特级教师和学生谈数学思考

与你同行

用不同的方法解答应用题

胡彦会

应用题是小学数学的重点和难点，是学习上的“碉堡”。应用题看似难学，但是只要灵活运用知识的内在联系、迁移规律也是不难解决的。如用比的知识解答应用题，与根据分数的意义解答应用题，以及根据数量间的倍数关系解应用题，虽然方法不同，但是它们之间是可以互相转化的。因为当把两个数量中的一个作为标准量时，如果另一个数量是它的几倍，那么当把另一个数量作为标准量时，它就是另一个数量的几分之一。同时这两个数量也存在着比的关系。由此根据这些数量的转化、迁移就可以用不同方法来解答同一道应用题了。 例．学校试验田共种小麦和油菜6O公亩，小麦的面积是油菜的4倍，小麦、油菜各多少公亩？ 解法1：用倍数解答。 根据“小麦公亩数+油菜公亩数＝6O”及“小麦的面积是油菜的4倍”列方程。 解：设油菜x公亩，那么小麦为4x公亩。 x＋4x＝60    5x＝6O     x＝12    4x＝12×4＝48 答：小麦48公亩，油菜12公亩。 解法2：用按比例分配来解答。 已知小麦的面积是油菜的4倍，则小麦的面积和油菜面积的比为4:1。 总面积平均分的份数为：1＋4＝5 小麦的面积：6O×＝48（公亩） 油菜的面积：6O×＝12（公亩） 解法3：用比例解答。 小麦的面积与总面积的比为4:5。 设：小麦的面积为公亩，则有x:60＝4:5。 解之x＝12 或：油菜面积与总面积的比为1:5。 设：油菜的面积为公亩，则有 x:60＝1: 5    解之x＝12 解法4：用分数解答。 小麦的面积与总面积的比为4:5，则说明小麦的面积占总面积的(比和分数相互转化），那么，就是求6O的是多少。 60×＝48（公亩） 或油菜面积与总面积的比为1:5，则说明油菜的面积占总面积的，那么就是求6O的是多少。 6O×＝12（公亩） 以上列出了四种解答方法，还有一些其它方法，但是不论用哪一种方法（倍数、按比例分配、比例、分数），它们之间都是有内在联系的，只要把握好了内在的联系，就可以用不同的方法解答应用题了。通过不同的方法，更加深人地理解题中的数量关系，以达到对应用题的理解和掌握的目的。 （作者单位：江苏省赣榆县青口镇中心小学）

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用假设法解题

李佳和刘路在一起研究这样一道题： 一个国王得到三块金锭，共重4千克，已知第二块比第一块轻400克，第三块的重量是第二块的2倍。求每块各重多少克？ 根据题意，刘路很快画出了线段图。 怎样计算呢？刘路和李佳讨论起来。李佳说：“假如第一块减少400克，会怎样呢？” 刘路高兴地说：“对了，假如第一块减少400克，就与第二块同样重了，这时，总重量一定要减少400克，就变成3600克了。” 李佳也明白了，兴奋地说：“是呀！ 3600克里包含着4个第二块的重量。” 于是，两人动笔进行了下面的计算： 第二块：3600÷4＝900（克） 第二块：900×2＝1800（克） 第一块：900＋400＝1300（克） 验算：1300＋900＋1800＝4000（克）。 你知道他们用的是什么方法吗？他们用的就是假设法。假设法是数学中的一个重要思想，通过假设可以使复杂的问题简单化，使所求的问题明朗化，这样我们就可以更快地找到解决问题的突破口了。但要注意的是，最后一定要去掉假设的成分，得到正确答案。

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用逆推法解应用题







有些题目只给出对未知数量经过某些运算而得到的最后结果，要想求出未知量，可以从这最后结果出发，运用加与减，乘与除之间的互逆关系，从后往前一步一步地推算，这种方法叫做逆推法。如7大于5，也可以说成5小于7。这种思维方法我们称作逆向思维，在处理一些问题时经常要用到。有些应用题按顺向处理比较困难，或者会出现繁杂的运算，如果根据题目的条件，运用逆推法去解则方便得多。

例  小明问爷爷多大年龄，爷爷说：“把我的年龄加17，然后用4除，减15，再用10乘，恰巧是100岁。”小明的爷爷多大年龄？

我们用逆推法解。题中最后乘以10得100岁，那么乘10前就是100÷10＝10（岁），不减15就是10＋15＝25（岁），不用4除就是25×4＝100（岁），不加17就是100－17＝83（岁）。这样，就得到了小明的爷爷的年龄是83岁。

这是比较简单的用逆推法解的应用题，下面是一道比较难的题目，请你试着用逆推法解出来。

有三堆火柴，共48根。第一次从第一堆里拿出与第二堆根数相同的火柴并入第二堆；第二次再从第二堆里拿出与第三堆根数相同的火柴并入第三堆；第三次再从第三堆里拿出与这时第一堆根数相同的火柴并入第一堆里。经过这样的变动以后，三堆火柴的根数恰好完全相同。问原来每堆火柴各有多少根？

这里是一道有名的难题，用其他方法解难度都很大，让我们用逆推法试一试。

例有甲、乙、丙三个油桶，各盛油若干千克。先将甲桶的油倒入乙、丙两桶，使各增加原有油的一倍，再将乙桶的油倒入丙、甲两桶，使它们现在有的油各增加一倍，最后同样将两桶油倒入甲、乙两桶，这样各桶的油都是16千克。问各桶原来盛油多少千克？

由于最后的结果各桶都是16千克，那么当丙桶油未倒入甲、乙两桶之前应该是：

甲：16÷2＝8（千克）

乙：16÷2＝8（千克）

丙：16＋8＋8＝32（千克）

那么乙桶油未倒入甲、丙两桶之前即为：

甲：8÷2＝4（千克）

丙：32÷2＝16（千克）

乙： 8＋4＋16＝28（千克）

同样的道理，甲桶油未倒入乙、丙两桶之前的油量即为各桶原有油的数量：

乙：28÷2＝14（千克）

丙： 16÷2＝8（千克）

甲： 4＋14＋8＝26（千克）

你明白了吗？用这种方法再想一下上次留的题目，你做得对吗？

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余数是几？

王素芹

活动课上王老师给同学们出了这样一个题目：一个数有1000位，每位上的数字都是7，将它除以13，余数是几？ 小刚读了一遍题，马上举手解答：7777÷13＝598……3，这道题余数是3。 李月反驳：“你做的不对，被除数不是7777。因为被除数有　1000位，说明被除数占1000个数位；而每位上的数字都是7，说明被除数由1000个7组成，也就是。”王老师问谁理解得对时，同学们一致同意李月的意见。王老师问小刚错在哪？小刚红着脸说：“我把1000位理解成了被除数的最高位在千位上，而每位上的数字都是7，我才得到了错误的被除数7777。”王老师接着说：“要正确解题首先要审好题，这是解题的关键环节，这道题正确的被除数是。第二步该做什么呢？”有的同学说直接用被除数除以13，最后找到余数，有的反对，说这样做太麻烦，大家一时找不到简便方法，都向王老师投来“求援”的目光。王老师接着讲到：“第二步要找商的出现规律：用除以13，当得到第六位商时，就能发现商的出现规律是商598290后，仍然循环出现商598290。”王老师边讲边让同学们试除，入下式： “第三步要确定商的位数：当用除以13时，应该用13试除被除数的前两位，而在被除数坐起第二位上写商，可得到999位商。第四步是将商进行分组，确定个位商：根据第二步中商的出现规律可将999位商按从左往右按每六位商划分为一组（598290为一组），列式为999÷6＝166……3，可得到166组还剩三位商不够一组，剩下的这三位商一定是一组中的前三位，也就是598，这三位商，其中5对百位，9对十位，8对个位，可见商8是此题中个位上的商。第五步是明确商与余数的关系，确定此题的余数：从计算可看出，每位商都对应一个余数，从第二步中可看出商8对应余数为3，因为这道题个位商是8，可见此题的余数是3。”讲完后王老师又把除数改成了12，同学们立刻计算起来，当板演的一个同学计算出下面步骤时： 王老师问这道题商有什么规律？小刚回答说：“除左起第一位商6外，其它商都按481一组一组地循环。”遇到这种情况怎样把999位商进行分组呢？李月灵机一动说：“从999位商中把左起第一位商6去掉，把剩下的998为商从左往右按每三位一组分组。”同学们马上列出算式：998÷3＝332……2，最后剩两位商不够一组，即剩下的商是48，其中商4对应十位，商8对应个位，商8对应余数1。同学们很快得出结论，这道题的余数为1。这种求余数的方法你学会了吗？ （作者单位：河北省乐亭县第一实验小学）

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应用题常见错误分析







应用题是大家比较熟悉的，从一年级就开始学习了。到目前为止，我们除了学习一步计算的应用题之外，还学习了两步计算的应用题，并会列综合算式解答应用题。可是在解应用题的时候，同学们常常要出现一些错误，甚至出了错误也不知什么原因和如何解决。下面就帮助大家分析一下应用题中常见的几种错误，以引起同学们的注意，避免犯类似的错误。

1．多余条件的干扰。

例  东风小学有2栋房子，其中一栋有4间教室，另一栋有5间教室，共有多少间教室？

错误解法是：4×2＋5＝13（间）

出现这一错误的原因是：受多余条件的干扰。题中的2栋是不用参加运算的条件。实际上只要将一栋教室数加上另一栋教室数，就等于这2栋共有的教室数。

2．表面现象的干扰。

例  两个边长都是10厘米的正方形，拼成一个长方形，长方形的周长是多少？

错误解法是：10×4×2＝80（厘米）

这一错误主要是受长方形是由两个正方形拼成这一表面现象的干扰，误认为长方形的周长应是两个正方形周长的和，其实两个正方形中间重合的边已不是长方形的边了。

前面分析了应用题的两种常见错误，今天继续分析另外的三种。

3．数学术语的干扰。

例  学校图书室借出72本图书，还剩28本。学校图书室原来有多少本图书？

错误解法是：72－28＝44（本）

这一错误主要受“还剩”这个数学术语的干扰。有的同学往往见“一共”就加，见“还剩”就减，却忘了具体问题具体分析。这题实际是：借出图书的本数加还剩图书的本数等于原有图书的本数，即72＋28＝100（本）。

4．概念不清。

例  一辆汽车每小时行40千米，上午8时从甲地开出，下午4时到达乙地。甲乙两地相距多少千米？

错误解法是： 40×（8＋4）＝480（千米）

产生错误的原因是“时刻”与“时间”的概念不清。路程应该等于速度乘以时间，而题中的8时和4时是时刻不是时间。这辆汽车从甲地到乙地所需的时间是8小时。

5．隐藏条件的干扰。

例  甲乙两地相距240千米，一辆汽车从甲地开往乙地需4小时，返回时用了6小时。问这辆汽车往返的平均速度是多少？

错误解法是：240÷（4＋6）＝24（千米）

你知道产生这一错误的原因是什么吗？

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着眼于“大的面积里有几个小的面积”

冒金彬

有这样一类题，要求把某个大的图形剪成若干个小图形最多能剪的个数。 在辅导的时候，发现有好多同学只是在盲目地画图，但常因画图不准，费力干少却难以得到正确的答案。 其实，这类题目是有规律可寻的，我们可以着眼于大小图形的面积。 比如，像这样一道题：一个边长是7厘米的正方形纸片，最多能剪出（   ）个长4厘米、宽1厘米的小长方形纸片。 可以这样想：大正方形的面积是7×7＝49（平方厘米），小长方形的面积是4×1＝4（平方厘米），而49÷4＝12（个）……l（平方厘米），很显然，大正方形里最多有12（个）小长方形，那么能剪成的小长方形纸片最多是不是就是12个呢？我们可以由剪后只余1平方厘米，想到每个大正方形的边都要尽可能成为剪成的小长方形的长或宽，而7可以表示成4＋1＋1＋1，这时我们再尝试着画图，发现正好能画出12个满足题目要求的长方形（如图1），所以这道题的答案是12个。 再如：把一个长9分米、宽6分米的长方形剪成长4分米、宽3分米的小长方形，最多能剪（   ）个。 可以同样思考：因为大长方形的面积是9×6＝54（平方分米），小长方形的面积是4×3＝12（平方分米），而54÷12＝4（个）……6（平方分米），所以大长方形里最多有4个小长方形，画图很容易证明，这个答案是正确的。（见图2） 当然，并不是说，大图形面积里面有几个小图形的面积，最多就能剪几个。 比如说：把一个长12厘米、宽5厘米的长方形剪成长4厘米、宽3厘米的长方形，最多能剪（   ）个。 在这道题中，大长方形的面积是12×5＝6O（平方厘米），小长方形的面积是4×3＝12（平方厘米），6O÷12＝5（个），但能剪成的符合题目要求的长方形最多却不是5个。因为，大长方形的宽5厘米没办法表示成几个4或几个3的和的形式，也就是说，剪成的小长方形的个数可能为4个（还余12平方厘米），画图很容易推得这道题的答案是4个。（如图3）

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找准联系推理计算

陈松坡

［题目］△、○、□代表3个数，并且 △＋△＝□＋□＋□                （1） □＋□＋□＝○＋○＋○＋○        （2） △＋□＋○＋○＝400               （3） △＝？□＝？（人教版九年义务教育六年制教材第八册第72页） （注：算式的序号为笔者所加。） ［分析与解］这道题初看起来，很难得出△、□和○各表示多少。如果仔细观察一下，各个算式之间存在着一定的联系，再根据联系进行推理计算，就能较快地得出结果。具体过程是： 一、从（l）与（2）的联系，可以得出△＝○＋○ 因为△＋△＝□＋□＋□；又□＋□＋□＝○＋○＋○＋○ ，也就是△＋△＝○＋○＋○＋○。所以△＝（○＋○＋○＋○）÷2＝○＋○。 二、将△＝○＋○代入（3），变为△＋□＋△＝400 （4） 三、从（4）与（l）的联系，可得□＝1OO 因为可以将（4）中的△＋△用□＋□＋□代入，得：□＋□＋□＋□＝400，所以□＝1OO。 四、将□＝100代入（1），△＝150代入（2），○＝75。 五、检验 将□＝100、△＝150、○＝75代入（3），△＋□＋○＋○＝150＋100＋75＋75＝400。说明所求的结果是正确的。 （作者单位：江苏省海门市教育局教研室）