特级教师和学生谈数学思考

与你同行

体积与表面积的计算问题

金仁虎

在正方体、长方体或圆柱体的某个面上或几个面上打一个小孔或打通一个洞，其体积和表面积均发生变化。但变化的实质截然不同，只有物体的体积比原来减少了，而物体表面积的变化则要根据具体情况因题而论，下面特举例说明。 例1．如图1所示，在一个大的正方体某个面上打一个小的正方体洞，已知小正方体的棱长是大正方体棱长的，那么余下图形的体积比原来减少了几分之几？表面积比原来增加了几分之几？ 〔分析与解〕此题没有给出具体的数字，解答时可以将大正方体的棱长看作单位“1”，小正方体的棱长就是，因此，直接利用分率来列式。 （1）体积比原来减少：（××）÷（1×1×1）＝ （2）表面积比原来增加：（××4）÷(1×1×6)＝÷6＝ 　此题还可以设数来解。设大正方体的棱长为6分米，那么小正方体的棱长就是2分米。列式得， （l）体积比原来减少： （2×2×2）÷（6×6×6）＝××＝××＝ （2）表面积比原来增加：（2×2×2）÷（6×6×6）＝××＝ 例2．如图2所示，在一个底面边长为lOcm的长方体上下底面上打通一个小的正方体孔洞，表面积比原来增加了18cm2，求余下图形的体积。 〔分析与解〕要想求出余下图形的体积，必须知道长方体的高，求高又要从增加的表面积入手。从图中不难想象出18cm2就是中间小正方体两个正方形的 面积，于是得：18÷（4－2）＝9cm2，9＝3×3，即：中间的小正方体的棱长（大长方体的高）是3cm。因此列式为：10×10×3－3×3×3＝273（cm3）。 例3．如图3所示，在一个底面半径为6cm的大圆柱体的上下底面的中心处打通一个半径为4cm的小圆柱体的洞，其表面积没有发生变化，求原来圆柱的体积。 〔分析与解〕这题显然还是先求高，由于表面积没有变化，说明中间小圆柱体的侧面积一定等于它两底面积，因此圆柱体的高为：3.14×42×2÷（3.14×4×2）＝4cm。 原来圆柱的体积为： 3.14×62×4＝452.16（cm3） （本文作者为安徽省马鞍山市实验小学特级教师）

与你同行

从整体分析数量关系

施魏

［题目］甲、乙两人同时从A、B两地相向而行，第一次相遇时离A地12O米，相遇后，他们继续前进，到达目的地后立即返回，在距A地15O米处再次相遇。求A、B两地的距离。 ［分析与解］这道题如果从速度、时间和路程的关系来分析，会感到缺少条件。我们可从整体来分析题目的数量关系：甲乙两人同时出发，相向而行，他们第一次相遇时，共行了A、B两地的1个全程；两人从出发到再次相遇，共行了3个A、B两地的全程（如下图）。 两人共行1个全程，其中甲行的路程是12O米，那么两人从出发到再次相遇共行了3个全程，则甲共行了12O×3＝36O（米），这时甲距A地还有15O米，如果甲再行15O米，则甲共行了2个全程，所以A、B两地的距离是： （120×3＋15O）÷2＝255（米）。 （作者单位：安徽省铜陵市实验小学）

与你同行

多余的已知数







课堂上，同学们一起做练习题：气象小组在天的2时、8时、14时、20时，测得的温度分别是13摄氏度、 16摄氏度、 25摄氏度、18摄氏度。算出这一天的平均温度。

小毛看了一遍题，不假思索，马上就写成：

（l3＋16＋25＋18）÷（2十8＋14＋20）

他的同桌小明列的算式是：

（13＋16＋25＋18）÷4

陈老师将他们两人的算法写在黑板上，让同学们讨论，哪个对，哪个不对，为什么。

同学们热烈地争论着，渐渐地平静了。讨论结束后，老师请同学们发表意见。

小青站起来说：“小毛列的不对，小明列的对。因为要求的是一天的平均温度，已知一天内4个时刻的温度，应该用测得的温度和除以4。小毛是把时刻当成了除数。”

小明补充说：“其实题中的2时、8时、12时、20时这些已知数只是表明可以通过这四个时刻的温度来衡量一天的平均温度，与问题没有直接的数量关系，是多余的已知数。”

同学们都赞成他俩的意见。

小毛也明白自己错在什么地方了，表示以后要改掉毛毛草草的坏毛病。

星空

不愧为特级

与你同行

“割、补、拼、凑”有奥妙

郭彦钦

小朋友，如果问你长方形的面积该怎样计算时，恐怕你会很干脆地说出“用‘长方形面积＝长×宽’求出来呀。”没错，你回答得很好。 好，下面请看这道题：某学校有一个长方形操场，它的长和宽相加的和是2OO米，现在学校要扩建这个操场，使得它的长和宽都增加2O米。那么，这个操场的面积将会增加多少平方米？ 初看这道题，你会觉得这道题不太难。可是，当你提笔解答时，就会感觉有点不对劲：“要求长方形的面积，必须知道它的长和宽是多少，而现在知道的是长与宽的和，这该怎么做呢？” 别急，遇到困难时，好好动脑筋想一想，准能想出好办法的。你学过组合图形面积计算的方法吗？常用的“割、补、拼、凑”的方法你用过吗？那好，请看图1，图中长方形S表示原操场的面积，S1、S2、S3分别表示增加的三个长方形面积，由图可知增加的面积为S1＋S2＋S3，如果我们用割补的方法把图1变为图2，这时，你会发现什么呢？原来，增加的面积就是这个新长方形的面积，它的长是200＋2O＝22O（米），宽是2O米，则增加的面积是22O×2O＝44OO（平方米）。（还有多种解法，请你试试。） 原来，增加的面积的大小与长和宽各是多少无关，而只与长加宽的和有关，这是为什么呢？请爱动脑筋的同学继续往下看。 假设原操场的长为a，宽为b，则扩大后操场的长为a＋20，宽为b＋2O 原面积：S原＝ab 现面积：S现＝（a＋20）（b＋20） 增加的面积：   S增＝S现－S原 ＝（a＋20）（b＋2O）－ab ＝ab＋20a＋20b＋400－ab ＝2O（a＋b）＋400 ＝2Oｘ200＋4OO ＝440O（平方米） 可见，遇到难题或问题时，多动动脑筋，准会找到好办法的。并且，每做一道题都应想想是否能找到什么规律，这样，你就会变得越来越聪明。 （作者单位：山西省忻州地区长征路小学）

与你同行

画一画，数一数

1．画一画，数一数。 大家都知道，在同一平面内，不平行的两条直线一定相交，两条直线相交，最多会有几个交点呢？画一画，数数看                     最多只有一个交点。 三条直线相交，最多能有多少个交点呢？                     最多可有3个交点。 四条直线相交，最多能有多少个交点呢？                     最多可有6个交点。 五条直线相交，最多能有多少个交点呢？                     最多可有1O个交点。 从中，我们可以发现交点的个数随着直线条数的增加在不断地增加，到底直线的条数与最多交点的个数有怎样的关系呢？ 2．深入探究，总结规律 我们不妨把上面直线的条数与相交的最多交点的个数用列表的方法整理出来。 直线条数 1 2 3 4 5 … 最多交点数 0 1 3 6 10 … 仔细观察不难发现，每增加一条直线，交点个数就增加（直线数-1）个，那就是： l条直线最多有O个交点 2条直线最多有O+(2-1)=1交点 3条直线最多有O＋l＋（3-l）＝3个交点 4条直线最多有O+1+2＋（4－1）＝6个交点 5条直线最多有O＋l＋2＋3＋（5－l）＝10个交点 像这样，在同一个平面内有n条直线相交，交点的最多个数是：   l＋2＋3＋4＋…＋（n－1） ＝［l＋（n－l）］×（n－l）÷2 ＝n×（n－1）÷2 3．练一练 （l）在同一平面内有25条直线相交。问这些直线最多能有多少个交点？ （2）如果在同一平面内有若干条直线相交，最多能有66个交点。问在这个平面内最多有多少条直线？ （作者单位：辽宁省兴城市南一小学）

与你同行

交叉线验算法

在计算乘数位数较多的乘法时，用以前学过的方法验算起来比较麻烦。要是用一种既迅速又准确的方法做验算该多好啊！确实有一种交叉线验算法会使你感到满意。 交叉线验算法，就是先在草稿纸上画出两条交叉的直线，再分别把被乘数、乘数和积的每一位上的数横着加起来，看是不是一位数，如果不是就再加一次，直到成为一位数为止。这样可得到三个一位数，分别是a、b、c。把它们分别写在交叉线上（如下图。） 这里d＝a×b。（如果a×b得两位数，就像上面那样相加，取最后得到的一位数作为d。）最后，如果c＝d，那么你的计算就是正确的。例如,281×282＝79242 验算时，先在草稿纸上画一个交叉线。把被乘数281横着加变成11，再横着加变成2，把2写在交叉线左方。把282横着加变成12，再横着加变成3，把3写在交叉线右方。把积横着加变成24，再横着加变成6，把6写在交叉线上方。然后把交叉线左右两数相乘2×3＝6，把6写在交叉线下方。这时交叉线的上方和下方的数相同，说明这道题算对了。 你会用交叉线验算法来进行乘法的验算了，你可能会想除法能不能也用这个方法来验算呢？和乘法一样，除法也是可以的。 除法的交叉线验算法和乘法略有不同，主要是每个数横着加变成一位数之后，写在交叉线中的位置和乘法不一样。写法如下。 这里a是被除数横着加得到的一位数；b是除数横着加得到的一位数；c是商横着加得到的一位数；d是b×c后再相加得到的一位数。如果a＝d那么你的计算就对了。例如，207264÷816＝254 验算时，先画一个交叉线，把被除数横着加变成21，再横着加变成3，写在交叉线上方；除数横着加变成15，再横着加变成6，写在交叉线左方；商横着加变成11，再横着加变成2，写在交叉线的右方；再把交叉线左右两数相乘6×2＝12，把12横着加得3，写在交叉线的下方。这样，交叉线上下方数字相同，你的题又算对了。 请用交叉线验算法验算下面各题。 368×251＝92268 　　　　　820476÷863＝842 487×364＝177268 　　　　 305732÷358＝844