巧思妙解

与你同行

善思出巧解



周忠飞



[题目]  小于100且与100互质的所有自然数的和是多少？

[分析与解]  我们知道，如果a与互质（a＜A),那么A－a也一定与A互质，且a与A－a这对数的和是A。例如：3与100互质，那么97也一定与100互质，且3＋97＝100。由此可知，只要知道100以内与100互质的数的个数，就能算出小于100且与100互质的所有自然数的和。

因为100只含有质因数2和5，所有与100互质的自然数必定是既不含有质因数2，又不含有质因数5的数，即个位是1、3、7、9的数。

这样的数共有4×（100÷10）＝40（个），而且这40个数都能两两配成一对，每对的两数之和是100。所以小于100且与100互质的所有自然数的和是：100×（40÷2）＝2000。

（作者单位：江苏省启东市城南小学）

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数数的窍门

假如有人问你会不会数数，你一定会说：“这还用问吗？谁不会数数呀！”其实，数数也不是一件简单的事。比如，请你数一数下图有多少个三角形？ 图中三角形的形状、大小都不相同，位置很凌乱，如不按顺序有规律地数，容易遗漏或重复。 可以按图形的组成规律，把三角形分成单个的、由两部分组成的、由三部分组成的……几类，然后再按照组成部分的多少一类一类地数。为了便于观察，还可以给各部分编上号（如图）。 这样，就可以把每个三角形都简明地表示出来。于是可以得到当的三角形有：1、2、3、5、6、8共6个；由两部分组成的三角形有：1－2，2－6，4－6，5－7，共4个；由三部分组成的三角形有：5－7－8，1个；由四部分组成的三角形有：1－3－4－5，2－6－7－8共2个；由八部分组成的三角形有1个。 一共有三角形：6＋4＋1＋2＋1＝14（个） 这种方法叫做“分类列举法”。 有时我们还会遇到这样一类问题，需要计数的不是具体的事、物或图形，而是某种情况可能出现的次数。如，10个苹果放在1个盘子里，每盘至少放1个，共有多少种不同的放法？ 很容易想到，只要4个自然数的和等于10，这组数就代表一种放法。显然这样的数不止一组。怎样才能找全呢？必须找到一种思考的顺序和规律，才能使数数的过程有头有尾，不重不漏。比如可以按照先少放后多放的原则，从第一个盘子放1个苹果开始，接下去使后面盘子里的苹果数尽量少，但又不少于前面盘子里的苹果数。然后依次增加前面盘子里苹果数。直到第一个盘子里的苹果数无法再增加为止。如果把这个思考过程列成一个表，每一格代表一个盘子，每列4个数代表一种放法，很快就能求出全部答案。 1 1 1 1 1 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2 3 2 2 1 2 3 4 2 3 3 2 3 7 6 5 4 5 4 3 4 3 从表中看出共有9种不同的放法。 这种方法叫“列表法”。 请你想一想，如果把思考的顺序改成先多放后少放，情况将会怎样呢？请你试着用“列表法”列出全部答案。 有时我们所遇到的问题可能是由几个相互连接的阶段组成的，而每个阶段又有几种不同的选择，情况就更复杂了。 春风小学高年级有4个班，中年级有3个班，低年级有2个班。如果每天上体育课的只能是高、中、低年级的各一个班，那么每天上体育课的班级组成情况可以做到多少天不重复？ 为了便于思考，我们用A、B、C、D代表高年级的4个班，用a、b、c代表中年级的3个班，用1、2代表低年级的2个班。应当首先确定从高年级中任意选出一个班以后，相应的中年级有3种不同的选择，而对于中年级的任意一个班，低年级又有2种不同的选择。对于这种复杂的情况，可以画示意图把思考过程清楚地表示出来。         于是得到4×3×2＝24种不同的班级组成情况。 这种方法叫做“图解法”。 请你做下面的题。 下图是甲、乙、丙三地间交通路线图，从甲地到丙地有多少种不同的走法？ （1）从甲地到丙地的走法可以分成______和______两类； （2）经过乙地的走法有______种，不经过乙地的走法有______种； （3）总共有______种走法。 前面教给你三种数数的窍门，它们是不是很灵呢？今天就请你来自己测试一下。 1．6只梨放在3个盘子里，允许有空盘子，共有几种不同的放法？ 2．甲、乙、丙三个自然数的积等于6，求甲、乙、丙这三个数。 3．红、黄、绿三种颜色的灯各一盏排成一行，亮其中的一盏或几盏可以组成的信号有多少种？ 4．有3顶不同的帽子，4件不同的上衣，2条不同的裤子，可以搭配成多少种不同的装束（必须戴帽子，穿上衣和裤子）？ 5．有一角人民币2张，二角人民币1张，一元人民币3张，可以组成多少种不同的钱数？ 6．两个同样的积木块，六个面上分别写着1、2、3、4、5、6六个数。任意抛掷这两个木块，落下后顶面数的和是单数的有几种可能？ 7．下图中有多少个三角形？

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计算时间的简单方法







有些题目从表面上看比较麻烦，需要进行大量的计算，并且在计算的过程中稍一粗心就会出现错误，当发现错误再回过头去却很难找出错误在哪里，无奈又得从头算起。那么怎样才能避免大量的运算，使计算迅速而简便呢？这就是要想方设法寻求简单的计算方法。

你看这道题：如果现在的时间是11时11分钟，那么再过143999999993分钟是几时几分钟呢？你能用简单的方法计算吗？

初看起来，要想知道最后结果，必须先求出143999999993分钟是多少小时，再求出是多少天零多少小时，才能推算出具体时间。可这样做太麻烦了，像下面这样就简单多了。

143999999993＋7＝144000000000（分）

而1天是1440分钟，所以144000000000H1440＝100000000（天）

因为加上了7分钟，所以最后结果要减去7分钟。因此题中所求的时间是11时零4分钟。

你明白了吗？这种简单方法好吗？

请你算一算。

走一段路，甲用40分钟，乙用30分钟。如果甲出发5分钟后己再出发，乙经过多少时间才能追上甲？你能只用一步计算就算出来吗？

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巧求平均数







刘老师给大家出了一道题。

前进小学8个班去帮助农民摘豆角，每个班摘豆角的重量分别是：55千克、50千克、48千克、54千克、49千克、53千克、54千克、53千克。问平均每班摘豆角多少千克？

“看谁算得快。”刘老师鼓励说。

于丰很快举手回答：“平均每班摘52千克。”刘老师点头说：“你能把计算的方法说一说吗？”

于丰说：“求平均数有个窍门，就是先在这些数中确定一个基准数。比如，这道题就是以50为基准数。然后把5个班分别比基准数多出的千克数加起来，并从中减去剩下那2个班比基准数少的千克数，所得的数除以8，商再加上基准数，就是所求平均数。”

刘老师高兴地说；“很好，于丰的这种方法我们可以给一个名字叫做‘减少加多法’。做的时候可以这样：先选好基准数50，然后从前往后看，多的数前写上加，少的数前写上减，也就是：

5＋0－2＋4－l＋3＋4＋3＝16

16÷8＝2

50＋2＝52（千克）

这就是平均每班摘的重量。”

刘老师又说：“这样求平均数速度快，计算量小，是一种好方法。”

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巧算平行四边形的面积

陆梅

图中大平行四边形的面积是48平方厘米。A、B是上、下两边的中点。你能求出图中小平行四边形（阴影部分）的面积吗？（人教版五年制小学数学课本第八册第31页思考题） 解法1：根据A、B是大平行四边形上、下两边的中点，可以知道小平行四边形的底是大平行四边形底的一半。小平行四边形的高与大平行四边形的高相等，小平行四边形的底是大平行四边形底的一半，所以小平行四边形的面积是大平行四边形面积的一半。 即：48＋2＝24（平方厘米） 答：小平行四边形的面积是24平方厘米。 解法2：连接图中A、B两点，大平行四边形被划分成四个小三角形（如右图）。图中四个小三角形的底都是大平行四边形底边长的一半，高与大平行四边形的高相等，所以四个小三角形面积相等，即每个小三角形的面积是48÷4＝12（平方厘米）。小平行四边形的面积就是12×1＝24（平方厘米）。 （作者单位：安徽省灵壁县实验小学）

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运用估算巧解题

数学小组里，同学们围在一起，小刚和小冬站在中间的一张桌子两旁，李老师手里拿着一张纸站在同学们中间。原来这里正准备进行数学比赛，参赛者是小刚和小冬，李老师当裁判。 比赛的题目是：看谁能最快指出下面四道题中哪两道的计算结果相同。 （1）48×6÷4×7×4÷8 （2）128×9＋72×9 （3）48×4÷6×7×6÷8×8 （4）342×9－9×142 比赛开始了，小刚略作斟酌，就得出了正确的答案：第（2）题和第（4）题的计算结果相同。这使小冬大为吃惊，因为他连一道题还没算完呢！ 李老师表扬了小刚，小冬不服气地说：“小刚没有一题一题地认真计算，他是猜出来的。”小刚则说：“解这类题目，用不着计算出每一题的结果，只要通过比较，估算一下哪两道的计算结果相等就行了。” 这是怎么回事呢？小冬被弄糊涂了。 李老师接着小刚的话说：“这就是小刚解题巧妙的地方。” 同学们也都和小冬一样看着老师，好像答案就写在老师脸上。 望着同学们期待的目光，特别是小冬那迷惑的神情，李老师继续讲下去。他指着题目说：“你们看，题目要我们找出哪两题计算结果相同，那我们就可以先找一找哪两题形式相同，然后再仔细比较一下，它们在计算结果上会有什么不同的地方，这样就可以初步估算出计算结果是否相同了。例如，第（1）、（3）两题，都是48与4、6、7、8几个数相乘、除，我们把这两题中相同的数以及相同的运算符号划去。” （1）48×6÷4×7×4÷8 （3）48×4÷6×7×6÷8×8 “结果第（1）题只剩下‘÷4’，而第（3）题剩下‘÷6’和‘×8’可见这两道题的计算结果是不相同的。” 李老师着到这里，小冬已经心领神会了。抢着说：“我懂了，第（2）题和第（4）题都是9的倍数的计算，第（2）题是128个9加上72个9，一共是200个9；第（4）题是342个9减142个9，得200个9。所以这两道题计算结果是相同的。” 李老师很高兴，让大家为小冬鼓掌。他还提醒大家：“用估算法解题要细心观察，多练习从能掌握技巧。”

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倒推转化巧拿硬币



查志刚



听说过拿硬币游戏吗？如果没听过，就先来熟悉一下拿硬币游戏的规则吧！拿硬币游戏是一个两个人玩的游戏，要求每个参加者轮流拿走若干硬币，谁拿到最后一枚硬币谁就算赢。下面我们来实际进行一次拿硬币的游戏。

游戏1：桌上放着15枚硬币，两个游戏者（你和你的一位同学）轮流取走若干枚。规则是每人每次至少取1枚，至多取5枚，谁拿到最后一枚谁就赢得全部15枚硬币。

游戏开始了，你一定在想：有没有能保证你赢的办法呢？若有，这办法又是什么呢？现在你把自己想象成处于即将赢的状态，该你取硬币了，而且桌面上硬币恰好不超过5枚，这时，你可以一次拿走桌上的所有硬币，成为赢者。现在，你能不能从这样的终点状态往前推，找出一个状态，使得只要你的对手处在这一状态，那么无论他拿走几枚硬币，你都会处于理想的获胜状态？不难发现，如果你的对手处于桌面有6枚硬币的状态，那么无论他拿走几枚（从1枚到5枚）硬币，桌上都会剩下至少1枚至多5枚硬币，这样胜利一定属于你。也就是说，谁拿走第（15－6＝）9枚硬币，谁将获胜。于是，游戏1获胜情况就与下面游戏2结果相同。

游戏2：桌上放着9枚硬币，两个游戏者(你和你的一位同学)轮流取走若干个。规则是每人每次至少取1枚，至多取5枚，谁拿到最后一枚谁就赢得15枚硬币。

由对游戏1的倒推分析，我们不难知道，游戏2的获胜情况与下面游戏3结果相同。

游戏3：桌上放着3枚硬币，两个游戏者（你和你的一位同学）轮流取走若干个。规则是每人每次至少取1枚，至多取5枚，谁拿到最后一枚谁就赢得15枚硬币。

在游戏3中，你只要第一个从桌上拿走3枚硬币便可赢。可见，你要在游戏1中取胜，只要第一个取走桌面上的3枚硬币便一定能赢。

想一想：利用上面的最佳战略方法和你的小朋友做下面的游戏：桌上放30枚硬币，两个游戏者（你和你的一位同学）轮流取走若干个。规则是每人每次至少取2枚，至多取6枚，谁拿到最后一枚谁就赢得全部30枚硬币。

相信你，准赢。