【小学数学解题思路大全】式题的巧解妙算

与你同行

1.特殊数题(1)21－12
　　当被减数和减数个位和十位上的数字(零除外)交叉相等时，其差为被减数与减数十位数字的差乘以9。
　　因为这样的两位数减法，最低起点是21－12，差为9，即(2－1)×9。减数增加1，其差也就相应地增加了一个9，故31－13＝(3－1)×9＝18。减数从12—89，都可类推。
　　被减数和减数同时扩大(或缩小)十倍、百倍、千倍……，常数9也相应地扩大(或缩小)相同的倍数，其差不变。如
　　210－120＝(2－1)×90＝90，
　　0.65－0.56＝(6－5)×0.09＝0.09。
(2)31×51
　　个位数字都是1，十位数字的和小于10的两位数相乘，其积的前两位是十位数字的积，后两位是十位数字的和同1连在一起的数。
　　
　　若十位数字的和满10，进1。如
　　
　　证明：(10a＋1)(10b＋1)
　　＝100ab＋10a＋10b＋1
　　＝100ab＋10(a＋b)＋1
　　(3)26×86 42×62
　　
　　个位数字相同，十位数字和是10的两位数相乘，十位数字的积与个位数字的和为积的前两位数，后两位是个位数的积。若个位数的积是一位数，前面补0。
证明：(10a＋c)(10b＋c)
　　＝100ab＋10c(a＋b)＋cc
　　＝100(ab＋c)＋cc (a＋b＝10)。
(4)17×19
　　十几乘以十几，任意一乘数与另一乘数的个位数之和乘以10，加个位数的积。
　　原式＝(17＋9)×10＋7×9＝323
证明：(10＋a)(10＋b)
　　＝100＋10a＋10b＋ab
　　＝[(10＋a)＋b]×10＋ab。
(5)63×69
　　十位数字相同，个位数字不同的两位数相乘，用一个乘数与另个乘数的个位数之和乘以十位数字，再乘以10，加个位数的积。
　　原式＝(63＋9)×6×10＋3×9
　　＝72×60＋27＝4347。
证明：(10a＋c)(10a＋d)
　　＝100aa＋10ac＋10ad＋cd
　　＝10a[(10a＋c)＋d]＋cd。
(6)83×87
　　十位数字相同，个位数字的和为10，用十位数字加1的和乘以十位数字的积为前两位数，后两位是个位数的积。如

证明：(10a＋c)(10a＋d)
　　=100aa＋10a(c＋d)＋cd
　　＝100a(a＋1)＋cd(c＋d＝10)。

(7)38×22
　　十位数字的差是1，个位数字的和是10且乘数的个位数字与十位数字相同的两位数相乘，积为被乘数的十位数与个位数的平方差。
　　原式＝(30＋8)×(30－8)
　　＝302－82＝836。
　　(8)88×37
　　被乘数首尾相同，乘数首尾的和是10的两位数相乘，乘数十位数字与1的和乘以被乘数的相同数字，是积的前两位数，后两位是个位数的积。
　　
(9)36×15
　　乘数是15的两位数相乘。
　　被乘数是偶数时，积为被乘数与其一半的和乘以10；是奇数时，积为被乘数加上它本身减去1后的一半，和的后面添个5。

　　＝54×10＝540。
　　55×15
　　
(10)125×101
　　三位数乘以101，积为被乘数与它的百位数字的和，接写它的后两位数。125＋1＝126。
　　原式＝12625。
　　再如348×101，因为348＋3＝351，
　　原式＝35148。
(11)84×49
　　一个数乘以49，把这个数乘以100，除以2，再减去这个数。
　　原式＝8400÷2－84
　　＝4200－84＝4116。
(12)85×99
　　两位数乘以9、99、999、…。在被乘数的后面添上和乘数中9的个数一样多的0、再减去被乘数。
　　原式＝8500－85＝8415
　　　　　
　　不难看出这类题的积：
　　最高位上的两位数(或一位数)，是被乘数与1的差；
　　最低位上的两位数，是100与被乘数的差；
　　中间数字是9，其个数是乘数中9的个数与2的差。
证明：设任意两位数的个位数字为b、十位数字为a(a≠0)，则
　　　
　　如果被乘数的个位数是1，例如
　　31×999
　　在999前面添30为30999，再减去30，结果为30969。
　　71×9999＝709999－70＝709929。
　　这是因为任何一个末位为1的两位自然数都可表示为(10a＋1)的形式，由9组成的自然数可表示为(10n－1)的形式，其积为
　　(10a＋1)(10n－1)＝10n＋1a＋(10n－1)－10a。
(13)1÷19
　　这是一道颇为繁复的计算题。
　　原式＝0.052631578947368421。
　　根据“如果被除数不变，除数扩大(或缩小)若干倍，商反而缩小(或扩大)相同倍”和“商不变”性质，可很方便算出结果。
　　原式转化为0.1÷1.9，把1.9看作2，计算程序：
　　(1)先用0.1÷2＝0.05。
　　(2)把商向右移动一位，写到被除数里，继续除

　　如此除到循环为止。

　

　

　

　
　
　　仔细分析这个算式：
　　加号前面的0.05是0.1÷2的商，后面的0.05×0.1÷1.9中0.05×0.1＝0.005，就是把商向右移动一位写到被除数里，除以1.9。这样我们又可把除数看作2继续除，依此类推。
　　除数末位是9，都可用此法计算。
　　例如1÷29，用0.1÷3计算。
　　1÷399，用0.1÷40计算。
2.估算
　　数学素养与能力(含估算能力)的强弱，直接影响到人们的生活节奏和工作、学习、科研效率。已经引起世界有关专家、学者的重视，是个亟待研究的课题。
　　美国数学督导委员会，提出的12种面向全体学生的基本数学能力中，第6种能力即估算：“学生应会通过心算或使用各种估算技巧快速进行近似计算。当解题或购物中需要计算时，估算可以用于考查合理性。检验预测或作出决定……”
(1)最高位估算
　　只计算式中几个运算数字的最高位的结果，估算整个算式的值大概在什么范围。
　　例1 1137＋5044－3169
　　最高位之和1＋5－3＝3，结果在3000左右。
　　
　　如果因为忽视小数点而算成560，依据“一个不等于零的数乘以真分数，积必小于被乘数”估算，错误立即暴露。
　　例3 51.9×1.51
　　整体思考。
　　因为 51.9≈50，
　　而50×1.51≈50×1.5＝75，
　　又51.9＞50，1.51＞1.5，
　　所以51.9×1.51＞75。
　　另外9×1＝9，
　　所以原式结果大致是75多一点，三位小数的末位数字是9。
　　例4 3279÷79
　　把3279和79，看作3200和80。准确商接近40，若相差较大，则是错的。
(2)最低位估算
　　例如，6403＋232＋1578
　　3＋2＋8＝13，原式和的末位必是3。
(3)规律估算
　　和大于每一个加数；
　　两个真分数(或纯小数)的和小于2；
　　一个真分数与一个带分数(或一个纯小数与一个带小数)的和大于这个带分数(或带小数)，且小于这个带分数(或带小数)的整数部分与2的和；
　　
　　两个带分数(或带小数)的和总是大于两个带分数(或带小数)整数部分的和，且小于这两个整数部分的和加上2；
　　
　　奇数±奇数＝偶数，偶数±偶数＝偶数，奇数±偶数＝奇数；
　　差总是小于被减数；
　　整数与带分数(或带小数)的差小于整数与带分数(或带小数)的整数部分的差；带分数(或带小数)，与整数的差大于带分数(或带小数)的整数部分与整数的差。
　　 　　带分数(或带小数)与真分数(或纯小数)的差小于这个带分数(或带小数)，且大于带分数(或带小数)减去1的差；
　　
　　带分数与带分数(或带小数与带小数)的差小于被减数与减数的整数部分的差，且大于这个差减去1；
　　
　　如果两个因数都小于1，则积小于任意一个因数；
　　若两个因数都大于1，则积大于任意一个因数；
　　带分数与带分数(或带小数与带小数)的积大于两个因数的整数部分的积，且小于这两个整数部分分别加1后相乘的积； 例如，
　　
　　
　　A＜AB＜B。
　　奇数×偶数＝偶数，偶数×偶数＝偶数；
　　若除数＜1，则商＞被除数；
　　若除数＞1，则商＜被除数；
　　若被除数＞除数，则商＞1；
　　若被除数＜除数，则商＜1。
(4)位数估算
　　整数减去小数，差的小数位数等于减数的小数位数；例如，320－0.68，差为两位小数。
　　最高位的乘积满十的两个整数相乘的积的位数，等于这两个数的位数和；
　　例如，451×7103
　　最高位的积4×7＝28，满10，结果是3＋4＝7(位数)。在整除的情况下，被除数的前几位不够除，商的位数等于被除数的位数减去除数的位数；
　　例如，147342÷27
　　14不够27除，商是4－2＝2(位数)。
　　被除数的前几位够除，商的位数等于被除数的位数与除数位数的差加上1。
　　例如，30226÷238
　　302够238除，商是5－3＋1＝3(位数)。
(5)取整估算
　　把接近整数或整十、整百、……的数，看作整数，或整十、整百…的数估算。
　　如1.98＋0.97≈2＋1，和定小于3。
　　12×8.5≈10×10，积接近100。
3.并项式
　　应用交换律、结合律，把能凑整的数先并起来或去括号。
　　例1 3.34＋12.96＋6.66
　　　　＝12.96＋(3.34＋6.66)
　　
　　＝12.96＋10＝22.96
　　＝3－3＝0
　　例3 15.74－(8.52＋3.74)
　　＝15.74－3.74－8.52
　　＝12－8.52＝3.48
　　例4 1600÷(400÷7)
　　＝1600÷400×7
　　＝4×7
　　＝28

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4.提取式
　　根据乘法分配律，可逆联想。
　　
　　＝(3.25＋6.75)×0.4＝10×0.4
　　＝4
　　5.合乘式
　　
　　　　 ＝87.5×10×1＝875
　　　　 ＝8－7＝1
　　6.扩 缩 式
　　例1 1.6×16＋0.4×36
　　　　
　　　　＝0.4×(64＋36)
　　　　＝0.4×100＝40
　　例2 16×45
　　　　 　　
7.分 解 式
　　例如，14×72＋42×76
　　＝14×3×24＋42×76
　　＝42×(24＋76)
　　＝42×100＝4200
8.约 分 式
　　　
　　　　＝3×7×2＝42
　　例2 169÷4÷7×28÷13
　　　　
　　　
　　　　
　　　
　　　　
　　　
　　　　
　 　　　
　　
　　
　 　=1988
　　例7 1988 198819881988÷1989198919891989被除数与除数，分别除

与你同行

9.拆 分 式
　　

10.拆 积 式
　　例如，32×1.25×25
　　＝ 8×1.25×(4×25)
　　＝10×100＝1000
11.换 和 式
　　例1 0.1257×8
　　　　＝(0.125＋0.0007)×8
　　　　＝1＋0.0056＝1.0056
　　
　　
　　例4 8.37－5.68
　　　　＝(8.37＋0.32)－(5.68＋0.32)
　　　　＝8.69－6＝2.69

12.换 差 式 　　 　　 　　 　　　 13.换 乘 式 　　例1 123＋234＋345＋456＋567＋678 　　　　＝(123＋678)×3 　　　　＝801×3＝2403 　　例2(6.72＋6.72＋6.72＋6.72)×25 　　　　＝6.72×(4×25)＝672 　　例3 45000÷8÷125 　　　　＝45000÷(8×125) 　　　　＝45000÷1000＝45 　　例4 9.728÷3.2÷25 　　　　＝9.728÷(0.8×4×25) 　　　　＝9.728÷80 　　　　＝0.9728÷8＝0.1216 　　例5 33333×33333 　　　　＝11111×99999 　　　　＝11111×(100000－1) 　　　　＝1111100000－11111 　　　　＝1111088889 　　综合应用，例如 　　 　　＝1000＋7＝1007 　　 　　＝(11.75＋1.25－4.15－0.85)×125.25(转) 　　＝[(11.75＋1.25)－(4.15＋0.85)]×125.25(合) 　　＝8×125.25 　　＝8×(125＋0.25)(拆) 　　＝8×125＋8×0.25＝1002 14.换 除 式 　　例如，5600÷(25×7) 　　＝5600÷7÷25 　　＝800÷25＝32 15.直 接 除

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17.以乘代加

　　例1 7＋4＋5＋2＋3＋6

　　　　＝9×3＝27

　　

　　如果两个分数的分子相同，且等于分母之和(或差)，那么这两个分数的和(或差)等于它们的积。

　　
18.以乘代减

　　

　　知，两个分数的分子都是1，分母是连续自然数，其差等于其积。

　　

　　

　　

　　可见，各分数的分子都是1。第一个减数的分母等于被减数的分母加1。第二个减数的分母等于被减数的分母与第一个减数的分母的积加1，第n个减数的分母等于被减数的分母与第一、二、……第n-1个减数的分母的连乘积加上1。(n为不小于2的自然数)其差等于其积

19.以加代乘

　　

　　一个整数与一个整数部分和分子都是1，分母比整数(另个乘数)小1

20.以除代乘

　　例如，25×123678448

　　＝123678448×(100÷4)

　　＝12367844800÷4

　　＝3091961200


21.以减代除

　　

　　＝1986－662＝1324

　　3510÷15

　　

　　＝(3510－1170)÷10＝234

与你同行

.以乘代除　　例如，2.7÷4÷6×24÷27
　　　　
23.以除代除
　　
　　观察其特点，
　　
24.并数凑整
　　例如，372＋499
　　＝372＋500－1＝871
　　56.7－12.8
　　＝56.7－13＋0.2＝43.9
25.拆数凑整
　　例如，476＋302
　　＝476＋300＋2＝778
　　9.42－3.1
　　＝9.42－3－0.1＝6.32
26.加分数凑整
　　应用“被减数、减数同时增加或减少相同的数，其差不变”的性质，使原来减去一个带分数或带小数，变成减去整数。
　　
　　
　　例3 8.37-5.68
　　　=(8.37+0.32)-(5.68+0.32)
　　　=8.69-6=2.69

与你同行

.凑公因数　　例如，1992×27.5＋1982×72.5
　　＝1992×27.5＋(1992-10)×72.5
　　＝1992×27.5＋1992×72.5-10×72.5
　　＝1992×(27.5＋72.5)-725
　　=199200-725=198475
　　或原式=(1982＋10)×27.5＋1982×72.5
　　……

31.和差积法
　　
　　
32.直接写得数
　　
　　观察整数和分数部分，显然原式=3。
　　

33.变数为式
　　
　　
　　
　　
　　
　　……
　　
　　
34.分解再组合
　　例如，(1＋2＋3＋…＋99)＋(4＋8＋12＋…＋396)
　　＝(1＋2＋3＋…＋99)＋4(1+2+3＋…＋99)
　　＝5(1＋2+3＋…＋99)
35.先分解再通分
　　
　　有的学生通分时用短除法，找了许多数试除都不行，而断定57和76为互质数。
　　
　　判断两个数是否互质，不必用2、3、5、……逐个试除。把其中一个分解质因数，看另一个数能否被这里的某个质因数整除即可。
　　57＝3×19，如果57和76有公有的质因数，只可能是3或19。用3、19试除，
　　[57，76]＝19×3×4＝228。
　　
　　
　　26＝2×13，65和91是13的倍数。
　　最小公分母为
　　13×2×5×7＝910。

郝消息

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