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特级教师和学生谈数学思考

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15#
 楼主| 发表于 2008-5-28 06:27:00 | 只看该作者

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激活思维,注意创新

汪超
从素质教育的要求和能力培养的需要出发,小学生在学好数学基础知识的同时,应当加强思维训练,不断提高自己的创新意识、积极培养创新能力。不过,这是一个漫长而艰巨的过程。其中最为重要的是在学习与思考过程中不因循守旧,不受条条框框的束缚,会根据面临的问题,有目的分层次地在大脑中展开检索,并获取相关信息,形成从问题到知识的关联点,在此基础上,整体入手、灵活思考、讲究变通与转化,鼓励标新立异、丰富想象,以谋求问题解决中的突破和创新。试以两例进行浅析。
例1.甲乙两人分别骑自行车在相距60千米的两地相对而行,甲乙骑车每小时速度分别为11千米、9千米。假若有一只蜜蜂在甲的前轮与甲同时出发以每小时15千米的速度飞向乙车前轮、触及前轮后又转身飞向甲车前轮,如此来回飞行、直到两车相遇时,蜜蜂停止飞行,问小蜜蜂总共飞行多少千米?
[分析与解]本题要是把蜜蜂看成前后若干次地与乙、与甲的相遇问题考虑那么解答复杂甚至不易解出来。因此该题应以整体思考转化思路。因为甲乙两人相对而行,他们从开始到相遇所花的时间是一定的、不变的,而甲乙从开始到相遇的时间也正是小蜜蜂来来回回飞行在两车前轮之间的时间,抓住不变量,又知小蜜蜂速度,即可求蜜蜂飞行总路程即15×[6÷(16+9)]=45千米。本题求解的关键即是思维的新意集中体现在抓住了甲乙相遇时间这个“不变量”。
例2.一辆客车从甲地开往乙地,第一小时行驶60千米,比第两个小时多行行驶,这两小时正好行完全程的,如果以后照前两个小时的平均速度,还要多少时间才能到达乙地?
[分析与解]这道题多数同学是用常规方法求解。
(l)根据已知条件先求出开始的两个小时客车所行程。
6O+6O÷(1+)=108(千米)
(2)再求出全程长。
1O8÷=54O(千米)
(3)进一步求出客车行驶两小时后剩下路程
54O-108=432(千米)或540×(1-)=432(千米)
(4)客车按前两小时平均速度行驶到乙地还需要的时间。
432÷(lO8÷2)=8(时)
上述解法虽然无误,但费时较多,步骤不少,弄不好还易出错。该题要联系工程问题换个思路考虑,把要行驶的全程看作单位“l”那么,根据已知条件,前两个小时客车行驶全程的,这时还剩全程的1-,又因为两个小时行驶全程的,所以平均每小时行驶全程的÷2=,要求照前两个小时的平均速度行驶,还需要多少小时到达乙地则有:
(l-)÷(÷2)=÷=8(时)
整个解答富有特色、新颖、别致,而且简洁明快、算理清楚,体现了一种创新意识。
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16#
 楼主| 发表于 2008-5-28 06:27:00 | 只看该作者

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各有各的理由

任雪三
孙老师给多多、来来和敏敏出了一道应用题,看谁算得对,算得快。题目是:
两瓶同样重的色拉油,甲瓶吃去,乙吃去千克,哪一瓶吃去的多?
小机灵鬼多多一见题目就抢先说:甲瓶吃去的多。假设两瓶油都是2千克,那么,甲瓶吃去了2×=1(千克),而乙瓶才吃去千克,显然是甲瓶吃去的多嘛!
从来不甘心落后的来来接着说:我认为是乙瓶吃去的多。假设两瓶油都是千克,那么,甲瓶吃去×=(千克),不是小于吗?所以,应该是乙瓶吃去的多。
一向沉稳的敏敏最后说:依我看是两瓶吃去的同样多。假设两瓶油都是1千克,那么甲瓶就吃去1×(千克),乙瓶也吃去千克,这不是吃去同样多吗?
孙老师说:你们三人所得都有道理,各有各的理,各有各的理由。现在,我将你们三个人的意见综合起来,可以得出这样的结论:
如果油重大于1千克,就是吃去的较多;如果油重小于1千克,就是吃去千克的较多;如果油重等于1千克,就是吃去同样多。
三人听了孙老师的话,都高兴地笑了。
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17#
 楼主| 发表于 2008-5-28 06:27:00 | 只看该作者

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根据具体情况选用不同算法



陶爱珍



在一次数学练习课上,王老师出了三道题目,要求同学们先认真思考,然后再计算。

①14÷8÷0.14            ②5.36×8÷4            ③2O÷O.3×l.5

同学们很快在自己的本子上算出了①、②两题的答案:

  14÷8÷0.14              5.36×8÷4              2O÷O.3×l.5
    =1.75÷0.14             =42.88÷4              =
    =12.5                   =10.72                 =

当算到第③题时,大家停住了笔,对老师说,这道题不能做,因为第一步的计算结果除不尽。王老师笑笑对大家说,看到题目后,要学会先思考分析,再根据具体情况,选用不同的解题方法,其实这道题是可以简便运算的。说着,王老师在黑板上写了两道题:

  270÷45÷3               27O÷(45×3)
    =6÷3                   =270÷135
    =2                      =2

比较这两道题的计算,它们的结果相等,同学们得到了启发,很快地算出了第③题的结果,还学会了前二题的简便运算。小朋友,你知道这三道题目是如何简便运算的吗?

用递等式计算乘除两步运算式题时,通常要按从左到右的顺序依次运算。仔细推敲“通常”一词,它有两层含义:一般情况下都按从左到右顺序计算;有些特殊情况,可灵活地改变顺序,使运算简便。

现在我们来看刚才解答的三道题。

14÷8÷0.14,如果先算14÷0.14=100,再算100÷8=12.5,就比较简便。5.36×8÷4,从左往右依次计算比较烦琐,但根据题中8和4有倍数关系,把原式转化成5.36×(8÷4)=5.36×2,就要容易一些。再看20÷0.3×1.5,更有多种解答方法。先算20×1.5,再算3O÷0.3=100;或先把原式转化成20×1.5÷0.3,再把它转化成20×(1.5÷0.3)=20×5=100。

接着,王老师说,在数学王国中,没有一成不变的东西,只要我们勤学习,善思考,学会根据实际问题,作具体分析,灵活地选用不同的解题方法,才能自由自在地到数学王国中去遨游。

练一练:

计算下面各题。

①6400÷125÷8

②72OO÷24÷3

③1800÷(25×l8)

(本文作者陶爱珍为中国教育学会小学数学教学专业委员会常务理事,上海市教研室教研员。)

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18#
 楼主| 发表于 2008-5-28 06:28:00 | 只看该作者

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试商、调商有规律



钱守旺



许多同学刚开始学习除数是两位数的除法时,计算速度往往比较慢。原因就是试商、调商的规律还没有掌握。下面简单给同学们介绍一些规律。

1.当除数个位上的数是1、2、3、4时,在一般情况下,可以把除数的尾数舍去,把它看作和除数接近的整十数来试商。但“四舍”初商容易大,如43O÷62,把除数“四舍”看作60,试商7,7与62相乘,得434,积比被除数大,说明商7大了,应该改商6,6与62相乘,积是372,43O减去372,余数是58,比除数62小,说明商6合适。由此可知,除数若往小看,初商容易大。计算时同学们可记住“四舍商易大,初商可减1”的规律。

2.当除数个位上的数是5、6、7.8、9时,在一般情况下,可以把除数个位上的数“五入”为整十数来试商。但“五入”初商易小,如278÷38,把除数“五入”看作40,试商6,6与38相乘得228,278减去228得50,余数比除数大,说明商小了。应该改商7,7与38相乘得266,278减去266得12,余数比除数小,说明商7合适。从这道题看出,把除数往大看,初商容易小。因此要记住“五入商易小,初商可加1”的规律。

3.当除数个位上的数是4、5、6时,也可以看成几十五直接口算。

4.几种特殊情况。

(1)当被除数的前两位数正好是除数的一半时,可以直接商5,如328÷64、195÷38、457÷90等。可简记作“够半商5”。

(2)当被除数和除数的最高位相同,而第二位的差数不超过首位时,通常可以商“9”,如440÷46、802÷8、900÷98等。

当被除数和除数的最高位相同,而第二位的差数超过首位时,通常可以商“8”,如410÷46、152÷18、325÷38等。

同学们知道了试商调商的规律,还要在计算中慢慢体会如何正确应用,不断积累经验,增强试商的准确性,提高试商的速度。

(本文作者钱守旺为河北玉田师范附小特级教师)

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 楼主| 发表于 2008-5-28 06:28:00 | 只看该作者

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怎样列方程解含两个未知数的应用题



上海市浦东新区教育学院特级教师 曹培英



人教版教材“简易方程”单元中有这样一道例题:

“果园里桃树和杏树一共有180棵,杏树的棵数是桃树的3倍。桃树和杏树各有多少棵?”

题目让我们求两个未知数,要列方程解,可是同学们只学了解一个未知数的方程,怎么办呢?课本介绍了一种解法,很多同学感到不满足,他们问:为什么两个未知数,要选择桃树棵数设为x,设杏树有x棵可以吗?根据“杏树的棵数是桃树的3倍”列方程行吗?

回答是肯定的。请看下面四种解法(解方程略):

解法 1:设桃树有x棵,则杏树有3x棵。

        3x+x=180

解法 2:设杏树有x棵,则桃树有x+3棵。

        x÷3+x=180

解法 3:设桃树有x棵,则杏树有(18O-x)棵。

        (180-x)÷x=3

解法 4:设杏树有x棵,则桃树有 (180-x)棵。

        x÷(18O-x)=3

我们看到,解法1与解法2都是用倍数关系表示两个未知数中的一个,然后根据两数和的关系列方程,区别只是未知数的选择不同;解法3与解法4都是用两数和的关系表示另一个未知数,然后根据两数的倍数关系列方程,区别也是未知数的选择不同。

比较四种解法,解法1最简便。它的特点是根据倍数关系,选择看作一倍的未知数设为x,则另一个未知数是x的a倍,就可以表示为ax。然后根据两数和的关系列方程。原来,课本上介绍的是最简便的一种解法。

再来看下面两种解法,对吗?为什么?

解:设桃树有x棵,则杏树有( 180-x)棵。

  180-x+x=180

解:设杏树有x棵,则桃树有x÷3棵。

  x÷3×3=x

奇怪,两种解法看看都有道理,一种是根据两数和的关系列方程,一种是根据倍数关系列方程,可是化简后得到的却是“180=180”,“x=x”,这到底是怎么回事呢?有位同学说得好:“这两种解法,表示未知数和列方程都用同一个条件,结果当然是自己等于自己了”。那么怎样避免出现“自己等于自己”这样的等式呢?很简单,只要像上面四种解法那样,两个条件各派各的用处,即一个用来表示未知数,一个用来列方程就行了。

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20#
 楼主| 发表于 2008-5-28 06:28:00 | 只看该作者

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“画图”是帮助解题的好方法

北京市第一实验小学 王继珍
解题时,根据题的内容画图,把题的条件、问题在图上标明,这样有助于我们正确审题,理解题意,从而正确解题,提高我们分析和解决问题的能力。
结合不同的内容画不同的图。通常通过平面图、立体图、分析图、线段图、表格图和思路图等,对题目的条件、问题进行展示。下面分别举例说明。
一、平面图
对于题目中条件比较抽象、不易直接根据所学知识写出答案的问题,可以借助画平面图帮助思考解题。
如,有两个自然数A和B,如果把A增加12,B不变,积就增加72;如果A不变,B增加12,积就增加12O,求原来两数的积。
根据题目的条件比较抽象的特点,不妨借用长方形图,把条件转化为因数与积的关系。先画一个长方形,长表示A,宽表示B,这个长方形的面积就是原来两数的积。如图(l)所示。
根据条件把A增加12,则长延长12,B不变即宽不变,如图(2);同样A不变即长不变,B增加12,则宽延长12,如图(3)。从图中不难找出:
原长方形的长(A)是120÷12=10
原长方形的宽(B)是72÷12=6
则两数的积为1O×6=6O
借助长方形图,弄清了题中的条件,找到了解题的关键。
再如,一个梯形下底是上底的1.5倍,上底延长4厘米后,这个梯形就变成一个面积为6O平方厘米的平行四边形。求原来梯形面积是多少平方厘米?
根据题意画平面图:
从图中可以看出:上、下底的差是4厘米,而这4厘米对应的正好是1.5-l=O.5倍。所以上底是4÷(1.5-1)=8(厘米),下底
是8×1.5=12(厘米),高是6O÷12=5(厘米),则原梯形的面积是(8+12)×5÷2=5O(平方厘米)。
二、立体图
一些求积题,结合题目的内容画出立体图,这样做,使题目的内容直观、形象,有利于思考解题。
如,把一个正方体切成两个长方体,表面积就增加了8平方米。原来正方体的表面积是多少平方米?
如果只凭想象,做起来比较困难。按照题意画图,可以帮助我们思考,找出解决问题的方法来。按题意画立体图:
从图中不难看出,表面积增加了8平方米,实际上是增加 2个正方形的面,每个面的面积是8÷2=4(平方米)。原正方体是6个面,即表面积为4×6=24(平方米)。
再如,用3个长3厘米、宽2厘米、高1厘米的长方体,拼成一个大长方体。这个大长方体的表面积是多少?
按题意画立体图来表示,三个长方体拼成的大长方体有以下三种情况:
(l)拼成长方体的长是2×3=6(厘米),宽3厘米,高1厘米。表面积为(6×3+6×l+3×l)×2=54(平方厘米)。
(2)拼成长方体的长是3×3=9(厘米),宽2厘米,高1厘米。表面积为(9×2+9×1+2×1)×2=58(平方厘米)。
(3)拼成长方体的长是3厘米,宽是2厘米,高是1×3=3(厘米)。表面积为(3×2+3×3+2×3)×2=42(平方厘米)。
这道题有以上三种答案,通过画图起到审题和理解题意的作用。
三、分析图
一些应用题,为了能正确审题和分析题目中的数量关系,可以把题目中的条件、问题的相互关系用分析图表示出来。
如,新华中学买来 8张桌子和几把椅子,共花了 817.6元。每张桌子价 78.5元,比每把椅子贵 62.7元,买来椅子多少把?
分析图:
(l)买椅子共花多少钱? 817.6-78.5×8=189.6元)
(2)每把椅子多少钱? 78.5-62.7=15.8(元)
(3)买来椅子多少把?189.6÷15.8=12(把)
综合算式为:(817.6-78.5×8)÷(78.5-62.7)
          =189.6÷15.8
          =12(把)
答:买来椅子12把。
四、线段图
一些题目条件多,条件之间关系复杂,一时难以解答。可画线段图表示,寻求解题的突破口。
如,光明小学六年级毕业生比全校总人数的还多3O人。新学期一年级新生人学36O人,这样现在比原全校总人数增加了。求原来全校学生有多少人?
从图中可以清楚看出,(360-30)人与全校人数的()相对应,求全校人数用除法计算。列式为:
(360-30)÷()=330÷=900(人)。
再如,甲乙两人同时从相距88千米的两地相向而行,8小时后在距中点4千米处相遇。甲比乙速度快,甲、乙每小时各行多少千米?
按照题意画线段图:
从图中可以清楚看出,甲、乙8小时各行的距离,甲行全程的一半又多出 4千米,乙行全程的一半少 4千米,这样就可以求出甲、乙的速度了。
甲速:(88÷2+4)÷8=6(千米)
乙速:(88÷2-4)÷8=5(千米)
五、表格图
有些问题,通过列表不仅能分清题目的条件和问题,而且便于区分比较,起到良好的审题作用。
如,小明3次搬运15块砖,照这样计算,小明又搬了4次,共搬多少块砖?
根据条件、问题,列出易懂的表格,能清楚看出已知条件和所求问题。
3次15块
又搬4次共搬?块

从表中不难看出,又搬4次和共搬多少块,这两个数量不相对应,要先求一共搬多少次,才能求出共搬多少块,列式为:
15÷3×(3+4)=35(块)
另一种思路为,先求又搬4次搬的块数,再加上原有的块数,就是共搬的块数。列式为:
15÷3×4+15=35(块)
六、思路图
有些问题因为分析的角度不同,因此解题的思路也不同。通过画图能清楚看出解题思路,便于分析比较。
如,有一个伍分币、4个贰分币、8个壹分币,要拿出8分钱,一共有多少种拿法?
这道题从表面港一点也不难,但是要不重复。不遗漏地把全部拿法一一说出来也不容易,可以用枚举法把各种情况一一列举出来,把思路写出来。
五分币(1个)11     
贰分币(4个)1 1234 
壹分币(8个)13642 8
拿的方法

从图表中可以清楚着出不同的拿法。此题一共有不重复的7种拿法。
从以上各例题中可看出:解题时通过画图来帮助理解题意,起到了化繁为简、化难为易的作用。我们不妨在解题中广泛使用。
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21#
 楼主| 发表于 2008-5-29 07:02:00 | 只看该作者

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找“等量关系”的几种方法



钱守旺



列方程解应用题的关键是确定等量关系。那么,解题时应如何寻找等量关系呢?下面告诉同学们几种常用的方法。

1.从题中反映的基本数量关系确定等量关系。

任何一道应用题,都可以根据条件和问题写出一个基本数量关系式,这个基本数量关系式就是题中的等量关系。

如“商店原来有一些饺子粉,又运来12袋,每袋5千克,卖出7袋以后,还剩40千克。这个商店原来有多少千克饺子粉?”根据题目叙述顺序我们很容易写出:原有的重量+运来的重量-卖出的重量=剩下的重量。

2.紧扣几何形体周长、面积和体积公式确定等量关系。

同学们在学习几何知识时,已经掌握了平面图形的周长和面积的计算公式以及立体图形的表面积和体积的计算公式。这些公式,是等量关系的具体化。

如“一个三角形的面积是100平方厘米,它的底是25厘米,高是多少厘米?”我们可以根据三角形面积计算公式直接列出方程。

3.根据常见的数量关系确定等量关系。

在三年级的时候,同学们已经学习了乘、除法应用题中常见的数量关系。如,单价×数量=总价,单产量×数量=总产量,速度×时间=路程,工效×时间=工作总量等。这些常见的基本数量关系,就是等量关系。

4.抓住关键句子确定等量关系。

好多应用题都有体现数量关系的句子。解题时只要找出这种关键语句,正确理解关键语句的含义,就能确定等量关系。

如,根据“合唱队的人数比舞蹈队的3倍多15人”可知:舞蹈队的人数×3+15=合唱队的人数。根据“果园里桃树和杏树一共有180棵”可知:桃树的棵数+杏树的棵树=180棵。

5.借助线段图确定等量关系。

线段图能使抽象的数量关系具体化,使隐蔽的数量关系明朗化。对于较复杂的题目,同学们可借助线段图找等量关系。

如“有两袋大米,甲袋大米的重量是乙袋的1.2倍。如果再往乙袋里装5千克大米,两袋就一样重了。原来两袋大米各有多少千克?”

根据题意,可以画出下面的线段图。



从图中很容易得出:甲袋重量-乙袋重量=5千克。

6.抓住“不变量”确定等量关系。

适合用正、反比例解答的应用题,我们可以根据题中的“比值一定”和“积一定”找等量关系。

当然,确定等量关系的方法不只以上几种,同学们在学习时要注意总结,力争找到更多更好的方法。

(本文作者钱守旺为河北省玉田师范附属小学特级教师)

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