特级教师和学生谈数学思考

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用比例法巧求面积

广东省佛冈县第一小学六（4）班 邹熳如

指导老师：黄秀银 学习中常遇到一些求面积的几何题，但条件比较隐蔽，用常规思路解答，常常无从入手。如果从两种相关联的量之间的比例关系入手去分析问题，往往能帮助我们巧妙地解答。 例1：在三角形ABC中，AD垂直于BC，BE垂直于AC，如图1。AD=7厘米，BE=8厘米，AC＋BC=21厘米，三角形ABC的面积是多少平方厘米？ [分析与解] 因为三角形的面积等于底乘高除以2，当三角形的面积一定时，底和高成反比例，从三角形ABC的面积＝BC×AD÷2＝AC×BE÷2可得到：BC×AD＝AC×BE，AC:BC＝AD:BE＝8:7；又从AC＋BC＝21（厘米）可得，AC＝21×＝9.8（厘米），所以三角形ABC的面积是9.8×8÷2＝39.2（平方厘米）或BC＝21×＝11.2（厘米），所以三角形ABC的面积是11.2×7÷2＝39.2（平方厘米）。 例2：在三角形ABC中，三角形CDE的面积是15平方分米，三角形BCE的面积是30平方分米，三角形ADF的面积是35平方分米，三角形ABF的面积是20平方分米，三角形AEF的面积是多少平方分米？ [分析与解] 因为三角形的面积除以底等于高的一半，所以当高一定时，面积与底成正比例；又因为三角形CDE底边DE上的高与三角形BCE底边BE上的高相同，所以，DE:BE＝S△CDE:S△BCE＝15:30＝1:2；同样道理可知，从DE:BE＝1:2得：S△AED:S△ABE＝1:2；S△AED:S△ABD＝11＋2)＝1:3。 设三角形AED的面积是x平方分米，则x35＋20)＝1:3 解之得：x＝，所以三角形AEF的面积是35－＝（平方分米）。

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分析、归纳试商的方法

王家鹏

笔算除法中，如何试商，且商得又准又快是师生共同追求的目标。如何使学生巧商，是教师在教学中值得重视和钻研的地方。对学生学习了除数是多位数之后，我们有必要对试商的方法和类型加以总结，使学生在这方面形成一定的知识体系，从而在除法中达到巧商目的。 下面就是我对除数是三位数试商的分析与总结。 （一）除数靠近整百数的除法 此类题我们要把除数看着整百数来除。 例如，1902÷197＝ 　　1456÷202＝ 　想：197≈200 　想：202≈200 　　　200×9=1800 　　200×7=1400   　　　确定试商9 　　确定试商7 做： 做： 因为：129＜197 因为：42＜202 所以：试商正确 所以：试商正确 （二） 除数靠近□50除法 做此类题首先要加强学生对150、250、350……的倍数的口算训练，这是试商快而准的必要条件。其次在计算时要灵活的加以运用。 例如，765÷247＝ 　　567÷152＝ 　想：247≈250 　 想：152≈150 　　　250×3=750 　　150×3=450 　　　 确定试商3 　　 确定试商3 做： 做： 因为：24＜247 因为：111＜152 所以：试商正确 所以：试商正确 （三） 除数在□50与整百之间 由于除数是□16到□64的数有自身特点，如果我们仍然采取以上的方法，所的得的商有时会不够准确。我们可以取除数的最大值和最小值（整百），然后分别求出商，再求两商之和的平均值。这个平均值便是我们要求的商或非常接近所求的商。 例如，781÷136 　1316÷261 想：　因为：781÷100商7 因为：1316÷200商6 　　　　　　781÷200商3 　　　1316÷300商4   　　　　　　（7+3）÷2=5 　　　（6+4）÷2=5 　　　所以：试商5 　　　所以：试商5 注：此种方法也应用与以上（二）的情况。 （四）在试商时如何减少试商的次数，是巧商的目的所在。 由于我们是采用求近似数方法，所以试商可能或大或小。这时教师要向学生讲解商为何会发生变化，并对变化加以分析、归纳。  （1） 除数 四舍五入 变小了   商可能 变大了 （2） 除数 四舍五入 变大了   商可能 变小大了 以上分析目的让学生在做多位数除法时，能很快的把它进行归类，并找到与之相应方法。从而达到巧商，提高正确率和速度。当然要使学生能够商得又准又快，达到巧商的效果。除了掌握正确的方法之外，还要多练。俗话说“熟能生巧”，所以适当的练习是提高计算正确率和计算速度的必要条件。

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水流速度与航行时间

王家鹏

一只海轮在静水中每小时可以航行50千米，现在相距4000千米的甲、乙两港间行驶，如果水流每小时5千米，往返一次（水流速不变）需要几小时？如果水流速度是每小时10千米、20千米呢？ 海轮顺水行驶的速度＝船速＋水速，逆水行驶的速度＝船速－水速。根据题意可知海轮往返的路程一样。   4000÷（50＋5）＋4000÷（50－5） ＝ ＝（时） 答：如果水流每小时5千米，往返一次需要时。   4000÷（50＋10）＋4000÷（50－10） ＝ ＝（时）   4000÷（50＋20）＋4000÷（50－20） ＝ ＝（时） 答：如果水流每小时5千米、10千米，往返一次分别需要小时和小时。 证明结论：有以上条件时，水流速度越快，往返航行一次所需时间越多。 假设船速每小时是A千米，水速是每小时是B（B＜A）千米，两地间的距离是S千米，往返一次航行的时间是t小时，对照上面的解答思路，可以得到如下的等式： t＝S÷(a＋b)＋S÷(a－b)  ＝  ＝        注意： 在中，S（路程）和A（船速）都是定值，B（水速）越大，分母A2－B2的值就会越小，的值（值返一次的航行时间）就会越大。

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麻雀问题

苏联科学院教育动理研究所所长克鲁捷茨基，是一位著名的数学家，他在1963年出版的《中小学生数学能力心理学》中写有这样一道题。 “16只麻雀停在两棵树上。不久，2只麻雀飞离第二棵树，5只麻雀又从第一棵树上飞到第二棵树上，这时两棵树上的麻雀的只数相等。求两棵树上原来各有多少只麻雀？” 根据题意，可画线段图如下。 由于飞走了2只麻雀，所以现在两棵树上的麻雀一共有（16－2）只。而此时两棵树上的麻雀的只数相等，所以现在两棵树上各有（16－2）÷2只麻雀。于是可以得到： 第一棵树上原有麻雀：（16－2）÷2＋5＝12（只）。 第二棵树上原有麻雀：16－12＝4（只）。 答：第一棵树上原来有12只麻雀；第二棵树上原来有4只麻雀。

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三只船运货







西方传入我国学校里的第一本算术教科书是美国人狄考文编的《笔算数学》，这本书中有这样一道题。

甲、乙、丙三艘船共运货9400箱，甲船比乙船多运300箱，丙船比乙船少运200箱。求三艘船各运多少箱货？

这道题如果思路不对的话，就很难抓住解题的关键。事实上，它代表着一类广泛的问题，其共同特点就是有两个或两个以上的未知量。

思考时，一般先假设几个未知量相等，或假定要求的一未知量是题里的某一已知量；然后按照题里的已知条件推算。所得结果常与题里对应的已知量不符，再加以调整，即可得到正确的答案。

因此，这道题就可以这样来思考：根据已知甲船比乙船多运30O箱，假设甲船同乙船运的一样多，那么甲船就要比原来少运300箱，结果三船运的总箱数就要减少300箱，变成（9400－300）箱。

又根据丙船比乙船少运200箱，假设丙船也同乙船运的一样多，那么丙船就要比原来多运200箱，结果三船总箱数就要增加200箱，变成（9400－300＋200）箱。

经过这样调整，三船运的总箱数为（9400－300＋200）。根据假设可知，这正好是乙船所运箱数的3倍，从而可求出动船运的箱数。

乙船运的箱数知道了，甲、丙两船运的箱数马上就可得到。

你能列式解出这道题吗？请你试一试。

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计算方法与运算定律的联系

盛大启

同学们掌握了整数四则的计算方法，又学习了加法和乘法的几个运算定律后，你想过没有，已掌握的计算方法和这些运算定律之间有什么联系？ 加法和乘法的运算定律是很重要的基础知识，它们不仅是加法、乘法的简便运算的重要依据，也是加法、乘法的口算和笔算的重要依据。理解运算定律和计算方法之间的联系，能帮助我们牢固地掌握这些基础知识。 我们知道，多位数乘法的计算方法是：先用乘数每一位上的数去乘被乘数，用乘数哪一位上的数去乘，乘得的数的末位就要和那一位对齐，然后把几次乘得的数加起来。这个计算方法是根据乘法分配律得出的。 例如，342×23         ＝342×（20＋3）         ＝ 342×20＋342×3         ＝684O＋1026         ＝7866 写成竖式，就是： 两种算法的算理相同。 我们还知道，因数末尾有0和乘法的简便算法是：先把0前面的数相乘，最后看因数末尾一共有几个0，就在乘得数的末尾添写几个0。这个简便算法是根据乘法交换律和乘法结合律得出的。 例如，5800×60，应用乘法交换律和乘法结合律计算是：   5800×60     ＝（58×100）×（6×10）     ＝（58×6）×（100×10）     ＝348×1000     ＝348000 写成竖式，就是： 得数348000＝348×1000，其中348＝58×6，1000＝100×10。 两种算法的算理相同。 想一想：多位数加法的计算方法与加法交换律、结合律有什么联系？你能举例说明吗？ （本文作者盛大启为南京晓庄国际实验学校特级教师，苏教版小学数学教材主编）

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谈谈乘、除法的简单估算

盛大启

估算是数学的一个重要内容。虽然目前它还只作为选学的内容，但它在日常生活中的应用已越来越广泛。学一点简单的估算知识，不仅可以提高我们的计算能力，还可以培养我们思维的灵活性。 目前在我们数学课本中安排的简单估算，主要是乘、除法的简单估算。内容包括：乘数是一位数的乘法估算与除数是一位数的除法估算；乘数是两位数的乘法估算与除数是两位数的除法估算。 乘数是一位数的乘法估算与除数是一位数的除法估算，既有相同的地方，也有不同的地方。 相同的地方是：都要用四舍五入法求出被乘数或被除数的近似数，再用这个近似数去乘以或除以一位数。 不同的地方是：求近似数时，乘数是一位数的乘法估算，只要把被乘数的最高位后面的尾数省略。除数是一位数的除法估算，则要分两种情况来处理：如果被除数的最高位上的数够除，就把最高位后面的尾数省略；如果被除数的最高位上的数比除数小，就把前两位后面的尾数省略。 这就是说，当被除数最高位上的数够除时，求被除数的近似数的方法与求被乘数的近似数的方法相同；当被除数最高位上的数比除数小时，求被除数的近似数的方法与求被乘数的近似数的方法不同。我们可以把它们的共同点和不同点整理成下表。 求被乘数或被除数的近似数的方法 举例 用一位数乘 把最高位后面的尾数省略 3186×3≈9000 　↓ 3000 用一位数除 被除数最高位上的数够除 3186÷3≈1000 　↓ 3000 被除数最高位上的数比除数小 把前两位后面的尾数省略 3186÷4≈800 　↓ 3200 乘数是两位数的乘法估算的方法与乘数是一位数的估算基本相同，所不同的是被乘数和乘数都要先取近似数，然后再用两个近似数相乘。例如， 3186×38≈120000      ↓   ↓     3000  40 除数是两位数的除法估算的方法也与除数是一位数的估算基本相同，所不同的是被除数和除数都要先取近似数，然后再求两个近似数的商。除数都省略十位后面的尾数。被除数最高位上的数如果比除数十位上的数大，就把最高位后面的尾数省略；如果比除数十位上的数小，就把前两位后面的尾数省略。 例如，3186÷28≈100                      3186÷42≈80            ↓   ↓                            ↓   ↓           3000  40                           3200  40 （本文作者盛大启为南京晓庄国际实验学校特级教师，苏教版小学数学教材主编。）