特级教师和学生谈数学思考

与你同行

水流速度与航行时间

任雪三

我们知道，船艇顺水行驶的速度＝船速＋水速，逆水行驶的速度＝船速－水速。如果船艇在两地间往返一次，行驶的总时间是不是与水流的速度没有关系呢？先看下面的例子。 一只轮船在静水中每小时可以航行20千米，现在在相距200千米的甲、乙两港间行驶，如果水流每小时2千米，往返一次需要几小时？如果水流速度是每小时5千米、10千米呢？   200÷（20＋2）＋200÷（20－2） ＝＋ ＝20（时） 答：如果水流每小时2千米，往返一次需要20时。   200÷（20＋5）＋200÷（20－5） ＝＋ ＝21（时）   200÷（20＋10）＋200÷（20－10） ＝＋ ＝26（时） 答：如果水流每小时5千米、10千米，往返一次分别需要21小时和26小时。 这就是说，水流速度越快，往返航行一次所需时间越多。这是为什么呢？ 假设船速每小时是a千米，水速是每小时是b（b＜a）千米，两地间的距离是S千米，往返一次航行的时间是t小时，对照上面的解答思路，可以得到如下的等式： t＝S÷(a＋b)+S÷(a－b) ＝＋ ＝ ＝ 容易看出，在中，s（路程）和a（船速）都是定值，b（水速）越大，分母a2－b2的值就会越小，的值（值返一次的航行时间）就会越大。这样，上面的结论得到证明。

与你同行

应用题的解题方法

孙韵梅

解应用题是许多喜爱数学的同学的爱好，因为通过解答应用题可以提高自己的分析问题和解决问题的能力，同时能够从解题的过程中体验到一种自信和快乐。但是，也有的同学感到应用题很难学，有一种无从下手的感觉。其实，只要我们掌握了分析问题和解决问题的基本方法，你就会发现应用题不难学。下面介绍一些解答应用题的基本方法，你们可以在解题时试一试，看看灵不灵。 1．抓住“关键句”，将题目缩短，把数量间的关系从题中突出出来。 应用题是把条件（已知数量）、问题（未知数量）隐含在对一件事情的叙述中的，所以当我们看到题目时，往往不能很清晰地了解题中的数量间的关系，如果我们在理解题意的基础上，抓住关键句，对应用题进行“缩句”，把条件和问题从事情的情节中分离出来，就可以清楚地看出数量间的关系了。 例如，工程队修一条长24OO米的公路，前3天平均每天修200米，余下的要用5天修完，平均每天应修多少米？关健句是“余下的用5天修完，平均每天修多少米？”对应用题进行缩句，可以用文字叙述的形式，也可以用线段图的形式表示，上面的题我们用线段图表示。 从图上可以清楚地看出我们把2400米分成两段，即前3天修的为一段，余下为另一段，有了清晰的线段图，下一步就可以分析题目中的数量关系了。 2．从问题入手，分析数量关系，寻找解题途径。 应用题的问题就是我们解题的目标，以上题为例，问题是“余下的5天修完，平均每天修多少米？”要求余下的米数，就得从其他条件中找出“总长度（2400米）和已经修了的米数（200×3）”，还要找出“余下的用几天（5天）修完”。想到这里，你也就找到了解题的途径了。上面介绍的思路可以用下图表示。 3．列式解答。 有了上面的分析，同学们就可以顺藤摸瓜列式解答了。 ①已修好的米数：200×3＝600（米） ②余下的米数： 2400－600＝1800（米） ③余下的平均每天修的米数：1800÷5＝360（米） 你们发现没有，我们分析数量关系时思考的方向正好与列式解题的方向是相反的。 4．验算。（略） （本文作者孙韵梅是山东省青岛市南区实验小学特级教师）

与你同行

怎样解选择题

曹培英

一般来说，选择题可供选择的答案比判断题更多，而且各种内容几乎都能以选择题的形式出现。所以选择题在练习或测验中出现得比较多，也比较灵活。常有同学面对选择题，感到无从下手，不知道该怎样去选择正确的答案。这里介绍几种比较常用的方法。 1．直接解答。 就是根据题目，先自己作出解答，再把你得到的答案与供选择的几个答案对照，从中确定哪个是正确的。 例1．选择正确的答案，在括号里填入字母。 （l）一个长方体长a米，宽b米，高h米。如果长、宽不变，高增加3米，那么体积比原来增加（    ）立方米。     A．3ab         B．3abh         C．（3＋h）ab       D．48 （2）一根木料锯成4段要12分，照这样计算，锯成8段一共需要（    ）分。     A．12          B．24           C．28               D．48 想：（l）由题意，长方体的长、宽不变，则底面积仍是ab平方米，高增加3米，增加部分的体积是3ab立方米（如下图，单位：米）。所以应选A。 （2）一根木料锯成4段只要锯3次，锯成8段只要锯7次，由此可列出算式算出正确答案。 12÷（4－l）×（8－1）＝28（分） 所以应选C。 2．筛选排除。 就是逐一分析每个备选答案，排除不符合题意的答案，这样剩下的就是正确答案。 例2．选择正确答案，在括号里填上字母。 （l）下列分数中，不能化成有限小数的是（    ）。     A．          B．          C．          D． （2）两个数互质，这两个数一定（    ）。     A．都是质数                  B．一个是质数，一个是合数     C．无公约数                  D．只有公约数1 想：（1）判断一个分数能否化成有限小数，当这个分数不是最简分数时，必须先约分成最简分数，再来检查分母的质因数，是否只含有2或5。由此逐一分析四个答案，、和＝都能化成有限小数，剩下＝不能化成有限小数，所以应选D。 （2）分析四个答案，C肯定是错的，因为任何两个自然数都有公约数。A和B是两个数互质可能出现的两种情况，除此之外还有两个数都是合数，或一个是1，另一个是其他自然数等情况。筛选结果排除了三个答案，只有D才是正确的。事实上互质数的意义就是公约数只有1的两个数。 3．代入检验。 就是把供选择的几个答案分别代入题目检验，符合题意的就是正确答案。 例3．选择正确答案，在括号里填上字母。 （l）在一个比例中，两个外项分别是4和5，一个内项是25，另一个内项是（    ）。     A．12.5          B．10          C．8          D．2 （2）把18:24的前项减少6，要使比值不变，后项应当（    ）。     A．减少6         B．增加6       C．减少       8D．不变 想：(1)本题可以用解比例的知识直接求出答案，也可以根据比例的基本性质把每个答案逐一代入。 4×5＝2.5×（    ） 经检验，8能使等式成立，所以应选C。 （2）本题直接推算出答案，思考难度较大。可以把各答案分别代入已知比中，通过化简检验哪个答案能使比值不变。如：（18－6）:（24－6）＝12:18＝，而18:24＝，答案A不合题意，请你自己把其他三个答案逐一代入检验，筛选出正确答案。 不难看出，这种方法也可以说是筛选排除，只不过是用上了代入检验的方法来筛选排除。 在实际解选择题时，不论采用哪种方法，都应当既注意分析题目，又注意看清答案。 练一练： 选择正确的答案，在括号里填上字母。 （l）对一批种子做发芽试验，第一次取200粒，有150粒发芽；第二次取50粒，全部发芽。这批种子的发芽率是（    ）。     A．50％          B．75％          C．80％          D．100％ （2）下面算式中得数大于的是（    ）。     A．×       B．÷1      C．÷1      D．÷ （3）一个分数的分子和分母都加上2，所得分数与原分数比较，（    ）。     A．原分数小      B．原分数大      C．大小相等      D．三种情况都有可能 答案： （1）C；      （2）D；       （3）D。 （本文作者曹培英为上海市浦东新区教育学院特级教师）

与你同行

怎样解判断题

曹培英

为了帮助同学们真正理解所学的数学知识，锻炼思维能力，老师常常会出一些判断题，让大家练习。测验时，也常有判断题。 判断题只有两种答案，对或者错，似乎很容易。但很多判断题看上去似是而非，常使一些同学感到捉摸不定。 例如，“正方体的底面积和表面积成正比例，对吗？”有的同学看到“底面积”和“表面积”，联想到积一定，两个量成反比例，于是认为这句话是错的。也有的同学联想到正方形的边长和面积，正方体的棱长和体积都不成比例，因此也认为这句话错了。其实，这两种猜测都误解了。 我们知道，判断两个量是否成正比例，要看这两个量的比值是否一定，而正方体是由6个面积相等的正方形围成的，因此 正方体的表面积：底面积＝6（一定） 这就可以判定上面那句话是对的。 可见，要正确解答判断题，首先必须把有关知识弄清楚，其次还有必要掌握一定的解题方法。这里，举例说明几种比较常用的解答判断题的方法。 1．分析推理。 即根据有关的数学知识，通过分析推理，作出判断。 例1．判断正误，在（    ）里填上“√”或“×”。 （1）          （    ） （2）一个长方体和一个圆锥体的底面积相等，高也相等，这个长方体的体积是圆锥体积的3倍。（  　） 想：（1）根据循环小数循环节的简便记法可知 …… 它们是不相等的。所以本题在括号里填“×”。 （2）由长方体、圆锥体的体积公式V＝sh与V＝sh，可以看出，当长方体和圆锥体等底等高时，长方体的体积是圆锥体的3倍。所以本题在括号里填“√”。 2．计算求解。 即根据题目的条件，通过计算等过程，求出正确答案，再作判断。 例2．判断正误，在（    ）里填上“√”或“×”。 （1）2000年的上半年有181天。（    ） （2）在没有余数的除法里，被除教÷除数÷商＝l。（    ） 想：（l）2000年是闰年，二月份有29天，上半年共　3l×3＋3O×2＋29＝182（天） 说明本题应在括号里填“×”。 （2）被除数÷除数＝商，商÷商＝1。说明本题应在括号里填“√”。 3．寻找反例。 即从反面思考，看看是否存在与题目所说相反的情况。如有，只要找出一个相反的例子，就能断定原题是错的。 例3．判断正误，在（    ）里填上“√”或“×”。 （1）a是整数，a的倒数是。（    ） （2）任何两个自然数相乘的积都是合数。（    ） （3）等腰三角形的底角只能是锐角。（    ） 想：（1）因为整数包括O，而O是没有倒数的，所以本题括号内应填“×”。 （2）因为1也是自然数，l和任何质数相乘的积是质数，所以本题括号内应慎“×”。 （3）如果等腰三角形的底角不是锐角，那么不是直角就是钝角。但等腰三角形的两个底角相等，而一个三角形是不可能有两个直角或两个钝角的。（想一想，这是为什么？）所以本题括号内应填“√”。 4．假设验证。 有些判断题，如果直接判断有困难，有时可以假设一个或几个具体的数，验证结论是否成立，再作出判断。 例4．判断正误，在（    ）里填上“√”或“×”。 （1）如果甲数的20％与乙数的相等，那么甲数小于乙数。（    ） （2）a、b、c三个自然数，a÷b＝0.1，b是c的约数，那么a、b、c的最小公倍数是c。（    ） 想：（l）假设甲数是10，根据题意就能求出乙数是　 10×20％÷＝8 10＞8，说明本题括号内应填“×”。 （2）假设a是1，由a÷b＝0.1，则b是10，再根据b是c的约数，假设c是20，那么20，10，l的最小公倍数是20。所以本题括号内应填“√”。 上面两题也可以不用假设法，直接根据题意分析推理，当然思考的难度更大。 在实际解答判断题时，究竟选用哪种方法，要根据题目的具体特点来决定。有些题目可以用不同的方法来判断，又有些题目可以把某两种方法结合起来判断。 练一练： 判断正误，在（    ）里填上“√”或“×”。 （1）三个角都是6O°的三角形是等腰三角形。（    ） （2）方程6x＋7＝67和4x＝40的解相同。（    ） （3）在一个整数的末尾添上0，它的值都会扩大10倍。（    ） （4）如果甲数比乙数多10％，那么动数比甲数少。（    ） （5）一项工程，单独完成甲队要10天，乙队要15天。现在两队合做，x天完成，则＋＝1。（    ） 答案： （1）√；（2）√；（3）×；（4）√；（5）√。 （本文作者曹培英为上海市浦东新区教育学院特级教师）

行云流水

方法巧妙，题目不容易中呀！

与你同行

细致观察巧用特例

王飞

有些难题，看似高不可攀，但只要我们勇于探索，细致观察，假以特例，就能出奇制胜，顺利解决问题。 例1．今有鸡翁一值钱五，鸡母一值钱三，鸡雏三值钱一。凡百钱，买鸡百只，问鸡翁、母、雏各几何？ 这就是著名的百鸡问题。这道题的意思是：五个钱可买一只大公鸡，三个钱可买一只大母鸡，一个钱可买三只小鸡，今用1OO个钱，正好买了1OO只鸡。问其中大公鸡、大母鸡、小鸡各几只？ [分析与解］怎样用小学知识解答呢？我们细心观察题目发现：4只大公鸡和3只小鸡共值21个钱，而7只大母鸡也值21个钱。这就是说，每增加4只大公鸡和3只小鸡，同时减少7只大母鸡，不仅总只数保持不变，钱数也不变。 现在假定大公鸡买O只。此时原题就变成了我们容易解答的类似于“百僧分馍”的问题，即100个钱买100只鸡，母鸡一只3个钱，小鸡3只一个钱。问母鸡、小鸡各几只？ 对这个特例的解答，可以这样思考：因为1只大母鸡值3个钱，3只小鸡值1个钱。把1只大母鸡和3个小鸡看作“一组”，那么这一组的4只鸡共值4个钱，1OO个钱正好可以买这样的100÷4＝25（组），也就是，用100个钱可以买25只大母鸡，3×25＝75（只）小鸡。 有了上面的观察结论和特例结果，我们可用增减法求得百钱买百鸡的各种情况如下： 公鸡     0 只 母鸡     25只 小鸡     75只 增4      4 只 减7      18只 增3      78只 增4      8 只 减7      11只 增3      81只 增4      12只 减7      4 只 增3      84只 即符合原题的解共有4组。 例2．甲、乙二人在周长为400米的正方形池塘的相邻的两个角上，甲在乙之前，乙按甲走的线路同时出发，甲每分钟走42米，乙每分钟走34米。甲、乙出发后经过多少时间才能走到池塘的同一条边上？ ［分析与解］先作示意图如下： 甲在B点，乙在A点，这就是两人初始状态。现在甲、乙二人按箭头所示方向同时运动，经过多长时间才能走到池塘的同一条边上。这是一道追击距离不明确的追击问题。我们不妨从特例出发：甲、乙能走到池塘的同一条边上，正好是一条边的两个端点。这样就有了确定的追击目标。即甲追乙2OO米。根据追击公式得： 2OO÷（42－34）＝25（分）。 经过25分甲乙两人是否真走到了池塘的同一条边上呢？只有把甲乙两人放在图中观察，方可知晓。事实上，经过25分甲走的距离是：42×25＝1050（米），乙走的距离是：34×25＝85O（米）。此刻甲的位置是1050÷400＝2（周）……25O（米），甲在AD边的中点； 乙的位置是85O÷400＝2（周）……5O（米），乙在AB的中点。如示意图，我们不难观察发现： 甲只要再走5O米即可使两人在同一条边上。从而要求的问题迎刃而解。即25＋5O÷42＝26（分）。

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解答分数乘除法应用题的小窍门

钱守旺

分数应用题是小学数学第十一册的重要内容，刚开始学习时，有些同学觉得有困难，特别是将分数乘除法应用题混合练习时，往往分不清到底该选用哪种方法。为了帮助同学们学好这部分知识，下面钱老师教你们两个“小窃门”。 1．如果你喜欢用算术和方程两种方法，那就请你记住下面的歌诀： 先抓分率句， 再定单位“1”， 写出关系式， 解法自分明。 请同学们看下面的例子。 （1）水彩画有50幅，蜡笔画比水彩画多，蜡笔画有多少幅？ （2）蜡笔画有80幅，蜡笔画比水彩画多，水彩画有多少幅？ 先抓分率句“蜡笔画比水彩画多”，根据这句话可知，两题都是把水彩画的数量看作单位“1”。由此我们可以写出下面的关系式： 水彩画的数量×（1＋）＝蜡笔画的数量 再将两题中的已知量标在关系式下： 水彩画的数量×（1＋）＝蜡笔画的数量      50 水彩画的数量×（1＋）＝蜡笔画的数量                               80 很明显，第（1）题单位“1”已知，也就是求50的（1＋）是多少。列式为50×（1＋）。 第（2）题单位“1”未知，可设为x，再根据关系式列方程解答。即x×（l＋）＝80。 2．如果你都想用算术方法解，那就请你记住下面的歌诀。 先抓分率句， 再定单位“1” 分清乘或除， 量率要对应。 说的更具体一点就是下面的规律。 （1）单位“1”已知，用乘法计算。 方法：单位“1×所求量的对应分率＝所求量 （2）单位“l”未知，用除法计算。 方法：已知量÷已知量的对应分率＝单位“l” 运用上面的规律时，同学们要记住：做乘法，要抓住问句，求什么，就用单位“l”乘以它所对应的分率。做除法，要抓住已知量，已知哪部分量，就除以这部分对应的分率。 例如，育才小学全校共有学生1500人，五年级人数占全校人数的，六年级人数占全校人数的，求五、六年级共有学生多少人？ 这道题我们把1500人（全校学生人数）看作单位“l”。单位“l”已知，用乘法计算。必须抓住问句，求出所求量的对应分率，即求五、六年级学生人数占全校人数的几分之几。这个分率题中没有直接告诉我们，可以用＋求出来。所以这道题应列式为1500×（＋）。 又如，仓库里有若干吨化肥，第一天运出总数的，第二天运出总数的，还剩49吨，仓库里原有化肥多少吨？ 这道题我们把仓库里的化肥总数看作单位“1”，单位“1”未知，用除法计算。做除法要抓住已知量，求出已知量的对应分率。题目里唯一的已知量是49吨，必须求出49吨的对应分率，也就是1－－。所以这道题应列式为49÷（l－－）。 小朋友，上面这些解题“小窍门”你都掌握了吗？ （本文作者钱守旺为河北玉田师范学校附属小学特级教师）