小学数学论文精选

真诚天下

好奇——数学教育的财富  

　
　  





好奇——数学教育的财富  


江苏省江都市教育局教科室 赵公明
一、好奇是数学教育的宝贵财富
1、一个重要的评估
据教育进展国际评估组织对世界21个国家的调查，中国孩子的计算能力是世界上最强的。调查同时显示，中国的中学生在学校用来做数学题的时间是每周307分钟，而其他国家孩子学数学的时间仅为217分钟。令人痛心的是，中国学生为这个“计算能力世界第一”付出的不仅仅是时间，而且还牺牲了孩子的创造力。其创造力在所有参加调查的国家中排名倒数第五。中小学生中，认为自己有好奇心和想像力的只占4.7%，而希望培养想像力和创造力的只有14.9%。
2、一个重要的案例
近年来，世界数学领域有一个很大的成就，就是英国人怀尔斯证明了法国数学家费马提出的360多年没有人能证明的“费马大定理”。什么是“费马大定理”呢？我们都知道商高定理，就是直角三角形两边平方的和等于斜边的平方。360年前，法国的数学家费马就提出过这样一个疑问，平方成立，那么3次方成立不成立，4次方成立不成立……他认为， ，在n是大于2的自然数时没有正整数解。这激起好多人去证明。360多年来，费马问题有几千种“证明”，但没有一种经得起推敲。这是数学上的难题。到1953年，英国的怀尔斯诞生了，。在他10岁时，老师教他商高定理的时候，跟他讲还有一个“费马大定理”，说这是一个世界数学难题。在老师的影响下，这个10岁小孩就对这个问题产生了兴趣，从此非常喜欢学数学，研究数学，最终成了一个数学家。1985年他做了美国普林斯顿大学的教授。在此后七、八年的时间里，他没有一篇文章发表，什么会议上都看不到他，大家都说他年轻时脑袋用完了，他消失了。但他若干年后，终于解决了“费马大定理”。
3、一个重要的结论——好奇心是数学教育的宝贵财富
这个故事给我们很大的启发，让我们感到学生人无全才，人人有才。学生的头脑不是知识的容器，而是智慧的火种。每个学生的火种是不一样的，教师、家长、同学有义务来把这个火种点燃。怀尔斯的火种就被老师点燃了。所以我们感到有这样能唤起学生好奇心的老师是非常重要的。
复旦大学原校长、教授杨福家曾经给上海600名教师作报告。他问，在座的有没有知道商高定理的？大家都举手。他又问，有谁知道“费马大定理”，11个人举手。他再问，谁在讲商高定理时告诉了学生“费马大定理”，而这个大定理还没有解决，是世界难题，只有一个人举手。学生在年轻时产生的好奇心、兴趣对他的一生都是有用的。我们去看看那些有发明创造的人，他们年轻时代都有一个故事。而我们现在的考试制度，使得我们的一些年轻人整天在被动学习、做题训练中度过。这种状况亟待改变。我们应该让学生在年轻时生活得愉快，有浓厚的兴趣，充满好奇心。
但同时，学生有兴趣地大量做题也不能被简单地否定。比如在中学里，一个学生一个暑假很有兴趣地做了1000道数学题，虽然没有去玩，但这对这个学生很有帮助。从此这个学生就不怕数学了，同时这个学生的逻辑思维也得到了训练，显然，这是终身受益的。现在的问题是，受高考制度的影响，学生的学习变成被动的、没有兴趣的解题训练，这就抹杀了年轻一代的好奇心和兴趣。
杨福家教授认为，我们的教育缺少对好奇心的引发与引导，而西方发达国家在这方面要比我们好得多。在英国的伊顿公学是一个教师对一个学生。牛津大学、剑桥大学在上个世纪就实施了导师制。杨福家教授很欣赏他们的一句话：导师抽烟(杨福家教授是不赞成导师抽烟的)，不断地把烟往学生身上喷，一直喷到把他们心中的火种点燃。因此，我们说，好奇心是数学教育的宝贵财富。
二、数学教育的重要任务——激发孩子的好奇心
1、好奇心是一个趋于无限的宝藏
好奇可能是孩子的天性。当孩子三四岁的时候，如果父母每天都要把他带到郊外去，让他接触大自然去观察大自然的千变万化。有时，父母摘一朵花，把花剖开并讲解，有时捉一些昆虫，然后教给他昆虫方面的知识，当然，父母讲解要极为浅显易懂，如遇到他自己也不懂的问题，父母便老老实实告诉儿子：这个问题我不懂，让我们一起去找答案吧。
? 一般说来，当孩子的好奇心发生以后，便会提出各样的问题，而许多爸爸妈妈虽然不会拒绝，却常常是随便敷衍，更不可能象会做教师的父亲那样，不懂的问题和孩子一起去找答案了，他们并不知道，这些敷衍，实际上是在扼杀孩子的思考能力，而直到上学以后，他们发现自己孩子的成绩不好，才开始着急。可是他们又怎么回忆得起自己最初的举动呢？
为了孩子我们应该有很好的耐心和责任。当我上街时，千万不要怕麻烦而把孩子留在家中，我们可以利用上街购物办事的机会把孩子带上街，让孩子去观察并会注意事物的奇妙之处。
? 正如乘公共汽车，我们可以让他们注意车门的自动开关，然后再向他解释；如果是住在大楼公寓，可以在阳台上种花，给孩子一个花盆，让他自己在盆子里播下种子，让他去发现种子发芽、长叶、开花的奥秘。
? 也许，学生由于好奇所遇到的问题不可能全部了解，甚至当父母给他介绍一些知识的时候，他也不可能记住。但是，他至少对有些现象注意了，也许，他有可能从其它事物的现象中联想到答案。
数学是最为神奇的世界，面对数学世界，孩子有着我们无法想象的好奇。在中小学学科中，数学是最富有魅力的，其原始的吸引力几乎是无以复加的。特别是数学对问题解决的巨大功能，使学生们真真切切地感受到：数学是最为神奇的世界。遗憾的是，我们的中小学数学教育并没有很好地珍惜这一宝贵财富，自从孩子学习数学的那一天起，数学就变成枯燥无味的计算、练习，把最为神奇的数学世界变成折磨孩子的简单的重复劳动。心理学的知识告诉我们，重复是最容易疲劳的，简单的重复劳动最容易伤害成长中孩子好奇的天性。
人类是自然的孩子，好奇心是一个趋于无限的宝藏，好奇心是人类宝贵财富。人类认识自然需要好奇，人类欣赏自然需要好奇，人类与自然和谐需要好奇。
2、数学教育的重要任务——激发孩子的好奇心
本人在1990年《中学数学》第6期《数学教育中实施掌握学习策略之我见》一文中曾经指出：数学教育的追求有三个层次。。这就是第一层次：掌握知识；第二层次：发展能力；第三层次：形成良好的人格品质。而激发学生的好奇心对顺应天性形成学生良好人格品质具有的极为重要作用。因此，数学教育的重要任务就是激发学生的好奇心。这和新课程标准的要求是一致的。
3、好奇心的培养
好奇心是由新奇刺激所引起的一种取向、注视、接近、探索心理和行为动机。它是人类行为的最强烈动机之一。其强弱与外界刺激的新奇性与复杂性密切相关，刺激愈复杂愈新奇，则个体的好奇心便愈强。
好奇心的产生和培养与环境刺激密切相关。丰富多彩的环境是激发和培养好奇心的必要条件，而单调、枯燥的环境则会抑制和扼杀学生的好奇心，所以创设适宜环境（包括自然环境、问题情境、情绪气氛）对培养学生的好奇心极为重要。其正确引导和培养应注意以下几点：
（1）选择适宜的环境刺激
人类周围的环境刺激是丰富多彩的。当世界上千姿百态的事物具体地展现在学生面前时，要让他们亲自去看看、听听、闻闻、尝尝，以至摸、掰、拆等摆弄一番。这实际上就是孩子探索他们生活中奥秘的过程。对于幼儿，可以让他们看色彩鲜艳的或者能活动、能发声的玩具，如各种娃娃、带动力的小汽车、飞机及小铃裆、玩具乐器等等，从一开始认识世界就丰富他们的眼界。对于小学生，可以让他们玩七巧板、骑小自行车、荡室外秋千、坐跷跷板，以及看各种小人书。在节假日还可以带他们去看电影、戏剧，参观学生活动中心。动物园、博物馆等。从而增长其见识；认识到周围世界之博之大。教师和家长应正确引导学生去观察、去思考、去探索，以激发他的好奇心和求知欲，逐渐培养学习兴趣。特别是大自然中的花草树木、鸟兽虫鱼、青山绿水等都充满了知识的奥秘，对学生有无穷的吸引力，可利用散步机会引导孩子认识大自然。
在数学教育中选择适宜的环境刺激主要是教育观念问题。因为数学教育的主要载体是问题——现实问题和经过处理的数学问题。问题是好奇的心脏，只要数学教育工作者把激发孩子的好奇心作为数学教育的追求，选择适宜的环境刺激的空间是巨大的。例如三角形内角和定理，只要教师少作一些分析，学生的好奇心便能激发出来，其思路的多样性远远超出我们的想象。
（2）充分利用故事的魅力
故事是用口语化的艺术语言来表达的，它有内容，有情节，形象生动，孩子们一般都非常喜欢听。故事不但能丰富学生的知识，扩展孩子的视野，而且还能起到增强注意力、丰富想象力，从而激发好奇心的作用。如一位父亲将图书的内容编成故事讲给孩子听。然后告诉他：“你要是认识字的话，就可以自己编故事了。”借以激发孩子学认字的欲望。有位教育家建议；当孩子刚满6个月，可以坐在大人膝盖上的时候，就应当给他读小人书或根据书、画讲故事给他听，这种抚爱和温馨的气氛能培养孩子对书籍的感情。
中小学数学中的故事是很多的，而且更多的是经典故事，这些故事对学生的影响是极大的，如果数学教师不失时机地讲讲这些故事，往往会收到意想不到的效果。
（3）让孩子自己寻找答案
学生对周围事物和现象感到新奇，什么都想知道，成人要有意识地启发他们积极思考，寻找答案。积极鼓励自好奇心引起的各种探索活动。要经常注意学生提出的不寻常的问题和有价值的想法，抓住时机进行启发诱导，从而在日常生活中既教育了孩子又培养了其好奇心与求知欲。如，一个孩子玩滚铁环的游戏，突然发现：“直着滚比绕着弯滚早到终点，”然后提出：“这是为什么？”这时，老师就拿着尺子和孩子一起量了直线的长度，再量曲线的长度，使孩子明白：两点之间，直线距离最短！有的孩子会立刻悟道：“老师，我到学校应该走那条直道，而不应该绕弯走附近那条道，因为那条不是直线，自然要绕远了。”老师应及时表扬、鼓励孩子的积极思维。而在孩子想知道又不十分明确，想说又说不清楚时，要及时、耐心，热情地启发孩子，回答孩子的疑问，这样就不但满足、强化和鼓励了孩子的求知欲，也使他们在自己的活动中学习了知识，增长了才干。任何厌烦、搪塞和斥责的态度，都会扼杀学生的求知欲和创造精神，教师和家长一定要认识到学生认识世界过程中的特点和“亮点”，善于捕捉机会，利用时机，对孩子的认识施以正确、科学的引导。
令人遗憾的是，在中小学数学教育的现实中，告诉学生答案已经司空见惯，让孩子自己寻找答案总是不能成为数学教师的自觉。如果说我们的学生在中小学没有得到充分的发展，我们数学教师应承担很大的责任。
（4）提供学生动脑、动手的机会
根据孩子模仿性强、爱动的特点，可以让他们充分利用手边的工具。充分运用各种感官，自己观察，自己动手操作，让孩子体验到一种自我成就感和乐趣。如，通过小实验和日常观察等活动，让学生自己去获取知识；还可让学生自由制作简单的玩具，自己设计一种游戏等。他们对于自己动脑想出来的东西，自己动手做出来的东西，有一种偏爱和特殊的兴趣，因而类似活动有利于激发起他们强烈的求知欲，从而逐渐培养起学习兴趣。
有一位经验丰富的数学教师，她在讲圆周率之前。常先让学生自己动手去量大小圆周的直径和周长，然后再分别用周长除以直径，这样就让学生自己发现所有圆周长和直径的比都是3.1416，这样学生的兴趣油然而生，在憧憬的气氛里既学到了知识，又培养了能力。
（5）绝对不能挫伤学生好问的积极性
学生对什么都感兴趣。有着强烈的探索精神。如，常会提问“鸟儿为什么会飞？”“鱼儿怎么呆在水里”一类的问题，而且喜欢追根溯源。而有的家长却往往以“没时间和你说这些”、“以后你就会明白了”等敷衍、塞责的话回应孩子，这恰恰扼制了孩子的好奇心。家长应认识到，好奇是孩子认识世界，实现社会化的起点，如果不予以支持和鼓励，将会挫伤其积极性。为使学生的好奇心得到满足和正确引导，家长和教师应看到自己的不足，并切实改正。
三、问题是好奇的心脏，好奇是问题母亲
强化问题意识，是造就充满好奇的创新人才的关键之一。好奇始于“问题”，好奇导致创新。有了好奇，就会提出新问题，或者从新的角度去思考老问题，往往导致新的发现与突破，标志着科学的真正进展。
“问题”产生于“好奇”与“质疑”。“问题”是主体对外界信息的感知与应答。“问题”有助于摆脱思维的滞涩与定势，有助于激活想象力和创造力。
“问题”大致可以分为三类：呈现型、发现型和创造型。要形成一个真正具有科学价值的问题，需要多种条件和多方面的努力。
“流言止于智者”是一幸事，“问题”止于智者则令人遗憾。要造就创新人才，更新传统的以“释疑、解惑”为使命的教师观势在必行。
现在的问题是，如何将新的教育观、人才观、质量观付诸实施，进而引起教学观念更新和教学方法的变革，使教育真正成为赏识和培养创造性才能的场所。强化问题意识，是造就创新人才的关键之一。而如何使学生保持强烈的好奇心和求异精神，并将其引向真正的科学创新行动，应当成为变革现存教育教学模式的一个切入点。
1、好奇始于“问题”
一部科学发展史，就是对奥秘的探索与对问题的解答的历史。牛顿发现万有引力，始于他在苹果树下的好奇与思索：“为什么苹果从树上掉下来，而不飞到天上去？”正是注意到知识与问题之间的关系，胡适在1932年6月为北大毕业生开的三味“防身药方”中，第一味就是“问题丹”。他说：“问题是知识学问的老祖宗；古往今来一切知识的产生与积聚，都是因为要解答问题。”“试想伽里略和牛顿有多少藏书？有多少仪器？他们不过是有问题而已。有了问题而后他们自会造出仪器来解答他们的问题。没有问题的人们，关在图书馆里也不会用书，锁在试验室里也不会有什么发现。”而“脑子里没有问题之日，就是你的知识生活寿终正寝之时！”
2、“问题”产生于“好奇”
强烈的好奇心会增强人们对外界信息的敏感性，对新出现的情况和新发生的变化及时作出反应，发现问题，并追根寻源，激发思考，引起探索欲望，开始创新活动。
许多看似偶然的发现其实都隐含着一种必然：发现者必然具有强烈的好奇心理。缺乏好奇心，必然对外界的信息反应迟钝，对诸多有意义的现象熟视无睹，对问题无动于衷，更枉论创造与发明。爱因斯坦有一句名言：“我并没有什么特殊的才能，我只不过是喜欢寻根问底地追究问题罢了。”这段话一语道破了创新和发现的真谛：好奇心理、问题意识以及锲而不舍的探求，是科学研究获得成功的前提。
3、“问题”的分类与价值
美国芝加哥大学心理学教授J·W·盖泽尔斯曾经把“问题”大致分为三类：
其一，呈现型问题。它们是一些给定的问题（由教师或由教科书提出），答案往往是现成的，求解的思路也是现成的。问题解决者只要“按图索骥”，照章办事，就能获得与标准答案相同的结果，“不需要也无机会去想象或创造”。
其二，发现型问题。它们有的也有已知的答案，但问题是由学生自己提出或自己发现，而不是由教师或教科书给定的。
其三，创造型问题。这类问题是人们从未提出过的。例如，那个困扰、折磨了爱因斯坦十多年的问题：“如果我以光速C和光线一道运动，我是不是将观察到光线仍是静止在空间的振动着的电磁波呢？”这一问题本身就具有科学创新价值，就是对牛顿以来经典物理学的一种突破。
以上三种“问题”是不等价的。有人干脆将“呈现性问题”称为“虚假的问题”，因为第一，它们并非学生主动参与的产物；第二，它们往往追求“唯一正确的答案”，因而总是压抑求异、质疑的精神，妨碍创造性的发挥。“创造性的问题”因其独特、新颖而且富有科学意义而弥足珍贵。我们所说的“强化问题意识”，主要是让学生自由探讨，积极思维，大胆提出问题，揭示问题。这种质疑和探索并非每一次都能有所发现，有所创造，有所前进；大量的“发现型问题”，也只有为数不多者能够产生有科学价值的创见。因此有人称之为“智力探险”。实际上，“智力探险”的意义主要不在于寻得正确的解答，而在于激发学生对问题、现象保持一种敏感性和好奇心，通过批判性思维，形成自己的独立见解。正是着眼于这一目标和价值取向，有人主张教育应在系统的学习和有意识的研究探索之间“寻求平衡”，主张把学生“置于问题的情景中，让他们自己去想办法”；而这种“智力的探险”“即便不能导致积极的结果，也应受到重视，并得到系统的支持”。
5、不让“问题止于智者”
传统的以“传道、授业、释疑、解惑”为宗旨的教师观，显然难以适应以造就高素质创新人才为重任的21世纪的教育。“流言止于智者”是一大幸事；而“问题（思索）止于智者”则不但令人遗憾，而且事关国家、民族、社会大局。不幸的是，“问题（思索）止于教师”却成为中小学校的常态。当前亟待明确以下一些新的理念——
（1）不仅要“释疑、解惑”，而且要启思、设疑，引而不发。
作为教师，确实要解答学生的疑难，指导他们认识并消除学业上、人生道路上碰到的困惑，但不能越俎代庖，替代学生自己的思考。而且，“释疑、解惑”并非是将疑惑全部“冰释”，而要引导学生在明了旧疑的基础上思考新的、更深层次的问题，有时甚至要“设疑”。
（2）决不掩饰自己在某些问题上的失察甚至无知。
教师决不可能通晓一切。尤其在信息社会到来的今天，教师再也不可能像古代和近代社会那样，垄断知识和信息。在学生面前坦率地承认自己的不足，与学生共同研讨和思考，应当是21世纪师生关系的聪慧选择。采取平等、开放、诚实的态度，对于增强年轻人的自信心，对于形成激励思考、勇于创新、不怕出错和露短的氛围大有好处。
创新人才的产生，需要十分自由、宽松地探究问题的环境。鼓励大胆质疑，让每一个学生都认识到，即使他们的问题看起来荒诞可笑，或者远离现实，也值得表达、研讨，与他人分享。有人将之称为“去除思想的车闸”。因为如果要求“问题”都有创意或者都很成熟才能发表、交流，那就等于在事实上取消提问、质疑。
不因似是而非的回答遏止了学生的好奇创新冲动。
教师由于经验丰富，涉猎较广，而且善于表达，有时在解答学生的问题时，往往会十分“圆润”、“妥贴”地将学生的疑虑化解，其实并未真正解决问题。学生出于对教师的崇拜，在这种似是而非的回答面前，往往中止了进一步的思考和探究，一些颇有价值的问题就此被束之高阁。教师一定要尊重并认真思考学生的提问，不能让“问题（思考）”止于自己。

我们知道，数学是问题构成的世界，学生正是在认识问题、分析问题、解决问题的过程中发展自己的。问题是好奇的心脏，好奇是问题母亲。好奇是创造性人才的重要素质，因此，我们说，好奇是数学教育的宝贵财富。

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怎样提高运算能力  

　
　  





怎样提高运算能力


摘要：运算能力是指对记忆能力、计算能力、观察能力、理解能力、联想能力、表述能力、逻辑思维能力等数学能力的统称。

关键词：运算能力


    运算能力是指对记忆能力、计算能力、观察能力、理解能力、联想能力、表述能力、逻辑思维能力等数学能力的统称。目前，职业高中的学生运算能力是很差的，不少职高老师埋怨：“学生的计算能力太差了，连简单的运算都过不了关，甚至数学基础好的学生的运算结果也经常出错。”这种状况出现的原因是多方面的。有的学生不对简单的公式、公理、定理进行记忆、理解，不明算理，机械地照搬公式，不能进行灵活运用；有的学生不注意观察、不进行联想、不进行比较，不顾运算结果，盲目推演，缺乏合理选择简捷运算途径的意识；也有的学生对提高运算能力缺乏足够的重视，他们总是把“粗心”、“马虎”作为借口；也有相当多的老师只着重解题方法和思路的引导，而忽视对解题思路的归纳总结。这样不仅影响了学生思维能力的发展，也必然影响教学质量的提高。本文就如何提高职高学生的运算能力，从以下几个方面谈谈自己的粗浅看法。
一、灵活运用公式，举一反三，提高学生的计算能力
在职业高中阶段，许多专业的学习都经常用到简单的数值运算，但数值运算恰恰是职高学生的薄弱之处，他们的数值运算能力很差。其实，只要我们教师能进行恰当的引导，灵活运用公式，举一反三，也能提高学生的运算能力。举个例子来说：计算出现76的平方，很多同学只会用竖式相乘求出结果。其实，两位数的平方可以用完全平方公式求解。在初中，我们学过完全平方公式，许多职高学生能默出公式，但讲到灵活运用这些公式则显得很不够。我告诉他们：把7看成a，6看成b，那么76的平方可以用如下的方法求解：

上式中的4、8、3都是产生的进位，分别与其高位的数相加即可。同学们听了兴趣盎然。我又出了一个同样问题： 。很快就有不少同学用我刚才的方法计算出来了： 。显然，用完全平方公式能更快地求出结果。这个公式中并没有深奥的理论知识，关键是我们在平时是否进行了恰当的运用，是否将这个公式的实质传授给了学生，让他们理解，并能进行灵活运用而已。又如初中学习的平方差公式，在职业高中的学习阶段经常用到，但同学们就是不会用（不去用）。计算 的值，许多同学是先计算出每个数的平方，再计算出差的结果。其实，用平方差公式很快便能结果：

初、高中有许多数学公式，能够简化计算，只要我们教师恰当地引导学生，经常运用这些公式，就能提高学生的计算能力，这里我就不一一枚举了。
二、注意观察，合理联想，善用比较意识，有助于运算能力的提高
许多职业学校教师认为：职业学校的学生初中阶段的学习很不扎实，基本知识和基本方法掌握不牢固，应牢记一些固定的知识和方法，并要求他们运用这些知识或方法去解决问题。诚然，固定的思维方法在运算中有积极的一面，但也有消极的影响。当学生掌握了某一种知识（方法）后，遇到问题时往往习惯用类似的旧知识（方法）去解决问题，久而久之，必然会出现思维的惰性，缺乏多方位、多角度思考问题的意识，不利于运算速度的提高。更何况，职业学校的学生本身就思维活跃，只想寻求更简单而快速的运算方法，以便有更多的时间去做其他的事情。因此，固定的思维方法会影响学生运算的速度，使运算过程繁冗不堪，并因此而使学生厌恶对数学的学习。我在教学中就经常引导学生对问题进行多方位、多角度思考，努力培养他们的观察能力、联想能力、比较意识，寻求问题的最佳解决途径。
例如：直线斜率为1，且与圆 相交所得弦长为8，求直线方程。
大部分的学生一开始就会用弦长公式和韦达定理来解，即设所求直线方程为y=x+b，将直线方程代入圆方程得： ；利用 “弦长= ”来求。这种方法固然可以求出直线方程，但运算运算过程繁冗不堪，不利于学生运算能力的提高。
在上题中，我除了用上述方法讲解外，还提出了问题：有没有人能用更快、更简单的方法求出解？在思索中，我提示了这样线索：圆心到弦的距离、弦长（弦长的一半）、半径三者有什么关系？进而我要求学生用这种方法进行了求解：设所求直线方程为y=x+b，则由点到直线距离公式和上面三者的关系有  ，即 ，推出 。
讲述了这种方法后，我将这种方法和前面的方法进行比较，并指出这种方法的运算速度要快很多。比较意识是解决问题的一个重要方向。解题时往往解决问题的途径很多，这就要求我们善于选优而从。有的学生缺乏比较意识，做题时往往找到一种方法就抱着死做下去，即使繁冗，也不在乎，认为做对就行了。老师在讲评试题时，往往容易忽略多种解法当中简捷方法的优先性，这就要求我们教师平时要进行知识积累和创新，并将这种创新的思想传授给学生，让学生对某个问题的多种解法进行比较，找到其最优的解法。
三、经常总结规律，提高运算能力
    运算能力既不能离开具体的数学知识而孤立存在，也不能离开其他能力而独立发展，运算能力是和记忆能力、观察能力、理解能力、联想能力、表述能力等互相渗透的，它也和逻辑思维能力等数学能力相互支持着。因而提高运算能力的问题，是一个综合问题，在教学过程中，只有经常总结规律，不断引导，逐渐积累，才能提高运算能力。
例如：在圆锥曲线中，有许多需要利用定义解题的问题，我就对学生提出要求：①理解定义；②观察圆锥曲线的几何特性；③归纳这类问题的基本解题思路和方法，总结规律，提高运算能力。就此，我设计了这样一些问题，并进行了实战演习：⑴已知△ABC顶点A、B坐标分别为(0,5)、(0,-5)，周长为24，求顶点C的轨迹方程；⑵动圆与两圆 和 都相切，求动圆圆心的轨迹方程；⑶若A点为(3,2)，F为抛物线 的焦点，点P为抛物线上任意一点，求PF+PA的最小值及取得最小值时的P的坐标；⑷P与定点A(-1,0)、B(1,0)的连线的斜率的积为-1，求动点P的轨迹方程；⑸点M到F(3,0)的距离比它到直线x+4=0的距离小1，求点M的轨迹方程。
同学们进行了近20分钟的演算，才有一位同学做完。又过了几分钟后，我对这些问题进行了归纳总结，指出它们的解题的根本思路：①理解圆锥曲线定义；②观察圆锥曲线的几何特性；③利用定义解题。通过归纳总结，同学们对这类问题的运算能力有了很大的提高。
逻辑运算能力也是运算能力的一部分，恰当地运用逻辑运算能力能够对是非题进行准确的判断。例如：在下列等式中

成立的共有（    ）
A、1个       B、2个     C、3个       D、4个
上题中⑴与⑵矛盾，而⑵与⑶属同一问题，又⑴与⑹也属同一问题，⑷与⑸矛盾，故上述问题中正确的等式只能是3或4个。而⑴正确，故⑹正确，从而有正确的命题数为3个。当然此问题也可直接由等式判断而得。 由此可知，恰当地运用逻辑运算能力能够提高学生的运算能力。
运算能力不是一朝一夕就能培养形成的，而是一个长期和连续的过程，小学、初中、高中（职业高中）三个阶段都要持续培养。同时，学生的运算能力也不仅只是数学教师的职责，同时也是各理工科教师的职责。因此，我们高中（职业高中）的各理工科教师都应重视学生运算能力的培养。运算能力的初步形成后，还必须在今后应用中得到巩固、发展和深化,才能逐步提高。

真诚天下

小学数学动手操作发展思维课题  

　
　  




一、实验课题
    动手操作，发展思维，提高课堂教学质量
  二、课题的提出
    1?动手操作是解决数学学科的抽象性与学生以具体形象思维为主的认识水平的矛盾的重要手段。数学是一门抽象的学科，任何一个数学概念、法则、公式的产生，都离不开抽象概括、逻辑推理的思维方法，而小学生的认识是处于由直观形象思维向抽象逻辑思维过渡的阶段，在很大程度上是依靠动作进行思维，靠直观感知获取知识。因此，要解决学科性质与学生认识水平的矛盾，教学时，组织学生进行操作活动，促使学生动手、动眼、动脑、动口多种感官参加，相互配合，提高感知效果，为学生从感性认识上升到理性认识打下坚实的基础。
   2?改变学生被动听课的情况。传统的教学，往往是教师讲学生听，即使使用教具，也是老师演示学生看，这对低年级学生来说，教学的直观性和学生的自觉主动的精神，都在一定程度上受到限制，不利于最大限度地调动学生运用多种感官同时参加学习的积极性，不能很好体现“学生是学习的主体”根据我校教学实际，要改变学生被动听课的状况，最好的办法就是加强操作活动。
   3?帮助理解并掌握数学知识。小学生学习数学知识的操作活动，一方面是手与眼的协调 活动，对数学材料的动态感知过程，另一方面是手与脑的密切沟通，对把外部活动系列转化为内部隐性语言形态的智力内化方式。操作时，儿童把外显的动作过程与内部思维活动和谐地结合在一起，这时处于形象思维向抽象思维过渡阶段的小学生，理解并掌握数学知识是很有必要的。
   4?根据九年义务教育大纲的要求，学生在学习过程中，要做到“手、脑”并重，既发展学生的思维，又培养实践操作能力。
   三、指导思想
教育要与社会发展相适应。数学是学习现代科学技术不可少的基础和工具。小学数学是九年义务教育小学阶段的重要课程。从小给学生打好数学的初步基础，发展思维能力，培养学习数学兴趣，养成良好的学习习惯，增强学生的实践能力，培养学生创新的意识和创新精神，为全面贯彻教育方针，提高民族的综合素质而努力。
   四、实验假设
通过操作活动，让每个学生通过多种感官参与学习，从而激发学习数学兴趣，调动学生学习主动性和积极性，使学生对抽象数学知识能理解和掌握，发展学生逻辑思维能力，培养学生的实践能力和创新精神，大面积提高数学课堂教学质量。
   五、理论依据
心理学研究认为，在数学教学中，让儿童动手操作，是符合儿童思维认识过程的，即从形象思维向推行思维逐步过渡的发展过程。
教育学研究认为，在数学教学中，让儿童动手操作学具或通过折折画画等动手的活动，可以帮助儿童获得直接感性认识，再经过手脑并用，便可建立起清晰鲜明的表象，进而培养儿童抽象思维能力和空间观念。
   生理学研究认为，人的大脑结构功能，在于不同脑区域能动地联系起来的功能系统的协调活动。如果片面地利用某个大脑半球，会使另一个半球受到抑制，当驱动抽象思维活动的左半球负担过重，而驱动抽象思维活动在右半球却负担不足时，就会造成思维缺乏，神经过渡紧张，人的个性的和谐发展，将会受到损害。而在数学教学中，让儿童动手操作，是有利于大脑功能系统协调活动的。
   六、实验目标
   1?通过实验操作活动，让学生手、口、脑、眼、耳等多种感官并用，协同作战，使学生实践能力、思维能力、语言表达能力，创造能力得到培养，综合素质得到提高。
   2?创设善于研究、乐于实践，敢于探索的实验氛围，培养一批业务精湛，具有较强的研究能力的科研教师。
   3?通过课题实验研究，获得较好的实验效果，为我校“科研兴校”的宏伟目标的实现添砖加瓦。
   七、实验措施
   1?端正教育思想，加强理论学习
认真组织实验教师学习教育学、心理学和现代教育科学理论，学习报刊上有关文章，每位教师有一定的数量的学习笔记，定期交流。用理论指导实验，保证实验的方向性和科学性。
   2?深入钻研教材，合理安排操作课。
  (1)结合教材，根据学生实际，确定操作内容。
  如：建立某些“起始概念”区别某些易混易错的数学知识，几体形体的认识空间观念的建立；推导抽象的法则和公式；较难理解或离学生生活较远的数学知识。
  (2)指导学生有目的、有程序地操作。
   课前让学生准备好要用的学具，设计好操作步骤，以及引导学生观察和思考的问题，操作中，要让学生明确操作目的，知道通过操作要解决什么问题，克服操作的盲目性和随意性。
  (3)要把操作、思维和语言表达有机结合。
  心理学家认为，儿童思维发展的过程是内部的外部活动逐步内化的过程。教学时，要鼓励学生复述操作过程，通过语言展示学生思维过程，指导学生正确思维。
  (4)操作学具要做到适时、适量、适度。
  适时，就是要注意把握操作契机；适量，是指学具操作不可滥用，不要搞的琳琅满目，多多益善；适度，是指学生的感性认识，达到一定程度时，应使学生在丰富表象的基础上及时抽象。
   3?加强课堂教学研究，及时改进教学方法。
   将此实验纳入“练五功”活动中，要形成“教研组——备课组——实验教师”的实验网络，组织教师“讲五课”活动，即备课、说课、讲课、评课、写课。总结经验，吸取教训，及时改进教学。
   4?建立实验档案，注意资料积累，认真总结经验。
    实验过程中，注意收集学生操作能力测试的数据，实验教师的优秀教案，精彩片断、数据实录等资料，每学期要求每个实验教师撰写1—2篇经验论文，学期结束时，实验小组要对实验情况进行一次全面总结，回顾成绩，找出存在问题，提出深化意识。
   5?设置组织机构。
      (1)专家指导小组
      (2)成立课题领导小组。
      (3)课题组成员。
   八、实验过程
    1?第一阶段：探索阶段。先确定两名教师为主要实验先行者，确立实验内容，操作教具、学具，操作程序，大胆实践，每学期给他们提供学习机会，“走出去，请进来”，让他们出去到外地观摩学习，聘请专家到我校亲临指导。实验教师每学期至少要上两次研讨课。
     2?第二阶段：推广阶段。实行一点带面，学科带头人把实验经验向其他教师渗透，形成典型引路，全面开花的良好局面。人人投入到改革的热情之中，互帮互学，做到人人有专题，人人有总结，人人有提高。
     3?第三阶段：升华阶段。实验教师总结实验经验，向市、省级推广，推荐优秀者参加省、市组织的观摩会上研究课、示范课、优质课，把他们的经验论文向省、市参加评选。
九、实验结果
     小学数学动手操作发展思维实验是湖北省教研室主抓的课题项目，曾得到华师大教授的认定，在省教研室、市教研室的指导下，经过多年的艰苦实验，培养了一批业务精湛的实验教师。通过实验，教师们注意培养学生的自学能力、动手操作能力、思维能力和分析解决问题的能力，重视学生非智力因素的培养。1994年，“湖北省动手操作发展思维专题研讨会”在我校召开，我校一名教师代表襄樊市作观摩课《认识厘米、用厘米量》，受到了与会专家、代表的高度评价，专家们听了我校的实验材料汇报，看到学生们课堂上的表现，评价我校此项课题实验确实大有成效，并提议向整个襄樊市各类小学进行推广。这位教师主讲的教案被省专家当场选中，后来发表在湖北教育出版社出版的《优秀教案集》上，论文《大胆放手，适时留白》发表于国家级刊物《小学数学教师》上。近两年，我校青年教师张朝辉把电脑辅助教学与学生动手操作实验有机联系起来，取得了实验新突破，他所讲的优质课获市一等奖，罗龙英老师的优质课获二等奖。有一位教师的CAI优秀课件设计获市级一等奖，三位教师的CAI课件设计获市级二等奖。
     教学改革实验给数学教学带来了生机与活力，教师们在丰富的实验探索过程中，磨炼了教学基本功，增强了教学科研能力，提高了实施素质教育的理性认识。涌现了一批乐于奉献、敢于实践、勇于创新的骨干教师，课题组有1人参加了骨干教师国家级培训，有1人参加省级培训，课题组成员中十余名教师的30余篇论文分别在全国、省、市级论文评选中获奖或发表，讲授的优质课分别获市级、省级一、二、三等奖，在2000年全市基本功大比武、大使兵活动中实验教师耿霜获一等奖，在2001年全市首届电教课评比活动中，杨志勇老师讲授的  《三角形面积的计算》一课获一等奖的好成绩。
    十、实验中存在的困难
    教师的理论知识和科研素质有待提高，班额过大，数学教师所带课头课时太多负担过重，没有多余的时间和精力投入教学研究。学生的操作与思维的切入点衔接不够恰当，如何把直观操作形成的表象有效过渡到抽象的数学概念法则、公式，达到由直观感知到理性认识的飞跃还有待解决。
     十一、结论
    十几年的教研探索，证明进行该项实验切实可行，能够激发学生学习热情，充分调动学生主动性、积极性和创造性，培养学生的动手实践能力、思维能力和创新精神，大面积提高课堂教学效率，验证了实验假设是正确的。
   附：实验对比数据材料
   实验四年后，于1997年12月曾对四年级做了全面测试，包括动手操作能力、语言表达能力、分析问题和解决问题的能力、计算能力、期末教育成绩等方面，测试结果如下表：
等级人数班级〖〗优〖〗良〖〗中〖〗差〖〗总人数实验班〖〗34〖〗8〖〗5〖〗3〖〗50对比班〖〗6〖〗16〖〗8〖〗20〖〗50  

真诚天下

浅谈数学教学中如何突出主体  

　
　  




托尔斯泰说过：“成功的教学所需要的不是强制，而是激发学生的兴趣。”因此教学过程的最根本就是培养学生积极主动参与学习的意识，使他们学会学习，成为学习的真正主人。在实际的课堂教学中，如何才能突出学生的主体地位，引导学生主动参与是衡量教学成功与否的重要标志，也是反映素质教育主体性原则的具体表现之一。下面就这个问题谈一些自己的做法和体会。
     一、创设教学情境，提供主动参与学习的空间
     学生是学习的主体，教师在教学中应寻找调动学习主动性、积极性和创造性的最佳途径，让全体学生参与到学习中去，突出学生的主体地位。让学生有动脑思考、动手操作、动笔尝试、动口表达、提出问题和解决问题的时间和空间，使其外部活动逐渐内化为自身内部的智力活动，从而获取知识，发展智力，培养能力。课堂上要重视直观操作，让学生在“活动”中参与。动手操作的过程是一个手、脑并用的过程，是培养技能、技巧，促进思维发展的一种有效手段。利用教具、学具操作为学生提供参与的机会，学生不仅眼看、手动、口讲、脑想多种感官协同活动，在活动中把学生推向主体地位。我在课堂教学尽可能地开展“说一说”、“摆一摆”、“做一做”、“比一比”、“量一量”、“画一画”、“折一折”、“叠一叠”……尽量满足学生的心理需求，创造条件让学生有参与的时间和空间。如，教“环形面积的计算” 时，我让每个学生在课前准备好的硬纸板上画一个半径为10厘米的圆，剪下并计算其面积，再让学生在剪下的圆上画一个半径为3厘米的同心圆，剪下并计算其面积，通过直观感知，使学生知道剩下的就是环形，学生在实践操作中很快算出环形面积，并悟出环形面积公式：S（环）=S（大圆）-S（小圆）的道理，享受成功的喜悦。
     二、激发学习兴趣，诱导主动学习的欲望
     “兴趣是思维的动力”、“兴趣是最好的老师”。当学生对某件事物发生兴趣时，注意力就十分集中，求知欲就空前旺盛，思维就非常敏捷、灵活。心理学家布鲁纳认为：学习是主动的过程，对学生学习内因的最好激发是对所学材料的兴趣，即主要是来自学习活动本身的内在动机，这是直接推动学生主动学习的心理动机。所以在教学中，我经常设置悬念，激发学生求知欲望；巧提问题，促进思维发展；操作训练，提供实践机会，体验成功的喜悦；把抽象的数学概念形象化，把静态的数学知识动态化。以此激发学生的求知欲和学习兴趣，作为深化课堂教学的突破口，从而引导学生参与学习的全过程。如，教学比例尺这个内容时，我先设问：“在一张纸上能绘出中国行政区划图吗？大家想知道怎么绘吗？”在这种情境下，全班学生马上就产生了跃跃欲试的心态，有了这种欲望，就会全身心地投入到学习中，积极主动地探究、研讨。
     三、教给学习方法，引导学生主动学习
     联合国教科文组织发表的《学会生存》一书中指出：未来的文盲不再是一字不识的人，而是没有学会学习的人。”“学会如何学习”、“学会生存”已是21世纪人们所必备的基本素质。目前学生所面对的未来，是科技、人才竞争的时代，不会学习的人就要被现代信息社会所淘汰、从学生的未来着眼，我们今天的“教”要为明天的“不教”而努力。因此，在教会的同时，必须让学生“会学”，让学生掌握一定的学习方法，使之成为学习的主人。我们应当重视学法的研究、学法的指导、学会思考、学会实验、学会自学、学会质疑问难、学会提问题……爱因斯坦说过：提出一个问题比解决一个问题更重要。学生能发现问题，提问题是学生主动参与的表现，是积极思维的结果。为此，在教学中，我千方百计地为学生创设提问的机会，让学生总结学法。
     如，教三角形面积公式，课前让学生带来许许多多的三角形，有实物的、有图片的……教师先指导学生用剪刀把三角形割、补、拼，把它转化成已学过的图形，找出三角形与其他图形的联系，引导学生打破原有的思维定势，从不同的角度，用不同的方法推出三角形的面积公式，学生掌握这种方法，再去学习梯形、圆形面积就会得心应手，主动学习的能力就会大大提高。
     四、提供讨论、训练机会，培养学生主动学习的意识
在课堂教学中适时恰当地把握时机，选择有讨论价值的内容，组织学生讨论，既发扬了民主又为学生自主学习创造了机会。人人参与，个个发言，各抒己见，互相启发，取长补短，活跃了课堂气氛，形成了教师与学生、学生与学生广泛的信息交流，有效地促进学生知识的发展和能力的提高。当某一种新概念刚刚引入时，学生对概念的认识往往停留在感性认识阶段，还比较肤浅，需要进一步剖析，这时教师有意识地组织学生讨论、质疑，弄清概念的本质属性。如，梯形概念的引入后，我就提出：“这里‘只’字去掉行吗？‘四边形’不要行吗？”“为什么？”让学生讨论，有的说：“只”字去掉，变成有一组对边平行的四边形是梯形，那么长方形、正方形也有一组对边平行，但它不是梯形；有的说：若是“四边形”去掉，就变成只有一组对边平行的图形是梯形，而图形有的是五边形，有的是六边形……它们有的也只有一组对边平行，难道五边形、六边形也是梯形吗？不是。于是通过讨论形成了共识，梯形概念中的“只”字和“四边形”都不能改变或去掉，使概念更准确、清晰。在课堂教学中，练习和复习要占有一定份量，它是课堂教学的重要组成部分，是教学活动必不可少的重要环节，练习和复习要依纲扣本，围绕教学目标，要有针对性和思考性，使之服务于教学，只有这样才能收到良好的效果。如在学习“真分数与假分数”的意义时，课将结束时，学生认为已经掌握了真分数、假分数的意义，思想开始松懈了，这时我提出：“a〖〗b是真分数，还是假分数？为什么？”学生思维立即被调动起来，经过一番紧张的思考后，有的说“是真分数”，有的说是“假分数”，我请大家说明理由后，形成共识：当a＜b时，a〖〗b是真分数，当a≥b，a〖〗b是假分数。我提出“还要注重a、b不能是什么数？”高潮再次掀起，学生探索不止，最后我予澄清。
     由于小学生自我意识的发展还不成熟，他门往往忽视自己内部心理活动，对自己思维的疏漏不加注意，我鼓励学生自我反馈，强化自查自评。如，教“倒数”时，有个学生回答说：“假分数的倒数都小于1。”这时我不作评价，而是追问：“为什么？”让大家想想，之后这位学生说“因为假分数的分子都大于分母，所以他们的倒数都小于1。”我接着追问：“假分数的分子都大于分母吗？”这位学生顿时醒悟了：“我讲得不完整，应该是假分数的倒数小于或等于1。“这样，通过教师长期地训练，学生主动学习的意识也逐步得以提高了。
    总之，教学是师生双边活动的过程。我们一定要坚持以教师为主导，学生为主体、主动学习为主线，让学生学会生存、学会学习、学会做人，真正把学生培养成为21世纪的建设者和接班人。
    中小学骨干教师省级培训结业论文让学生在主动学习中创新
    让学生在主动学习中创新

    在教学中对小学生创新精神的培养，主要是指激发学生的创造欲望、创新意识，形成有利于创造的求异思维和发散思维能力，并获取尝试创造的初步方法。主动学习是创新的基础，创新过程是主动学习的真实体现。
    1、营造创新氛围，细心呵护学生的好奇心。
    小学生具有强烈的的好奇心，对什么都感到新奇，对什么都要问个“为什么”?而好奇心是创造的起源。教学时若能给学生营造一个宽松、愉悦的学习环境，如教师微笑的面庞，亲切的话语，信任的目光，平等的角色使学生如沐春风，心情舒畅，学生便会有许许多多稀奇古怪的念头涌现，思路开阔，思维敏捷。教师加以鼓励、启发、诱导，细心呵护他们的好奇心，便会大大激发学生的求知欲望。
    2、鼓励学生敢想敢说，树立自信心。
    课堂上，教师要鼓励学生大胆发表意见，不怕说错。胆小、内向的孩子不利于创造、而勇敢、自信的性格是创造的重要条件。要让学生说自己所想到的，说自己所看到的，允许他们说错了可以自己纠正，说不完整还可以补充，允许他们提出质疑。
在教学中遇到学生提出一些意想不到的问题，教师应及时鼓励并大加赞赏。如我在教学加法、乘法的运算定律后，有学生问：“加法、乘法都有交换律、结合律，为什么除法没有呢?”我首先肯定学生问得好，并启发：“你能自己演算试一试吗?”学生通过一翻努力得出了其中的道理。学生由敢想到敢疑、敢说，发现了知识之间的联系，受到启发，形成新的观点，达到认识上的飞跃，同时，也锻炼了自己的胆量，树立了学习的自信心。
   3、大胆放手，展开思维空间，培养学生的创造性思维。
    著名教育家苏霍姆林斯基说过：“在人的心灵深处，都有一种根深蒂固的需要，就是希望感到自己是一个发现者、研究者、探索者，而在儿童的精神世界中，这种需要特点强烈。”因此，在教学中，要注重开发学生的思维空间，使学生在尽量大的空间范围去思考问题，发挥潜在的智能，表现自己的才能。如设计“给应用题提问题”的题目、“自编应用题”、“一题多解的题目”等。我在教学乘法的一些简便算法一课时，有一道题是25×16，大部分学生想到把其中的一个数拆成两个数要简便：
    (1)25×16＝5×(5×16)
      (2)25×16＝(25×4)×4
      (3)25×16＝(25×2)×8
     这时，有一位学生站起来说还有一种简便方法是：
25×16＝(5×4)×(5×4)
    对这位学生的新发现，我给予了充分肯定。这位同学也从中尝到了创造的乐趣和喜悦。长此以往，今后学生便会更加专心地钻研问题，花大力气进行创新。

真诚天下

贴近生活的小学数学教学  

　
　  




密切数学与现实世界的联系，将数学知识应用于实践，不仅可以发展学生思维素质，而且在学习和应用的过程中，使学生感到“数学有趣”、“数学合理”、“数学有用”，从而增强小学生学习数学的自信心，让小学生学会利用自己的生活经验去感受数学的合理性，达成数学学习与生活经验的和谐同步。在这方面，笔者有几点粗浅体会。
   一、联系生活实际设计恰当的数学教学——感受数学有趣
    1?摄取学生熟悉的现实中的素材创设情境，激发兴趣。
     在我们的生活中，到处都充满着数学，教师在教学中善于从学生的生活中搜集信息，抽象出数学问题，使学生感到数学就在自己身边，看得见，摸得着，就会对数学消除畏惧感、神秘感，而产生亲近感和浓厚的学习兴趣。
     例如：教学“角的初步认识”、“三角形、圆、长方形、正方形、平行四边形的认识”时，先出示平时见到的红领巾、扇子、扣子、七巧板、书本等实物，然后通过电脑画面，抽去实物，留下角、圆、三角形、长方形、正方形、平行四边形等几何图形，让学生发现这些几何图形就藏在我们的周围，从而激发了学生的学习热情。
    2?淡化抽象的算理复述，强化直接生活经验，领悟数学。
     在小学数学教学中，过分强调学生用规范的数学语言复述思考过程，进行所谓的“算理”式分析，而忽视学生已有的生活背景基础，反而会把学生带进“死相同”，使本来容易理解的知识，人为地复杂化，使学生感到数学枯燥无味，深不可测，产生厌学情绪。
     例如：在教学《两数相差多少的应用题》，有这样一道例题：
     饲养场养白兔12只，黑兔7只，白兔比黑兔多几只?
       学生回答：12－7＝5(只)
       有些教师反复强调学生说出算式中的12、7、5只表示的意思，并且非要这样叙述不可：12表示12只白兔，7表示与黑兔同样多的白兔7只；白兔有两部分组成，一部分是和黑兔同样多的7只；另一部分是比黑兔多的部分，从12只白兔里去掉与黑兔同样多的7只，就是比黑兔多的5只。……生硬地用这套严密的、抽象的语言分析题意、理解题目，失去的是解题能力，留下的是无效的、无味的空洞文字复述，这样教下去，学生越学越糊涂。在实际生活中，小学生对这一问题最直接最初的理解是：“白兔多一些，黑兔少一些，从12只里去掉7只，就是白兔比黑兔多的5只。”这样表述顺应小学生思路，适合小学生的经验基础，学生很容易接纳，并且觉得学得轻松。从儿童的生命经验和已有的知识背景出发，设计学生的富有情趣的数学教学活动，使学生有更多的机会从周围熟悉的事物中认识数学、学习数学和理解数学，体会到数学与自然及人类社会密切联系，体会数学的价值，体会到学习数学的乐趣。
    二、利用生活经验检测数学学习——感受数学合理
      数学来源于实践，在获得对现实的数学认识并总结到数学原理或规律后，还必须回复到现实生活中去，在某种程度上进行检验。这既是检验原理、规律可靠性的过程。也是数学应用的过程，并且是保持数学生气勃勃和有效性的必要条件。
      例如：在学过“比多比少应用题”后，我出了一道题：“爸爸今年33岁，比儿子大10岁，儿子今年几岁?”
      有位学生说：33+10=43岁
      师问：你为什么这样解答?(生：因为大10岁就加上10岁，所以就是43岁。)
         大部分学生回答：不符合实际。
       教师肯定大部分学生用生活验证的作法。指出要形成自觉从生活经验角度去检测数学学习的结论，使学生感悟到数学的合理性。
     三、应用数学知识解决实际问题——感受数学有用
      1?开设数学实践课，创造应用环境。
     在课堂教学中结合学科活动，强调数学与现实生活的联系，开设生活数学实践课，是培养运用数学知识解决实际问题的能力的重要保证和有效途径。例如，在教学“面积和面积单位”后，安排学生用面积单位测量书本、课桌、教室地面、自家客厅的地面面积，让学生把在学校学到的知识，及时运用到实际中去，使学生感到学习数学知识的确有好处，同时又能诱发要解决实际问题，还需探索更加丰富的知识，感到身边的许多实际问题有待解决，从而增强继续学习的主动性和积极性。
     2?开展数学交流活动，营造应用氛围。
    把课堂所学的知识通过精心组织的数学交流活动，化进实际中，应用于生活中。例如：在教学“认识图形”后，开展了“看谁拼图形最巧妙”活动；在教学“简单的数据整理与统计”后，开展“学生优秀统计员”活动；在教学“元、角、分的认识”后，开展了“学做售货员”活动；在教学“平面图形面积计算”和“土地面积单位”知识后，开展“农田计算员”活动等等。通过这些活动，让学生体会到数学遍及生活的各个角落，应用在生活中的各个行业，体会到数学的实用性。同时领悟到只有具备扎实的数学知识和应用知识解决问题的能力，才能更好地服务于社会。
    3?设计开放问题，培养学生应用的独创性。
    练习设计上，注重开放题的设计，给学生留下广阔的空间，让学生补充问题、搜集条件、探索不同的答案，逐步培养学生应用数学解决实际问题的独创性。
    例如：一个长方形木板，锯掉一个角，还剩几个角?
      学生跃跃欲试，想出无数种答案(1个、2个、3个、4个、5个、6个……)
      设计贴近学生生活的开放题给学生打开了一扇窗，让学生感受到数学的奇妙无穷，同时训练学生从不同角度思考问题，虽然不是要求所有的学生都能找出所有答案，意义在于乐在寻求多个答案的过程之中，培养了学生的应用创造性。

真诚天下

小学数学教学中的激疑  

　
　  




小学数学教学中的激疑













    在教学工作中，“教师主导与学生主体相结合原则”要求教师在整个教学过程中，既要发挥自己的主导作用，又要体现学生的主体地位，使二者密切结合，共同完成教学任务。贯彻这一原则，要求教师恰当而科学地组织教学过程，循循善诱，调动学生学习的主动性、积极性，培养学生的自学能力，掌握获取知识的科学方法。还要充分发挥教学民主，建立和协融洽的师生关系。科学地、灵活地实施激疑，是实现上述要求的有效途径。

一、科学地实施激疑，创设最佳的学习心境

    动机是推动学生进行有意义学习的内在动力，这种动力又可称为内驱力。因此，教师必须依据教学目标，充分认识学生心理因素的能动作用，最大限度地利用小学生好奇、好动、好问等心理特点，并紧密结合数学学科的自身特点，创设使学生感到真实、新奇、有趣的学习情境，激起学生心理上的疑问以创造学生“心求通而未得”的心态，促使学生的认知情感由潜伏状态转入积极状态，由自发的好奇心变为强烈的求知欲，产生跃跃欲试的主体探索意识，实现课堂教学中师生心理的同步发展。

    如在教学“能被3整除的数的特征”这一课时，一个教师设计了以下过程。(1)新课开始，教师指导学生复习了能被2和5整除的数的特征，为本节学习能被3整除的数的特征提供了激疑的源头。(2)教师让学生任意报几个数，老师迅速说出能否被3整除，其他同学用笔算验证。当学生说出的数都被教师判断出能否被3整除时，学生露出了惊奇、佩服的表情，个个跃跃欲试。(3)学生的求知欲被激起后，教师组织学生讨论"39、5739"这两个数能否被3整除。学生迅速说能被3整除。这两个数确实是能被3整除，但当老师问到为什么时，学生回答说：“我想个位上是3、6、9的数都能被3整除，所以39、5739能被3整除。”学生这样回答，一是受到了根据个位数来判断的思维定势的影响，二是错误地认为教师之所以能迅速说出一个数能否被3整除，也是以此为依据的。学生的回答在教师的意料之中，因此对学生这样的回答，教师不马上予以纠正。(4)学生回答后，教师又出示了这样一组数：73、216、4729、843、2056、3059，并让学生观察这些数的个位有什么特点。学生观察后发现这些数的个位上都是3、6、9。教师要求学生算一算，看这些数能否被3整除。学生计算后发现，这些数中有的能被3整除，有的不能被3整除。于是不用教师说，学生自然对前面的结论产生了怀疑。(5)在学生困惑不解的时候，教师再出示另外一组数：12、430、2714、5001、7398、9687，并让学生观察，这些数的个位是不是3、6、9，然后算一算，这些数能否被3整除。学生通过计算发现，这些数的个位虽然都不是3、6、9，但其中的有些数却能被3整除。这是怎么回事呢？学生疑窦丛生，百思不解，教师的激疑又深入了一步。

    通过对上面两组数的对比观察和验证，学生虽然疑惑更深，不知道究竟应该根据一个数的什么特征来判断它能否被3整除，但也终于发展，用旧方法（看个位上的数）不行了，因而产生了探求新方法的强烈欲望。至此，教师步步激疑的目的达到了。

    在进行激疑的过程中，我们要把握好以下几点要领。(1)激疑要注重内容的趣味性和学生的年龄特点。①科学地设计激疑内容，巧妙地激起学生心中的疑团，调动学生学习的浓厚兴趣，这样才能使学生爱学、乐学、善学。②为低年级学生设疑要注意浅显易懂，使他们既感到新奇、疑惑，又能在教师的启发诱导下很快想通道理。为高年级学生设疑既要有趣味性，又要有一定的思考性。要利用数学知识的精妙之处来激励学生广泛地联想，灵巧地思考，严密地推理，精确地计算。(2)激疑要反映数学知识的本质特征，具有典型性。①所选用的事例必须鲜明地反映出数学的基本原理，使数学知识的本质特征通过典型材料展示给学生。如例中的第二组数里的12、5001、7398，它们之所以能被3整除，就是因为它们各个数位上数的和能被3整除，这就是能被3整除的数的本质特征。②设计事例要注意数量适当，并有一定的代表性。事例太少，学生不易综合、总结概括出数学规律；事例太多，又会扰乱学生的思路，耽误教学时间。如前面事例中的两组数，其中有两位数12，三位数216，四位数5001、7398，而且每组数的数量适当。(3)激疑要抓住知识的联结点，具有针对性。①教师激疑应该依据新旧知识的联结点，抓住新旧知识矛盾冲突的关键之处。如前面例中，教师就是抓住能被2和5整除的数的特征与能被3整除的数的特征不同这一矛盾形成对比。②激疑要针对学生学习知识时在推理和判断上的误区，使他们对自己的判断、推理产生疑惑，产生解惑的迫切感。(4)激疑要层层深入。在课堂教学中，学生需要对一个又一个的具有一定梯度的数学知识进行认识，这就需要教师一次一次地激疑，环环相扣，层层深入，使学生始终保持旺盛的求知欲。如前面例中，学生还没有搞清“有些数的个位上是3、6、9却不能被3整除”这一疑问，又出现了“有些数的个位上不是3、6、9而能被3整除”这一矛盾。

二、激疑中组织操作，形象地理解教学知识

    在小学数学教学中，常常遇到理解概念、法则、认识数学规律这类内容，这些内容逻辑性强，也比较抽象。而小学生的思维特点多以具体形象为主，逐步向抽象逻辑思维过渡，这样，知识的特点与学生的思维特点之间就形成一定的距离，学生理解就会有一定的困难，因此，在教学中，教师就是设法最大限度地缩小这个距离。如继前面激疑举例第(5)步后，在学生急于探求能被3整除的数的特征时，教师仍然不忙于告诉结论，而是积极引导学生通过操作发现规律，自己找出特征。操作过程如下：

1.教师按一定的顺序板书出前面两组数中能被3整除的数：216、843、12、5001、7398、9687，指导学生用小棍在准备好的数位上摆出来。

2.让学生观察每张数位表中小棍的总数是多少。

3.在观察的基础上组织学生讨论：用几根小棍摆出的数能被3整除？学生通过观察和讨论发现，用3根、6根、9根……（3的倍数）摆出的数能被3整除。

4.让学生不改变数位表中小棍的总数，任意交换或调整小棍的位置（可增大或减少位数，如把216变为四位数，把5001变为三位数）。看能不能摆出一个不能被3整除的数。这一步既是技巧性操作，又是兴趣性操作，是学生操作的高热阶段。操作完毕，及时组织学生讨论：通过这一步操作我们发现了一个什么规律？引导学生总结出：只要小棍的总数是3根、6根、9根……（3的倍数），无论怎么摆，摆出的数总能被3整除。

5.通过激疑与操作，能被3整除的数的特征在学生的思维中形象地形成，教师再引导学生抽象概括出能被3整除的数的特征，然后结合各种形式的练习，学生就能牢固地掌握这部分知识。
  
    组织操作要注意以下几点：(1)教师要吃透教材，根据教材的重点、难点和知识的抽象程度以及学生的实际能力而安排。(2)操作设计要切实直观形象地反映出知识的特点，利于学生形象地理解知识。(3)操作活动应生动有趣，能吸引学生。(4)操作要根据知识的内在联系和学生的认识规律层层深入，一步一步地揭示规律，以达到“明理”的目的。(5)组织操作要把握好时机，在教学的哪一环节中进行什么操作，要周密地安排。(6)要处理好教师操作和学生操作的关系，在教学中应该是学生操作的，尽可能指导学生去操作。(7)在学生通过操作，明确算理、规律后，要组织学生抽象、概括（用自己的语言概括）算理、规律等，使学生的思维从形象思维过渡到抽象思维。(8)要充分做好操作的准备工作，特别是要让每一个学生都准备好操作的学具或材料。

    激疑，使整个课堂教学中学生的思维经历了抽象——直观——抽象的过程。在实际教学中，我们要根据教材的特点，使激疑中有操作，操作中有激疑。要精心设计激疑和操作的内容和程序，使课堂教学中难点突破，课堂气氛活跃。

真诚天下

走出数学教学中的四大误区  

　
　  





随着教学改革的不断深入，不少课堂教学在高层次的追求上形成了各自的教学特色，然而许多貌似优秀的课堂教学，其实际效果并不理想，究其原因发现根源就在于这些教学过程中及考后的处理，都不同程度地存在着一些误区，从而严重影响了教学质量的提高。因此下面我就浅谈以下这些误区及自己的看法。

一、   忽视概念教学，造成学生不能正确的理解概念，不能把握准概念，不能灵活运用概念，形成了教学的第一误区。（一）忽视概念的内涵和外延概念的内涵就是那个概念所反映事物的本质属性的总和，概念的外延就是那个概念所涉及的范围。对于概念的内涵，为突出本质属性，需作逐字逐句的深入浅出的分析，要突出关键词在本质属性中的地位。对于外延，必须将它的每一项都讲到，又必须强调这其中的每一项都是等地位的独立的。（二）忽视概念教学的阶段性恰当地把握好各个阶段的教学要求，体现概念教学的阶段性是很有必要的。如在初中一年级讲“绝对值”这个概念时，只要使学生清楚知道正数、负数，零的绝对值是什么就可以了，不要急于提高深化，待学生掌握了概念后可设计如下练习：１．字母ａ表示有理数则｜ａ｜＝？２．字母ｍ、ｎ是有理数，则｜ｍ＋ｎ｜＝？从讨论的结果中加深学生对代数式和绝对值概念认识。（三）忽视定义的可逆性如，有理数的内涵是能写成ｍｎ形式的数，（ｍ、ｎ为整数ｎ≠０），反过来，凡有理数，则一定能写成ｍｎ的形式，这样会给解决问题带来方便，实际上，定义的可逆性，是认识概念的两个方面，切莫忽视。

二、数学中的“巧解”掩盖了基本思想方法的渗透现在，在数学教学中，对于某一个问题的解决，思路越来越多，方法越来越巧，教师会特别注意引导学生进行巧妙构思，以期产生教学上的捷径，其实这是教学上的第二大误区。（一）“巧解”往往有局限性，实用的范围一般都比较特殊和窄小，换一条件或变一个简单的结论，也就会使之完全丧失解题能力，因此巧解并不能根本解决问题。（二）基本思想方法是一种解决题的通法，具有普遍性，指导性，要想从根本解决问题，理应首先追求其通法———基本思想方法，而一味追求巧解，必然缺乏对基本思想方法的挖掘和相应的训练，从而冲淡和掩盖了对基本方法的渗透。（三）从学生的学习心理上看，当他们对于一道题目一旦了解或掌握了某一个巧解后，就对较为复杂的基本方法产生厌倦心理，也就从根本上阻碍了基本思想方法的渗透。因此，在教学中，必须摆正巧解与基本思想方法的关系，引导学生从基本思路出发，加强对基本思想方法的启迪和训练，在基本方法已熟练的基础上再向学生适当介绍巧解的特殊思路，这样才能避开这一误区。

三、忽视教学中的陷阱，造成上课一听就懂，课后一做就错的不良后果，从而成为教学上的第三大误区。课堂教学中，对学生回答问题或板演，有些教师总是想方设法使之不出一点差错，即使是一些容易产生典型错误的稍难问题，教者也有“高招”使学生按教师设计的正确方法去解决。这样就掩盖了错误的暴露以及纠错过程。教师在教学中，通过一两个典型的例题，让学生暴露错解，师生共同分析出错误的原因，学生就能从反面吸取经验教训，迅速从错误中走出来，从而增强辨别错误的能力，同时也提高了分析问题和解决问题的能力。因此，要想少出错，教学中就应该以积极主动的态度对待错误和失败，备课时可适当从错误思路去构思，课堂上应加强对典型歧路的分析，充分暴露错误的思维过程，使学生在纠错的过程中掌握正确的思维方法。

四、忽视甚至放弃三个过程的同步三个过程是：教师的教学过程，知识发生发展过程，学生思维过程。这一大误区，具体表现在以下两方面：一方面：误认为教材内容就是知识发生发展的全部过程，没有发掘出教材系统前后的本质联系，导致教师的教学过程就是照本宣科溜教材。二方面：误认为教师的思维逻辑就是学生的思维逻辑，没有充分关注学生知识基础和思维特点，导致教师教学过程与学生思维错位或脱节。