巧思妙解

与你同行

巧求六位数



王晋远



［题目］六位数□4321□能被4321整除，这个六位数是多少？

［分析与解］这道题目初看起来似乎难度较大。如果我们采用“假设──计算──排错──验证”的方法，问题就会很快得解。

假设六位数为943219，那么943219÷4321＝218…1241，由于余数大于9，所以不合题意。

假设六位数为843219，则有843219÷4321＝195…64，余数大于9，也不合题意。

假设六位数为743219，则有743219÷4321＝172…7，余数小于9，由此可见符合条件的六位数为743219－7＝743212。

当六位数的首位数分别为6、5、4、3、2、l时，经计算可知均不合题意。

综上分析可知，要求的六位数只能为743212。

试一试：

四位数□89□能被89整除，这个四位是多少？

参考答案：4895。

（作者单位：陕西永寿县教研室）

与你同行

巧用条件特点求解

任雪三

[题目]  一堆煤，第一天运走，第二天运走余下的多100吨，还剩下350吨。这批煤共有多少吨？ [一般解法]  如果第二天只“运走余下的”，那么，第二天运走的就相当于这堆煤的（1－）ｘ＝，的二天运走以后就会还剩下（350＋100）＝450（吨）。显然，这450吨相当于这堆煤的（1－－）＝。这样利用450吨与之间的对应关系，就可以用分数除法求出这堆煤的总重量。这算式是：   （350＋100）÷[1－－(1－)ｘ] ＝450÷＝1200（吨） 答：这堆煤共有1200吨。 [巧妙解法]  先依题意画一个线段示意图： 从上面的示意图可以看出，这堆煤一共有8份，第一天运走的是其中的3份，还余下这堆煤中的（8－3）＝5（份）。第二天“运走余下的多100吨”，正好是这堆煤全部8份中的2份还多100吨。这也就是说，如果两天正好一共运走8份中的（3＋2）＝5（份），那么，就会还剩下这堆煤中的（8－5）＝3（份）；3份与（100＋350）＝450（吨）相对应。这样，我们便可以利用题目已知条件的特点，直接用“份总关系”求出本题的答案。   （100＋350）÷（8－3－2）ｘ8 ＝450÷3ｘ8＝1200（吨） 答：略。 这道例题启示我们：解答应用题，要善于对具体问题进行具体分析，开辟解题的新途径。这样，可以培养我们思维的灵活性和创造性。 （作者单位：江苏省通州市石港小学）

与你同行

不变量的巧用

沈益亮

对于一些数量关系复杂多变的应用题，要善于从已知条件中找出不变量，用这种思路来寻找解题的突破口，这就是“不变量法”。 [题目]  八滩小学原有科技书、文艺书共630本，其中科技书占，后来又买来一些科技书，这时科技书占这两样书的。问又买进科技书多少本？ [分析与解]  根据题目的已知条件，原来的630本与增加后总本数都是1倍量，这两个不同的1倍量，为直接求出买来教科书的本数造成了困难。但是，只要仔细分析已知条件，不难发现，真正的不变量应该是文艺书的本数（数量），由此，要从这里寻得解题的突破口。 （1）文艺书占原来总本数的几分之几？1－＝ （2）文艺书占增加后总本数的几分之几？1－＝ （3）增加后总本数是原来总本数的几倍？÷＝1 （4）比原来总本数多几分之几？1－1＝ （5）又买进科技书多少本？630×＝90（本） 综合算式： 630×[（1－）÷（1－）－1] ＝630×[÷－1] ＝90（本） 答：买进科技书90本。 （作者单位：江苏省滨海县八滩实验小学）

与你同行

巧用不变量



曹学斌



沈益亮老师在《数学小灵通》2001年第1-2期《不变量的巧用》一文中谈到：“对于余下数量关系复杂多变的应用题，要善于从已知条件中找出不变量，用这种思路来寻找解题的突破口，这就是‘不变量法’”。沈老师在文中举例对上述解题思路予以佐证，细读此文，确实受益匪浅，由此深究，我们不难发现，如果巧用文题中的不变量，则又可以得到一种更为巧妙的解法，真可谓是巧中还有妙。

[题目]  八滩小学原有科技书、文艺书共630本，其中科技书占，后来又买来一些科技书，这时科技书占这两样书的。问又买进科技书多少本？

[分析与解]  从题中的已知条件可知，文艺书占原有图书总本数的1－＝，由于又买来了一些科技书，文艺书占现有图书总本数的1－＝，根据题中已知条件可知，文艺数的本数没有发生变化，是一个不变量，由此就有原有图书总本数的等于现有图书总本数的。据此便可求出现有图书总本数是630×÷＝720（本），进而可求出买进科技书的本数是720－630＝90（本）。此题也可这样来分析：原有图书总本数的等于现有图书本数的，把原、现有图书总本数均看作10份，由于原有图书每份数是630÷10＝63（本），故现有图书每份数是63×8÷7＝72（本），据此可求得买进科技书的本数是72×3－63×2＝216－126＝90（本）

（作者单位：湖南省沅江市七子浃乡联校）

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用倒数简化计算

肖章良

新年晚会上，老师用1、1999、2000这几个数出了一道计算题： 老师说，新年到来之际，我们要比一比，看谁算得对、算得快、算得巧。老师的话还没落音，数学迷李小庚就马上站起来抢答：这道题的结果是。 李小庚为什么算得这样快？原来他是用倒数简化计算的。李小庚告诉大家：因为一个数的倒数的倒数和原数相等，例如3的倒数是，的倒数是3。根据这个道理，在计算这道题的过程中，我们可以先写出的倒数是1÷（1999÷1999），而这个倒数的倒数又是1999÷1999，所以这道题的计算过程就可简化为：        ＝1999÷1999     ＝1999×     ＝ 听了李小庚说的简算过程，全班响起了热烈的掌声。 （作者单位：湖北省松滋市大岩咀乡教育组）

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不用速度求路程



徐华美、毛海英



[题目］  客车与货车分别从甲、乙两地同时相对开出，6小时后在途中相遇，相遇后两车继续按原来的速度和方向前进，又经过4小时，客车到达乙地，而货车离甲地还有2OO千米，甲、乙两地相距多少千米？

[分析与解］  把两列相向行驶的火车看作一列单向行驶的火车，其速度视为两车速度之和，那么本题就变成：一列火车从甲地驶向乙地，用了6小时，到达后即以原速返回，4小时后离甲地还有2OO千米，甲、乙两地相距多少千米？从时间角度分析，全程分为三份，返回路程为两份，剩下2OO千米只有一份，所以两地相距2OO×3＝600（千米）。

这种解法，思路简单，又比较容易理解。同学们，你们能否运用这种解题方法解答下面这道题。

甲、乙两人分别自湖东、西两岸同时入水，匀速地游向对岸，游到对岸后立即返回，已知两人第一次相遇时距西岸8OO米，第二次相遇时距湖东岸600米，求两岸的距离。

（作者单位：江苏省如皋师范学校）

与你同行

活用面积图巧解应用题

田传海

有些应用题，数量关系较为复杂，理解起来太抽象，如果能活用面积图，借助图形来理解题意，则会化难为易，水到渠成。 ［题目］一个筑路队原计划20天修完一条公路。实际每天比原计划多修45米，提前5天完成任务。原计划每天修路多少米？ 一般解法：实际提前5天完成任务，那么原计划这5天要修的可看成平均分到前面（20－5）天中去修，所以45×（20－5）就是原计划5天要修的米数，从而可以求出原计划每天要修的米数是45×（20－5）÷5＝135（米）。 巧妙解法：根据题意作图如下： 图中AD表示原计划所需的天数（2O天），DE表示比原计划提前的天数（5天），BH表示实际每天比原计划多修的米数（45米），AB表示原计划每天修路的米数。由于长方形的一边表示每天的工作量，一边表示工作时间（天数），所以相应长方形的面积表示总工作量。因为工作总量是一定的，所以长方形ABCD与AHGE的面积相等，由此可以推出长方形BHGF与EFCD的面积也是相等的，即： 45×（20－5）＝EF×5，所以AB＝EF＝45×15÷5＝135（米）。 （作者单位：山东省枣庄市台儿庄区实验小学）