。其次，教师用排列形式相同，但颜色、形状、大小不同的方式来进行。这个步骤使幼儿排除颜色、形状、大小的影响，只注意到数目。最后，教师用不同排列形式、不同颜色、不同形状、不同大小等综合因素进行。在教学过程中，幼儿逐渐能将数从颜色、形状、大小和排列形式等外部特征和排列形式中抽象出来，认识到物体的数目和物体的颜色、形状、大小和排列形式没有关系，不同物体、不同排列形式的物体数量可以是一样多，因为它们的数是一样的。当幼儿真正掌握了数守恒以后，幼儿的抽象和概括水平也达到了一定的高度。
  ２、数的组成。数的组成是一种概念水平上的数运算。数组成中数群之间的等量、互补和互换关系本身就包含了简单的加减运算。当幼儿能将５分成２和３及把２和３合起来成为５的时候，就意味着对加法有了感性经验，而５＝２＋３以及５＝（４－１）＋（１＋１），不仅是简单的加减，甚至还需要连续地进行加减。然而，更重要的是，尽管数的组成中所包含的只是简单的加减运算，但仍需要幼儿具有一定数概念的抽象和概括水平。如有的幼儿在回答为什么５＝２＋３时，答道：“因为５可以分成２和３，２和３加起来也是５”，在解释互换关系时说“２＋３是５，３＋２也是５，数没变，只是换了一个地方。”以上这种不用实物，只用抽象的数口头申述理由，说明幼儿并不是靠记忆背诵数的组成形式，而是一种概念水平的数运算。
  同时，幼儿在概念水平上掌握数群关系，也就是掌握了数组成的规律，因而能够达到举一反三，触类旁通的正迁移作用。如，幼儿通过学习５以内各数的组成以后，对１０以内各数的组成可以不教或基本不教，就能正确作出回答。这正说明幼儿已经具有一定的抽象和概括的能力，能排除数的大小这个因素，理解数的组成的本质——等量、互补和互换的关系，从概念意义上了解和掌握数的互换规律和递增递减规律。
  ３、量的排序。量的排序是指将两个以上的物体，按某种特征的差异或规则排列成序。通过排序教学，能够促进幼儿可逆性、传递性和双重性思维操作能力的发展。排序中的可逆性，是指从两个方向排序的能力，也就是将物体按一定量的差异排列成递增或递减的顺序。排序中的传递性，可理解为如果Ｂ比Ａ长，Ｃ比Ｂ长，那么Ｃ就比Ａ长（Ｂ大于Ａ，Ｃ大于Ｂ，所以Ｃ大于Ａ）。排序中的双重性，指按等差关系排列的物体序列中，任何一个元素的量都比前面一个元素大，比后面一个元素小。物体序列中的这三种关系，需要幼儿在思维上具有相应的可逆性、传递性和双重性才能做到。这三种能力实际上就是思维的抽象、概括能力和推理能力。因此，当幼儿真正掌握这三种关系时，幼儿的抽象、概括能力也达到了一定的水平。
  以上我们论述了数学教育的许多内容对幼儿的思维过程发展的促进作用。必须说明的是，数学教育的很多内容，不仅可以促进思维过程的某个方面，而且可以促进思维过程的许多方面。例如，上文所述的数的组成既可以促进幼儿分析与综合能力的发展，又可以促进幼儿抽象与概括能力的发展。另外，由于思维过程的各个方面是有机联系的，思维过程又是思维这个整体结构中的一个组成部分，所以，数学教育的某些内容，虽然主要作用在促进幼儿思维过程的某个方面，但实质上也能促进幼儿思维过程的整体发展，促进幼儿思维能力的总的发展。例如，比较两组物体的相等与不相等，可以促进幼儿比较的发展，但因为比较是抽象和概括的基础，所以我们也可以肯定地说，比较两组物体的相等与不相等的教学内容，也能促进幼儿抽象与概括的发展，促进幼 儿思维能力的发展。
  数学教育的一个重要的任务就是培养幼儿的智力。智力的核心是思维能力，思维又包括了思维过程，因此，培养幼儿的思维过程是数学教育的任务之一。本文从理论上论述了完成这一任务的可行性，即数学教育是能够促进幼儿思维过程的发展的。但这只是可能的条件，要真正使数学教育促进幼儿的思维过程的发展，还需要一个必要的条件，这就是教师要重视幼儿的思维过程的发展，在数学教育中有意识地训练幼儿的思维。如果离开了教师的主导作用，离开了教师的指导和启发，幼儿的思维过程是不可能在数学教育中得以培养的。与此同时，幼儿思维过程的发展，又能够促进幼儿对数学教育内容的掌握。总之，幼儿的思维过程和数学教育二者是相辅相成、互相促进的。因此，教师在数学教育中，既要传授给幼儿知识，又要培养幼儿的思维过程，把这二 者有机地结合起来，就能取到事倍功半的效果。