特级教师和学生谈数学思考

与你同行

加强知识联系巧解应用题



夏云旭



许多数学应用题，如果按照常规思路，往往比较繁琐，且费时费力，容易出错。但如果能将所学知识系统化，注意知识间的联系，开拓思路，往往会事半功倍，给人以惊喜，使人充分体验到数学带来的乐趣。

例1．一列火车从甲站开往乙站，6时行驶5OO千米，行了全程的，照这样速度，再行驶多少时到达乙站？

一般解法：照常规思路，要求再行多少时到达乙站，必须知道剩下的路程和火车的速度。

剩下路程：5OO÷－500＝500×－500＝300 （千米）

火车速度：500÷6＝500×＝80（千米）

再行时间：300÷8O＝3.75（时）

答：3.75时到达乙站。

巧妙解法：

联系分数与比的关系，行了全程的，即行的路程与全程的比是5:8，则行的路程与剩下的路程的比为5:3，该题可这样解：

6÷5×3＝3.75（时）

答：3.75时到达乙站。

例2．某水泥厂去年生产水泥32400吨，今年头5个月的产量就等于去年全年的产量，照这样计算，这个水泥厂今年将比去年增产百分之几？

一般解法：

由题意知，求今年比去年增产百分之几，需求出今年的产量。

今年的产量：32400÷5×12＝7776O（吨）

增产百分之几：（7776O－32400）÷324O0＝1.4＝14O％

答：今年将比去年增产14O％。

巧妙解法：

由“今年头5个月的产量等于去年全年的产量”知，可将今年一个月的产量看作“1”，则去年的产量为“5”，今年的产量为“12”。

（12－5）÷5＝1.4＝140％

答：今年将比去年增产14O％。

（作者单位：山东省莱西市实验小学）

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两次相遇行程问题的解法



郑桂元



在小学阶段关于行程的应用题是作为一种专项应用题出现的，简称“行程问题”。有一种“行程问题”中出现了第二次相遇（即两次相遇）的情况，较难理解。其实此类应题只要掌握正确的方法，解答起来也十分方便。

例1．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。

[分析与解]根据题意可画出下面的线段图：



由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地80千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。两车同时出发同时停止，共行了3个全程，说明两车第二次相遇时甲共行了8×3＝240（千米），从图中可以看出来甲车实际行了一个全程多60千米，所以A、B两地间的路程就是：

240－60＝180（千米）

例2．甲、乙两车同时从A、B两地相向而行，在距A地80千米处相遇，相遇后两车继续前进，甲车到达B地、乙车到达A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米处相遇。求A、B两地间的路程。

[分析与解］根据题意可画出线段图：



由图中可知，甲、乙两车从同时出发到第二次相遇，共行驶了3个全程，第一次相遇距A地8O千米，说明行完一个全程时，甲行了8O千米。两车同时出发同时停止，共行了3个全程。说明两车第二次相遇时甲车共行了：80×3＝24O（千米），从图中可以看出来甲车实际行了两个全程少60千米，所以A、B两地间的路程就是：

（24O＋6O）÷2＝150（千米）

可见，解答两次相遇的行程问题的关键就是抓住两次相遇共行三个全程，然后再根据题意抓住第一次相遇点与三个全程的关系即可解答出来。

（作者单位：安徽省蚌埠市第三实验小学）

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灵活思考一题多解



张胜



[题目]在右图里有几个正方形？计算出涂色部分的面积。（单位：厘米）（人教版九年义务教育六年制小学数第六册第126页）

[分析与解］

本题图里共有3个正方形。

计算出涂色部分的面积方法如下：

解法一：一个大正方形的面积减去一个小正方形的面积的差的2倍或两个大正方形的面积减去两个小正方形的面积。

（4×4－2×2）×3＝24（平方厘米）    或4×4×2－2×2×2＝24（平方厘米）

解法二：一个最大正方形的面积减去3个小正方形的面积。

6×6－2×2×3＝24（平方厘米）



解法三：一个长方形的面积加上一个小正方形的面积的和的2倍或一个长方形面积的3倍。

（4×2＋2×2）×2＝24（平方厘米）    或4×2×3＝24 （平方厘米 ）



解法四：一个小正方形的面积的6倍。

2×2×6＝24（平方厘米）



解法五：平移后成一个较大长方形的面积。

6×4＝24（平方厘米）



（作者单位：四川省剑阁县实验学校）

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利用推理解题



陈天鸿



数学具有高度的抽象性和严密的逻辑性。解答数学习题，除了演算之外，有些题需要进行周密的推理。在推理过程中，我们要善于挖掘题中所隐含的条件，把它作为推理的依据，有次序地进行，使前面得出的结论，作为后面推理的依据，直到最终解决问题。

如五年制第十册课本第49页有这样的一道题：甲、乙、丙三人进行一场田径比赛，比赛项目有：100米、4OO米、800米、跳高、跳远五项。已知每项第一、第二、第三名各得5分、2分、l分；乙800米赛跑得第一名。比赛结束后，每人的总分是：甲22分，乙、丙各得9分。想想，这三人在五项比赛中各得到什么名次？

由题中条件可知：乙800米赛跑得第一名，乙得5分；而甲总分是22，只有当他取得五项中的四项第一名、另一项为第二名时，才会得22分，很显然，甲只能是800米得第二名，其余四项均为第一名；由于参加比赛的只有三人，每人每项至少能得第三名，拿1分；乙只有除8OO米外四项都得第三名，才会获得9分（5＋l＋1＋1＋1）；那么剩下的名次皆为丙的，即丙除800米得第三名外，其余四项都得第二名。如下表所示：

   总分 100米 400米 800米 跳高 跳远
甲 22 5 5 2 5 5
乙 9 1 1 5 1 1
丙 9 2 2 1 2 2


再如同册课本第143页的思考题：两个数相除的商是21，余数是3。如果把被除数、除数、商和余数相加，它们的和是225。被除数、除数各是多少？

因为被除数、除数、商和余数的和是225，所以被除数、除数的和应为：225－21－3＝201；如果要使被除数和除数相除的商是21，且没有余数，则它们的和应是：201－3＝198，那么由和倍问题的特点可得：

除数：198÷（21＋l）＝9

被除数：9×21＋3＝192

所以被除数是192，除数是9。

（作者单位：安徽省怀宁县实验小学）

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忙碌的机场



孙铁



［例题］机场上停着10架飞机，第一架飞机起飞后，每隔4分有一架飞机接着起飞。在第一架起飞后2分，有一架飞机在机场上降落，以后每隔6分，有一架飞机在机场上降落，降落在机场上的飞机依次相隔4分在原有的10架飞机之后起飞。问：从第一架飞机起飞以后，经过多少时间，机场上才没有飞机停留？

［分析与解］机场上原来停着的10架飞机全部起飞共需时间：

4×（10－1）＝36（分）

在这36分时间内，机场上降落的飞机数为：

1＋＝6＋

上式中的余数4表示4分，也就是在32分时，第6架飞机降落，在余下的4分里还没有飞机降落。

降落的6架飞机接连起飞需用时间4×6＝24（分）

在前面余下的4分和现在的24分内，机场上降落的飞机数为：

＝4＋

降落的4架飞机继续起飞需4×4＝16（分）

这段时间里，降落的飞机数为：

＝3＋

3架飞机起飞需3×4＝12（分）

这时又降落飞机：

＝2＋（两架）

以下依次有：

2×4＝8（分）      ＝1＋（一架）

1×4＝4（分）      ＝1＋（一架）

1×4＝4（分）      ＝1（一架）

到这里除尽，表示同时有一架飞机起飞，一架飞机降落，因此，机场上还是有一架飞机。

1×4＝4（分）      ＝（0架）

在这时只有1架飞机起飞，而没有飞机降落，因此机场上已没有飞机了，所以共经过的时间为：

36＋24＋16＋12＋8＋4＋4＋4＝108（分）

或者为：

4×［（10－l）＋6＋4＋3＋2＋l＋l＋l］＝108（分）

[思考］上面的方法虽然易懂，但不够简便。如果我们设从第一架飞机起飞直到机场上降落最后一架飞机为止的那一段时间为x分，可得方程为：

（＋1）－（＋1）＝9

解得x＝104是整数，表示在104分时，各有一架飞机起飞和降落。此时机场上的飞机数为1架。4分后这架飞机起飞。所以1O4＋4＝108（分）后，机场上就没有飞机了。

（作者单位：辽宁省葫芦岛市教师进修学院）

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逆向思维的妙用







看完这个标题，你可能会问：“什么是逆向思维呀？”逆向思维，是指将人们通常思考问题的思路反过来，用对立的、看上去似乎不可能的办法解决问题的思维方法。利用这种思维方法，可以巧妙地解决一些我们正常思维所不能解决的问题。

比如，我们在解下面的题目时，就可以应用这种思维方法。

小远买1角钱的邮票和2角钱的邮票共100张，一共花了17元钱。他买了1角和2角邮票各多少张？

解这一题目，假设买来的100张都是2角邮票，那么总钱数应为：2×100＝200（角）＝20（元）。

可实际上小远只花了17元钱，比假设少3元钱，这是因为其中有1角钱的邮票。若有一张1角邮票，总钱数就相差1角。

由此可求出1角邮票张数为：3元＝30角，30÷1＝30（张）。

2角邮票张数为：100－30＝70（张）。

请你用这种方法算出下面的题目：

三年级的46名同学去划船，准备了可乘6人的船和可乘4人的船共10只，如果所有的学生恰好分配在这10只船上而没有剩余，那么大船和小船各几只？

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三个好朋友的故事

一个山清水秀的村子里有三个好朋友：小明、小刚和小强，他们常在一起合伙打鱼。一次，他们忙碌了大半天，打了一堆鱼。实在太累了，就坐在河边的柳树下休息，一会儿都睡着了。小明醒了想起家里有事，看小刚和小强睡得正香，没有吵醒他们。他把鱼分成三份，自己拿一份走了。不一会儿小刚也醒了，要回家。他也把鱼分成三份，自己拿一份走了。太阳快落山了，小强才醒来。他想，小明和小刚上哪去了？这么晚了，我得回家劈柴去。于是，他又把鱼分成三份，自己拿走一份。最后还剩下8条鱼。 第二天，他们又合伙到河边打鱼，才知道昨天分的鱼不合理。小明立即把剩下的8条鱼给小刚3条，小强5条。你能算出他们原来共打多少条鱼吗？ 这个问题直接从文字上分析有一定难度，为了帮助我们理解题意，启发解题思路，可以根据题意，画出下面的线段图。 由于最后剩的8条是小强分的三份中的两份，所以小强拿走的鱼是8÷2条。那么小刚拿走自己分的一份鱼后剩下的鱼是8÷2×3条，这占小刚分的三份中的两份，所以小刚拿走的鱼是（8÷2×3）÷2；同样可得知小明拿走的鱼是［（8÷2×3）÷2×3］÷2条。所以打的鱼一共是［（8÷2×3）÷2×3］÷2×3＝27（条）。 当然，我们还可以从小强第一天拿走的鱼是8一条和第二天又拿了5条知道，每人平均拿了8÷2＋5条，所以打的鱼一共是（8÷2＋5）×3＝27（条）。 小明、小刚和小强三个伙伴互相关心，他们每个人无论有什么好事都忘不了另外两个朋友。 一次，小明从山里来了一筐山梨，他把小刚和小强找来，对他们说：“我把这筐梨先分给你们一些，剩下的便是我的。”于是，他把山梨的一半给了小刚，然后又给小刚加了1个。接着，他又把剩下的给了小强一半，也同样给小强加了1个，最后剩下5个山梨，他自己留下了。 你来算算，小明这一筐山梨共有多少个呢？ 可以按照上次的方法，先画出下面的图。 然后列出算式：   ［（ 5＋l）×2＋1]×2 ＝[6×2＋1］×2 ＝26（个） 答：筐里一共有26个山梨。 你知道为什么可以用画图的方法来解题吗？原来，对于复杂的题目，可以根据题意画一个直观示意图来帮助我们弄清题中的数量关系，也就比较容易列出算式、求出结果。