初中数学解题技巧方法辅导集锦

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有趣的数迷诗



湖北省黄石市下陆中学　陈　勇

数谜诗，顾名思义就是数字猜谜诗，它既是数字谜语，又是趣味数学．它将趣味数学题，采用儿歌的形式表达出来，活泼生动，妙趣横生，很受人们的喜爱．现列举几例供欣赏，请同学们想一想,做一做．
一、林中麻雀
一群麻雀入竹林,争先恐后竹上停.一根竹子落两只,竹子便会多一根.一根竹子落一只,竹子便会少一根.请君细想算算看,麻雀几只竹几根?
解: 设竹子有x根．依题意,得：2(x-1)=x+1．解得x=3,从而x+1=4．故有竹子3根. 麻雀4只．
二、悟空寻妖踪
悟空顺风寻妖踪，千里只用四分钟．归时四分行六百，试问风速是多少?  
解析：题目的意思是：孙悟空追寻妖精的行踪，去时顺风，lO00里只用了4分钟；回来时逆风，4分钟只走了600里，试求风的速度．
解:设风的速度为每分钟里，依题意,得：，解得=50．故风速为每分钟50里．

三、童子买肉
童子来买肉，难言钱数目．斤少四十，九两多十六．问能算者，与多少肉?  
解析：题目的意思是：一个小孩到肉店来买肉，说不出带了多少钱，知道他带的钱买一斤(古时1斤=16两)肉还差40文，买9两肉又多出16文，那么他带的钱能买多少肉?
解:设每两肉文，则小孩带的钱为文或文，依题意,得：= ，解得=8.则小孩带钱．所以小孩能买（两）肉．
四、壶内原有多少酒?  
李白街上走，提壶去买酒．遇店加一倍，见花喝一斗．三遇店和花，喝光壶中酒．试问酒壶中，原有多少酒?
解析：题目的意思是：李白拿着本来还有酒的酒壶去买酒，每次遇到小店就使壶中的酒增加一倍；每次看到花，他就饮酒作诗，喝去一斗酒(斗：我国古代的一种酒器)．这样遇到三次小店和花，最后就把壶中的酒全部喝光了，试问酒壶中原来有多少酒? (默认李白遇到店和花的顺序为： 店、花、店、花、店、花)
解:设壶中原有酒斗，依题意,得：，解得，即壶中原有酒斗
五、寺内僧多少?  
巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧．三百六十四只碗，看看用尽不差争．三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹．请问先生名算者，算来寺内几多僧?  
解析：题目的意思是：：三个僧人吃一碗饭，四个僧人吃一碗羹，刚好用了364只碗，请问寺内有多少僧人?  
解:设寺院内共有个僧人．依题意,得：，解得：，即寺院内有僧人624人．

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构造性辅助线四例



湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬

在几何证明中除常见的连接、延长、作平行、作垂直等辅助线之外，还有一种作辅助线的思路，就是通过巧妙的几何变换构造出全等或是特殊图形。这种作辅助线方法我们通常称为构造性辅助线。


一、翻折构造


例1　如图1，在等腰直角△ABC的斜边AB上，取两点M、N，使∠MCN=45°，记AM=m，MN=x，BN=n。则以x、m、n为边长的三角形的形状是（
）

A.锐角三角形；    B.直角三角形；
C.钝角三角形；    D.随x、m、n变化而变化


分析：⑴要判断以x、m、n为边长的三角形的形状，关键是要设法将这三条线段长集中到同一个三角形中；


⑵如何用好已知条件中的∠MCN=45°，应同时考虑∠ACM+∠BCN=45°。


⑶为将长为x、m、n的三条线段集中，可考虑将△ACM沿CM翻折（如图），这样可将m、x两条线段集中。再连接PN，若能证明PN=BN，则长为x、m、n的三条线段就集中到了△PMN中。


由∠ACM+∠BCN=45°，∠PCM+∠PCN=45°∴∠BCN=∠PCN，


可证△BCN≌△PCN，PN=BN=n。


∴∠MPC=∠A=45°，∠NPC=∠B=45°
∴∠MPN=∠MPC+∠NPC=90°


∴以x、m、n为边长的三角形的形状直角三角形。


提示：当要证的结论需集中某些线段，且图形中出现了等量角的关系、角的平分线等条件时，可考虑翻折构造。

二、旋转构造


例2　如图2，已知O是等边三角形△ABC内一点，∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数之比为6∶5∶4，在以OA、OB、OC为边的三角形中，求此三边所对的度数。

分析：⑴解决此题的关键依然是要将OA、OB、OC三条线段集中到同一个三角形中。


⑵考虑到等边三角形的的特点，若将△AOB绕A点旋转60°到△AMC，因为△AOM为等边三角形，MO=AO，又OB=MC，则OA、OB、OC就集中到了△COM中。OA、OB、OC为三边所对的角即为求△COM的三个内角。


由∠AOB、∠BOC、∠AOC的度数之比为6∶5∶4，设∠AOB=6x，∠BOC=5x，∠AOC=4x


则有6x+5x+4x=360°，x=24°，


∠AMC=∠AOB=6x=144°，∠AOC=4x=96°
由∠AOM=∠AMO=60°


∴∠MOC=∠AOC-∠AOM=36°；∠OMC=∠AMC-∠AMO=84°


∠ACM=180°-（∠MOC+∠OMC）=60°


∴以OA、OB、OC为边的三角形三边所对的度数分别为：60°、36°、84°。


提示：旋转构造一般多用于等边三角形、正方形、等腰直角三角形中，主要是应同时考虑到旋转后的对应边能够重合，旋转角度能构成特殊角等两个条件。

三、轴对称构造


例3　如图3，∠AOB=45°，角内有点P，PO=10，在两边上有点Q、R（均不同于O），则△PQR的周长的最小值是。



分析：⑴要确定△PQR的周长最小，关键是如何确定Q、R的位置。而只有利用轴对称将折线段化为直线段才能求出最小值。


⑵已知条件中∠AOB=45°，如果分别作P关于OA、OB的对称点M、N，连OM、ON，根据轴对称性质则有∠MON=90°，可构造出直角三角形。


作P关于OA、OB的对称点M、N，连MN与OA、OB的交点Q、R，由轴对称性质，此时△PQR的周长的最小，最小周长等于线段MN的长度。


连OM、ON。由轴对称性质，OM=OP=ON=10，∠MON=90°，MN=10


提示：一般地，求证几条折线段之和的问题通常考虑作轴对称，将折线段转化为直线段。

四、特殊构造


例4　如图4，在四边形ABCD中，∠ABC=30°，∠ADC=60°，AD=CD。求证：BD2=AB2+BC2。



分析：⑴所求证的关系为平方形式，联想到构造直角三角形运用勾股定理求证。∠ABC=30°，已BC为边向外作等边三角形△BCE，则可得到∠ABE=90°，BC=BE，可将AB2+BC2转化为直角三角形△ABE中AB2+BE2。这样只需证明AE=BD即可。


⑵由∠ADC=60°，AD=CD，连接AC，则△ADC为等边三角形。易观察到易证△DCB≌△ACE，于是AE=BD。


提示：根据题设条件中的特殊角构造特殊图形（等边三角形、直角三角形、正方形等），也是几何证明中常用的辅助线。


作者简介：宋毓彬，男，42岁，中学数学高级教师。在《中学数学教学参考》、《数理天地》、《中学生数学》、《数理化学习》、《数理化解题研究》、《中学课程辅导》、《数学周报》、《数学辅导报》等报刊发表教学辅导类文章40多篇。主要致力于初中数学中考及解题方法、技巧等教学方面的研究。

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有理数中的“非负性”问题



湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬

我们知道：有理数中，任何数的绝对值和偶次方都是一个“非负数”，即≥0，≥0（n为整数）。我们称其具有非负性。这两条性质常作为求解很多有理数问题的隐含条件，我们要熟练掌握。
一、绝对值的非负性
例1 若m、n满足，则－ｍ·ｎ=。
解：∵，  又
∴3m－６＝０　ｎ+４＝０　∴ｍ＝２　ｎ＝－４
∴—ｍｎ＝－２×（－４）＝８　。
例2 若，
求：的值
解：∵， 又

∴a－１＝０　ａｂ－２＝０　∴ａ＝１　ｂ＝２
　　原式＝
　　　　＝
　　　　＝１－＝
二、偶次幂的非负性
例３已知，求：⑴；　　⑵　
解：∵，　又
∴ｘ－２＝０　３－ｙ＝０　∴ｘ＝２　ｙ＝３
⑴＝＝８　　⑵　＝
　　由上面三道例题，我们可以看出：绝对值、偶次幂的非负性通常都是作为隐含条件出现的。解答这类问题的一般步骤是：①先根据绝对值或偶次幂的非负性，求出有关字母的值；②再将所求得的字母值代入相应的代数式。求解时，还要注意突出分析过程，而不能直接赋值计算。


（发表于《数学辅导报》（七年级）2008年8月11日）

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解读近似数的精确度
湖北省黄石市下陆中学　宋毓彬
近似数的精确度表示近似数与准确数的接近程度。精确度有两种表示形式：一是用精确到哪一位（精确位）表示，一是用保留几个有效数字（有效数字）表示。精确度的两种表示形式的实际意义及取值要求是不一样的，在学习时要加以区别。



一、解读“精确到哪一位”



⑴对一个数取近似数，要求精确到某一个数位，我们就将所要求精确到的数位后一位数字“四舍五入”得到近似数。该近似数最后一位数是由“四舍五入”得到的数，最后一位数所在的数位即是精确到的数位。



如：近似数3.52，最后一位数字2是由“四舍五入”得到的数，2所在的数位为百分位，即近似数3.52精确到百分位。



又如：9989.653（精确到个位）的近似数，将个位后的十分位上的6“四舍五入”，近似数为9990。1.35835（精确到0.001）的近似数，将千分位后的万分位上的3“四舍五入”，近似数为1.358。



⑵精确到哪一位表示的实际意义：主要用于表示近似数与准确数之间误差绝对值的大小。例如，在测量长度时，精确到0.1米，说明结果与实际相差不大于0.05米。



⑶确定用科学记数法表示的近似数、带数量级单位的近似数精确到哪一位时，要先将该数还原成原来的数，再看它最后一个数字所在的数位即精确到哪一位。



如近似数1.230×106，还原成原数为1230000，最后一位数字0所在的数位为千位，因此近似数1.230×106精确到千位（而不是千分位！）。



近似数5.04万，还原成原数为50400，最后一个数字4所在的数位为百位，因此近似数5.04万精确到百位（而不是百分位！）。



⑷近似数的最后一位数字是由“四舍五入”得到的数，根据近似数可以确定准确数的取值范围。一般地，近似数m所表示的准确数a的范围是：m－精确位后一位的5个单位≤a＜m+精确位后一位的5个单位。



如近似数8.40所表示的准确数a的范围是8.40－0.005≤a＜8.40+0.005，即8.395≤a＜8.405。



二、解读有效数字



⑴从一个数的左边第一个非0数字起，到末位数字止，所有的数字都是这个数的有效数字。有效数字的起止，尤其要注意先确定出“左边第一个非0的数”。“左边第一个非0的数”前面的0，都不是有效数字；“左边第一个非0的数”后面的0，则都是有效数字。



如：近似数0.005070的有效数字，“左边第一个非0的数”为5，5前面的0不是有效数字，5后面的0是有效数字，因此近似数0.005070的有效数字有5、0、7、0共4个。



⑵有效数字的实际意义：主要用于比较几个近似数哪个更精确一些。一般地保留的有效数字越多越精确。如对圆周率取近似数，保留3个有效数字所得的3.14，比保留两个有效数字所得的3.1更精确。



⑶按有效数字要求取近似数，一般要保留几位有效数字，就从“左边第一个非0的数”开始向右数到要保留的有效数字位数后一个数字进行“四舍五入”。最后一个有效数字为由“四舍五入”得到的数。观察最后一位有效数字的后一位数字，可得到近似数m所表示的准确数a的取值范围。m－最后一位有效数字后一位的5个单位≤a＜m+最后一位有效数字后一位的5个单位。



如：保留三个有效数字得21.0的近似数，其准确数的取值范围是          。



最后一个有效数字0是“四舍五入”得到的数，所在数位为十分位，因此21.0－0.05≤a＜21.0+0.05，即20.95≤a＜21.05。



⑷科学记数法表示的近似数的有效数字，仅是指a×10n中a的有效数字；带数量级单位的近似数的有效数字，则不考虑数量级所表示的0的个数。



如：近似数9.601×1010的有效数字为4个，分别是9、6、0、1。近似数3.45万的有效数字为3个，分别是3、4、5。



⑸近似数最后一个有效数字所在的数位，即表示近似数“精确到哪一位”。



如：把0.0503045保留4个有效数字所得的近似数精确到     位。“左边第一个非0的数”为5，从5开始向右数至第五个数为4，对4“四舍五入”得近似数为0.05030，最后一个有效数字为0，所在的数位为十万分位。故把0.0503045保留4个有效数字所得的近似数精确到十万分位。



（发表于《数学辅导报》2008年12月26期）

cc1151360812

4xy²－5xy-6y²