特级教师和学生谈数学思考

与你同行

运用假设的方法进行思考



孙丽谷



人教版九年义务教育六年制小学数学第八册教材上有这样一道应用题：

“新镇小学三年级有4个班，每班40人；四年级有3个班，每班38人。三年级和四年级一共有多少人？”

解答这道题我们是这样思考的：要求三年级和四年级一共有多少人，先要根据已知条件求出三年级和四年级各有多少人。列算式是：

　4O×4＋38×3

＝160＋114

＝274（人）

如果把这道题的第一个条件改成“三年级有3个班”，用上述的思考方法来解答这道题，列式为4O×3＋38×3。除了这种方法，解答这道题还可以这样来思考：即先求出三年级1个班和四年级1个班人数的和，再求出三年级和四年级一共有多少人。列成算式是：

　（4O＋38）×3

＝78×3

＝234（人）

前一道题和后一道题都是求三年级和四年级一共有多少人，因为在前一道题的己知条件中，三年级班级的个数与四年级的个数不相同，因此在通常情况下。只能用一种方法来解答；而在后一道题的已知条件中，因为三年级和四年级班级的个数相同，因此可以用两种方法来解答。

但如果我们采用假设的方法来进行思考，前一道题的解答方法就不止一种了。我们可以根据后一道题第二种解法的解题思路来解答前一道题，也就是假设三年级也是3个班，那么三年级和四年级一共有的人数就是（4O＋38）×3，因为实际三年级有4个班，所以三年级和四年级一共有的人数应该是（4O＋38）×3＋4O。

同样，我们也可以假设四年级有4个班，那就可以先求出三年级4个班和四年级4个班共有的人数，再减去四年级互个班的人数，就得到三年级和四年级一共有的人数了。列式为

（40＋38）×3＋4O。

如果我们假设三年级每个班是38人，那么这道题还可以这样列式计算：38×（4＋3）＋（4O－38）×4。请同学们想一想：

38×（4＋3）求出的是什么？为什么还要再加上（40－38）× 4呢？

把上面的问题想通后，再想一想，如果假设四年级每个班是4O人，这道题还可以怎样解答呢？请你试一试。

当然，对这道题来说，用假设的方法来进行思考，计算并不简便，但如果我们经常能运用假设法思考问题，就可以拓宽我们的思路，有利于解题能力的提高。

（本文作者孙丽谷为苏教版小学数学教材主编；江苏省南京市拉萨路小学特级教师）

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用比例关系巧解应用题

孙丽谷

在我们己经学过的常见的数量关系中，有的两种量成正比例，有的两种量成反比例。正确理解两种相关联量的比例关系，可以帮助我们巧解应用题。 我们来看这样的几道题： 1．一批零件平均分给甲、乙两人去做，经过6小时，甲完成了任务，乙还差96个没有做完。己知乙的工效是甲的，这批零件共有多少个？ 我们可以这样想：根据题目中“乙的工效是甲的”，可以知道甲与乙工效的比是5:4。因为当工作时间一定时，工效与工作总量成正比例，由此可知，甲与乙工作总量的比也是5:4。甲、乙工作总量的比是5:4，那就可以把甲完成的工作量看成5份，乙完成工作量着成4份，甲比乙多完成的工作量看成1份。己知甲完成了任务，乙还差96个没有完成，那么96个就是1份。因为这批零件是平均分给甲、乙两人去做的，所以甲的任务是5份，乙的任务也是5份，求零件的总个数只要求出10份共有多少就可以了。即： 96×5×2＝960（个） 2．甲、乙两人从两地相向而行，甲行完全程需2小时，乙行完全程需3小时。两人相遇时，甲比乙多走了2.4千米。求甲、乙之间的路程。 我们可以这样想：根据题目中“甲行完全程需2小时，乙行完全程需3小时”可以知道甲、乙行完全程所用的时间比是2:3。因为当路程一定时，行驶的时间和速度成反比例。由此可知，甲、乙行驶的速度比是3:2，甲、乙行驶的路程比也是3:2。 这样就可以把甲行驶的路程看作3份，乙行驶的路程看作2份，甲、乙之间的路程一共是2＋3＝5（份），甲比乙多行驶的路程是3－2＝l（份）。因此这道题求甲、乙之间的路程，只要用1份的路程去乘以5就可以了。即： 2.4×（3＋2）＝12（千米） 3．两车同时从A、B两地出发，相向而行，4小时相遇，相遇后甲车继续行驶了3小时到达B地。乙车每小时行24千米，两地相距多少千米？ 这题可以这样思考：把“两车同时从A、B两地出发，相向而行，4小时相遇，相遇后甲车继续行驶了3小时到达B地”转化成“甲、乙两车行驶相向的路程所用的时间比是3:4”，再将它转化成“甲、乙两车行驶的速度比是4:3”。这样就可以先求出甲车的速度，再求出两地相距的路程。即： 　24××（4＋3） ＝24××7＝224（千米） 以上三个例子，就是巧用比例关系来解答的应用题。用比例关系解答应用题，可以使解题的思路更加简捷，解题方法更加灵活。 （本文作者为苏教版小学数学教材主编，南京市拉萨路小学特级教师）

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用不同的方法解答应用题

孙丽谷

整数、分数比和比例等知识都是有联系的，用算术方法解答应用题和用方程解答应用题也是有联系的。我们弄清了它们之间的联系，对一些应用题就可以用不同的方法来解答。而当我们学会用不同的方法解题后，对知识之间的内在联系就会搞得更清楚。因此同学们一定要善于动脑筋，学会用不同的方法解答应用题，并切实搞清各种方法间的内在联系。如解答这样的一道题： 学校田径组女生和男生人数的比是5:6。田径组女生有20人，田径组一共有多少人？ 如果从不同的角度来思考，就能找出多种解法。 解法一：根据“田径组女生和男生人数的比是5:6”，可以知道，在田径组的总人数中，女生人数占5份，男生人数占6份。已知女生有2O人，也就是已知5份的人数，求田径组一共有多少人，就是求11份一共有多少人。因此可以先求出1份有多少人，再求出 11份有多少人。即：20÷5×（5＋6）＝44（人）。 解法二：根据“田径组女生和男生人数的比是5:6”，可以知道，男生人数是女生的，也就是“女生人数×＝男生人数”。因此可以根据一个数乘以分数的意义来解答，先求出男生人数，再求出田径组的总人数。即：20×＋2O＝44（人） 解法三：把“田径组女生人数和男生人数的比是5:6”转化成“田径组的总人数相当于女生人数的”，根据一个数乘以分数的意义得到这样的数量关系式：“田径组女生的人数×＝田径组的总人数”，列成算式是：2O×＝44（人）。而这一个算式与解法一的算式在实际意义上是完全一样的，都是求20的五分之十一是多少。 解法四：因为“田径组的总人数相当于女生人数的”也就是“田径组的女生人数占田径组总人数的”，因此如果这样来转化已知条件，就可以得到这样的数量关系式： “田径组的总人数×＝田径组女生的人数”。根据这个数量关系式，可以设田径组一共有X人，列出方程解答。即： 解：设田径组一共有X人。     X×＝20 求出  X＝44 解法五：根据“田径组女人数和男生人数的比是5:6”可以知道，＝。因为田径组女生人数和田径组总人数的比的值是一定的，所以田径组女生人数和田径组总人数成正比例。因此还可以列出比例来解答。即： 解：设田径组一共有X人。     ＝ 求出  X＝44。 （本文作者为苏教版小学数学教材主编，南京市拉萨路小学特级教师）

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分数应用题解题思想介绍

金仁虎

一、分配思想 分配思想就是根据题中的数量关系，从已知条件入手，通过列式，先求出单位“1”，再由单位“1”的量进行分配。其具体思路我们还是从第十一册教材第63页的思考题谈起。 1．基本题：同学们参加野营活动。一个同学到负责后勤工作的老师那里去领碗，老师问他领多少，他说领55个。又问：“多少人吃饭?” 他说：“一人一个饭碗，两人一个菜碗，三人一个汤碗。”算一算这个同学给多少人领碗。 〔分析与解〕这是一道六年级的思考题，解答此题可以用多种方法。 （1）方程法。 设：共有X人 　　X＋X＋X＝55 　　解得X＝3O。 （2）算术法。 55÷（l＋＋）＝55÷1＝3O（人） （3）此题还可以直接求最小公倍数来解。 根据“一人一个饭碗，二人一个菜碗，三人一个汤碗”的条件可得：[1、2、3]＝6（6是1、2、3的最小公倍数）。即：每6人为一桌，每桌所需的碗数为：饭碗：6÷l＝6（个）；菜碗：6÷2＝3（个）；汤碗：6÷3＝2（个）。共计：6＋3＋2＝11（个）→每桌的总碗数。这样野营的同学正好可以安排：55÷11＝5（桌），而每桌都是6人，即共有6×5＝3O人参加野营。 此题运用最小公倍数来解，不但可以拓宽六年级同学的解题思路，更重要的是为四、五年级同学开辟了一条解题途径。 2．变形题。节日期间给某班同学发水果，每人3个桔子，每2人3个苹果，每4人3根香蕉，最后又给每人发1个梨，结果共发水果2OO个，求该班有多少个同学？每种水果各多少个？ ［分析与解] 每人所发水果情况：桔子3（个）；苹果1（个）；香蕉（个）；梨1（个）。 （l）方程法。 设：共有X人 　　X＋3X＋1X＋X＝200 　　解得X＝32（人） （2）算术法。 200÷（1＋3＋l＋）＝2OO÷6＝32（人） （3）最小公倍数法（同学们自己思考列式）。 在求出单位“1”为32人以后，根据分配思想分别算出每种水果的个数，即：桔子3×32＝96（个）　　苹果32×l＝48（个） 　　香蕉32×＝24（个）　　梨子1×32＝32（个） 3．综合题：星期日某车间去郊外植树，休息时每人发2瓶汽水，每3人发2瓶果汁，每6人发2瓶雪碧，结果共发饮料180瓶，在这些人中，每人植一棵松树，每2人植5棵杨树，每3人植4棵柳树，每5人植3棵杏树，求该车间共植树多少棵？ 〔分析与解〕此题综合性很强，实际上是把前两个分配思想的小题合在一起。每人所发饮料情况如下， 汽水：2（瓶）    果汁：2÷3＝（瓶）    雪碧：2÷6＝（瓶） 列式： 180÷（2＋＋）＝6O（人） （其它方法同学们自己列式解答） 植树情况：松树 1×6O＝6O（棵）　　杨树 6O×2＝150（棵） 　　　　　柳树 16O×1＝8O（棵）　　杏树 6O×＝36（棵） 　　　　　总数＝6O＋150＋80＋36＝326（棵） 综合算式：180÷（2＋＋）×（1＋2＋1＋）＝326（棵） 综上所述，我们把这种解题思路称之为“分配思想”。同学们，你掌握了没有？ 二、守恒思想 所谓守恒思想，就是抓住不变的量解题，在这一类问题中其中至少有一个条件是守恒的。守恒的类型有以下几种，即：明守恒、暗守恒、总量守恒。 1．明守恒：明守恒就是通过已知条件，可以直接求出守恒不变的量，再根据这个量解决所要求的问题。以下举例说明. 例：某班共有45人，其中女生占总数的，后来又转来了几名女生，这时女生就占现在人数的，求转来几名女生？ 〔分析与解〕根据题意，女生人数增加了，而男生不变，抓住这个守恒量列式解答。 男生：45×（1－）＝25（人） 现在总人数：25÷（l－）＝5O（人） 增加的女生数：5O－45＝5（人） 综合算式：45×（1－）÷（l－）－45＝5O－45＝5（人） 2．暗守恒：暗守恒其守恒量不易直接求出，只有通过已知条件的分率转化，才能算出守恒的分率与数量，从而达到解题目的。 例：口袋中共有小球若干个，其中红球占总数的，后来拿走6个其它颜色的小球，这时红球占现在总数的，求原来有球多少个？ 〔分析与解〕根据题意，红球数量守恒。由此建立关系式： 现在＝原来→现在＝（÷＝）原来 列式得：6÷（1－）＝54（个）→原来总球数 另解：6÷（1－－）＝54（个）→为什么？同学们自己思考。 3．总量守恒：不管题中有几个条件，也不管它们之间发生什么样的变化，但总数是永远不变的，这就是总量守恒。 例：有一本故事书，已看的页数是未看的，如果再看96页，那么原来未看的与现在已看的页数正好交换，求这本书共有多少页？ 〔分析与解〕无论看的与未看的页数怎样发生变化，但这本书的总页数是守恒的。根据总量守恒分析列式， 解法1：第一次看的页数占总数的÷（l＋）＝ 　　　 第二次已看的页数占总数的l－＝ 列综合算式：96÷（－）＝96÷＝416（页）→总页数 解法2：第一次已看的页数与未看的页数比为5:8，即：已看的占5份，未看的占8份，总页数为5＋8＝13份。由此列式得： 96÷（8÷13－5÷13）＝416（页） 三、假设思想 所谓假设思想，它往往是先假定某种现象的存在，然后将先前的假定与题中的已知条件进行比较，产生矛盾与差异，再通过分析与思考，找出形成差异的原因，从而达到解题的目的。 例1．A、B两堆水果共重36O千克，如果从A堆中运走它的，从B堆中运走它的，这时从两堆中共运走了120千克水果，求每堆原来各有水果多少千克？ 〔分析与解〕假设从A、B两堆中都运走了，那么总数就运走了。 由题意得：A＋B＝120（千克） 由假设得：36O×＝9O（千克） 因此A堆水果有：（120－90）÷（－）＝3O÷＝200（千克） B堆水果有：36O－2OO＝160（千克） 此题还可以假设从A、B两堆水果中都运走的水果。（由同学们自己列式解答） 说明：这是一道较复杂的分数应用题，为什么要运用假设思想求解？由于此题A、B两堆水果的单位“l”不同，每堆所取的分率又不一样，因此解题时必须要运用假设思想。在上例中为什么假设的数值与实际数值有误差呢？是因为从A堆运走的水果，在假设时是按来算的，因此相差了－＝，其值相差了120－90＝30（千克） 例2．某项工程，A独做要6O小时完成，B独做要15小时时完成，如果此项工程由A先做若干小时再由B单独接着做，这样共用了45小时完成，求完成任务时每人各做了几小时？ [分析与解] 这是一道较复杂的工程问题，解答时也同样运用假设思想。 假设A做了45小时，那么B做的时间为： （1－×45）÷（－）＝÷＝5（小时） A做的时间为：45－5＝40（小时） （还有一种假设由同学们自己解答） 例3．某校本学期男生人数比原来增加了，而女生人数比原来减少了，结果全校总人数比原来增加了，求原来女生占总人数的几分之几？ 〔分析与解〕这是一道纯分率应用题，同样借用假设思想求解。此题与前两题不同：其一，本题没有一个具体的数字（全是分率）；其二，在女生人数减少的情况下，而总人数却增加了，由此说明男生增加的人数比女生减少的人数多。 假设男女生人数都增加了，那么总人数就增加，而实际上总人数只增加了，这样假设的与实际的产生了误差。于是得出：女生人数占总人数的（－）÷（＋）＝，男生人数占总人数的：1－＝。 例4.用一只载重量为61O吨、容积为65O立方米的船来运木材和石头，已知每立方米木材重吨，每立方米石头重1吨，这只船要一次运木材和石头各多少吨，才能充分利用它的载重量和体积？ 〔分析与解〕这题比较复杂，咋看起来像是统筹问题，解答此题最好的思路还是运用假设思想。 假设这只船全部装运木材，那么它的载重量就不能充分利用了。如果全部装运木材，木材重：×65O＝260（吨），石头体积：（61O－260）÷（l－）＝25O（立方米），石头重量：1×250＝450（吨），木材重量：×（65O－25O）＝160（吨）。 四、还原思想 这里介绍的还原思想不是一般书上说的那种逆推还原，而是通过扩大或缩小倍数，将其中某个分率还原成单位“1”，以便从中消去一个量，从而达到解题的目的。 例1．两块麦地共有100公亩，第一块地的和第二块地的正好是5O公亩，求每块地各有多少公亩？ 〔分析与解〕根据题意，只要将题中的扩大倍数，还原成单位“l”，从中消去一个量，这样就可以直接列式解答了。 第一块＋第二块＝100公亩 第一块＋第二块＝5O公亩 50×8＝400公亩 ×8=“1”→第二块 ×8＝4→第一块 第一块：（400－100）÷（×8－l）＝84（公亩） 第二块： 100－84＝16（公亩） 例2．A、B两个仓库共有化肥2500吨，从A库中运出了，从B库中运出又50吨，这时两库共余下化肥700吨，求原来两库各有化肥多少吨？ 〔分析与解〕如果将本题中的或某一个分率还原成单位“l”，这样计算比较麻烦。不妨我们换个角度考虑，从余下的数量来分析， A＋B＝2500（吨）      A＋B＝（700＋50）＝75O（吨） 750×3＝225O（吨） ×3＝“1”→A ×3＝→B 由此列式B：（2500－2250）÷（1－×3）＝1000（吨）         A：2500－1000＝15OO（吨） （此题也可以将扩大4倍还原成“l”来列式，请同学们自己试一试。） 例8. A、B两人共有钱100元，如果A取出自己的，B取出自己的，两人共取出4O元，求A、B两人原来各有多少元？ 〔分析与解〕这题也是从余下的数量来考虑，即，A＋B ＝（100－4O）＝6O（元）→＝A＋B＝（6O÷5）＝12（元） 12×7＝84（元） ×7＝“1”→B ×7＝→A A：(100－84)÷(1－×7)＝72（元） B：100－72＝28（元） 五、合并思想 合并思想就是把题中的两个或两个以上的已知条件合并起来，通过合并，将知识重新组合、分析、比较、归纳，从而找到解题捷径。合并思想包括“量”合并和“率”合并。 1．量合并：量合并就是先把题中的两个或两个以上的已知数量，根据一定的需要直接加起来，然后再思考列式求得答案。 例1．买甲、乙两种商品共6O件，付人民币1260元，如果交换两种商品的件数共付人民币1140元，已知甲商品的价格是乙商品价格的1倍，求两种商品的单价？ [分析与解]由题意得：甲每件商品比乙贵。由交换得：甲商品在交换前比交换后的件数要多，即：甲的件数＞乙的件数。不妨我们设甲原来有X件，乙原来有y件。 （1）甲（x） 甲60件 乙（y） 乙60件 1260元 （2）甲（y） 乙（x） 1140元 1260＋1140＝24OO（元） 将上面的条件（1）和（2）合并起来列式得： （1260＋1140）÷6O＝（4O元）→甲乙单价和 以及乙：4O÷（l＋1）＝15（元）     甲：15×1＝25（元） 2．率合并：率合并就是先将题目中的两个或两个以上的分率合并起来，从中得出总数量与总分率之间的关系，然后再借助假设或还原思想求得答案。 例2．甲、乙两件商品，甲的和乙的共值56元，而甲的和乙的共值49元，求甲、乙两件商品的价格？ [分析与解］因为甲乙前后分率正好进行了交换，通过合并可以得到相同的总分率，由此获得解题途径。 甲＋乙＝55（元）→甲＋乙＝（49＋55）÷（＋） 甲＋乙＝49（元）　　　　＝160元 根据条件1假设：甲乙两种商品都取出，那么总数就取出。列式得： 乙商品的价格为：（16O×－55）÷（－）＝9÷＝6O（元） 甲商品的价格为：160－6O＝100（元）（也可以根据条件2假设列式，同学们自己试试。）

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六、化归思想
这里所介绍的化归思想，就是将题中一个或几个条件先通过转化，然后再归结到某一个数量中。其具体思路是：确立其中某一个数量为单位“1”，其它被转化的量则是这个单位“1”的几分之几或几倍。
例1．甲、乙两班同学共13O人，如果从甲班抽出和乙班10人去参加活动，这时乙班余下人数是甲班余下人数的，求甲乙两班人数？
［分析与解］乙班抽走10人后，余下的人数是甲班原来总人数的（l－）＝的，即：×＝，这时乙班余下的是甲班原来总人数的。由此列式得甲班原来人数：
（130－10）÷（l＋×）＝120÷1＝7O（人）
乙班人数为130－70＝60（人）或7O×（l－）×＋10＝70×＋10＝60（人）。
例2．某厂男女工共有200人，如果从男工中抽走的人，女工又招来20人，这时男工余下的人数是现在女工人数的，求原来男女工各有多少人？
[分析与解］由于男工抽走不知道有多少人，在此只有确立女工现在人数为单位“1”，将男工人数化归为女工。根据题意：
男＝女现在→男＝女现在→男＝1女现在
因此列式得：
（200＋20）÷（1＋1）＝100（人）→女现在
女原来＝100－20＝80（人）      男原来＝200－8＝120（人）
例3．某工程队下属三个小组，总人数为190人，如果从甲组中抽走人，从乙丙两组各抽走5人，这时丙组余下的人数是甲组余下人数的，乙组余下的人数和甲组余下的人数相等，求每小组原来各多少人？
[分析与解］本题与前两小题有所不同，从已知条件不难看出乙与丙都和甲有直接关系，在此不妨以甲原来人数为单位“1”，乙丙余下的人数可直接化归为甲。因此得：丙组余下的人数是甲组余下人数（l－＝）的，即：
丙现在＝（×＝）甲原来
乙现在＝（l－）＝甲原来
由此列式得
甲组原来有：（190－5×2）÷（1＋×＋）＝80（人）
乙组原来有：80×＋65（人）
丙组原来有：80×＋5＝45（人）
七、一分为二思想
本文所谈的一分为二思想，是在解题时将题中的已知条件一分为二，即：根据需要将已知的数量和分率暂时分开，分别进行“量”转化和“率”转化，从而达到列式解答的目的。
例1．某车间男工人数比女工人数多28人，参加元旦联欢活动，女工全部参加，男工则有的人没有参加，已知参加活动的共有105人，求原来男女工各有多少人？
[分析与解]由题意得：由于女工全部参加活动，则将女工人数看作单位“1”，将男工人数一分为二，即：把男工分成同女工人数相等的单位“1”和多出的28人。（单位“1”叫分率，简称“率”，28人叫数量，简称“量”。）而男工只有1－＝的人参加活动。由此，根据一分为二思想分别进行“率”转化和“量”转化。
（1）男工参加的人数相当于女工人数即单位“1”的，即：“率”的→1×＝。
（2）28人的，即：“量”的28×＝21（人）。
于是列综合算式得女工人数为：
（105－28×）÷（1＋1×）＝84÷1＝48（人）
男工人数为：48＋28＝76（人）
（此题也可以用方程解，请同学们自己试试。）
例2．甲乙两组工人共计划加工一批零件，已知甲组完成了总数的还少500个，乙组完成了比甲组的还多200个，求这批零件共有多少个？
［分析与解］将条件摘录如下：
甲＝总－500
乙＝甲＋200
乙＝（总－500）的＋200
根据一分为二思想分别进行“量”、“率”转化：
（l）“率”转化：乙组加工的是甲组的→零件总数的→总。
（2）“量”转化：少500个的→500×＝300（个），而乙最后还多200个零件，这样两抵还少300－200＝100（个）。
综合（1）、（2）得：乙＝总－100
零件总数为：

（500＋100）÷（＋－l）＝600÷＝9000（个）
例3．果园里收下苹果的正好装满了若干筐，余下的苹果装满15筐还多45千克，求每筐苹果多少千克？共收下苹果多少千克？
[分析与解］依照题意，每筐苹果的重量一定大于45千克，而余下的苹果（1－）＝装满15筐还多45千克，由此推算出收下的苹果装的筐数与余下的苹果装的筐数的比值为：:（1－）＝1。根据一分为二思想：

（1）“率”转化：15×1＝17（筐）		收下苹果的所装的筐数和多的千克数
（1）“量”转化：45×1＝51（千克）

由于收下的苹果的装的是整筐数，由此这里取大于17筐最小整数为18筐。
51÷（18－l7）＝÷＝60（千克）→每筐重量
（60×l5＋45）÷（l－）＝945÷＝2025（千克）→总重量
八、极端思想
所谓极端思想就是在分析和研究对象时，往往从问题的最末端出发，它主要借用逆向思维对题中的已知条件和问题进行辨析、比较、归纳，寻找解决问题的契机，从而达到解题的目的。
例1．有一辆马车每时行驶8千米，为了保持马的体力，每行驶50分钟就休息10分钟，已知从A地去B地全长共7O千米，求这辆马车行完全程共要几时？
［分析与解］首先把分钟化成时：5O÷6O＝（时），10÷60＝（时）。依题意：在每时内马车行驶时，就休息时。这样在l时之内，马车实际行驶了8×＝7千米，那么列式为：7O÷7＝10（时）。再根据极端思想，马车到达B地时最后一个时不作考虑。因此所用的时间是：10－＝9（时）。
例2．蓄水池有A、C两个进水管和B、D两个排水管。要注满一池水，单开A管要3时，单开C管要5时。要排完一池水单开B管要4时，单开D管要6时。现在池内有的水，如果按A、B、C、D、A、B……的顺序轮流打开1时，多少时间后水开始溢出水池？
[分析与解]A、B、C、D各管各开1时后，水池中的水就增加－＋－＝。我们知道：＞＞＞，由此最后使水开始溢出水池的一定是A管。
根据极端思想，池中的水超过以后，甲管打开一段时间后，水池中的水会溢出。因为（l－）÷＝4，所以A、B、C、D这样循环4次以后，水池中的水为＋×4＝，还不到。循环5次后，池中的水为×5＋＝，这样再打开甲管（l－）÷＝（时）以后，水就开始溢出水池。
总时间：4×5＋＝20（时）
例3．某项工程由乙独做13天完成，如果此项工程第一天由甲做，第二天由乙接着做……这样轮流恰好在某日晚完成；若这项工程第一天由乙做，第二天由甲接着做……这样轮流比前次多半天时间完成任务。求这项工程由甲独做要几天完成？
[分析与解]依照题意，完成任务时第二轮比第一轮多半天时间，从图1不难看出：在两轮中AB之间的工作量是甲乙（或乙甲）经过了若干次轮流以后（轮流次数相等，所做的工作也相等），余下的两轮工作量也相等，这样就不可能多出半天的时间。这与题中条件相矛盾，因此本解法行不通。

从上解中不难发现：在第一轮里不可能是甲开始乙收尾，很可能是甲开始甲收尾。这样作图2所示，通过分析、比较、归纳出：这两轮中甲乙最后余下的关系是：甲＝乙＋O.5甲→甲＝2乙。即甲的工作效率是乙的2倍，甲独做这项工程的天数：13×＝6.5（天）。

（本文作者为安徽省马鞍山市实验小学特级教师）

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环形面积怎样计算较简便

盛大启

日常生活中见到的各种螺丝的垫片以及钢管的横截面等，都是环形。计算环形的面积，一般是用外圆的面积减去内圆的面积。这是计算环形面积的基本方法。课本中的例题就是用这种方法计算环形面积的，即：先求外圆的面积，再求内圆的面积，然后用外圆面积减去内圆面积，得到环形面积。如果用字母R表示外圆的半径，用字母r表示内圆的半径，那么环形的面积计算公式可以表示为： S环＝πR2－πr2 这样计算步骤较多，而且要两次和π的近似值3.14相乘，容易出现错误。 我们知道，乘法分配律可以从加法推广到减法。那么，上面的公式就可以简化成： S环＝π（R2－r2） 用这一公式计算环形面积，要比第一种解法简便些。 我们还可以仿照课本中推导圆面积计算公式的方法，把环形面积也分成若干等份，剪开后，可以拼成一个近似的长方形（如下图）。如果把环形等分的份数越多，拼成的图形就会越接近于长方形。 这个长方形的长相当于外圆周长与内圆周长的和的一半，即：（2πR＋2πr）＝（R＋r）＝π（R＋r）；长方形的宽就是环形外圆半径与内圆半径的差，即：R－r。所以，根据“长方形面积＝长×宽”这一公式，可以得到： S环＝π（R＋r）（R－r） 用这一公式计算环形面积，要比第二种解法更简便，因为它还避开了乘方的运算。 例如，课本中的例5（环形的内圆半径是10厘米，外圆半径是15厘米，求环形面积）用上面的三种方法来解，分别列式为： 解法一：3.14×l52－3.14×l02； 解法二：3.14×（152－102）； 解法三：3.14×（l5＋10）×（15－10）。 很明显，用第三种方法来求环形面积，便于通过口算很快求出计算结果。 （本文作者盛大启为中国教育学会小学数学教学专业委员会学术委员，苏教版小学数学教材主编，南京晓庄国际实验学校特级教师。）

与你同行

怎样解答行程问题

斯苗儿

有这样一道应用题：“一辆汽车从A地开往B地，每小时行48千米，行了5小时到达B地。A、B两地相距多少千米？”我相信，同学们都能很快地列式解答，即48×5＝24O（千米），从而求得A、B两地相距24O千米。但遇到较复杂的行程问题，往往会觉得无从下手。其实，只要是行程问题，不管怎么复杂，都可以根据“路程＝速度×时间”这一基本数量关系来解答。下面我们一起来解答几道题目。 例：两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每小时行48千米，乙车每小时行5O千米，5小时相遇。求A、B两地间的距离。 分析：求两地间的路程，就是两车原来相隔路程，也就是求两车在5小时里所走路程的和。根据“路程＝速度×时间”，可以先算出每小时两车一共行多少千米，再与相遇时间相乘，就可求得两地相距多少千米。 （48＋5O）×5＝490（千米） 答：A、B两地间相距是490千米。 现在我们就以这道题为基础来进行改编练习。 1．把原题的“5小时相遇”这一条件改为“5小时后还相距15千米”，问题不变。 我们可以按原题进行分析，所不同的是：这里两车没有相遇，还相距15千米。这样，两地间的路程就不仅仅是两车5小时里所走的路程和了，还必须加上没有走的15千米。可这样列式解答。   （ 48＋5O）×5＋15 ＝49O＋15 ＝5O5（千米） 答：A、B两地间相距5O5千米。 2．把原题的“两辆汽车同时从A、B两地相向开出”改为“甲、乙两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行1小时”，其它条件和问题不变。 分析：这一题与原题的解题思路还是一样的，不同的是原题两车是同时从两地出发，而这题是不“同时”了。要求A、B两地间的路程，就是求甲、乙两车所行的路程和。这样可以充分别求出甲车、乙车所行的路程，再把两部分合起来。等式是， 48×（1＋5）＝288（千米） 5O×5＝25O（千米） 288＋25O＝538（千米） 也可以先求出甲、乙两车5小时所行的路程和，再加上甲车1小时所行的路程。算式是， （48＋5O）×5＝49O（千米） 49O＋48＝538（千米） 答：A、B两地间相距538千米。 到这里，我们已经对原题作了两次改编，原题是同时从两地出发，最后相遇的。经过第一次改编使它成为一道同时从两地出发，最后不相遇的应用题，经过第二次改编它又成了一道不同时从两地出发，最后相遇的应用题。但不管怎样变，我们都没有离开最基本的数量关系“路程＝速度×时间”来思考和解答，真可谓“万变不离其宗”。 3．把原题进行第三次改编，使它成为一道既不“同时”又不相遇的相向运动应用题。 两辆汽车分别从A、B两地出发相向而行，甲车先行三小时后动车从B地出发，5小时后两车还相距15千米。甲车每小时行48千米，乙车每小时行5O千米。求A、B两地间相距多少千米？ 根据前几题的分析，可列式解答如下： （48＋5O）×5＝49O（千米） 49O＋48＋15＝553（千米） 答：A、B两地间相距553千米。 此题已经解答完毕，我相信聪明的你一定能把它的解题思路讲给同学听。 （本文作者为浙江省教育厅教研室小学数学教研员）