历史上著名数学人物简介

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康托尔







康托尔，G．F．L．Ph（Cantor，Georg Ferdinand Ludwig Philipp）1845年3月3日生于俄罗斯圣彼得堡；1918年1月6日卒于德国萨克森的哈雷。他的成就不是一直在解决问题，他对数学最重要的贡献是他询问问题的特殊方法，从而开创了大量新的研究领域。这使他成为数学史上最富于想象力，也是最有争议的人物之一。1874年，29岁的康托尔就在《克雷儿数学杂志》上发表了关于超穷集合论的第一篇革命性文章，引入了震撼知识界的无穷的概念。这篇文章的题目叫：“关于一切代数实数的一个性质”。1879年至1884年间，康托尔相继发表了六篇系列文章，并汇集成《关于无穷线性点集》，其中前四篇直接建立了集合论的一些重要的数学结果。随后他又发表了第五和第六两篇文章，简洁而系统地阐述了超穷集合论。他在第三篇文章里，还专门讨论了由集合论产生的数学和哲学问题。这篇文章非常重要，后来曾以《集合通论基础，无穷理论的数学和哲学的探讨》简称《集合论基础》为题作专著单独出版。康托尔最著名的著作是1895－1897年出版的《超无穷数理论基础》。

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皮亚诺







皮亚诺，G．（Peano，giuseppe）1958年8月27日生于意大利库内奥（Cuneo）附近的斯皮内塔（Spinetta）村；1932年4月20日卒于都灵（Turin）．数学、逻辑学。

皮亚诺作为符号逻辑的先驱和公理化方法的推行人而著名。皮亚诺以简明的符号及公理体系为数理逻辑和数学基础的研究开创了新局面。他的逻辑方面的篇文章出现在他1888年出版的《几何演算基于格拉斯曼的“扩张研究”》一书中。该文独立成章共20页，是关于“演绎逻辑的运算”，1889年皮亚诺的名著《算术原理新方法》出版，在这本小册子中他完成了对整数的公理化处理，在逻辑符号上有许多创新，从而使推理更加简洁。书中他给出了举世闻名的自然数公理，成为经典之作。1891年皮亚诺创建了《数学杂志》，并在这个杂志上用数理逻辑符号写下了这组自然数公理，且证明了它们的独立性。皮亚诺的《数学公式汇编》共有5卷，1895－1908年出版，仅第五卷就含有4200条公式和定理，有许多还给出了证明，书中有丰富的历史与文献信息，有人称它为“无穷的数学矿藏”。皮亚诺引入并推广了“测度”的概念。皮亚诺认为自己最重要的工作在分析方面。1883年他给出了定积分的一个新定义，将黎曼和当其最小上界等于最大下界时所取的公共值。这是设法使积分定义摆脱极限概念所做的努力。1886年他率先证出一阶微分方程y'＝f（x，y）可解的唯一条件是f的连续性，并给出了稍欠严格的证明。1893年，皮亚诺发表了《无穷小分析教程》，被德国的数学百科全书列在“自L．欧拉（Euler）和A．L，柯西（GAUCHY）时代以来最重要的19本微积分教科书”之中。皮亚诺撰写的《数学百科全书》有很多引人注目的地方。例如对微分中值定理的推广；多变量函数一致连续性的判定定理；隐函数存在定理以及其可微性定理的证明；部分可微但整体不可微的函数的例子；多变元函数泰勒展开的条件；当时流行的极小理论的反例等。

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冯·诺伊曼







冯·诺伊曼，J（vonNeumann，John）1903年12月28日生于匈牙利布达佩斯；1957年2月8日卒于美国华盛顿。数学，物理，计算机科学。冯·诺伊曼一生担任过许多科学职位，获得了众多荣誉，最主要的有：1937年获美国数学会博歇奖；1947年获美国数学会吉布斯（Gibbs）讲师席位，并得到功勋奖章（总统奖）；1951-1953年任美国数学会主席；1956年获爱因斯坦纪念奖及费米奖。

他发表的学术论文共有150余篇，全部收录在1961年珀格蒙出版社出版的《冯·诺伊曼文集》。其中60篇是纯粹数学方面的，60篇关于应用数学，20篇属于物理学。冯·诺伊曼以其超人的才思和丰硕的学术成果，成为一代科学巨匠。

纯粹数学

冯·诺伊曼在纯粹数学方面的工作集中于1925年－1940年，主要可分为以下六个方向。

1．集合论与数学基础

冯．诺伊曼借助与ZF公理系统中初始截断的概念和无穷公理，给出了序数及超限序数形式化的新定义，这种定义一直沿用至今。冯·诺伊曼的博士毕业论文“集合论的公理化”。他所建立的公理体系经P．贝尔纳斯和K．哥德尔完善之后，形成了公理化集合论中又一新的系统──NBG系统。

2．测度论

测度论在冯·诺伊曼的整个研究工作中并非处于中心地位，但他给出了许多很有价值的方法和结果。

3．遍历理论

冯·诺伊曼在这一领域的首要成就，是证明了平均遍历定理。第33卷《数学纪事》刊登的他的颇有影响力的文章“古典力学中的算子方法”，标志着对遍历理论系统研究的开端。

4．群论

冯·诺伊曼的一个著名成果，是在1933年对紧致集解决了希尔伯特第五问题。1933年，他在《数学纪事》第34卷上发表“拓扑群中解析参数导论”，证明每个局部同胚于欧氏空间的紧致群的条件下的得到了肯定的回答。

5．算子理论

对算子理论的探索贯穿了冯·诺伊曼的整个可科学生涯，这方面的论文占他全部著述的三分之一，他在这个领域有着二十多年的领导地位。冯·诺伊曼的谱理论形成，加上1933年巴拿赫所著《线性算子理论》一书问世，标志着数学领域中又一新的分支──泛函分析的诞生。算子环的正式定义出现在冯·诺伊曼1929年的论文“函数运算代数和正规算子理论”。这篇论文还包括了“交换子”、“因子”等重要定义，以及二次交换子定理。

6．格论

正则环是冯·诺伊曼引入的新概念。冯·诺伊曼又发展了一些新的思想方法，其中主要是关于格的分配性：数对的分配性、独立元的分配性和无穷分配性等。他最早发现，在布尔代数中，交与并的运算必然是无穷分配的，而这种分配性又等价于连续性。他在格论方面的工作主要通过1935年－1937年高级研究院讲义《复域几何》、《连续几何》及美国科学院会议录得以保存和传播。

应用数学

1940年以后，随着第二次世界大战中政治、经济和军事形势的发展，冯·诺伊曼开始把精力更多地投注于实际问题之中，主要是计算数学和对策论两方面的工作。

1．计算数学

冯·诺伊曼从数值稳性分析、误差估计、矩阵求逆和含间断性解的计算等数个方向进行了探索。1946年，他和V．巴格曼、D．蒙哥马利合作，向海军武器实验室提交了报告“高阶线性系统求解”，对线性方程组的各种解法进行了系统的阐述，并探讨了利用计算机进行求解的可能性。1947年，他又同H．哥德斯坦研究了高阶矩阵的数值求逆，并给出了严格的误差估计，特别是对150阶求逆所能达到的精确程度给出了有意义的结果。在解决可压缩气体运动尤其是存在间断性的情况是，冯·诺伊曼创造了人工粘性法。电子计算机产生之后，冯·诺伊曼又推出了利用计算机进行数值分析的新思想、新方法，从而推动了计算数学的兴起与形成，也使他成为现代科学计算的奠基人之一。

2．对策论与数理经济

冯·诺伊曼是对策论（又称博奕论〕的创始人和现代数理经济学的开拓者之一。对策理论作为学科的真正创立，则是从冯·诺伊曼1928年发表“关于伙伴游戏理论”开始的。1940年，奥地利经济学家O．摩根斯坦与冯·诺伊曼经过四年合作出版了《对策论与经济行为》。这部著作对1928年的论文进一步阐述，如增加了“分配”、“控制”的概念，定义了冯·诺伊曼－摩根斯坦解。全书有近三分之二的篇幅是处理合作对策问题的。书中另一重要成果是对策论在经济理论基本问题中的应用。

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歌德巴赫







歌德巴赫，C．（Goldbach，Christian）1690年 3 月 18 日生于普鲁士柯尼斯堡（今俄罗斯加里宁格勒）；1764年11月20日卒于俄国莫斯科。数学。

作为数学家，歌德巴赫是非职业性的。他对数学有着敏锐的洞察力，加上与许多大数学家的交往，以及其特殊的社会地位，使得他提出的问题激励了许多人研究，从而推动了数学的发展。关于歌德巴赫，最有名的莫过于“歌德巴赫猜想”！1742年6月7日，歌德巴赫在给欧拉的信中提出：每一个大于2的偶数都是两个素数的和。例如4＝2＋2，6＝3＋3，48＝29＋19，100＝97＋3，等等。欧拉在同年6月30日的回信中说他相信这个猜想，但他不能证明。这个猜想的叙述如此简单，却连大数学家欧拉都不能证明，这引起了大家的注意。历代数学家都试探过，但直到250多年后的今天，还没有人能完全证明这个猜想。

1770年，E．华林（Waring）将歌德巴赫猜想发表出来，并加上“每一个奇数或者是素数或者是三个素数的和”的命题。稍加改变的提法是“每一个大于或等于9的奇数都是三个奇素数的和”，这是歌德巴赫猜想的推论。

1900年，大数学家D．希尔伯特（Hilbert）在巴黎数学家大会上提出对本世纪数学发展有重大影响的23个问题，其中歌德巴赫猜想被列为第8个问题。

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柯西







柯西，A．L．（Cauchy，Augustin－Louis）1789年8月21日生于法国巴黎；1857年5月22日卒于法国斯科。数学、数学物理、力学。

数学分析严格化的开拓者

分析严格化的需要

柯西怀着严格化的明确目标，为数学分析建立了一个基本严谨的完整体系。他说：“至于方法，我力图赋予……几何学中存在的严格性，决不求助于从代数一般性导出的推理。这种推理……只能认为是一种推断，有时还适用于提示真理，但与数学科学的令人叹服的严谨性很不相符。”他说他通过分析公式成立的条件和规定所用记号的意义，“消除了所有不确定性”，并说：“我的主要目标是使严谨性（这是我在《分析教程》中为自己制定的准绳）与基于无穷小的直接考虑所得到的简单性和谐一致。”

极限与无穷小

柯西规定：“当一个变量相继取的值无限接近于一个固定值，最终与此固定值之差要多小就有多小时，该值就称为所有其他值的极限。”“当同一变量相继取的数值无限减小以至降到低于任何给定的数，这个变量就成为人们所称的无穷小或无穷小量。这类变量以零为其极限。”“当同一变量相继取的数值越来越增加以至升到高于每个给定的数，如果它是正变量，则称它以正无穷为其极限，记作∞；如果是负变量，则称它以负无穷为其极限，记作－∞。”

从字面上看，柯西的定义与在此以前达朗贝尔、拉克鲁瓦所给的定义差别不大，但实际上有巨大改进。

首先，柯西常常把他的定义转述为不等式。在讨论复杂表达式的极限时，他用了ε－δ论证法的雏型。其次，他首次放弃了过去定义中常有的“一个变量决不会超过它的极限”这类不必要的提法，也不提过去定义中常涉及的一个变量是否“达到”它的极限，而把重点放在变量具有极限时的性态。最后，他以极限为基础定义无穷小和微积分学中的基本概念，建立了级数收敛性的一般理论。

函数及其连续性

柯西以接近于现代的方式定义单元函数：“当一些变量以这样的方式相联系，即当其中之一给定时，能推知所有其他变量的值，则通常就认为这些变量由前一变量表示，此变量取名为自变量，而其余由自变量表示的变量，就是通常所说的该自变量的一些函数。”他以类似方式定义多元函数，并区别了显函数和隐函数，用他建立的微分方程解的存在性定理在较强条件下证明了隐函数的局部存在性。

柯西给出了连续的严格定义：“函数f（x）是处于两个指定界限之间的变量x的连续函数，如果对这两个界限之间的每个值x，差f（x＋a）－f（x）的数值随着a无限减小。换言之，……变量的无穷小增量总导致函数本身的无穷小增量。”在一个附录中，他给出了闭区间上连续函数介值性质的严格证明，其中用到了“区间套”思想。

微分学

柯西按照前人方式用差商的极限定义导数，但在定义中多了一句：“当这个极限存在时，……用加撇符号y'或f'（x）表示。”这表明他已用崭新的方式考虑问题。他把导数定义转述为不等式，由此证明有关的各种定理。

柯西以割线的极限位置切线，用中值定理证明极限点处切线的水平性。他证明了f'（x0）＝……＝f（n－1）（x0）＝0时用f（n）（x0）的符号判断极大、极小的命题。他由自己的中值定理推导出洛必达法则。这样，他就为微分学的应用奠定了严格的理论基础。

积分学

他既给出了连续函数定积分的定义，又证明了它的存在性。他还指出这种定义对于不能把被积函数转化为原函数的一般情形也适用。他给出了现在通用的广义积分的定义。

柯西简洁而严格地证明了微积分学基本定理即牛顿－莱布尼茨公式。他利用定积分严格证明了带余项的泰勒公式，还用微分与积分中值定理表示曲边梯形的面积，推导了平面曲线之间图形的面积、曲面面积和立体体积的公式。

柯西的定义是从仅把积分看作微分逆运算走向现代积分理论的转折点，他坚持先证明存在性则是从依赖直觉到严格分析的转折点。

级数论

柯西是第一个认识到无穷级数论并非多项式理论的平凡推广而应当以极限为基础建立其完整理论的数学家。他以部分和有限定义级数收敛并以此极限定义收敛级数之和。18世纪中许多数学家都隐约地使用过这种定义，柯西则明确地陈述这一定义，并以此为基础比较严格地建立了完整的级数论。他给出所谓“柯西准则”，证明了必要性，并以理所当然的口气断定充分性。对于正项级数，他严格证明了比率判别法和他创造的根式判别法；指出ΣUn与Σ2nU2n同时收敛或发散，由此推出一些常用级数的敛散性；证明两个收敛级数Σ的积级数Σ收敛。对于一般项级数，他引进了绝对收敛概念，指出绝对收敛级数必收敛；收敛级数之和收敛，但积不一定收敛，并举出反例

对于幂级数，柯西得到了收敛半径公式，他以例子f（x）＝e－1/x2表明，一个函数可为它的泰勒级数代替只当后者收敛且其和等于所给函数。

影响

在柯西手里，微积分构成了由定义、定理及其证明和有关的各种应用组成的逻辑上紧密联系的体系。他的分析教程成为严格分析诞生的起点。

复变函数论的奠基人

19世纪，复变函数论逐渐成为数学的一个独立分支，柯西为此作了奠基性的工作。

复函数与复幂级数

《分析教程》中有一半以上篇幅讨论复数与初等复函数，这表明柯西早就把建立复变函数论作为分析的一项重要工程。他以形式方法引进复数（“虚表示式”），定义其基本运算，得到这些运算的性质。他比照实的情形定义复无穷小与复函数的连续性。

复积分

柯西写于1814年的关于定积分的论文是他创立复变函数论的第一步。文中给出了所谓柯西－黎曼方程；讨论了改变二重积分的次序问题，提出了被积函数有无穷型间断点时主值积分的观念并计算了许多广义积分。

柯西写于1825年的关于积分限为虚数的定积分的论文，是一篇力作。文中提出了作为单复变函数论基础的“柯西积分定理”。柯西本人用变分方法证明了这条定理，证明中曲线连续变形的思想，可以说是“同伦”观念的萌芽。文中还讨论了被积函数出现一阶与m阶极点时广义积分的计算。

残数演算

术语“残数”首次出现于柯西在1826年写的一篇论文中。他认为残数演算已成为“一种类似于微积分的新型计算方法”，可以应用于大量问题。

复变函数论的建立

C．A．布里奥于1859年出版了《双周期函数论》，阐明了柯西理论的对象，系统阐述了复变函数论，对于把柯西的观念传播到全欧洲起了决定性作用，标志着单复变函数论正式形成。

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斐波那契







斐波那契（Leonardo Fibonacci，约1170－约1250），意大利数学家，12、13世纪欧洲数学界的代表人物。生于比萨，早年跟随经商的父亲到北非的布日伊（今阿尔及利亚东部的小港口贝贾亚），在那里受教育。以后到埃及、叙利亚、希腊、西西里、法国等地游历，熟习了不同国度在商业上的算术体系。1200年左右回到比萨，潜心写作。

他的书保存下来的共有5种。最重要的是《算盘书》（1202年完成，1228年修订），算盘并不单指罗马算盘或沙盘，实际是指一般的计算。

其中最耐人寻味的是，这本书出现了中国《孙子算经》中的不定方程解法。题目是一个不超过105的数分别被3、5、7除，余数是2、3、4，求这个数。解法和《孙子算经》一样。另一个“兔子问题”也引起了后人的极大兴趣。题目假定一对大兔子每一个月可以生一对小兔子，而小兔子出生后两个月就有生殖能力，问从一对大兔子开始，一年后能繁殖成多少对兔子？这导致“斐波那契数列”：1，1，2，3，5，8，13，21，…，其规律是每一项（从第3项起）都是前两项的和。这数列与后来的“优选法”有密切关系。

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克莱因







克莱因（Felix Christian Klein 1849－1925），克莱因在杜塞尔多夫读的中学，毕业后，他考入了波恩大学学习数学和物理。他本来是想成为一位物理学家，但是数学教授普律克改变了他的主意。1868年克莱因在普律克教授的指导下完成了博士论文。

在这一年里，普律克教授去世了，留下了未完成的几何基础课题。克莱因是完成这一任务的最佳人选。后来克莱因又去服了兵役。1871年，克莱因接受哥廷根大学的邀请担任数学讲师。1872年他又被埃尔朗根大学聘任为数学教授，这时他只有23岁。1875年他在慕尼黑高等技术学院取得了一个教席。在这里，他的学生包括胡尔维茨、冯戴克、洛恩、普朗克、毕安奇和里奇。五年之后，克莱因应邀去莱比锡大学讲授几何学。在这里他和他过去的出色的学生冯戴克、洛恩、司徒迪和恩格尔等成为了同事。

1886年，克莱因接受了哥廷根大学的邀请来到哥廷根，开始了他的数学家的生涯。他讲授的课程非常广泛，主要是在数学和物理之间的交叉课题，如力学和势论。他在这里直到1913年退休。他实现了要重建哥廷根大学作为世界数学研究的重要中心的愿望。

著名的数学杂志《数学年刊》就是在克莱因的主持管理下才能在重要性上达到和超过了《克莱尔杂志》的。这本杂志在复分析、代数几何和不变量理论方面很有特色。在实分析和群论新领域也很出色。

要了解克莱因对在几何学上所作的贡献的特点是有点难的，因为即使用我们今天数学思想的大部分来理解他的结果的新奇之处也是很困难的。

克莱因在数学上做出的第一个贡献是在1870年与李合作发现的。他们发现了库默尔面上曲线的渐近线的基本性质。他进一步地与李合作研究W－曲线。1871年克莱因出版了两篇有关非欧几何的论文，论文中证明了如果欧氏几何是相容的，那么非欧几何也是相容的。这就把非欧几何置于与欧氏几何同样坚实的基础之上。

克莱因在他的著名的埃尔朗根纲领中，以变换群的观点综合了各种几何的不变量及其空间特性，以此为标准来分类，从而统一了几何学。今天这些观点已经成为大家的标准。变换在现代数学中扮演者主要角色。克莱因指明了如何用变换群来表达几何的基本特性的方法。

而克莱因自己认为他对数学的贡献主要在函数理论上。1882年他在一篇论文中用几何方法来处理函数理论并把势论与保形映射联系起来。他也经常把物理概念用在函数理论上，特别是流体力学。

克莱因对大于四次的方程特别是用超越方法来解五次的一般方程感兴趣。在厄尔米特和克隆耐克尔建立了与布里奥斯奇类似的方法之后，克莱因立刻就用二十面体群去试图完全解决这个问题。这个工作导致他在一系列论文中对椭圆模函数的研究。

1884年，克莱因在他的一本关于二十面体的重要著作中，得到了一种连接代数与几何的重要关系，他发展了自守函数论。他和一位来自莱比锡的数学家罗伯特·弗里克合作出版了一套四卷本的关于自守函数和椭圆模函数的著作，这本著作影响以后20年。另一个计划是出版一套数学百科全书。他积极地参与到这个工作中，与K，穆勒一起编辑力学部分的四卷。我们还要提到克莱因发现的克莱因瓶，一种只有一个面的曲面。

1885年克莱因被英国皇家学会选为国外会员并被授予科普勒奖金。

1908年克莱因被国际数学会选为在罗马召开的数学家大会主席。