特级教师和学生谈数学思考

与你同行

双向思考一题多解

颜建敏、邹小娟

[题目］修一条公路，已修和未修长度的比是1:3，再修300米后，已修和未修长度的比是1:2。这条路有多少米？（人教版九年义务教育六年制教材第十二册第57页思考题） [分析与解] 根据题意画出线段图，仔细观察，发现用分数知识解答比较简单。 解法1：可以发现已修的分别占全长的和，两次正好相差3OO米。因此全长为：3OO÷（－）＝36OO（米）。 解法2：如果从未修的分别占全长的入手，可以发现再修前正好比再修后多3OO米。因此全长为：300÷（－）＝3600（米）。 解法3：仔细观察线段图，300米正好是全长和的差，1个和1个有1个这样的差，3个和就有3个这样的差，3个这样的差正好是1个，因此全长为：3OO×3÷＝3600（米）。 同学们，你能从第三种解题思路的反向去思考，列出第四种解法吗？ （作者单位：江苏丹阳前艾中心小学）

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谁跑的路程长？



陆梅



早晨小明和爸爸、妈妈一起跑步。爸爸跑的路程比小明的2倍少2O米，比妈妈的2倍多10米。小明和他妈妈谁跑的路程长些？（人教版九年义务教育五年制小学数学第八册第86页思考题）

此题可以用三种方法来解。

解法一：画线段图来解。



由图可见，小明比妈妈跑的路程长。

解法二：用方程解。

设小明跑了100米，爸爸跑的路程就是100×2－20＝180（米），再设妈妈跑了x米，

列出方程：2x＋10＝180    x＝85（米）

即妈妈跑了80米，可见小明比妈妈跑的路程长。

解法三：设小明、爸爸、妈妈跑的路程分别为x米、y米、z米，根据题意可以列出下面两式，再做适当的变形就能得解。即：

y＝2x－20→y＝2x＋20

y＝2x＋10→y＝2x－10（x＞z）

即小明比妈妈跑的路程长。

（作者单位：安徽省灵壁县实验小学）

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思路不同解法不同



邵君



同学们在解答较复杂的应用题时，往往不知从何下手。如果根据条件找出相应的等量关系或能将其中的条件转化一下，那么问题就会迎刃而解了。

[题目]修一多公路，已修和未修长度的比是1:3，再修300米后，已修和未修长度的比是1:2。这条路长多少米？（九年义务教育六年制小学数学第十二册思考题）

[分析与解］

解法一：这道题的条件是：再修300米后，已修和未修长度的比是1: 2，这里隐藏着一个等量关系，如果抓住这个等量关系，就可列方程解答。设已修的长度为x米，那么未修的长度为3x米。

（x＋300）:（3x－300）＝l:2

                     x＝900

                 x＋3x＝900＋9OO×3＝3600（米）

答：这条路长36OO米。

解法二：如果把条件“已修和未修长度的比是1:3，再修3OO米后，已修和未修长度的比是1:2”转化为：已修米数是未修米数的，再修300米，已修米数是未修米数的，又因为公路的总米数是“不变量”，我们把它看作单位“1”，所以，已修的米数就是总米数的＝，再修300米后，已修的米数就是总米数的＝，由此可知，300米就相当于总米数的－，所以可列式为300÷（－）＝300÷＝3600（米）

答：这条路有3600米。

（作者单位：江苏省沛县实验小学）

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挖掘条件背后的条件



仝淑贤、王梅



解应用题是小学数学学习的难点，同学们往往是仿例题的样子去解题，若综合性强的题目就感到无从下手，其中一个重要原因就是不会挖掘题目中数量及它们间的关系。

一道应用题是多条信息的统一体。分析应用题的实质是寻找、挖掘和重新组合题中所体现出的种种数量关系。那么应该怎样分析、组合条件背后的条件呢？

例如：甲乙两车从A、B两地同时相对开出，甲车每小时行全程的，乙车每小时行全程的27千米，经过5小时两车相遇，求A、B两地相距多少千米？

〔分析与解〕利用原有的条件我们可以进行推想、挖掘条件背后的条件，再进行组合：

解法1：由甲车每小时行全程的，想到甲车行完全程用1÷＝8小时，而两车经5小时相遇，乙车所行路程是甲车（8－5）小时行的。所以可列式为：



或根据甲车每小时行全程的，可列式为：

27×5÷（8－5）÷＝360（千米）

解法2：由相遇时间为5小时，想到甲乙两车每小时行全程的，乙车速度为每小时27千米，与全程的（－）相对应。所以可列式：

27÷（－）＝360（千米）

解法3：由解法2可想到乙车每小时行全程的（－），同时又推想出乙车行完全程用的时间是1÷（－），所以可列式为：

27×〔1÷（8－5）〕＝360（千米）

解法4：由两车5小时相遇可知两车的速度和是全程的，可列式为：



以上这一例子说明，在解答应用题时，挖掘题目中的各种数量关系是多么重要。这就需要同学们从题目的条件入手，进行分析、推理，它可以更好地帮助你解答应用题。

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一道思考题的三种解法







课本上有一些锻炼我们思维的思考题，你都做过吗？下面的一道你是怎样做的？

题目是这样的：选择＋、－、×、÷中的运算符号，把下面各题连成算式，使它们的得数分别等于0、1、2、3、4、5、6、7、8、9。

（1） 2  2  2  2  2＝0

（2） 2  2  2  2  2＝1

（3） 2  2  2  2  2＝2

（4） 2  2  2  2  2＝3

（5） 2  2  2  2  2＝4

（6） 2  2  2  2  2＝5

（7） 2  2  2  2  2＝6

（8） 2  2  2  2  2＝7

（9） 2  2  2  2  2＝8

（10）2  2  2  2  2＝9

下面向你介绍三种解这道题的方法，希望你能受到启发，从而举一反三，学会解更多的思考题。

猜测法，也叫试验法。它完全是靠边猜测、边试验的方式求解。如（1）题，先试2×2÷2＋2－2≠0，后试2÷2＋2－2＋2≠0……最后试得2÷2＋2÷2－2＝0，成功了。猜到了一种答案，还可以继续下去，以寻找第二、第三种答案。

逆推法，就是从问题的要求或结果出发，一步一步地进行逆向推理，逐步靠拢已知条件，把已知条件逐个用进去，直至求出问题的答案。如（2）题，因为等号右边的1比等号左边的2小，所以只能在等号左边第一个2前面添上减号或者除号。如添上减号，使原题变成2 2 2 2＝3。同理又因3＞2，故可在等号左边第二个2的前面添上加号，使原题变成2 2 2＝1。这时就很容易看出2－2÷2＝1了。综合前两步逆推，就得到2－2÷2＋2－2＝1的一种解法。如继续作其它逆推，还可得到第二、第三……种解法。

前面介绍的两种方法你看懂了吗？请不要着急，慢慢地消化理解，逐步加以接受。

下面请看第三种解法。

凑数法，这是一种综合运用知识的方法，它同样要结合试验才能顺利进行。如（3）题，可以让等式左边的5个2两两相减得0，剩下的一个2当然就和等式右边的2相等了，即2－2＋2－2＋2＝2。

从某种意义上说，它和猜测法有相同的地方，那就是都要试验，但试验的方法是不同的，你能总结出它们的不同点吗？

怎么样？这三种解法和你以前用过的方法一样吗？你还有更好的方法吗？如果有，那真是太好了，因为你现在的思路宽了，解题的速度和正确率都会大大提高的。

好吧，看看你学习的效果怎样，是不是真正能举一反三。请做下面的题。

选择适当的运算符号和括号，使下式成立。

（1）2  3  5  7  1＝2            （2）2  3  5  7  1＝4

（3）2  3  5  7  1＝6            （4）2  3  5  7  1＝8

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异分母分数相加减为什么要先通分



张开勇



同学们在做异分母分数加减法时，要先把它们转化成分母分数才能相加减。这是为什么呢？我们知道，自然数以“1”为标准，逐次加1而组成自然数序列。也就是说，“1”是自然数的单位。“2”是由两个“1”组成的，“7”是由七个“1”组成的，“25”是由二十五个“1”组成的，等等。由于这样，所以任何两个自然数都可以直接相加减。例如：“2＋5”就是两个“1”加五个“1”等于七个“1”即等于7。

但是，分数就不同了。分数有没有单位？答案是肯定的。但是，不同的分数有着不同的分数单位。譬如，实际上是2个组成的，所以的分数单位是；又如，实际上是3个组成的，所以的分数单位是；同样，的分数单位是，的分数单位是。一般地说，一个最简分数的分数单位是。

同分母分数，因为它们的分数单位不同，所以不能直接相加减。如－，就是3个减去2个，还剩下1个，所以－＝。

异分母分数，因为它们的分数单位不同，所以不能直接相加减。如＋，当然不能直接相加。为了使它们能够相加，就要把它们化成相同的单位，这就需要通分：＝＝，＝＝。转化成，转化成后，因为与的分数单位都是，所以就可以相加了。用图形来示意，整个过程就是：



最后，我们再打个比喻：整数或同分母分数好比同名数，可以直接相加减。如5米＋3米，就是直接把5与3相加等于8米。异分母分数好比异名数，不能直接相加减。如5米－3分米，就不能直接用5减去3，而是要把它们化成5米－0.3米（或50分米－3分米），然后才能用5减去0.3得4.7米（或50分米减去3得47分米）。

同学们，你们明白了吗？

（作者单位：江苏省沛县实验小学）

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一题多解

有些题目，如果从不同的角度去分析，就会得到不同的解题方法，也就是说从多个角度去想就会有多种解法。这样做可以使思维更开阔，也能从中找到最佳的解题方法。下面的题目就可以用三种方法来解。 例  某建筑工地，第一天用6辆汽车运沙子，共运96吨，第二天用同样的汽车12辆运沙子，第二天比第一天多运多少吨？ 解法一：先求一辆汽车一天运沙子的吨数，再求12辆汽车一天运沙子的吨数，减去第一天运的吨数，就得到第二天比第一天多运的吨数。 6÷6×12－96＝96（吨） 解法二：先求出12辆是6辆的多少倍，再求12辆汽车每天运的吨数，最后减去6辆汽车每天运的吨数。 96×（12÷6）－96＝96（吨） 解法三：先求一辆汽车一天运的吨数，再求第二天比第一天多几辆车，这多的几辆所运的沙子就是第二天比第一天多运的。 96÷6×（12－6）＝96（吨） 答：第二天比第一天多运48吨。 你认为哪种算法最好？ 我们来看一道题，它可以有五种解法，甚至更多，看完后，请你想一想还有没有别的解法？ 例  某饭店买回一桶豆油，连桶称共有210千克，用去一半后，连桶称还有120千克，油桶重多少千克？ 解法一：把120千克扩大2倍，得到一桶豆油的重量和两只桶重，从中去掉210千克（这是一桶豆油与一只桶的重量和），即得桶重。 120×2－210＝30（千克） 解法二：先求出半桶豆油的重量，再从120千克中去掉这半桶豆油的重量，也可得桶重。 120－（210－120）＝30（千克） 解法三：先求出两只桶和两桶油的重量，再求出两只油桶和一桶油的重量，这样可求出一桶油的重量，然后可求出桶重。 210－（210×2－120×2）＝30（千克） 解法四：基本上与解法三相同，也可以说是它的简便算法，但算理稍有不同。 210－（210—120）×2＝30（千克） 解法五：先求出半只桶重，再求出整个油桶的重量。 （120－210÷2）×2＝30（千克） 答：油桶重30千克。 我们再来看一道题：李师傅要加工3080个零件，他用4天加工了280个零件。照这样计算，加工剩下的零件还需要多少天？ 解法一：先求每天加工多少个零件和还剩下多少个零件，再求需要加工多少天。 （3080－280）÷（280÷4）＝40（天） 解法二：先求每天加工多少个零件，再求加工这批零件一共需要多少天，最后求还需要加工多少天。 3080÷（280÷4）－4＝40（天） 解法三：先求这批零件的总数是他4天加工零件的多少倍，再求加工这批零件一共需要多少天，最后求还需要加工多少天。 4×（3080÷280）－4＝40（天） 解法四：先求还要加工多少个零件，然后求还加工的零件数是4天加工零件数的多少倍，最后求还需要加工多少天。 4×［（3080－280）÷28] ＝40（天） 答：加工剩下的零件还需要40天。 希望你也常动脑筋用多种方法解一道题，以提高解题能力。