小学数学论文精选

真诚天下

关于合作学习的思考  

　
　  





课程改革已经在各小学展开，在课改精神的指引下，教师的教学观念逐步得到转变，教学方法也在改变。不管是中青年教师，还是老教师，他们在教学中都在探索着新的教学方法——自主、合作、探究。通过对实施新教材的教师的教学课堂，对我的启发颇多，感触较深。特别是他们所尝试的新教学方法，值得我们进一步去思考。在些我想谈一谈关于合作学习的几点看法。

提到合作学习，许多教师都想到小组讨论，能做的就是每节课中挤出几分钟让学生匆匆忙忙地讨论。我想这是典型的“有合作之形，无合作之实”现象。我们应该认识到，合作是一种学习、生活态度，是一种文化，是现代人必备的时代精神，是每个人生存于社会的基本素质。



一、独立思考是合作学习的基础

教师一出示学习探究的问题，就要求学生开展合作学习。学生没有经过对学习、探究问题的独立思考，在合作学习时是肤浅的，讨论时会人云亦云，盲目随从，使合作学习的实效性打折。同时在合作交流时，一般的优生支撑着学习的进行，发言机会多，发言有深度，使合作学习时差生更多的是附和，我想这样的合作还是不如教师直接讲授。因此，引导学生有深度地独立思考和探究是进行合作学习的基础，更是学生建立自主学习、合作学习和探究学习方式的核心。



二、合作技能是合作学习内容

合作学习过程中的时间不够，讨论时的噪乱、辩论离题或无效等现象的出现，我想更多的是因为学生未形成基本的合作技能。因此，在大班额教学条件下，教师应通过讲解、示范、专项训练的方式，将合作技能的培养作为一个重要的教学目标予以落实。



三、共同成果是合作学习的落脚点

一般说来，小组合作学习的结果应形成合作学习的共同成果，成果应融入每一名组员的付出，并得到每一名成员的认可。教师在评价的重心由鼓励个人竞争转向小组合作的共同成果的形成，用小组总体成绩作为奖励和认可的依据，引导小组内每一名学生建立“荣辱与共”的意识和责任。但在实际课堂上，经过一番合作学习，汇报时小组成员各抒已见，没有一点合作学习的成果，试想这有何意义，学生学会合作的目标又怎能实现？



四、教师是参与合作学习的保证

听课时我们经常发现，学生合作时，一些教师要么在讲台前踱来踱去等待，要么象征性地到学生中去走两圈，或在学生交流汇报时考虑下一步的教学，或在学生辩论时当作观众。教师作为学生学习平等中的首席，应真正发挥自己在合作学习中的角色，当学生对合作学习的任务还不清楚时，教师要对学生立即说明；当小组活动开展得顺利时，教师应及时予以表扬；讨论偏离主题时，教师要及时点拨；当学生讨论受阻时，教师要及时地给以指导；当学生进行汇报交流时教师要及时地给予评价激励，或以合作的身分参与。



五、组织管理是合作学习的保障

能否真正发挥合作学习的作用，保证学生的全员参与，体现合作学习的真正价值，合作学习过程中的组织管理和策略尤为重要。组建“同组异质，组间同质”的合作学习小组，根据合作任务的大小、难度等确定合作的时间，增强学生合作学习效率。



总之，新一轮的课程改革，让我们看到很多闪光点，许许多多的教师在逐步的成长，他们在渐渐的适应新课程，适应新的教学方法，这是值得肯定的。但是，课程改革在实施过程中一是还需要更多的领导、专家进行指导，二是教师本人还应不断加强学习，提高自身的素质。

  

真诚天下

小学数学课堂教学的开放  

　
　  




    纵观目前的小学数学教学现状，不难发现由教师单向灌输知识的现象少了，而教师通过简单提问将书本知识传授给学生的现象却仍较为普遍，教师的启发引导，多是将学生的思维引入预设的轨道，学生的动手实践，多是在机械地执行教师的一个个指令。这种封闭的、僵化的数学课堂教学缺乏对智慧的挑战和对好奇心的刺激，师生的生命活力在课堂上得不到发挥。所以，在数学课堂教学中，要从教学内容、教学问题及教学活动三方面予以开放，才能促进学生主动、积极、创造性地学习，达到培养创新精神和实践能力的目的。

　　一、教学内容的开放
　　数学远离生活是目前教材的一大弊端，然而不少教师却非常尊重教材，恨不得将教材“复制”“粘贴”到学生的头脑中。教学内容的封闭，学生学得寡然无味，所以，教学内容应该从封闭走向开放，师生都应是教材的创作者，教学过程也应成为教学内容持续生成与转化的过程。只有这样，才能使我们的数学教学内容更贴近学生的生活，为学生喜闻乐见；才能使我们的数学教学更好地从学生的身心特点出发，切入学生的生活经验和已有知识，设计出富有情趣和意义的活动；才能使学生有更多的机会从周围熟悉的事物中学习和理解数学，体会到数学就在身边，感受到数学的趣味和作用，从而对数学产生亲近感。

　　如一位教师在学生学习了长方体和正方体的表面积和体积计算后，设计了这样的教学内容：鸿发制箱公司最近要设计一种新规格的硬纸箱，你能设计出最好的方案吗？由学生自行为公司设计方案满足了学生展示自我的心理需要，唤起学生的生活经验和已有知识，使学生积极投入这一富有意义的实践探索活动，由于“条件的开放，策略的多样，结论的多变”，给学生以很大的思维空间，在整个设计活动中，教师没有要求学生回答用大小相同的小正方体能拼成多少个不同的长方体，而学生为了能设计出多种不同的长方体纸箱，自发地思考着这个问题；教师没有要求学生计算长方体的表面积，而学生为设计出材料最省的方案而自觉地进行着表面积的计算；教师没有要求学生寻找当长方体体积不变时，长宽高怎样变化使长方体表面积最小的变化规律，而学生寻找长方体纸箱最小的表面积的观察比较中自己发现了新的知识规律，……学生在整个方案设计活动中切切实实地感受到：数学源于生活，生活充满数学，数学实在有用，而这，源于教学内容的开放。

　　二、教学问题的开放

　　问题是数学心脏，问题能给学生的思维以方向，问题能给学生的思维以动力。然而，目前的数学课堂教学中，一些简单的封闭的问题将学生的思维牵入教师预设的“圈内”，表面上课堂上气氛热烈，实际上思维含金量极低，学生的主动性、创造性得不到充分发挥，因此，教学问题空间的开放就成了我们数学课堂教学中不可忽视的重要因素。

　　如在教学长方体和正方体的表面积和体积后，不少教师都会出这样的题目：一个长方体纸箱，长、宽、高分别是4分米、3分米、2分米，这个纸箱的表面积和体积各是多少？相对来说，这类习题就比较封闭，它只需要学生套用长方体表面积和体积计算就能很快算出答案，而且问题的答案是唯一的，应该说这类题目对巩固有关的基础知识，形成基本技能是有一定帮助的。然而，数学教学目标不能只局限于“双基”，更重要的是培养学生的创新精神和实践能力，而这种精神的培养决不是套用公式机械解题所能实现的。为此，可这样设计：设计一种新纸箱，要求正好能装24个棱长为1分米的小正方体盒，并选择一种最佳方案。这道题所涉及的问题是开放的，它要求学生必须冲破常规思路的束缚，改变原来固有的思维定势，充分展开联想，发挥想象，多角度，全方位地开展探究学习活动。学生可以从形状、美观、携带方便、节省材料等多角度思考，即便是从节省材料的角度考虑，为了设计出材料最省的方案又必须考虑共有多少种不同的设计，再通过计算其表面积后做出选择，应该说，这样的问题给学生的思维空间是非常大的，如此开放问题空间，能使学生进行自由地、发散性地、富有创造性地思维。

　　三、教学活动的开放

　　学生作为一种活生生的力量，带着自己的知识、经验、思考、灵感与兴致参与课堂活动，使课堂教学呈现出丰富性、多变性和复杂性。课堂教学不应当是一个封闭系统，也不应拘泥于预先设定的固定不变的程式，要鼓励师生互动中的即兴创造，超越目标预定的要求。

　　首先是自主活动。同样以“设计新纸箱”为例来阐述。为了让处于

　　不同思维水平的学生都能参与到设计方案中来，为了让学生能从自己的实际出发，用自己的思维方式自由自在地设计，可对学生说：“在你们桌上放着几袋小方块，你可以利用小方块帮着设计，如果你觉得不必用小方块的，当然也可以。”这样，就给学生自由选择的机会，能让学生自主探索。于是课堂上呈现出忙碌的景象：有的学生用小方块搭、拼；有的拿着笔在纸上画示意图；还有的学生将24分解成三个整数相乘的形式在设计……如此教学，学生的活动是自主开放的，自主开放的活动是鲜活生动、富有个性和创造性的，学生的创造潜能在这样的活动中也能得到发挥和展示。

    其次是探究活动。如果学生所接触到的只是一些看似确定无疑的、不存在任何对立与冲突的“客观真理”，学生在经历了教学过程后，只是熟悉了一些现存的结论并形成对这些结论确信无疑的心向，那么，这种教学的功能就没有达到对个性的发展与解放。让学生进行探究活动，就是要让学生不仅掌握知识，而且去思考知识、诘问知识、评判知识、创新知识。学生经过自己的探究，发现了知识的规律，创造性地解决了问题，不仅智慧能力得到发展，而且还可获得深层次的情感体验。

　　最后是合作活动。由于班级学生之间存在着各种差异，由于学习内容的开放，由于学生的学习活动是独立自主的。因此，面对同样的问题，学生中会出现各种各样的思维方式，产生各种不同的结果，有些甚至是出乎意料的，教师让学生在独立自主基础上进行合作，能为学生提供更多参与交流讨论的机会，能满足学生充分展示自我的心理需要。同时，通过学生互动，使学生看到问题的不同侧面，对自己和他人的观点进行反思和批判，从而建构起新的更深层次的理解。

　　数学教学的本质是让学生体会数学与自然及人类社会的必须联系，了解数学的价值，学会用数学的思维方式去观察、分析现实生活，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识。可以这样说，开放的数学课堂教学，正引导着学生将数学与生活联系起来，既能向学生提出智慧的挑战，又能使数学课堂充满活力。

真诚天下

案例与反思  

　
　  





去年3月，有幸听了杭州市胜利小学张浩强老师的一堂示范课------求平均数。听了后感触很多，很受启发。这是一堂体现主体性教学的数学课，其教学过程是这样的：

                                                

一、创设情境：课前口算。

教师计时3分钟让学生在口算题单上口算，要求学生实事求是，按时完成。然后，教师宣布答案，生订正。



  二、统计各小组做对的数量，引入平均数。

学生统计出各组做对的总数量，教师板书。师问：哪里个组最好。引导学生看出每个组人数不一样，不能看总量。师问：有没有其它办法。生说：可以求各小组的平均数，比较平均数。师问：平均数什么意思？在这里怎样求？引导学生理解平均数的含义。

每个小组把各自的平均数计算出来，计算有困难的可以用计算器。生报平均数，师板书，找出第一名，师说：第一名是口算冠军，下课后合影。



三、引入生活：你们在生活中有没有碰到过平均数。让学生举例说。师问：如果我们要算一下在座每个教师的平均年龄，怎样算？



四、教师根据板书说明原始数据，让学生比较每个小组的平均数和原始数据，发现了什么，有什么办法估计平均数。引导学生归纳出：平均数不能比最大的原始数据大，不能比最小的原始数据小，而最接近中间数。让学生根据这一规律估计各自小组的平均年龄，再计算。



五、练习书上2题和3题，每个同学独立完成，可以用计算器。



六、出示：据调查孙水河的平均水深是1、00米，木呷的身高是1、15米，木呷掉到河里可能被淹死吗？让学生讨论回答。

听了这节课，我深受启发。给我的启发有四：一是教师上课时要使用激励性语言，态度可亲，面带笑容，才能营造轻松愉快的氛围，调动学生学习的积极性。一堂课上，得体的激励性语言会让学生情绪高涨，心情愉快，更加认真的去学习。本节课上，张浩强老师就使用了诸如：“城关的孩子就是不一样，速度很快”“同意他的观点吗”“你的眼睛水灵灵的，很亮”“你其实不要急，慢慢地说，你会说的更好一些”“够厉害的”“真厉害，你比我厉害”这些激励性语言。在他的调动下，课堂气氛越来越活跃。

二是数学教学要联系生活，要充分调动学生的生活经验。众所周知，现实世界是数学的丰富源泉，小学生学习的数学应是生活中的数学，是学生“自己的数学”。联系了生活实际，举学生自己生活中的例子进行分析解决有关数学问题，让学生从课本走进生活，会使他们真正体验到数学的应用和价值，体验到数学学习的乐趣和成就感。本课中，张浩强教师就让学生算本小组同学的平均年龄和平均身高。还出了一道学生熟悉的河流“孙水河”的数学思考题。这些都是学生生活里有的，学生熟悉的事物，学生讨论起来就很有兴趣。

三是在学习活动中，让学生去经历去体验数学知识的形成过程。学习活动中，学生更愿意自己去经历，去实践。学生或许相信你告诉他的，但他更愿意相信自己看到的、经历过的事，这就是一种体验。让学生经历学习的体验非常重要，因为它直接影响到学生对知识的主动建构的质量。比如张浩强老师上的这节课，重要的不是平均数的含义和作为代数公式的运算程序，而是它所包含的统计过程。张老师就让学生经历了统计的过程，而不是一来就出示一组数据，让学生求平均数。张老师上课时创设情景——口算比赛，让学生不知不觉地进入课堂，然后通过解决“哪个组最好”让学生去统计做对的题的数量，在比较时学生认识到必须求出平均数才能比较出谁最好，从而引出怎样求平均数。

　　四是教师要有很强的驾驭课堂的能力。体现主体性教学的课堂，你不知道学生会提出什么问题，会怎样去回答这个问题，有时回答的话语不着边际，有时会有奇思妙想，有些是老师完全没有想到的。这时，就要求教师课前认真的备课：不仅要备教材，还要备学生。教师在备课时一定要了解学生，吃透教材，对课上所要解决的问题要有一个估计：哪些问题学生能独立解决，哪些问题要发挥学生之间的优势互补，然后根据实际情况安排是否进行小组合作学习。同时，在课堂上教师一定要认真听学生说话，听懂孩子们的每一句话，站在学生的角度体会、思考，理解每一个学习信息。这些信息存在着有用与无用、重要与次要之分，这就需要教师具有敏锐的鉴别能力，根据知识结构的需要进行分析综合，从而选择、重组已有信息，为学生指引思维的方向。然后还要要求教师有很强的应变能力和丰富的知识，才能驾驭好课堂，不至于到时手足无措，不知道怎样应对。

真诚天下

从课程标准看数学课堂教学  

　
　  



[关键词] 数学 课程标准 课堂教学
[摘 要] 从数学课程标准出发，认识新形式下的课堂教学。强调数学课堂应“以人的发展为目标，关注学生的可持续发展”。好的课堂教学应“能促进有效学习的进行，使学生对知识的真正理解（自主建构）和个性化发展成为可能。”评价学生的数学学习应“关注学生学习的全过程，关注做数学中的数学思维”。制定教学方案要研究《标准》，研究教材，研究课堂数学活动，研究学生的差异。
　　国家课程标准研制工作组和教材编写组经过近两年时间的艰苦努力，《义务教育阶段国家数学课程标准》和《九年义务教育课程?数学》相继问世，七年级课程改革实验在全国38个实验区全面展开，作为实验区一名教育工作者，我们清楚的认识到，教育改革的新思想、新观念，只有真正融入教师的脑海和行动中，融入到课堂教学的每一个环节，通过每一位教师和学生积极的创造性的参与，其生命之树才能常青。新标准、新教材带来了新的教学理念和教学方式。但是，再好的理念、再好的教材，如果没有教师的教学观念实质性的变革，那么课堂教学只能是一种外在的、形式的变化，只不过是“穿新鞋走老路”。 以下问题是一位数学教师不得不重新思考的问题：

1、 数学课堂应关注什么？学生从数学课堂学什么？
　　义务教育阶段的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、持续、和谐的发
展。新数学课程突出了基础性、普及性和发展性，使数学教育从过去的尖子生教育转向全体学生的大众教育；把学生从单纯的解题技巧和证明中解放出来，让学生学习真正的数学。学生的学习方式也将由传统的接受式学习向自主探究式学习转化，这就要求教师必须从传授知识的角色向教育促进者的角色转化，成为学生数学活动的组织者、引导者和合作者。教师应善于激发学生的学习潜能，鼓励学生大胆创新和实践，向学生提供充分从事数学活动的机会，从而获得广泛的数学活动经验。因此，数学课堂应“以人的发展为目标”，“关注学生的可持续发展”。数学教学是“通过数学的教育”，不再是“纯粹的数学教育”。按《标准》的理念来说，就是“人人学有价值的数学；人人都能获得必需的数学；不同的人在数学上得到不同的发展”。所以，课堂教学中要把握好弹性原则，不必对每一位学生强求一律，应承认学生的个体差异，允许差异的存在，允许同一问题的不同程度的理解，不同层面、不同方法的解决。
　　“关注学生的发展”，强调从学生的生活经验和已有的知识背景出发，为学生提供充分地从事数学活动和交流的机会，促使他们在自主探索的过程中真正理解和掌握基本的数学知识和技能、数学思想和方法，同时获得广泛的数学体验。让他们了解数学就在自己的身边，可以用数学知识和各种有效的方法探索和解决周围的数学问题，从而体会数学的价值，了解探索数学问题的不同方式。
　　“关注学生的发展”，还体现在教学模式的转变上。学生不是接受知识的容器，而是一个个鲜活的、有思想、有自主能力的人。他们作为一种活生生的力量，带着自己的经验、灵感、兴致和思考，参与数学活动。他们是一支支有待点燃的火把，是未来文明的创造者。只有今天培养他们敢于质疑、敢于批判、善于思考、富于智慧，明天他们才会善于创造、善于超越。所以教学模式应从“教为主”转变为“学为主”；“教”应从“学”的角度考虑，从“传授知识与技能”的传统模式转变到“以激励学生为特色，以学生为中心”的实践模式。通过创设好的问题情景，用学生原有的知识和经验处理新的任务，并构建他们自己认可的意义。让学生用自己的体验、用自己的思维方式再创造有关的数学知识。
　　关于“再创造”，荷兰著名数学教育家H.Freudenthal是这样解释的：“将数学作为一种活动来进行解释和分析，建立在这一基础上的教学方法，我称之为再创造方法。”也就是说，数学知识应由学生本人在数学活动中去发现或创造出来，而不是由教师“灌”给学生。学生学习数学的过程应该是学生自身的探索、发现与创造的过程，而不是被动的接受过程。也许有的老师会问这样的问题：“学生探索不出来，发现不了怎么办？”，这里就有一个老师的引导作用问题。假如你是“抛一个足球让大家去抢”似的让学生活动和探索，当然很难有所发现。假如你能通过反复研究，创设好的问题情境，活动的效果自然就不一样了。有人也许又会问：“没有好的问题情境，找不到好的问题情境怎么办？”，在你看来“没有”和“找不到”，并不表示这样的问题情景不存在，只是你找不到而已。所以，这就需要我们勤于学习、勤于钻研，就有一个“资源共享”的问题。如果更多的人参与到这项工作中来，一定会找到更多更好的情境素材。

2、 如何处理好“知识与技能”、“过程与方法”、“情感与态度”三者的关系？
　　怎样的课堂教学是好的教学？
　　新课程由“专制”走向民主，由封闭走向开放；课程不再是特定知识的载体，而是教师和学生共同探求新知的过程，教师和学生共同构成课程的有机组成部分。在课堂教学中，应坚决摈弃重结论、轻过程的教学；坚决反对重纪律、轻情感、重知识、轻思维的现象。
　　“知识与技能”既是目标，也是载体；“过程与方法”是至关重要的学习环节；“情感与态度”是核心的部分。如果学生厌学，其他自然免谈。“情感与态度”的问题是考试考不出来的，“人的可持续发展”也不是仅通过考试就可以评估和衡量的。如果没有长远的眼光，课程改革就会留于形式。就会出现“考不好就怪罪于课程改革”，“放弃让学生自主探索、合作学习的机会”，“拼命灌知识，搞题海训练”等现象。这样做，成绩可能会上去，可课程改革却断送掉了。“考不好”说明我们应该调整，但过去的一套肯定是不利于学生的可持续发展的。当然，考试也必须改革，如果不紧扣《标准》，偏偏出《标准》“删除的内容”、“降低要求的内容”来考试，而《标准》“关注的内容”、“增加的内容”却偏偏不考，这样的考试，学生自然无法考好。所以，出考试题不能随便拼凑，而要反复研究《标准》，以《标准》为纲。由于考试的压力，课程改革步履艰难，课堂教学走老路，学生的情感态度得不到应有的关注，这些问题应引起广大教育同仁足够的重视。
　　现在市面上大量的辅导资料是《标准》颁布以前的出版物，部分资料虽然是《标准》颁布之后出版的，标榜自己是按《标准》编写，但实际上大量的题目不符合《标准》。所以，我们应选择性使用。这样自然就增加了实验教师备课的难度（认真研究，亲自做做）。不想花费精力和时间，随便抓一本资料或几个题给学生，这样的课堂教学自然是收效甚微。由于费时费事，这里也有一个资源共享的问题，有一个发挥集体智慧的问题。
　　学生的情感态度体现在课堂学习的全过程。“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，这就是希望感到自己是一个发现者、研究者和探索者，而在儿童的精神世界，这种需要特别强烈。”[苏霍姆林斯基] 一堂好课不仅仅是让学生学会某个知识点，掌握一定的知识与技能，而更应该是一个创新的思维起点，一根创新神经的启动。好的教学的标志是：能够促进有效学习的进行。教师的主要作用在于组织教学活动，激发学生主动从事数学活动的兴趣，并在学生需要的时候给予恰当的帮助。教学中不应该追求知识的“一步到位”，要体现知识发展的阶段性，符合学生的认知规律；不要过早地将概念“符号化”，要延长知识发生与发展的过程，让学生充分经历“非正式定义”阶段；教学中不追求“统一化”和“最佳化”，而应当致力于“多样化”、“合理化”，以使学生对知识的真正理解（自主建构）和个性化发展成为可能。

3、如何评价学生的数学学习？
　　《九年义务教育课程·数学》以“问题情境—建立模型—解释、应用与拓展（反思）”的基本模式展开内容，让学生经历“数学化”与“再创造”的过程，形成自己对数学概念的理解。
　　《标准》提倡在关注获得结果的同时，关注知识获得的过程。除了提出“了解、理解、掌握、能（会）、熟练”等行为目标外，特别提出了“经历、体验（感受）、探索”等过程性目标。这就为学生“数学学习的评价”提供了相应的评价目标和评价空间。笔者认为应从以下几个方面评价学生的数学学习：
　　（1） 关注学生学习的全过程，以全面了解他们的数学学习状况、促进他们
更好的发展为评价的最终目标。既关注结果，更关注过程；既关注学习水平，更关注他们在数学实践活动中所表现出来的情感、态度和个性倾向。如：课堂表现、学习态度、合作精神、作业情况、独创性等。
　　（2）评价方式的多样性。 将考试、课题活动、撰写论文、知识小结、小组活动、自我评价、提问以及日常观察、学生成长档案等各种方法结合起来，形成一种科学、合理的评价机制。
　　（3）评价的核心内容：是学生“做数学”过程中暴露出的数学思维过程。
　　（4）注重考查学生运用数学知识分析问题、解决问题的能力，创新意识和实践能力。
　　（5）评价结果：注重个体的发展与进步。包括课堂评价、作业评价、阶段评价、学期评价、学年评价、学段评价等。评价结果的呈现形式为：成绩（或等级）+评语（说明或建议）+成长档案材料。

　　总之，评价应是注重过程的、动态的、多样性的。

4、如何研究和制定教学方案？
　　备课时，首先应认真研究《标准》，研究教材：《标准》对教材该部分内容所提出的“知识技能目标”、“情感态度目标”等是怎样说明的？教学过程中如何结合教材来体现和达到这些目标？《标准》对该部分内容提出的“教学建议”是怎样的？如何创造性的实施其“教学建议”？如何创造性的使用教材？这些都是备课时应研究和解决的问题。
　　由于不同地区学生的知识背景和知识发展水平不同，全国统一教材只可能提供学生学习活动的基本线索，按适合各地区一般学生的情况来编写，不可能面面俱到；不可能每一部分内容都能提供丰富的情境素材，即使提供了一定的情境素材，也不一定就适合每一个班的学生。甚至由于编写时间的仓促，教材的编写内容可能存在这样或那样的问题。所以，对教材的处理，应根据学生的具体情况，在深入钻研《标准》、把握教材基本理念的基础上，创造性的使用教材。科学的对教材进行删减、增补、重组等。
　　其次应认真研究课堂活动：这堂课有哪些数学活动可以安排？怎样组织数学活动？在活动过程中，教师怎样指导不同层次的学生？怎样与学生互动？活动中怎样进行评价和调控？哪些活动可以通过课件展开？哪些活动要借助其他媒体和工具进行？另外，学生在探索和“做数学”的活动过程中，可能出现的问题有哪些？可能的发现有哪些？如何引导和评价？这些问题也应在备课时认真研究和思考。
　　记得有人说过，“教学永远是一门遗憾的艺术”。其实，面对新课程标准的课堂教学也不例外。任何一堂课，当你课后反思的时候，总会觉得有一些不足和遗憾。而你的教学艺术水平正是在不断解决不足和遗憾的过程中得到了提升。相信只要我们不懈的努力，认真研究和解决好以上问题，教学业务水平一定会不断提高，课程改革一定会结出丰硕的果实。  

真诚天下

让数学课堂绽开创新之花  

　
　  






   “创新教育”是以培养人的创新精神和创新能力为基本价值取向的教育，其核心是创新能力的培养。从这个意义上理解，在数学教学中，通过对小学生施以教育和影响，促使他们去认识数学领域的新发现、新思想、新方法等，掌握其一般规律，培养他们具有一定的数学能力，为将来成为创新型人才奠定数学素质基础。我国著名教育家陶行知先生早在40年代就提出了“处处是创造之地，天天是创造之时，人人是创造之才 ”的呼声。那么，到底如何在小学数学学科中实施创新教育呢，我结合自己的工作浅谈一下拙见。


    一 、转变教育观念，营造数学创新教育的氛围
每个学生都具有潜在的创新才能，要把这种潜能转化为现实中的创新力，应营造浓厚的适宜创新教育的氛围，概括起来主要有以下三个方面：
    （一）数学教师自身要具备创新精神，这是数学教学中培养学生创新能力的一个重要因素。
    ⒈教师应首先更新教学观念，从传统的应试教育的圈子跳出来，具备明晰而深刻的创新教学理念，教师要在教学过程中体现“学生为主体，教师为主导，训线为主线，思维为核心”的教学思想，尊重学生的人格及创造精神，教师本身所具有的创新精神会极大地鼓舞学生的创新热情。
    ⒉教师应该改进教学方法。传统教育中“填鸭式”的教学方法显然不能培养学生的创新思维和能力，只有通过发现式、启发式、讨论式等先进的教学方法，才能调动学生的主动性、自觉性，激发积极的思维，采取启发、引导、积极参与等方法，指导学生独立思考，寻找问题的可能性答案；培养学生敢于批判、勇于创新的精神；培养学生发现问题、分析问题、解决问题的勇气和能力。
   （二）教师应为学生提供有利于创造的学习环境。
    1．注重营造有利于激发创新意识的氛围。
要培养学生创造性学习的习惯，必须让学生置身于有着浓厚创新意识的氛围之中，注重发掘教材中的创新因素，把看来似乎是枯燥、抽象的数学问题通过创设情境、变换形式，使其具有趣味性、思考性应用性和开放性。而且 ，轻松活泼的课堂气氛和师生关系，是培养学生创新能力较适宜的“气候”和“土壤”。法国生理学家、诺贝尔奖获得者贝尔纳曾经说过：“创造力是没法教的，所谓的创造力教学，指的是学生要真正有被鼓励展开并发表他们想法的机会，如此才能发展他们富于创造力的才能。”以创新教育见长的美国教育十分重视培养学生和发现、创造、沟通、表达、交流的意识和能力，同时，非常强调学生“have a  try”（试一试）。因此，在教学活动中，教师要尽可能的营造创新氛围，在时间上保证学生有思考余地，给他们更多的独立与自由的机会，让他们驰骋想象，开启心灵；鼓励学生动脑思考发现问题做出假设尝试验证归纳总结应用；鼓励学生要敢于标新立异，敢于“try”。教师则始终处在“导”的位置，让学生积极参与、敢于尝试、主动获取。在此过程中，学生那怕是有一些误差，也是可取的，至少他敢于创新。教师应该鼓励他、引导他，为他的尝试创造条件。
    2．放手让学生在自己活动的天地里自主参加实践活动。
学生创造性学习的习惯养成过程中离不开一次次的实践活动，教学时要防止对学生太多的“干涉”和过早的“判断”。学生的创新正是在不断尝试、不断纠正中逐步发展的。教学中应给学生创设一些易“犯错”的“机会”，让学生在探索过程中自主地发挥智慧和潜能。
    ⒊要完善教学评价标准。
传统教学评价偏向以课本知识为唯一标准，往往要求十分细碎，偏重速度和熟练，很少鼓励创造。为了培养学生的创新精神，学生评价要鼓励拔尖，鼓励专长，鼓励创见。 教师在讲评作业或试卷时，对有创新的学生要提出表扬，使创新意识和创新精神形成班风乃至校风，促进全体学生创新能力的提高。


    二、优化操作过程，促进学生创新习惯的养成
马斯洛在《人性能达到的境界》中写道：“我们必须变得对创造过程、创造态度，有创造力的人更感兴趣，而不单是对创造产品感兴趣”，“造就这种人的社会将生存下来，不能造就这种人的社会将灭亡”。所以，培养创新型人才是我们的责任，所以，我们要从基本的创新习惯的培养入手。
    （一）创新习惯的内容
    1．培养学生质疑提问的习惯。
人民教育家陶行知说：“发明千千万，起点一个问。”质疑提问是创新的开始，而好奇、质疑正是儿童的天性。例如，教学“乘法估算”时，例题21× 48可以看作20×50进行估算，一位学生质疑提问：“48看作50后，21×50也可以口算，为什么一定要两个数都看作整十数呢？”问题的提出，引起学生争论，最后在质疑提问中得出了估算根据需要只要方法合理、方便都行。课堂中让学生质疑提问，既满足了学生的好奇心与求知欲，又使学生在宽松愉悦的课堂氛围中养成了质疑、敢问的习惯，学生创新意识的萌芽得到了保护，并逐步培养了会问、善问的思维品质。美国教育家杜威也说过，“科学的每一项巨大的成就，都是以大胆的幻想为出发点的”。对事物的大胆地幻想是创新的起点，“只怕想不到，不怕做不到”。戈登·德莱顿说，“一个新的想法是老要素的新组合”。“最杰出的创意者总是专心于新的组合”。我们要重视学生的质疑与提问，要呵护他们稚嫩的发现，给他们一个适宜生长的环境。
    2．培养学生手脑结合，注重实践的习惯。
实践是创新活动中必不可少的一个过程。在课堂教学过程中，培养学生手脑结合，注重实践的习惯不仅可以让学生主动参与知识的形成过程，了解知识的来龙去脉，还能促进学生思维的发展，有助于激发学生创新意识。
    例如，引导学生从已有长方形面积计算方法中探究推导三角形面积计算公式。课上让学生在一个长方形中任意画出一个最大的三角形。思考：这个三角形的面积与相应长方形的面积之间的关系。边思考边动手验证，学生想到各种剪拼的方法，发现了三角形面积是相应长方形面积的一半；还有的学生想到不用剪，利用长方形对边相等的关系也能得出相同的结论。
    3．培养学生多角度思考的习惯。
多角度思考问题的习惯，有利于培养和发展学生的求异思维、发散思维、逆向思维等进行创新活动所必须的思维形式。
对数学而言，题目的答案可以是唯一的，而解题途径却不是唯一的。课堂上有了一种解法后，还要求两个、三个直至更多，甚至能从不同侧面来探讨和否定已有的答案，使学生善于打破思维定势，提高思维的灵活性。教师要尊重学生的创新活动，允许学生的奇思妙想，对有独到见解的要大力表扬，对不完善的意见给以补充，对那些不合常理的奇思异想、幼稚可笑的质疑问难要给以呵护，如在教学“比的意义”时，在教师的引导和学生的探索得出比的意义后，教师故意提出：“你认为比的后项可以是零吗？为什么？”学生好胜心马上被激发，展开争论，一生说：“比的后项不能是零，因为根据比的意义，两个数相除又叫两个数的比，既然除数不能是零，所以比的后项也不能是零。”另一个学生马上反驳道：“比的问题可以是零，我是体育迷，在电视的上看到记分牌上有2:0的。”课堂上气氛一下子热烈起来。他们很快分成两派，据理力争，谁也不服谁，这时，教师顺势让他们分组讨论，在小组活动中，学生相互交流，直诚探讨，终于明确其道理。
    4．培养学生整理知识，构建知识结构的习惯。
“创新”需要扎实、牢固、结构合理的知识体系作基础。学习数学的过程就是一个不断整理知识、内化知识，进而形成具有自身思维特点的个性化知识结构的过程。在教学中引导学生整理知识，构建合理的、有利于后继发展的知识结构，能使学生学会一些学习数学的思想方法，为创新提供一定基础。如：在每堂课的最后留几分钟，让学生在理解的基础上用自己的语言归纳小结，整理所学的内容，梳理所学的知识。在一组例题或一单元相关知识学完后，让学生自编提纲或练习题进行复习。
例如复合应用题的教学，新授时，引导学生归纳小结一步计算应用题与复合应用题间的发展变化；复习时，通过自编题等学习活动并结合观察、比较、归纳、概括等方法，悟出题目内容变，而其结构不变，掌握了复合应用题的一般解法，并构建了复合应用题的一般结构。这样教学从近期效应看：学生解题思路清晰，且综合运用知识能力较强，解决了以往通过4个例题的教学，有些学生虽会解答4类题目。但不能把各个知识点有机地联系起来，有些学习能力较差的学生甚至只会依样画葫芦好题的偏向。从长期效应看：学生在学习过程中，构建较为合理的知识结构，理解了知识，再对所学知识内容进行归并、删除、提取，把知识系统化、条理化。这实际上已是一种创新劳动。
    （二）创新兴趣的培养
教育学家乌申斯基说：“没有丝毫兴趣的强制学习，将会扼杀学生探求真理的欲望”兴趣是学习的重要动力，兴趣也是创新的重要动力。创新的过程需要兴趣来维持。
    ⒈利用“学生渴求他们未知的、力所能及的问题”的心理，培养学生的创新兴趣。
兴趣产生于思维，而思维又需要一定的知识基础。在教学中出示恰如其分的出示问题，让学生“跳一跳，就摘到桃子”，问题高低适度，问题是学生想知道的，这样问题会吸引学生，可以激发学生的认知矛盾，引起认知冲突，引发强烈的兴趣和求知欲，学生因兴趣而学，而思维，并提出新质疑，自觉的去解决，去创新。
    ⒉合理满足学生好胜的心理，培养创新的兴趣。
学生都有强烈的好胜心理，如果在学习中屡屡失败，会对从事的学习失去信心，教师创造合适的机会使学生感受成功的喜悦，对培养他们的创新能力是有必要的。比如：针对不同的群体开展几何图形设计大赛、数学笑话晚会、逻辑推理故事演说等等，展开想象的翅膀，发挥它们不同的特长，在活动中充分展示自我，找到生活与数学的结合点，感受自己胜利的心理，体会数学给他们带来的成功机会和快乐，培养创新的兴趣。“have a try”（试一试）。引导学生不怕失败，勇敢创新。
    ⒊利用数学中图形的美,培养学生的兴趣。
生活中大量的图形有的是几何图形本身，有的是依据数学中的重要理论产生的，也有的是几何图形组合，它们具有很强的审美价值，在教学中宜充分利用图形的线条美、色彩美，给学生最大的感知，充分体会数学图形给生活带来的美。在教学中尽量把生活实际中美的图形联系到课堂教学中，再把图形运用到美术创作、生活空间的设计中，产生共鸣，使他们产生创造图形美的欲望，驱使他们创新，维持长久的创新兴趣。
    ⒋利用数学中的历史人物、典故、数学家的童年趣事、某个结论的产生等等激发学生的创新兴趣。
学生一般喜欢听趣人趣事，教学中结合学习内容讲述数学发展的历史和历史上数学家的故事，象数学理论所经历的沧桑，数学家成长的事迹，数学家在科技进步中的贡献，数学中某些结论的来历，既可以了解数学的历史，丰富知识，又可以增加学生对数学的兴趣，学习其中的创新精神。
    法国生理学家、诺贝尔奖获得者贝尔纳曾经说过：“创造力是没法教的，所谓的创造力教学，指的是学生要真正有被鼓励展开并发表他们想法的机会，如此才能发展他们富于创造力的才能。”有一个现在流行的说法：当黑板上出现一个圆圈时，幼儿园的小朋友回答是包罗万象的有说像苹果，有说像月亮，还有脸蛋；小学的孩子答案明显的少了，但仍很丰富；中学生只会说数字0或英文o；大学生哈哈一笑不屑一答；而成年人故作思考状，谁也不会先说出自己的想法……我们的传统教育就是如此剥夺学生的想象力，当答案趋于一致时，再也见不到创新的火花闪亮了，研究性学习理念的出现是维持学生积极创造力的源泉，保持一种本原的探索未知的理想。
    由此可见,培养学生的创新精神不是一朝一夕就可以取得明显成效的，它是一个系统过程，在教学中必须循序渐进，长期坚持，需要教师在教学中不断总结经验教训，不断取长补短。只有这样才会取得预期的成果。

真诚天下

新课程下如何体现教师角色  

　
　  




　　21世纪教师应该是什么角色？21世纪社会信息化和知识经济的发展，对我们的教育提出了强烈的变革要求，传统的维持性学习方式正在向创新性学习转变，这就要求我们的教师必须从传统的局限于课堂40分钟传受角色向教育过程的指导者、组织者、参与者、的角色转变，教师要有更大的适应性和灵活性来面对他们的工作。社会发展到今天，科学技术飞速发展，社会急剧变革，计算机及信息技术也广泛的应用到教学中来，师生之间已经不完全是单纯的传递和接受关系了，学生可以从其他渠道获取知识，有时候甚至在某些方面比教师知道的还多，教师的权威地位受到了威胁，教师和学生的关系不那么单一了，教师的角色也多元化了。具备多元化的知识结构、一专多能的能力和优良的人格，是教师作为指导者的先决条件。教师具有丰富的知识和多种能力，不光能让学生敬佩，对学生装有感染力，而且，这也是学生生动活泼、充满启发性和创造性的必要条件。在现代社会，教师作为文化传承的执行者的基本职能并没有变，但他却不再象遗忘那样直接以权威的身份向学生传递经验，而是通过间接的方式实现文化传递，他以各种方式调动和引导学生参与学习活动，引导学生在自己精心设计的环境中进行探索，教师不再是单纯的传递者，而有可能同时作为学生的同伴、活动的组织者、学生学习过程的支持者和帮助者等等，教师的角色越来越向多重化方向发展。现代教师的角色主要有：

　　1、设计者。
　　教师要根据教学目标和学生的特点，选择教材和教具，设计教学过程，设计学生和材料之间的相互作用。作为设计者，教师要考虑三个问题：教学目标是什么？选择什么样的教学目标和教学策略来实现这一目标？选择什么样的测验手段来检验教学效果？

　　2．指导者。
　　指导者有两种，一种是教师按照自己的活动方案主动向学生提供一些信息，这一过程类似于传统教学中教师的职能；另一种是学生在对一定的问题情境进行探索的时候可能会碰到一些问题，出现信息缺乏的情况，这时候学生主动向教师寻求信息，在这一过程中，学生更为主动。

　　3．促进者。
　　教师要通过激发学生动机、为学生提供支架，提供必要的辅导、支持和示范等等方式来促进学生的学习，使学生学习更深入。随着学生学习能力的提高，教师的支持逐渐减少。

　　4．组织者和管理者。
　　教师要进行教学环境的控制和管理，组织课堂教学，处理教学过程中的偶发事件。

　　5．伙伴。
　　教师要与学生建立有好融洽的关系，了解学生的需要、学习特点、兴趣、个性爱好等，以保证做到因材施教；另外，在教学过程中，教师也可以以平等的身份与学生进行讨论和合作，共同解决问题。

　　6．反思者和研究者。
　　教师要不断对自己的教学进行反思和评价，分析其中的不足，提出改进方案；另外，教师还要从事一些与自己的教学有关的科学研究，从理论上提高自己的业务水平。这就要求教师要用全新的教学模式来教学，因此，要求教师要具有创新精神，要能够推崇创新，追求创新和以创新为荣，善于发现问题和提出问题。要善于打破常规，突破传统观念，具有敏锐的洞察力和丰富的想象力。使思维具有超前性和独创性。教师自身应具备宽厚的基础知识和现代信息素质，形成多层次、多元化的知识结构；有开阔的视野，善于分析综合信息，有创新的数学模式，创新的教学方法，灵活的教学内容选择，以创新思维培养为核心的评价标准等。善于创设"创新的自由空间"，为学生提供更广阔的学习园地，指导学生改进学习方式。新课程的多样性、选择性要求小学数学教师具有良好的综合素质新的课程，具备有多样的选择性，在共同基础上设量不同的系列课程，以供学生进行适合自己发展的选择。整个小学数学课程体系，包括课程设置，课程目标，课程内容等，都将致力于根据学生的不同志趣，能力特征以及未来职业需求和发展需要，向他们提供侧重于不同方面的数学学习内容和数学实践活动。 这就要求小学数学教师有能力胜任不同的课程，既能教基础课程也能教系列课。教师不仅是解惑者，还应是问题的诊断者，学习的启发者，还要求教师能了解所教学生的个性发展。指导帮助学生按自己的能力需要选择所学课程。 终身教育的提出，要求教师具有可持续发展的人格首先，终身教育的提出，要求教师把自身知识的更新视为一种责任，使"终身学习"内化为教师的自觉行为。其次，学生正处于人格塑造和定化时期，社会文化中的价值取向、理想和信仰、道德情操、审美情趣等都会从教师的角色文化中折射出来。并通过他"映照"在学生的人格世界中，作为数学教师的言传身教，决定了其人格对学生人格的形成有"润物细无声"的功效。这就要求小学数学教师按社会的道德原则和规范去塑造自我，实现"超我"。新形势下教师当这么多的角色、新课又有这么多的要求，这就要求教师做以下工作：

一、小学数学教师应做角色转变的准备
　　（一）教师思想观念的更新，首先，认识到课程改革的必要性和重要性。教师要摆脱旧的教育观念的束缚。更新教育观念，树立正确的人才观，质量观和学生观。
　　其次，教师要认识到自己在课程改革中的作用和地位。能以饱满的热情投身到课程改革中来。
　　第三，教师要认识到："数学素质教育"的提出，要求教师的教学要关注每一位学生的身心发展的需要。而"培养创新精神与实践能力"的提出，要求教师的教学要促进学生个性的发展。教师要真正理解："人人学有价值的数学，人人都能获得必要的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。"这是新世纪数学课程的基本理念。第四，教师要认识到在未来社会中，获取知识的能力比获取知识本身更重要，获取信息的方法比获取信息本身更关键。教师给学生的应该是方法库，工具库。教学模式应是：知识，素质，创新能力的三维教学模式。
　　（二）教师知识结构的更新，随着社会的发展，我们所面对的学生也会更加复杂化，这就要求教师必须不断学习心理学和教育学，能够以新的教育理论来支撑自己的教学工作。教师作为社会化的人，必须更新自己的知识，才能适应社会的要求。
　　（三）教师心理观念的更新在只有语言的传媒时代，教师有绝对的权威，教师是学生获取知识的唯一来源。在文学出现以后，这时的教师在课堂教学中仍是主演，因为学生必须通过教师的教学，才能获得必要的知识，进而才能自己阅读书籍。到了信息时代，学生获得教育信息的渠道是多元化的。有时学生获得的信息可能比教师快，比教师多。所以这时的教师在学生面前没有了绝对的权威。这是教师在心理上要接受的第一个事实。现代教学论认为，在教育过程中，教师将扮演着多种角色，从多方面影响着学生的发展，教师不仅仅只是知识的传递者，他还是学生的榜样，集体的领导者，人际关系的艺术家，心理治疗工作者，学者和学习者，以及学生的朋友和知己。在教学过程中，教师是主导，学生是主体，教学活动是在师生双方的相互作用下共同完成的。学生的主体作用只有在教师良导作用下才能得以发挥，而教师的主导作用必须是建立在学生的主体作用之上的。只有当师生之间互相作用，学生的能动性，自主性和创造性才能得以激发和培养，学生才能获得充分的发展，因此，在课堂教学中，教师与学生是合作伙伴的关系。教师是组建者，引导者，解惑者。教师与学生在人格是平等的。这是教师在心理上要接受的第二个事实。教师在学生面前的角色变化必将成为事实，我们教师只有在心理上做好充分的准备才能扮演好自己的角色。

二、教师施教能力的提高
　　（一）教师要提高使用现代教育技术的能力随着现代教育技术的不断发展，新的课程标准中，已将计算器的应用引入教材，多媒体计算机辅助教学将进入课堂。这就要求教师掌握计算机工具。
　　（二）教师要提高因材施教的能力由于高中教育的普及，大学升学率的提高，。因此学生的数学知识的差异也会越来越大。这就要求教师要探索课堂教学的新模式。教师不仅要研究教法，更重要的是要研究学法。从学生学习的认识理论的角度去分析学生的特点，激发学生的学习兴趣，使每个学生的学习都有所进步。综上所述，在课程改革不断深入的今天，小学教学教师极早认清未来教育中，社会对教师角色的期望，作好角色转变的准备。将有利于教师自身素质的提高，有利于确保课程改革的顺利进行。百年大计，教育为本。有了第一流的教师，才会有第一流的教育，才会出第一流的人才。当代的小学数学教师的职责和使命比以往任何时候都更重要，而对于教师角色的正确定位，在时代的浪潮中，正如镇舟之石，其意义是重大的。　

真诚天下

三角形面积公式的五种推导方法  

　
　  









六年制小学数学第九册《三角形面积的计算》一节，教材上是这样安排的：一、明确目标；二、用数格的方式不能确定三角形的面积；三、能否转化成以前学过的图形进行计算？四、拿两个全等的直角三角形可以拼成以前学习过的学习过的长方形和平行四边形，直角三角形的面积是长方形和平行四边形面积的一半；五、验证锐角三角形和钝角三角形是否也能拼成平行四边形；六、三次试验确定所有类型的三角形能转化成平行四边形，两者的关系是“等底等高，面积一半”；七、总结三角形的面积公式。

我们在多次的课堂教学实践和课下辅导过程中，发现上面的几个“环节”有些地方不太符合学生的认知特点。具体分析一下：

第一步没什么问题，每个教师都有自己的导入新课的方式。

第二步也没有什么：学生在学习长方形和正方形的面积时用的是“数格”的方式。学习平行四边形时用的是切割再组合的方式，就是所谓的“转化”。在大部分学生对面积这个概念的理解还不十分透彻的情况下，面对三角形，学生们的首选方法就是“数格”。因为这是学生学习有关面积计算的第一经验，第一印象，第一个技巧。也是最简单，最直接（当然也是最麻烦）的方法。
    关于第三步：教材上只有一句话：能不能把三角形转化成已经学过的图形再计算面积。这是化未知为已知的思维方式，我们常给初中学生提起这些认知策略，但它的基础却在小学阶段和学生的日常生活经验中。教材把这个重要的数学思想一笔带过，把挖掘其内涵，为学生建立辩证观念的重任留给了老师。但很多老师并不特别重视这句话，只是把它当作一个过渡句，当成进入下面环节的引言。

第四步。转化是一定的。但是，转化成什么？怎么转化？把三角形转化成“能计算的图形”大致有五种情况。教材推荐的是第五种（如图）。教材上的引导方式只有教师的主导性，而忽视了学生的主体位置。

前面提到，学生计算三角形面积的首选方法是数格，那么次选方法是什么？他们的第二方案应该还是在自己的经验中寻找帮助。这些经验当中，与计算面积有关的直接、简单、容易操作的内容就是在前面的几节课刚学过的“切割平行四边形成长方形”的方法。他们对“切割”这个动作记忆犹新。因为：一、这个技巧刚刚学过；二、切割是个动作，但这个动作能把不规则变规则，所以印象深刻；三、这个简单的动作能完成面积计算的任务。所以他们的下一步动作会是模仿上一节课的做法，想办法切割三角形的某一角移动填补另一角，变三角形成长方形或平行四边形。按这个说法，学生在寻找计算三角形面积的方法时，他首先会在他手中所拿的三角形卡片上琢磨，对这个三角形进行加工处理。在不得要领，或是找到了办法，问题解决了，但心有余味，继续探索下去时才会考虑到利用其他内容扩展思考空间，再找一个一样的三角形牵线搭桥，把思路引到问题的外面。

教材中还有一点缺失：学生在教师的引导下用两个“全等”三角形进行拼接时，是一个尝试的过程。教材举例说：小华拼出了一个长方形一个平行四边形。小林拼出了两个三角形——一个人拼的全是能利用的，一个人拼的全是不能用的，两个人的对比太大。我们想这不是教材的疏漏，是为了突出教学任务和目标。另外，教材举的例子是两个三角形能拼成一个长方形和一个平行四边形。但实际上能拼成两个平行四边形，加上长方形就是有三个图形是已经学习过的，都能用来推算三角形面积。教材忽略这个没有列出的平行四边形，我们猜可能是因为它的倾斜度过大，在视觉上有一种要“倒”的感觉。如果学生受视觉效果的影响，注意力分散，会影响到他们分析两种图形的底、高和面积的关系。也可能是基于简单化原则，有两个就够了，何必要三个。但是按这个说法，要一个就够了，何必两个。

按照教材设定的思路，我们可以设想：学生手拿三角形，听老师布置完任务。怎么拼，能拼出什么都不太清楚，只能先随便的拼一下试试。如果运气好或者预想能力较强，可能直接拼出平行四边形和长方形。学生在试验时，会发现不等边拼接没有后续效果，因为这些组合图形都不规则，不能把握。然后，学生会把注意力放在那些特殊图形上。一类是那些中心对称的平行四边形，这是学习过的内容；一类是那些左右对称的凸多边形，这是好奇心驱使，随后即会放弃。学生的试验，开始可能是无序状态，随着注意的集中，目标一个一个的出现，学生的意识中必定会对自己刚才的所有拼接进行回顾（很多时候这个回顾是无意识的），找到拼出所有图形的方法得出两个全等三角形能顺次拼出三个形状不同的平行四边形的结论，使自己的思维进入有序状态。

教材把这个过程缩减了，有些教师则更希望把它压缩成一个或几个动作，为后面的讲解和练习挤出时间，不愿把时间精力浪费在这个非目标、非重点、也非难点的中间环节上。认为只要知道了转换的道理，就有了“等底等高，面积2倍”这个重点的突破。在动手操作上延长时间，势必影响教学目标的讲解和强调。

其实这是个误解。公式的推导过程本身也是对公式的熟悉过程，过程熟悉了，结果也就熟悉了。以后也就无须用多的吓人的练习题让学生做，把公式强印到学生的脑子中。举一个化学上的例子：两种物质能发生反应，这是先决条件。但是反应所需要的环境如加热、电击、搅拌或是放在溶液中使其反应更充分，以及催化剂等这些控制反应进行的因素也很重要，甚至是必须的。学生在探寻知识的过程中所取得的经验和教训就是知识发挥作用的控制因素。一般上，我们认为把知识放在问题中，解决问题，知识的作用就发挥出来了。但是，问题从何而来？来自思维。思考什么？思考我们看到的，感觉到的。如果对周围事物的发展、变化、规律、联系、相互作用、矛盾冲突以及相似性、特殊点（这些名词、概念确实存在于我们的意识和思维中）没有任何的反应，就不会产生问题、提出问题。不会发现问题的人，一般也不会主动回答别人的问题。让学生自己动手就是为了训练学生的动手能力观察能力和感受性。

如果学生在图形的拼接过程中能集中注意力，边拼接边总结，最后达到能快速有节奏的拼出所有图形的程度。那么学生至少有两点除直接为教学目标服务之外的收获。其一是实验精神，这种品质是在面临所有新问题时都必须具备的。这一点不必多说。

第二点是个技巧：要想拼出所有图形，必须以排列组合的方式按照一定的顺序，挨着个的来。如果我们能对这个技巧善加培养，就会形成一种能力或是一种精神品质。在许多新编的实验教材中都安排了很多这样类型的训练内容。这些训练的目的，并不在这些具体的问题本身，而在于让学生扩展自己的思维空间。思维空间的扩展并不是说让学生知道更多的东西，而是说让学生忘记自己已知道的、已掌握的东西——需要的时候，能马上从意识中提取。想达到这种水平，需要做到体系化和结构化。人的思想无限广大，但是如果其中的内容杂乱无章，互无联系，就等于有限的物质占据了无限的空间。就象是如果没有天体星系之间的吸引力和运动造成的动态平衡，就会宇宙大乱。人类就不可能认识这个世界。会毁在这种无序状态之中。但运动能看的见，吸引力却难捉摸。

在我们所有的认识活动中，都有一个从混沌到有序，从不明所以的细节认识到把握事物的结构，确定各部分间的联系和作用方式的整体感知的过程。如果学生拥有了这个过程的心理体验，就会促使他们在个性发展上形成一种良好的精神品质。就会心理坚定，动作迅速，思维敏捷。但我们却常常在课堂上打断学生的这个思维过程，系之以我们认为最佳的知识体系。却不知单纯以逻辑作联结的知识在学生看来只是内容上的堆砌，会对学生造成巨大的精神压力。只有以心理体验做基础才能真正将知识内化，达到“有”既是“无”的空明之境。自己的努力常被别人打断的人，有一种受制于人的感觉。经常这样，学生会变的没有自信，心浮气燥，尝试过程中会产生否定心理：否定错误，固执己见；否定问题：这个问题不可能有解；甚至否定自己：我做不出来了，再努力也是白费工夫。

推导三角形的面积公式，大致有五种方式。根据各种推导方式的不同特点，我们可以帮助学生设定两种学习思路。

第一种：前三种推导方式，适合用“先确定探求目标，然后从已知经验中借鉴和搜寻解决方法”的学习方式：学生手拿一个具体的三角形卡片，经过怎么办，怎么变，怎么算等思维过程，然后通过验证，将怎么变舍去，把怎么算压缩概括为一个计算程序，这就是公式。第二种：用后两种推导方式，可以这样引导学生“长方形和平行四边形的面积公式除了能计算平行四边形和长方形的面积，还可以计算其他图形的面积。大家可以尝试一下……”。学生手拿长方形和平行四边形，经过折叠、剪切逐步转化为三角形和梯形，再总结成公式。这两种引导方式是不应该混杂在一起呈现给学生的。

无论是那一种方法，只要真正是学生的动手操作和思维的成果——教师的责任和义务是导引而非强行推进——对学生来说都有非常重大的意义。除知识的累积外，尚有许多教师可以讲清却无法给予的心理体验和能力。比如：

前面提到的试验精神和以排列组合的方式对事件的发展进行调控，增强思维的有序性。

建立数学模型，把实践问题数学化。这是许多人不了解数学为何物的关键之处。

估算和预想。学生拿着三角形和剪刀，不会直接下手，会先进行比对和预想：从这里下刀，向这个角度截下的角能补到哪？能把顶角补齐吗？估计相差不大，试一下……有许多解决问题和创造活动的前期准备都是在头脑中预演的。预演的过程虽不十分准确，但节奏快，内容多，可以跳过许多不必要的中间程序。

动手能力。这是大家都非常重视的一个词。证据之一：小孩子在玩沙时，大人有耐心看着他们完成自己的作品，直至失去兴趣。在课堂上我们为学生准备了许多学具。这些学具，是根据我们想要学生完成的操作动作精心设计的。能最大限度的体现老师的要求。学生在用学具对老师进行模仿，或参照课本完成老师的细致要求时。时常被我们的“好了！大家停一下。坐好了！”或“现在我们来看……”一类的声音打断。学生们一听到这些话，就会习惯性的把手拿开放到背后。许多老师要求学生坐直，抬头挺胸，手放背后。而且时不时来一句“看谁坐的直！”。学生坐好以后，对自己的劳动成果不再看一眼，眼睛直盯着黑板和老师。就好象桌子上什么东西都没有，刚才自己什么也没做过一样。毕竟，动手能力没有注意听讲重要。

证据之二：有时候我们会很自豪的说：如果学生不会，我就手把手地教。实际上，手把手的作用并不大：老师拿着学生的手，学生的注意和力量被分散了。老师的力量加在学生手上，学生会自然的产生反作用力。但他明白他应该顺应老师所以他要控制自己的反作用力。学生的一部分精力就用在了二者的协调上。学生不可能在手把手的过程中真正体会到老师是如何用力的。感觉只能是自己产生，别人能给的只是外部刺激。手把手的好处可能是能对那些自信心不足的学生以安慰和鼓舞，以及提醒学生模仿参照老师，想象体会老师的感觉。

试验过程中规律和直感经验的应用和把握。在截切三角形时第一次会用较多的时间，失败的可能性很大。第二次找截切点和角度的速度会加快。也可能，第二次还没有进行完，学生就得出结论：这一次是失败的，准确位置应该在那儿。速度加快和直接下刀，表明学生已经感知这个截切点的特殊性，应该就在三角形的半腰处。右边是这样，左边也应该……

前三种用割补法变三角形为平行四边形，利用的是以前的经验，模仿的形式。想到后两种填充法和拼接法，应该算是通过观察问题存在的周边环境而找到的方法，创造的成份比较多。这是把事件或问题放在背景和环境中考虑，是一种整体认知的意识和能力。既如荀子在《劝学》中说的“善假于物也”，此“物”既存于人的经验意识和周边环境中。

如果发挥学生的主体意识，学生找到后两种推导方法的心理机制比较复杂，我们还难以把握。学生可能是误打误撞找到的，也可能是因为学生有生活方面的此类经验，迁移能力较强。不管学生是怎样找到的，也不论是学生的功劳还是教师的指导，这几种方法所携带的辨证观念是我们应该特别关注的。即便是因为学生的年龄特点不能给予形式内容上的加强，起码可以给学生以精神自由和意志自由，做到不防碍它的发展。

   精神意志的自由虽不能直接激发思维和创造，却可以产生真正的积极性和主动性。学生不把自己当学生，当成探索生活和世界的强者，教师不把自己当教师，当作合作者（尤其是备课的时候），由此思想自由而产生的创造，要比我们用装腔作势、花样翻新来吸引学生注意力，以集体、荣誉、表扬、攀比、别人的眼光来束缚学生的思想，以教鞭、纪律来规范学生的言行，高潮迭起、节奏紧凑、有声有色，学生却象是提线木偶的课堂来得彻底、来得有效率。

阿基米德说：给我一个支点，我能把地球翘起来。找到支点和作用方式学生的力量是巨大的。学习知识、掌握技巧、提高能力的作用点不在于紧盯目标和任务，下死工夫塞到头脑里。就好象翘起地球的支点不会在地球上，必须到太空中寻找一样，提高学习效率的支点应该存在于学生们比太空还充实还广漠的精神世界里。它的充实之处在于，学生能随时找到前进道路上的踏脚基石。广漠之处在于，学生愿意并能吸收容纳更多更新的体验。学生课堂学习的基础是他们的精神世界，他们的精神世界植根于生活。所以说提高学习效率的根本方法从丰富多彩的生活中凝练思想。