历史上著名数学人物简介

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欧拉







欧拉，L．（Euler，leonhard）1707年4月15日生于瑞士巴塞尔；1783年9月18日卒于俄国圣彼得堡。数学、力学、天文学、物理学。

在数学领域内，18世纪可正确地称为欧拉世纪。欧拉是18世纪数学界的中心人物。他是继I．牛顿（Newton）之最重要的数学家之一。在他的数学研究成果中，首推第一的是分析学。欧拉把由伯努利家族继承下来的莱布尼茨学派的分析学内容进行整理，为19世纪数学的发展打下了基础。他还把微积分法在形式上进一步发展到复数范围，并对偏微分方程，椭圆函数论，变分法的创立和发展留下先驱的业绩。在《欧拉全集》中，有17卷属于分析学领域。他被同时代的人誉为“分析的化身”。

1．数论

欧拉的一系列成奠定作为数学中一个独立分支的数论的基础。欧拉的著作有很大一部分同数的可除性理论有关。欧拉在数论中最重要的发现是二次反律。

2．代数

欧拉《代数学入门》一书，是16世纪中期开始发展的代数学的一个系统总结。

3．无穷级数

欧拉的《微分学原理》（Introductio calculi differentialis，1755）是有限差演算的第一部论著，他第一个引进差分算子。欧拉在大量地应用幂级数时，还引进了新的极其重要的傅里叶三角级数类。1777年，为了把一个给定函数展成在（0，“180”）区间上的余弦级数，欧拉又推出了傅里叶系数公式。欧拉还把函数展开式引入无穷乘积以及求初等分式的和，这些成果在后来的解析函数一般理论中占有重要的地位。他对级数的和这一概念提出了新的更广泛的定义。他还提出了两种求和法。这些丰富的思想，对19世纪末，20世纪初发散级数理论中的两个主题，即渐近级数理论和可和性的概念产生了深远影响。

4．函数概念

18世纪中叶，分析学领域有许多新的发现，其中不少是欧拉自已的工作。它们系统地概括在欧拉的《无穷分析引论》、《微分学原理》和《积分学原理》组成的分析学三部曲中。这三部书是分析学发展的里程碑四式的著作。

5．初等函数

《无穷分析引论》第一卷共18章，主要研究初等函数论。其中，第八章研究圆函数，第一次阐述了三角函数的解析理论，并且给出了棣莫佛（de Moivre）公式的一个推导。欧拉在《无穷分析引论》中研究了指数函数和对数函数，他给出著名的表达式（这里i表示趋向无穷大的数；1777年后，欧拉用i表示 ），但仅考虑了正自变量的对数函数。1751年，欧拉发表了完备的复数理论。

6．单复变函数

通过对初等函数的研究，达朗贝尔和欧拉在1747－1751年间先后得到了（用现代数语表达的）复数域关于代数运算和超越运算封闭的结论。他们两人还在分析函数的一般理论方面取得了最初的进展。

7．微积分学

欧拉的《微分学原理》和《积分学原理》二书对当时的微积分方法作了最详尽、最有系统的解说，他以其众多的发现丰富可无穷小分析的这两个分支。

8．微分方程

《积分原理》还展示了欧拉在常微分方程和偏方程理论方面的众多发现。他和其他数学家在解决力学、物理问题的过程中创立了微分方程这门学科。

在常微分方程方面，欧拉在1743年发表的论文中，用代换 给出了任意阶常系数线性齐次方程的古典解法，最早引人了“通解”和“特解”的名词。1753年，他又发表了常系数非齐次线性方程的解法，其方法是将方程的阶数逐次降低。

欧拉在18世纪30年代就开始了对偏微分程的研究。他在这方面最重要的工作，是关于二阶线性方程的。

9．变分法

1734年，他推广了最速降线问题。然后，着手寻找关于这种问题的更一般方法。1744年，欧拉的《寻求具有某种极大或极小性质的曲线的方法》一书出版。这是变分学史上的里程碑，它标志着变分法作为一个新的数学分析的诞生。

10．几何学

坐标几何方面，欧拉的主要贡献是第一次在相应的变换里应用欧拉角，彻底地研究了二次曲面的一般方程。

微分几何方面，欧拉于1736年首先引进了平面曲线的内在坐标概念，即以曲线弧长这一几何量作为曲线上点的坐标，从而开始了曲线的内在几何研究。1760年，欧拉在《关于曲面上曲线的研究》中建立了曲面的理论。这本著作是欧拉对微分几何最重要的贡献，是微分几何发展史上的里程碑。

欧拉对拓扑学的研究也是具有第一流的水平。1735年，欧拉用简化（或理想化）的表示法解决了著名的歌尼斯堡七桥游戏问题得到了具有拓扑意义的河－桥图的判断法则，即现今网络论中的欧拉定理。

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韦达







韦达，F（Viete，Francoic）1540年生于法国普瓦图地区[Poitou，今旺代省的丰特奈－勒孔特（Fontenay．－le－Comte）]；1603年12月13日卒于巴黎。

韦达是法国十六世纪最有影响的数学家。他的成就主要有：

平面三角学与球面三角学

《应用于三角形的数学定律》是韦达最早的数学专著之一，也是早期系统论述平面和球面三角学的著作之一。韦达还专门写了一篇论文“截角术”，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程，具体给出了将表示成的函数，并给出当n等于任意正整数的倍角表达式了。

符号代数与方程理论

《分析方法入门》是韦达最重要的代数著作，也是最早的符号代数专著，书中第1章应用了两种希腊文献：帕波斯的《数学文集》第7篇和丢番图著作中的解题步骤结合起来，认为代数是一种由已知结果求条件的逻辑分析技巧，并自信希腊数学家已经应用了这种分析术，他只不过将这种分析方法重新组织。韦达不满足于丢番图对每一问题都用特殊解法的思想，试图创立一般的符号代数。他引入字母来表示量，用辅音字母B，C，D等表示已知量，用元音字母A（后来用过N）等表示未知量x，而用A quadratus，A cubus 表示，并将这种代数称为本“类的运算”以此区别于用来确定数目的“数的运算”。当韦达提出类的运算与数的运算的区别时，就已规定了代数与算术的分界。这样，代数就成为研究一般的类和方程的学问，这种革新被认为是数学史上的重要进步，它为代数学的发展开辟了道路，因此韦达被西方称为“代数学之父”。1593年，韦达又出版了另一部代数学专著──《分析五篇》（5卷，约1591年完成）；《论方程的识别与订正》是韦达逝世后由他的朋友A．安德森在巴黎出版的，但早在1591年业已完成。其中得到一系列有关方程变换的公式，给出了G．卡尔达诺三次方程和L．费拉里四次方程解法改进后的求解公式。而另一成就是记载了著名的韦达定理，即方程的根与系数的关系式。韦达还探讨了代数方程数值解的问题，1591年已有纲要，1600年以《幂的数值解法》为题出版。

几何学的贡献

1593年韦达在《分析五篇》中曾说明怎样用直尺和圆规作出导致某些二次方程的几何问题的解。同年他的《几何补篇》（Supplementum geometriae）在图尔出版了，其中给尺规作图问题所涉及的一些代数方程知识。此外，韦达最早明确给出有关圆周率π值的无穷运算式，而且创造了一套10进分数表示法，促进了记数法的改革。之后，韦达用代数方法解决几何问题的思想由笛卡儿继承，发展成为解析几何学。

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泊松







泊松，S－D（POISSON，Sieon－Denis）1781年6月21日生于法国卢瓦雷省皮蒂维耶；1840年4月25日卒于巴黎。泊松是一位数学家，力学家和物理学家。他毕生从事数学的教学和研究。泊松工作的特色是应用数学方法研究各种力学和物理学问题，并由此得到数学上的发现。他发表过300多篇论文，所著两卷《力学教程》在很长的时期内被认为是标准的教科书。泊松还将数学应用于物理学，涉及电，磁，热，声，光等许多方面。他把引力理论的泊松方程推广应用到电学和磁学的理论，为静电势理论的建立作出了贡献。泊松晚年从事概率论研究，作出了重要贡献。与他通过力学和物理学问题研究数学的惯常做法不同，泊松是从法庭审判问题出发研究概率论的。泊松在《关于刑事案件和民事案件审判概率的研究》等著作中，提出了描述随机现象的一种常用的分布，即泊松分布。泊松在数学上的研究涉及定积分，有限差分理论，偏微分方程，变分法，级数等许多方面。他是第一个沿着复平面上的路径实行积分的人。他给出了调和分析中的泊松求和公式。欧拉-马克劳林求和公式的余项也是由泊松首先加上去的。由于泊松研究的范围十分广泛而有成效，所以不少数学名词都与他的名字联系在一起。列如，在数学物理方面，有热传导问题中的泊松积分，波动方程柯西问题解的泊 松公式，位势理论中的泊松方程等。在概率论方面，除泊松分布外，还有泊松变量，泊松过程，泊松试验，泊松大数定律等。将摄动函数展开成幂级数和三角级数的混合级数，就叫做泊松级数。

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莱布尼兹







莱布尼兹（Gottfried Wilhelm Leibniz，1646－1716）是17.18世纪之交德国最重要的数学家、物理学家和哲学家，一个举世罕见的科学天才。他博览群书，涉猎百科，对丰富人类的科学知识宝库做出了不可磨灭的贡献。

一、生平事迹

莱布尼兹出生于德国东部莱比锡的一个书香之家，父亲是莱比锡大学的道德哲学教授，母亲出生在一个教授家庭。莱布尼兹的父亲在他年仅6岁时便去世了，给他留下了丰富的藏书。莱布尼兹因此得以广泛接触古希腊罗马文化，阅读了许多著名学者的著作，由此而获得了坚实的文化功底和明确的学术目标。15岁时，他进了莱比锡大学学习法律，一进校便跟上了大学二年级标准的人文学科的课程，还广泛阅读了培根、开普勒、伽利略、等人的著作，并对他们的著述进行深入的思考和评价。在听了教授讲授欧几里德的《几何原本》的课程后，莱布尼兹对数学产生了浓厚的兴趣。17岁时他在耶拿大学学习了短时期的数学，并获得了哲学硕士学位。

20岁时，莱布尼兹转入阿尔特道夫大学。这一年，他发表了第一篇数学论文《论组合的艺术》。这是一篇关于数理逻辑的文章，其基本思想是出于想把理论的真理性论证归结于一种计算的结果。这篇论文虽不够成熟，但却闪耀着创新的智慧和数学才华。

莱布尼兹在阿尔特道夫大学获得博士学位后便投身外交界。从1671年开始，他利用外交活动开拓了与外界的广泛联系，尤以通信作为他获取外界信息、与人进行思想交流的一种主要方式。在出访巴黎时，莱布尼兹深受帕斯卡事迹的鼓舞，决心钻研高等数学，并研究了笛卡儿、费尔马、帕斯卡等人的著作。1673年，莱布尼兹被推荐为英国皇家学会会员。此时，他的兴趣已明显地朝向了数学和自然科学，开始了对无穷小算法的研究，独立地创立了微积分的基本概念与算法，和牛顿并蒂双辉共同奠定了微积分学。1676年，他到汉诺威公爵府担任法律顾问兼图书馆馆长。1700年被选为巴黎科学院院士，促成建立了柏林科学院并任首任院长。

1716年11月14日，莱布尼兹在汉诺威逝世，终年70岁。

二、始创微积分

17世纪下半叶，欧洲科学技术迅猛发展，由于生产力的提高和社会各方面的迫切需要，经各国科学家的努力与历史的积累，建立在函数与极限概念基础上的微积分理论应运而生了。微积分思想，最早可以追溯到希腊由阿基米德等人提出的计算面积和体积的方法。1665年牛顿创始了微积分，莱布尼兹在1673～1676年间也发表了微积分思想的论著。以前，微分和积分作为两种数学运算、两类数学问题，是分别的加以研究的。卡瓦列里、巴罗、沃利斯等人得到了一系列求面积（积分）、求切线斜率（导数）的重要结果，但这些结果都是孤立的，不连贯的。只有莱布尼兹和牛顿将积分和微分真正沟通起来，明确地找到了两者内在的直接联系：微分和积分是互逆的两种运算。而这是微积分建立的关键所在。只有确立了这一基本关系，才能在此基础上构建系统的微积分学。并从对各种函数的微分和求积公式中，总结出共同的算法程序，使微积分方法普遍化，发展成用符号表示的微积分运算法则。因此，微积分“是牛顿和莱布尼兹大体上完成的，但不是由他们发明的”（恩格斯：《自然辩证法》）。

然而关于微积分创立的优先权，数学上曾掀起了一场激烈的争论。实际上，牛顿在微积分方面的研究虽早于莱布尼兹，但莱布尼兹成果的发表则早于牛顿。莱布尼兹在1684年10月发表的《教师学报》上的论文，“一种求极大极小的奇妙类型的计算”，在数学史上被认为是最早发表的微积分文献。牛顿在1687年出版的《自然哲学的数学原理》的第一版和第二版也写道：“十年前在我和最杰出的几何学家G、W莱布尼兹的通信中，我表明我已经知道确定极大值和极小值的方法、作切线的方法以及类似的方法，但我在交换的信件中隐瞒了这方法，……这位最卓越的科学家在回信中写道，他也发现了一种同样的方法。他并诉述了他的方法，它与我的方法几乎没有什么不同，除了他的措词和符号而外。”（但在第三版及以后再版时，这段话被删掉了。）因此，后来人们公认牛顿和莱布尼兹是各自独立地创建微积分的。牛顿从物理学出发，运用集合方法研究微积分，其应用上更多地结合了运动学，造诣高于莱布尼兹。莱布尼兹则从几何问题出发，运用分析学方法引进微积分概念、得出运算法则，其数学的严密性与系统性是牛顿所不及的。莱布尼兹认识到好的数学符号能节省思维劳动，运用符号的技巧是数学成功的关键之一。因此，他发明了一套适用的符号系统，如，引入dx表示x的微分，∫表示积分，dnx表示n阶微分等等。这些符号进一步促进了微积分学的发展。1713年，莱布尼兹发表了《微积分的历史和起源》一文，总结了自己创立微积分学的思路，说明了自己成就的独立性。

三、高等数学上的众多成就

莱布尼兹在数学方面的成就是巨大的，他的研究及成果渗透到高等数学的许多领域。他的一系列重要数学理论的提出，为后来的数学理论奠定了基础。

莱布尼兹曾讨论过负数和复数的性质，得出复数的对数并不存在，共扼复数的和是实数的结论。在后来的研究中，莱布尼兹证明了自己结论是正确的。他还对线性方程组进行研究，对消元法从理论上进行了探讨，并首先引入了行列式的概念，提出行列式的某些理论。此外，莱布尼兹还创立了符号逻辑学的基本概念，发明了能够进行加、减、乘、除及开方运算的计算机和二进制，为计算机的现代发展奠定了坚实的基础。

四、丰硕的物理学成果

莱布尼兹的物理学成就也是非凡的。他发表了《物理学新假说》，提出了具体运动原理和抽象运动原理，认为运动着的物体，不论多么渺小，他将带着处于完全静止状态的物体的部分一起运动。他还对笛卡儿提出的动量守恒原理进行了认真的探讨，提出了能量守恒原理的雏型，并在《教师学报》上发表了“关于笛卡儿和其他人在自然定律方面的显著错误的简短证明”，提出了运动的量的问题，证明了动量不能作为运动的度量单位，并引入动能概念，第一次认为动能守恒是一个普通的物理原理。他又充分地证明了“永动机是不可能”的观点。他也反对牛顿的绝对时空观，认为“没有物质也就没有空见，空间本身不是绝对的实在性”，“空间和物质的区别就象时间和运动的区别一样，可是这些东西虽有区别，却是不可分离的”。在光学方面，莱布尼兹也有所建树，他利用微积分中的求极值方法，推导出了折射定律，并尝试用求极值的方法解释光学基本定律。可以说莱布尼兹的物理学研究一直是朝着为物理学建立一个类似欧氏几何的公理系统的目标前进的。

五、中西文化交流之倡导者

莱布尼兹对中国、的科学、文化和哲学思想十分关注，是最早研究中国文化和中国哲学的德国人。他向耶酥会来华传教士格里马尔迪了解到了许多有关中国的情况，包括养蚕纺织、造纸印染、冶金矿产、天文地理、数学文字等等，并将这些资料编辑成册出版。他认为中西相互之间应建立一种交流认识的新型关系。在《中国近况》一书的绪论中，莱布尼兹写道：“全人类最伟大的文化和最发达的文明仿佛今天汇集在我们大陆的两端，即汇集在欧洲和位于地球另一端的东方的欧洲──中国。”“中国这一文明古国与欧洲相比，面积相当，但人口数量则已超过。”“在日常生活以及经验地应付自然的技能方面，我们是不分伯仲的。我们双方各自都具备通过相互交流使对方受益的技能。在思考的缜密和理性的思辩方面，显然我们要略胜一筹”，但“在时间哲学，即在生活与人类实际方面的伦理以及治国学说方面，我们实在是相形见拙了。”在这里，莱布尼兹不仅显示出了不带“欧洲中心论”色彩的虚心好学精神，而且为中西文化双向交流描绘了宏伟的蓝图，极力推动这种交流向纵深发展，是东西方人民相互学习，取长补短，共同繁荣进步。

莱布尼兹为促进中西文化交流做出了毕生的努力，产生了广泛而深远的影响。他的虚心好学、对中国文化平等相待，不含“欧洲中心论”偏见的精神尤为难能可贵，值得后世永远敬仰、效仿。

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达朗贝尔







达朗贝尔，J L R（D'Alembert Jean Le Rond）1717年11月17日生于法国巴黎；1783年10月29日卒于巴黎。物理学家，数学家。

达朗贝尔作为数学家，同18世纪其他数学家一样，认为求解物理（主要是力学，包括天体力学）问题是数学的目标。他对力学的发展作出了重大贡献，也是数学分析中一些重要分支的开拓者。

力学基础研究

（1）动力学基础的建立。牛顿力学体系的建立，是18世纪的科学家们完成的。达朗贝尔是这批学者的杰出代表之一。他在力学基础上的贡献，集中反映在他的《动力学》中。

（2）流体力学研究。流体的力学研究从牛顿开始，但作为一门学科－流体力学，则是18世纪的欧拉，D 伯努利（Bernoulli），克莱洛和达朗贝尔打下的基础。1752年发表的“流体阻尼的一种新理论”一文，第一次用流体力学的微分方程表示场，并提出了著名的达朗贝尔佯谬

（3）天体力学的奠基者之一。其贡献主要集中在两部著作中：一是1749年出版的《分点岁差和地球章动的研究》；一是《宇宙体系的几个要点研究》共分3卷，1754年出版前2卷，1756年出版第3卷。其中贡献最大的是下面两个课题：一是月球运动理论，二是关于地球形状和自转的理论。

数学分析的开拓者

自牛顿GM 莱布尼茨（Leibniz）发现微积分后，数学发展到一个新阶段。英国数学界由于坚持几何方法而进展缓慢；欧洲大陆数学家却继续在分析方法上不断探索而迅速发展，进入数学分析的开拓时期。达朗贝尔是重要的开拓者之一，其成就仅次与欧拉，拉格朗日，拉普拉斯. D. 伯努利。达朗贝尔的数学成果后来全部收入《数学手册》。下面介绍其主要贡献。

（1）极限概念。达朗贝尔在《百科全书》的“微分”条目中写到：“微分学是作为最初和最终比的方法，即求出这些比的极限的一种方法。”文中还把导数看成极限，并论证0/0可等于任何量。

（2）级数理论。无穷级数在18世纪中，形式讨论占主导地位，一般都作为多项式的推广，只有少数人区别开收敛级数和发散级数。达朗贝尔是其中之一。18世纪已出现三角级数，达朗贝尔就是否所有函数都能表示为三角级数的问题，同欧拉和拉格朗日等进行了激烈的讨论，为19世纪建立三角级数理论打下基础。

（3）微分方程。随着18世纪的力学和天体力学课题的广泛深入研究，常微分方程得到迅速发展。达朗贝尔在这方面的贡献集中在求解上。

达朗贝尔在数学上还有很多其他成果：他是早期研究复数性质的人；还是证明代数学基本定理的最早数学家之一，虽然证明不完全；他对概率论也有研究。

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伽罗华







伽罗华，E．（Galois，Evariste）1811年10月25日生于法国巴黎附近的拉赖因堡；1832年5月31日卒于巴黎。

伽罗华最主要的成就是提出了群的概念，用群论彻底解决了代数方程的可解性问题。人们为了纪念他，把用群论的方法研究代数方程根式解的理论称之为伽罗华理论。他已成为近世代数学的最有生命力的一种理论。他注意到每个方程都可以与一个置换群联系起来，即与他的根之间的某些置换组成的群联系；现在称这种群为伽罗华群。对于任一个取有理数值的关于根的多项式函数，伽罗华群中的每个置换都使该函数的值不变。反过来，如果伽罗华群中的每个置换都使一个根的多项式函数的值不变，则这多项式函数的值是有理的。因此一个方程的伽罗华群完全体现了他的根（整体）的对称性。伽罗华的思想大致是这样的：他将每个方程对应于一个域，即含有方程全部根的域（现在称之为方程的伽罗华域），这个域又对应一个群，即这个方程的伽罗华群。这样，他就把代数方程可解性问题转化为与方程相关的置换群及其子群性质的分析问题。这就是伽罗华工作的重大突破。伽罗华的工作主要基于两篇论文──“关于方程根式解的条件”和“用根式求解的本原方程”。在这些论文中，伽罗华将其理论应用于代数方程的可解性问题，由此引入了群论的一系列重要概念。在《关于方程代数解法论文的分析》中，伽罗华提出了一个重要定理（未加证明）：一个素数次方程可用根式求解的充要条件是这个方程的每个根都是其中两个根的有理函数。伽罗华用它判别特殊类型方程的根式解问题。

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黎曼







黎曼，G．F．B（Riemann，Georg Friedrich Bernhard）1826年9月17日生于德国汉若威的布雷斯塞论茨；1866年7月20日卒于意大利塞拉斯卡。

黎曼是对现代数学影响最大的数学家之一，我们从他当时的数学水平来看，他作为伟大的分析学家，其成就可以分为八个领域来论述。前4个领域是关于复分析方面的，他第一个有意识的将实域过渡到复域，开创了复变函数域，代数函数论，常微分方程解析理论及解析数论诸方向；后4个领域主要涉及实分析，在积分理论，三角级理论，微分几何学，数学物理方程等方面取得重大突破。重要的是一个多世纪之前的成就却直接同现代数学中的拓扑方法，一般流形概念，联系拓扑与分析的黎曼－洛赫定理，代数几何学特别是阿贝尔簇以及参模等紧密相连，他的空间观念及黎曼几何更预示着广义相对论，正是他促发了现代数学的革命性变革。

他的具体成就有：

一、复变函数论

黎曼和柯西及魏尔斯特拉斯被公认为复变函数论三大奠基人。而黎曼：

1．通过复变函数的导数定义，建立复变函数论的基础。

2．对多值函数定义黎曼曲面。

3．黎曼曲面的拓扑（黎曼是第一个研究曲面拓扑的人，他引进横剖线的方法来研究曲面的连通性质）。

4．黎曼曲面上的函数论（黎曼研究的基本问题是黎曼曲面上函数的存在性及唯一性问题。他比以前数学家的先进之处在于，函数的存在不必通过构造出解析表达式来证明，黎曼可以通过其奇点来定义，这对后世数学有重要影响。）。

5．狄利克雷原理（黎曼给出其证明并有效地表述及运用狄利克雷原理，这个原理是他从狄利克雷的课程中学来的）。

二、阿贝尔函数论

关于阿贝尔函数，黎曼发表过两篇文章：一是《阿贝尔函数论》，一是《论函数的零点》。

1．阿贝尔积分的表示及分类（黎曼对由定义的黎曼曲面上所有阿贝尔积分进行了分类。第一类阿贝尔积分，在黎曼曲面上处处有界。线性独立的第一类阿贝尔积分的数目等于曲面的亏格p，如果曲面的连通数，这p个阿贝尔积分称为基本积分。第二类阿贝尔积分，在黎曼曲面上以有限多点为极点。第三类阿贝尔积分，在黎曼曲面上具有对数奇点。每一个阿贝尔积分均为以上三类积分的和。

2．黎曼－洛赫定理（这是代数函数论及代数几何学最重要的定理。黎曼得到的黎曼不等式，是黎曼－洛赫定理的原始形态）。

3．黎曼矩阵，黎曼点集和阿贝尔函数。

4．函数及雅可比反演问题（为了研究雅可比簇，黎曼推广雅可比函数，引进了黎曼函数）。

5．双有理变换的概念和参模。

三、超几何级数和常微分方程

超几何微分方程有3个奇点0，1，α，它作为二阶微分方程有两个独立特解y1和y2，其他解均为这两解的线形组合。黎曼的思想是当y1，y2沿绕奇点的路径变化时必经历线形变换。对于所有绕奇点的路径，这些变换组成群。他把结果推广到m个奇点n个独立函数的情形，他证明给定线形变换后，这n个独立函数满足一个n阶线形微分方程，但他没有证明这些奇点（支点）和这些变换可以任意选取，从而留下了著名的黎曼问题。希尔伯特把他列入23个问题中的第21个问题。

四、解析理论

黎曼是现代意义下解析数论的奠基者，生前他只在1859年发表过一篇论文《论给定数以内的素数数目》。

五、实分析──函数观念，黎曼积分，傅立叶级数，连续不可微函数

黎曼积分是数学特别是物理应用的主要分析工具；黎曼还是最早认识到连续性及可微性的区别的数学家之一。

六、几何学

黎曼的空间观念使数学及物理发生空前的变革。黎曼的几何论文有两篇，一篇是他的授课资格的演讲，另一篇是所谓《巴黎之作》，即《论热传导问题》。