数学老师读书随笔 读马立平的《小学数学的掌握和教学》

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利用一个多月时间看完了马立平博士的《小学数学的掌握和教学》。这是华东师范大学“985工程”哲学社会科学“教师教育理论与实践”创新基地建设的成果。马立平博士在研究中比较了美中两国小学教师对数学的理解。书中看似美、中数学教师的比较研究，但更为重要的是理论贡献，书中关于数学内容的理解蕴涵着深刻的教学法。值得我学习的地方很多很多。

书中指出：中国学生在数学能力国际比较研究中明显地优于美国，然而中国教师接受的数学教育却远远少于美国教师，大部分中国小学教师只接受过11到12年的中小学教育，相反，大部分美国教师接受16到18年的正规教育——获得大学的学士学位，再进行一到两年的后继学习。

是的，我们教师的再学习是有限的，多数小学教师只接受了8年的中小学教育和3年的师范教育，就走上三尺讲台，开始我们的教学生涯，很少有人再进高一级学校继续深造。我想，这就是近几年全国上下掀起的所谓的继续教育“校本培训”热潮的原因之一吧。

通过研究表明，中国教师在开始他们的教学生涯时，对数学的理解比美国教师好，他们对所教数学内容的理解，以及同样重要的对初等数学的教学方式的理解，在他们整个职业生涯中继续不断加深。

书中从“重组数字做减法：教学内容的处理”、“多位数的乘法：处理学生的错误”、“描述：分数的除法”、“探索新知识：周长与面积的关系”、“教师的学科知识：数学基础知识的深刻理解”、“数学基础知识的深刻理解：何时及如何达到”等几个方面去分析研究美中的教育教学。

给我印象最深的是“描述：分数的除法”和“探索新知识：周长与面积的关系”。下面就“描述：分数的除法”这一章节对美、中教师做一对比分析。

“描述：分数的除法”

情境：设想你正在教分数的除法。为了使学生理解它的意义，许多教师尝试把数学和现实世界的情境联系起来，来说明具体知识的应用。你能为14(3)÷2(1)编一个好的情境题，或者建立一个恰当的模型吗？

美国教师在计算方面的表现：在调查的23位美国教师中，有21人计算了14(3)÷2(1)。只有9人（43%）得到了正确的答案；有2人（9%）算法正确，但未对最后结果约分；有4人（19%）过程不清晰，无法确认；有5人的知识是混淆不清，他们模糊的记得“应该把它倒过来再相乘”，但又不能确认“它”是指什么；其他教师在看了一眼问题后，就承认不懂怎么计算。

中国教师在计算方面的表现：所有72名中国教师计算都正确，并且给出了问题的完整答案。大多数中国教师用了“除以一个数等于乘以这个数的倒数”，而不是说“倒过来相乘”。

两国教师的区别对比：在涉及概念描述的时候，有10位美国教师把除以2(1)和除以2这两个概念混为一谈。23位美国教师中只一位描述了等式的正确含义，但90%的中国教师都能正确表示。72名中国教师中有65名一共给出了80多个情景故事，而且都清楚地表达了分数除法的含义。有12名教师还举出了多个情景，从不同的角度来说明运算的含义，只有6名（8%）教师说他们不会编，还有一个老师编了一个错误的情景。中国教师用了三种不同的除法模型来描述概念：度量（包含）、等分、乘积和因数。

美国教师和中国教师数学知识的差距在分数除法的专题上很显著。计算14(3)÷2(1)的过程，揭示了教师程序性知识和数学概念理解的特点，以及他们对学科的态度。

除了在“做数学”的表现上，中国教师的分数知识明显要比美国教师扎实得多。中国教师了解分数和其他数学知识之间的丰富联系，意识到分数可以表示成除法。他们也意识到小数和分数之间的关系，并且能在两种数之间熟练换算。他们还了解分数除法的模型与分数乘法的意义、与整数除法的模型是如何联系的。

美国教师没有理解分数除法意义的原因之一，可能是他们在知识间缺乏联系。大多数美国教师之间的理解只有一个概念来支持——整数除法的等分模型。因为缺乏理解所必需的其他概念，也缺乏它们与分数除法之间的联系，这些教师不可能对分数除法的意义产生概念性的描述。

本书前四章描述了中美两国教师关于小学数学四个课题的知识。两组被试教师的知识结构对比强烈，处于美国教师平均水平之上的23名教师大部分关注的是数学问题的运算过程，在整数的减法和乘法这两个问题上，大多数教师都能够熟练运算，但在解决分数除法和矩形的周长与面积这两个更深一点的课题时有困难。尽管72名中国老师来自质量不同的学校，但他们当中的大部分人不仅运算能力强，而且对这四个课题知识有概念性的理解。

对比两国教师对四个专题的综合理解，表明两国的小学数学的构建非常不同。尽管美国教师关注概念性理解的教学，但他们的回答反映了在美国的一个非常普通的观点——小学数学是“基本的”事实和规则的随意编制，做数学意味着遵循设定的过程，一步步地得到答案。中国教师关心为什么算法有意义（知其然还得知其所以然），也掌握怎样做运算（对数学基础知识的深刻理解）。他们的态度与数学家的态度类似（有“良好的”知识包）。他们常常用符号语言证明一个解释，用多种方法解题，并讨论算术的基本四则运算的关系。

中国教师对数学知识的理解与运用，是通过备课、实际教学以及反思这些过程来发展和加深的。纵观中国的数学教育，我们注意到这种向上的循环并不是孤立地存在着，而是由中国中小学数学的坚实基础所培育与支持的。如果中国教师所教的内容没有深度和广度，他们又怎能发展对学科知识的深刻理解？